Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar
Curso 2011
Repartido 3 – Potencial y energía electrostática Ejercicio 1.- (R.H.K 30.4)
Las Las carg cargas as most mostra rada dass en la figu figura ra está están n fija fijass en el espacio. Determine el valor de la distancia x de modo que la energía potencial eléctrica del sistema sea cero.
Hay 3 términos de interacción, uno por cada par de cargas. Numerando las cargas desde la izquierda, y siendo qi el valor absoluto de la carga i: U 12
=
q1q 2
U 13
4πε 0 d
U = U12+U13+U23 = 0
⇒
q1 q 2 d
−
q1 q 3 (d + x )
q1 q 2 dx + q1 q 2 x 2
+ q1q 2 x 2 + (q1q 2
x = x =
x
x
=
=
−
⇒ U =
q 2 q3 x
=−
q1 q 2
q1q 3 4πε 0 (d + x)
−
4πε 0 d
U 23
q1 q3 4πε 0 (d + x)
−
q 2 q3 4πε 0 x
=
1 4πε 0
=−
q 2 q3 4πε 0 x
q1q 2 q q q q − 1 3 − 2 3 =0 (d + x) x d
⇒ q1 q 2 x(d + x) − q1 q 3 dx − q 2 q 3 d (d + x) = 0
=0
− q1q 3 dx − q 2 q 3 d 2 − q 2 q 3 dx = 0 ⇒ − q1 q3 − q 2 q3 )dx − q 2 q 3 d 2 = 0
− ( q1 q 2 − q1 q 3 − q 2 q3 )d ±
(q1 q 2
− q1 q 3 − q 2 q 3 ) 2 d 2 − 4q1q 2 ( −q 2 q 3 d 2 )
2q1 q 2
− (q1q 2 − q1q3 − q 2 q3 )d ±
( q1 q 2
− q1q 3 − q 2 q3 ) 2 d 2 + 4q1q 2 q 2 q3 d 2
2q1 q 2
(381,24 ×10 −18 ) d ±
=
(145343,9376 ×10 −36 )d 2 + (579373,056 ×10 −36 )d 2 (877 ,2 ×10 −18 )
(381, 24 ×10 −18 ) d ± (851,303115 ×10 −18 ) d (877 , 2 ×10 −18 )
1, 4051d = 20,5143 cm
= − 0,53587 d = −7,8237 cm
El valor buscado es la raíz r aíz positiva: x =1,4051d = 20,5 cm Ejercicio 2.- Dos cargas puntuales positivas de valores Q y 2Q están separadas una distancia 2D.
Considere el eje x como la recta que pasa por las dos cargas, con Q en el origen y 2Q en x = 2D. a) Halle una expresión para el potencial electroestático electroestático en el eje x , en función de x . b) Se coloca una partícula con carga q en el eje x . Realice un bosquejo de la energía potencial de la carga según su signo.
a) Potencial de una carga puntual:
V ( r )
=
q
4πε 0 r
q
donde r es la distancia de q al punto
considerado V ( x)
=
Q
4πε 0 x
+
2Q 4πε 0 2 D − x
+
2Q 4πε 0 2 D − x
(se han tomado valores absolutos porque las distancias deben
ser >0) V ( x)
=
Q
4πε 0 x
Q Q 1 2 2 D − x + 2 x = 4πε x + 2 D − x = 4πε x 2 D − x
0 b) U= qV como la expresión de V es siempre positiva, el signo de U depende del signo de q. La función es continua salvo en los puntos donde se sitúan las cargas (x=0 y x=2D) donde la energía tiende a +∞ 0
1
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Ejercicio Ejercicio 3.- Una esfera de cobre aislada de 6,00 cm de radio está a un potencial de 500 V . ¿Cuántos
electrones se han eliminado del cobre para elevar el potencial de la esfera a este valor? ¿Qué fracción de los átomos de cobre están ionizados? ¿Dónde ¿ Dónde se localizan esos iones?
