Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar
Curso 2010
Repartido 7–Ley de Biot-Savart – Ley de Ampère Ejercicio 1.- (R.H.K. 35.! Dos alamres !aralelos rectos " lar#os, se!arados !or 0,$% cm, son !er!endiculares al !lano de la !á#ina como se muestra en la &i#ura' El alamre W 1 conduce una corriente de (,( ) *acia la !á#ina' +Cuál dee ser la corriente ma#nitud " direccin. en el alamre W 2 !ara /ue el cam!o ma#ntico resultante en el !unto P sea sea cero
B
Cam!o creado !or un alamre recto
=
µ 0 i
2π r
ara /ue el cam!o sea nulo en , dee tener sentido contrario al /ue crea el alamre 1, !or tanto la corriente tamin tiene /ue tener sentido contrario' Cam!o creado creado en !unto 3 B = −
i2
=
i "#
r 2 r 1
i1
=
1,50
µ 0 i1
2π r 1
+
µ 0 i 2
2π r 2
=
µ 0
2π
i1 i2 i1 i2 − + = = 0 ⇒ r 1 r 2 r 1 r 2
⇒
6,6 = 4, 4 A
(1,50 + 0,75)
$%$ A (&a'iete! Ejercicio ".- (R.H.K. 35.1)! Un se#mento recto de alamre de lon#itud L conduce una corriente i ' Use la le" de 4iot-5a6art !ara calcular el cam!o ma#ntico B asociado con este se#mento a una distan distancia cia 7 del del se#men se#mento to a lo lar#o lar#o de una isect isectri8 ri8 !er!endi !er!endicul cular ar 6ase 6ase la µ 0 i L &i#ura.' Muestre /ue el cam!o está dado en ma#nitud ma#nitud !or3 B = 2π R L2 + 4 R 2 Demuestre /ue esta e9!resin se reduce a un resultado otenido con la le" de )m!:re cuando L →∞
dB =
r = x 2
B
+ R 2
µ 0
r
R r
+ L / 2
+ L / 2
µ 0
R
=
x 2
Rdx
2
=
i µ 0
4π R
( L / 2) 2 L + R 2 2
− L / 2
1
2
(− L / 2 ) − L 2 − + R 2 2
L B ( R ) = 1 2π R 2 2 2 ( L + 4 R ) µ 0 i
+ R 2 + L / 2
∫ dB = 4π i ∫ ds r sin θ = 4π i ∫ ( x
=
ds;d9
2
4π
sin θ = sin ( π − θ ) =
− L / 2
B
µ 0 ids sin θ
2
1
2
+ R
2
)
3 2
µ 0 i = R 4π
lim L →∞ B( R )
=
µ 0 iR 4π
x 1
R
2
( x + R ) 2 2
( L / 2 ) 2 1 2 2 L 2 + R 2
= lim L →∞
2
− L / 2
µ 0 i = R 4π
2 L L2 +4 R 2
L 1 2π R 2 2 2 ( L + 4 R ) µ 0 i
(
)
1 2
µ 0 i = 2π R
1
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Ejercicio 3.- (R.H.K. 35.3)! La &i#ura muestra un alamre lar#o /ue conduce una corriente i 1' La es!ira rectan#ular de dimensiones L " b, está recorrida !or una corriente i 2 " el lado más cercano de la es!ira al alamre está a una distancia a. a. Calcule la &uer8a /ue e
;?,20 cm> L;@2,@ cm> i ;2A,( )> i 2; 1,A )'
a. La &uer8a /ue e
µ i ˆ µ 0 i1 ˆ k = F1 + F2 + F3 + F4 = F1 + F3 = i 2 L1 × B (a ) + i 2 L 2 × B (a + b ) = i 2 Lˆi × − 0 1 k + (−i 2 Lˆi ) × − 2π a 2π ( a + b) ˆ ˆ) µ i i L 1 ˆi × (− k ˆ ) µ i i L j ˆ) µ 0 i1i 2 L (−ˆi ) × (− k (− j 0 1 2 = 0 1 2 − 1 + = + F = jˆ 2π a π π a + b 2 a a + b 2 a a + b µ i i L 1 1 ˆ F = 012 − j 2π a a + b −7 ˆ µ 0 i1i 2 L 1 1 ˆ ( 4π ×10 )(28,6)(1,8)(0,323) 1 1 − F= − j = j = 2,$0 2π a a + b 2π (0,0110) (0,0110 + 0,0920) F
j 010- N ˆ - F ; 2,$010 N.
ˆj
*acia arria.
F
; @,2$10-@ N. ˆj *acia arria. si
i 2; 21,A )
. or el !rinci!io de accin " reaccin, es i#ual " o!uesta a la /ue e
=
µ 0 i
2
R
( z
2
+
2
3 2 2 R
)
. La &i#ura muestra un arre#lo conocido como bobina de Helmholtz ' Consta de dos oinas circulares coa9iales cada uno con N 6ueltas " radio R, se!aradas !or una distancia R' Conducen corrientes i#uales i en la misma direccin' alle el cam!o ma#ntico en , a medio camino entre las oinas' Estas oinas !ro!orcionan un cam!o 4 es!ecialmente uni&orme cerca del !unto ' c. Considere /ue la se!aracin de las oinas sea una 6ariale re!resentada !or s no necesariamente i#ual al radio 7 de la oina.' Demuestre /ue la deri6ada !rimera del cam!o ma#ntico medio , cual/uiera sea el 6alor de s, " /ue la deri6ada se#unda
dB dz
, es cero en el !unto
d 2 B
es tamin cero en cuando s ; R' dz 2 Esto e9!lica la uni&ormidad de 4 cerca de !ara esta se!aracin en !articular de las oinas'
2
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a. El cam!o es se#Bn el e
cos α =
=
B B
dB =
∫
=
B
=
R r
=
µ 0 ids sin θ
sin θ = sin (π ) =1
2
4π
r
2
r = z
+ R 2
R R 2
∫
+ z 2
dB cos α =
µ 0 i cos α 2
4π r
µ 0
ids sin θ
4π
∫
ds
∫
r 2
cos α =
µ 0 iR
= 4π
( z
2
)
µ