El potencial creado por una esfera (para puntos exteriores) es el mismo que crea una carga puntual con la misma carga colocada en su centro. V ( R )
=
Q
⇒ Q = 4πε 0 RV ( R) = Ne ⇒ N =
4πε 0 R
2,084×1010 Masa atómica del Cu = 62,929592 u.m.a 1 u.m.a. = 1,661×10-27 kg 4
Masa de la esfera de cobre: mCu =
3
4πε 0 RV e
=
4π (8,854 85 4 ×10 −12 )( 0,06 )( 500 50 0) (1,602
×10 −19 )
=
densidad del Cu: ρCu= 8,920×103 kg/m3
3 π R ρ Cu =
4 3
π (0,06) 3 (8920) = 8,0706 kg
(8,0706) kg u.m.a kg 62,929592 1,661 ×10 −27 átomos u.m.a
Número de átomos de la esfera: N aCu=
= 7,7212 ×10 25
átomos número de iones número de átomos
=
2,084 ×1010 7,7212 ×10
= 2,699 ×10 −16
25
2,7×10-16 iones/átomos
Los iones se localizan sobre la superficie. Ejercicio 4.4.- (R.H.K 30.53)
Considere dos esferas conductoras, 1 y 2, teniendo la segunda el doble del diámetro de la primera y separadas por una gran distancia. La esfera más pequeña tiene inicialmente una carga positiva q y la más grande está inicialmente sin carga. Se conectan ahora las esferas con un alambre delgado y largo. a) ¿Cómo se relacionan los potenciales finales V 1 y V 2 de las esferas? b) Halle las cargas finales q1 y q2 sobre las esferas en términos de q.
R2 = 2 R1
inic inicia ialm lmen ente te:: q10 = q
q20 = 0
a) Al conectarse ambas esferas, quedan al mismo potencial b) V 1 F =
q1 F 4πε 0 R1
= V 2 F =
q 2 F 4πε 0 R2
Además como q2F +q1F = q
=
q1 F
q 2 F
⇒ q2F = 2q1F
4πε 0 ( 2 R1 )
=
q 3
q 2 F
=
V 1F = V2F
2q
V 1 F
3
= V 2 F =
q
12πε 0 R1
Ejercicio 5.- (R.H.K 30.11)
Una partícula de carga q se mantiene en una posición fija en un punto P y una segunda partícula de masa m, que tiene la misma carga q, se mantiene inicialmente en reposo a una distancia r 1 de P. Luego se suelta la segunda partícula y es repelida por la primera. Determine su velocidad en el instante en que se encuentre a una distancia r 2 de P. Sea q = 3,1 µC, m = 18 mg, r 1 = 0,90 mm y r 2 = 2,5 mm.
El sistema es conservativo. q(V 1
− V 2 ) = mv 2
U 1
+ K 1 = U 2 + K 2
qV 1
+ 0 = qV 2 +
mv 2 2
2
⇒
2
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v=
v
− V 2 )
2q(V 1
m q
=
2
( r 2 − r 1 )
2πε 0 mr 1 r 2
q q − 4πε 0 r 1 4πε 0 r 2 =
2q
=
2q
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2
m
1 1 − r 1 r 2 =
4πε 0 m
2q
2
( r 2 − r 1 )
4πε 0 mr 1r 2
2 ( 3,1 ×10 −6 ) ( 2,5 − 0,90 ) ×10 −3 = =2612,37 2π (8,854 ×10 −12 )(18 ×10 −6 ) (2,5 ×10 −3 )(0,90 ×10 −3 )
m/s
v=2,6×103m/s
Ejercicio 6.- Un protón es disparado contra un núcleo de oro (por el eje x ) que está fijo en el origen de
coordenadas. No hay otras cargas eléctricas presentes. La velocidad inicial del protón, lejos del núcleo de oro, es v0 = 1,0×107 m/s, su masa es mp = 1,7×10-27 kg y su carga eléctrica vale e = 1,6×10-19 C. La carga del núcleo de oro es 79 e. Suponiendo que el núcleo núcleo sigue fijo en el origen durante todo el proceso ¿cuán cerca llega el protón al núcleo antes de parar y comenzar de alejarse? Desprecie las dimensiones del núcleo.
El protón convertirá su energía cinética en energía potencial eléctrica, lo que determinará el máximo acercamiento al núcleo de oro. Se supone que la energía potencial eléctrica inicial es nula (esta muy alejado) y llega con energía ener gía cinética nula (máximo acercamiento) q1q 2
4πε 0 r r =
=
mv
2
⇒
2
79e 2 2πε 0 m p v 2
79e 2 4πε 0 r
=
mpv
2
2
⇒ r =
(
)2 = 2 2π (8,854 ×10 −12 )(1,7 ×10 −27 )(1,0 ×10 7 ) 79 1,602 ×10 −19
79 e 2 2πε 0 m p v 2
=
=2,144×10-13 m
Ejercicio 7.- Una distribución esférica de carga de radio r con carga
total -q se sitúa concéntricamente dentro de un cascarón esférico de carga carga de radio radio R con con carg cargaa tota totall +q. Desd Desdee el exte exteri rior or de esta esta distribución de carga se envía un electrón con velocidad v en dirección radial hacia el centro de la distribución de carga. ¿Cuál debe ser la velocidad mínima v min para que el electrón, atravesando el cascarón de carga por un pequeño orificio practicado en él, llegue a la distribución esférica central?
Para no tener problemas de notación llamaremos al radio de la distribución esférica interior R1 (R1 corresponde a r) Potencial del sistema sistema en r= R V(r=R) = 0 (V(r) para para r >R es el correspondiente correspondiente al que crea una carga puntual, pero con valor Q=-q+q=0) Para R1 < r < R
el campo vale r
V (r )
∫
−V ( R) = −
E.dl
R
V (r ) =
q 4πε 0
r
∫ 4
=−
R
E (r )
q
πε 0 r
2
=
q
4πε 0 r 2
dr ⇒
dirigido radialmente hacia el centro
V ( r )
−0 =−
q
4πε 0 r
+−
q
4πε 0 R
⇒
− 1 + 1 r R
La energía potencial eléctrica que tendrá el electrón en la esfera interior será: U(r) U(r) =-eV(r) Igualando a la energía cinética inicial:
− eq 1 1 1 − + = me v 2 4πε 0 r R 2
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v=
eq 2πε 0 me
1 − 1 = r R
eq( R
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− r )
2πε 0 me rR
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Ejercicio 8.- (R.H.K 30.3)
Diez años antes de que Einstein publicara su teoría de la relatividad, J.J. Thompson propuso que el electrón estaba constituido por pequeñas partes y que su masa se debía a la interacción eléctrica de las partes. Además, sugirió que la energía era igual a mc 2. Haga un cálculo aproximado de la masa del electrón de la siguiente manera: Suponga que el electrón está compuesto de de tres partes idénticas, las cuales se traen traen desde el infinito y se colocan en los vértices de un triángulo equilátero que tiene lados iguales al radio clásico del electrón: electrón: r = -15 2,82×10 m. A partir de esto: a) Halle la energía potencial eléctrica total de este arreglo. b) Divida entre c 2 y compare su resultado con el de la masa aceptada para el electrón (m e = 9,11×10 -31 kg). El resultado mejora si se suponen más partes (hoy en día se piensa que el electrón es una sola partícula indivisible).
a) Energía del sistema U = U12+U13+U23 = Para nuestro caso q 1=q2=q3=e/3 e
q1 q 2 4πε 0 r 12
+
q1q 3 4πε 0 r 13
+
q 2 q3 4πε 0 r 23
r12=r13=r23=r y cada uno de los sumandos es igual a
2
36πε 0 r e2 36πε 0 r
U=3
(1,602 ×10 −19 ) 2
e2
= 12πε r = 0
(
12π (8,854 ×10 −12 ) 2,82 ×10 −15
-14
) =2,7265x10
J U=
e2
12πε 0 r
=2,73×10-14 J b)
m=
U c2
−14
= 2,7265 ×108 2 = 3,03 ×10 −31 kg ( 2,998 ×10 )
(del mismo orden)
Ejercicio 9.- (R.H.K 30.14)
En el rectángulo mostrado en la figura, los lados tienen una longitud de 5,0 cm y 15 cm, q1 = - 5,0 µ C y q2 = +2,0 µ C. a) ¿Cuáles son los potenciales eléctricos en la esquina A y en la esquina B? b) ¿Cuánto trabajo externo se requiere para mover a una tercera carga q3 = +3,0 µ C desde B hasta A, a lo largo de una diagonal del rectángulo? c) En este este proceso proceso,, ¿se ¿se convi convierte erte el trabaj trabajo o externo externo en energí energíaa potenc potencial ial electr electrost ostáti ática ca o viceversa? Explique. a)
V A
=
q1 4πε 0 l
+
q q = k 1 + 2 = 4πε 0 a l a q1
(− 5,0 ×10 −6 ) (2,0 ×10 −6 ) 15,0 ×10 −2 + 5,0 ×10 −2 = 59917 V
(8,9876 ×10 9 )
VA=6,0×104 V
q q V A = k 1 + 2 = a l
(8,9876 ×10
b) Por definición V B − V A = Ext
W B − A
9
( 5,0 ×10 −6 ) (2,0 ×10 −6 ) − ) 5,0 ×10 −2 + 15,0 ×10 −2 = -778908 V
W A EXT − B q0
(sin importar el camino) entonces:
VB=-7,8×105 V Ext
W B − A
= q3 (V A − V B ) =
= q3 (V A − V B ) = (3,0 ×10 −6 )(6,0 ×10 4 − (−7,8 ×10 5 )) = 2,5165 J= 2,5 J
c) El agente externo lleva q3 desde un punto de menor potencial a otro de mayor potencial, por lo que el trabajo externo se convierte en energía potencial electrostática.
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Ejercicio 10.10.- (R.H.K 30.40)
Al moverse un electrón desde A hasta B a lo largo de una línea del campo eléctrico ilustrado en la figura, se realiza sobre éste un trabajo de 3,94×10 -19 J. ¿Cuáles son las diferencias de potencial eléctrico a) V B − V A, b) V C C − V A y c) V C V − ? C B W A EXT − B
Por definición: V B − V A =
=−
q0
W A E − B q0
En este caso q0 = -e y el trabajo lo realiza el campo E
W A E − B
eléctrico ⇒
= e(V B −V A ) = 3,94×10-19 J. ⇒
V B
− V A =
W A− B e
=
3,94 ×10 −19 1,602 ×10 −19
= 2,459V
a) VB-VA= 2,46V b) Como VC = VB ⇒ VC-VA= 2,46V c) VC-VB= 0 Ejercicio 11.- (R.H.K 30.36)
La figura muestra, de canto, una lámina infinita de densidad de carga positiva σ. a) ¿Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico de la lámina cuando una pequeña carga de prueba positiva q0 se lleva desde una posición inicial, sobre la lámina, hasta una posición final, ubicada a una distancia perpendicular z de la lámina? b) Use el resultado de (a) para demostrar que el potencial eléctrico de una lámina infinita de carga puede escribirse como: V= V0 – (σ /2ε0)z Donde V0 es el potencial en la superficie de la lámina.
a)
Trabajo
que
z
E W Plano − P
z
∫
q 0 E.dl
=
q0
=
0
E
W Plano− P
= q0
∫ 2
σ
σ
2ε 0
0
W Plano− P q0
=
∫ 2 0
σ
dz
eléctrico:
=
ε 0
q 0σ z ε 0
E
−
ˆ .k ˆ) q 0 (k
campo
∫ dz = 2
b) Por definición V B −V A = − V ( z ) = V 0
el
z
ˆ .dz k ˆ k
ε 0
0
z
realiza
= V 0 −
W A E − B q0
σ
2ε 0
⇒
E W Plano − P
q0
= V Plano − V ( P ) = V 0 − V ( z )
z
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Ejercicio 12.- (R.H.K 30.50)
Una carga por unidad de longitud λ está distribuida uniformemente a lo largo de un segmento de línea recta de longitud L. a) Determine el potencial (eligiendo que sea cero en el infinito) en un punto P a una distancia y de un extremo del segmento cargado y en línea con él (véase la figura). b) Use el resultado de (a) para calcular la componente del campo eléctrico en P en la dirección y (a lo largo de la línea). c) Determine la componente del campo eléctrico en P en una dirección perpendicular a la línea recta.
a)
y
dV ( r ) =
kdq r
consideremos un dq = λdy situado a una distancia distancia y. La distancia r (del dq al punto de observación P) vale
P
r = L + y 0 L
y0
V ( P )
=
− y k λ dy
∫ ( L + y 0
0
− y )
L
V(P)= − k λ Ln( ( L + y 0 − y ) ) dq
=−
λ
4πε 0
0
L
0
L + y 0
− y )
= −k λ Ln( ( L + y 0 − L) − ( L + + y 0 ) )
L + y0 k λ Ln = y L y + 0 0
V(P)= − k λ Ln x
E y
( −dy)
∫ (
= − k λ
y 0
y 4πε 0 y − L y ∂V ∂ λ y ∂ λ Ln − Ln = − b) E y = − = y − L y − L 4 y π ε ∂ ∂ y ∂ y 4πε 0 0 V ( y )
y = k λ Ln = y − L
( y − L) − y λ y − L = − 4πε 0 y ( y − L) 2
− L = λ ( y)( y − L) 4πε 0
V ( y )
=
L y ( y
− L)
λ
Ln
E y
=
λ
L
4πε 0 y ( y
− L)
c) Ex =0 (aunque no se puede puede determinar mediante derivación derivación ya que se necesita necesita saber el valor valor del potencial en un entorno, y no solamente en un punto.
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Ejercicio 13.- (R.H.K 30.51)
Una varilla de longitud L tiene una u na distribución de carga por unidad de longitud dada por λ = K x , donde K es una constante. Ésta se encuentra a lo largo del eje x con uno de sus extremos en el origen ( x = 0), tal como se muestra en la figura. a) Si se considera que el potencial electrostático electrostático en el infinito es cero, encuentre V en el punto P sobre el eje y. b) Determine la componente vertical, Ey, del campo eléctrico en P a partir del resultado de la parte (a) (puede comprobarse también por cálculo directo). c) ¿Por qué no puede determinarse Ex, la componente horizontal del campo eléctrico en P , usando el resultado de la parte (a)? d) ¿A qué distancia de la varilla, a lo largo del eje y , el potencial es igual a la mitad del valor en el extremo izquierdo de la varilla?
a) Consideremos un dq= λdx situado a una distancia x del origen. El punto P (0,y) está a una distancia r de dq, dado por: r = x 2 + y 2 L
V ( P )
=
∫ 0
V ( y)
x
K
=
L
∫
k λ dx
4πε 0
2
= kK
+ y 2
2
L
xdx
0
x
2
+ y 2
E y
K 4πε 0
=
1 2
K
4πε 0
L
∫
2
0
2 xdx x
2
+ y 2
=
kK
x
2
+ y 2 1
2
L
0
=
K
4πε 0
2
L
+ y 2 − y
2
+ y 2 − y b)
=−
=
kK
E y
=−
∂V ∂ K = − ∂ y ∂ y 4πε 0
L2
K ∂ − + y 2 − y = πε 0 ∂ y 4
L2
+ y 2 − y
−1 L2 + y 2 y 1 − L2 + y 2 2 y
c) Ex no puede determinarse porque el punto P no es un punto genérico, tiene abscisa x=0, por tanto no aparece explícitamente en la expresión de V. KL
d) V(y=0)= 4 πε 0 1 KL 2
= 4πε 0 4πε 0 K
2
L
L + y 2 − y ⇒ = 2
2
L
4
+ Ly + y 2 = L2 + y 2 ⇒
y
2
L
+ y
2
L − y ⇒ + y = 2
2
2
L
+ y
2
L ⇒ + y = L2 + y 2 2
= 3 L 4
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Ejercicio 14.- (Examen Agosto 2010)
a) Considere un anillo uniformemente cargado de radio R y carga Determinar el potencial eléctrico que crea dicho anillo a una distancia x del centro del mismo. Considere que el potencial en el infinito es nulo. Discuta el resultado obtenido para x =0 =0 y x >> >>R. En los puntos puntos x= -L y x=+L se sitú sitúan an dos dos anil anillo loss como como los los anteriores (uniformemente cargados con carga Q) con un radio R=L, de modo que cada anillo está centrado sobre el eje x y localizad localizados os en planos planos perpendic perpendiculares ulares al mismo. mismo. Considere Considere una partícula de masa m y carga positiva q que está restringida a moverse a lo largo del eje x , como se muestra en la figura. b) Determinar el potencial eléctrico entre los anillos en función de x , para –L < x < L . c) Demostrar que en esa región el potencial tiene un extremo relativo para x =0. =0. Determine qué tipo de extremo es (mínimo ó máximo) y evalúelo. x ) para x<
k =
a) Potencial del anillo: anillo: Sea Q
V =
∫
kdq
0
V ( x
r
=
= 0) =
k r
Q
∫
dq
= kQ = r
0
kQ
0 + R 2
=
4πε 0
kQ x
2
+ R2
kQ R
kQ
x 2
= lim x→∞
kQ
= 0 (como el de una carga puntual) x + R 2 b) Potencial total es la superposición del potencial que crea el anillo izquierdo con el del anillo V ( x
→ ∞) = lim x →∞
1
V ( x)
derecho: V ( x)
c)
kQ
=
dV dx
( x + L ) 2 + L2
=
+
( x + L ) 2 + L2
+
kQ
( x − L) 2 + L2
kQ
( x − L ) 2 + L2
kQ kQ + 2 2 dx ( x + L ) + L ( x − L ) 2 + L2 d
kQ
= V I ( x) +V D ( x) =
− 2( x + L ) kQ = 2 2 2 ( x + L ) + L
(
)
3 2
+
( x − L )
−2
kQ 2
(( x
−
L )
2
+
2
L
)
3 2
( x + L ) ( x − L ) ( 0 + L ) ( 0 − L ) dV + = −kQ + ⇒ ( x = 0) = −kQ 3 3 3 3 dx dx 2 2 2 2 2 2 2 2 (( x + L ) + L ) 2 (( x − L ) + L ) 2 (( 0 + L ) + L ) 2 (( 0 − L ) + L ) 2 L dV L ( x = 0) = −kQ − = 0 (hay un extremo relativo) dx (2 L2 ) 32 ( 2 L2 ) 32 d 2V d ( x + L ) ( x − L ) kQ = − + 3 3 dx dx 2 2 2 2 2 (( x + L ) + L ) 2 (( x − L ) + L ) 2 3 1 3 1 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x L L x L x L L 2 ( x L ) x L L x L x L L 2 ( x L ) + + − + + + + − + − − − + − d 2V 2 2 kQ = − + dx 2 (( x + L ) 2 + L2 ) 3 (( x − L ) 2 + L2 ) 3 dV
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Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar
Curso 2011
− 3( x + L) 2 1 1 − 3( x − L) 2 kQ = − + + + 2 5 5 3 3 dx 2 2 2 2 2 2 2 2 (( x + L) + L ) 2 (( x − L) + L ) 2 (( x + L) + L ) 2 (( x − L) + L ) 2 2 2 3( x + L) 2 3( x − L ) d V 1 1 kQ = + − − 5 5 3 3 dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (( x + L) + L ) 2 (( x − L) + L ) 2 (( x + L ) + L ) 2 (( x − L) + L ) 2 2 2 3( 0 + L) 2 3( 0 − L ) d V 1 1 ( x = 0) = kQ + − − 2 5 5 3 3 dx 2 2 2 2 2 2 2 2 (( 0 + L) + L ) 2 (( 0 − L) + L ) 2 (( 0 + L ) + L ) 2 (( 0 − L ) + L ) 2 2 2 3 L 6 L kQ 6 2 3 L2 1 1 2 d 2V ( x = 0) = kQ kQ + − − = − − = 3 5 3 dx 2 L (2 L2 ) 52 (2 L2 ) 52 (2 L2 ) 32 (2 L2 ) 32 (2 L2 ) 52 (2 L2 ) 32 ( ) ( ) 2 2 2 2 2
d V
2
d V dx
2
V (0)
2kQ
( x = 0) =
3
( 2) 2 L =
3
kQ
( 0 + L ) 2 + L2
3 − 1 = ( 2)
2kQ 3
( 2) 2 L3
kQ
+
( 0 − L) 2 + L2
d) Usando el desarrollo de Taylor: V ( x)
≅ V (0) +
V ( x )
≅
2 kQ L
dV (0) dx
+
x +
kQ 3
4 2 L
2
1 d V (0) 2
dx
2
1 kQ = 2 2 2 L3 >0 por lo tanto hay un mínimo kQ
=
2 L2
V ( x)
x 2
=
=
+
kQ
2 L2
=
2 kQ 2 L
( 0)
= V (0) + dV
dx
2 kQ L
+0 +
1
=
x +
kQ 3
2 2 2 L
2 kQ L 2 1 d V (0)
2
dx
2
x
2
+...
x2
x2
Por lo tanto la energía potencial electrostática será:
U ( x )
= qV ( x) ≅
2 kqQ L
+
kqQ 3
4 2 L
x2
Esto puede interpretarse como que q describirá un M.A.S., similar a la de un resorte de constante elástica
k ' =
kqQ 2 2 L3
e) Análogamente a un resorte:
ω
=
k ' m
=
kqQ
2 2 mL3
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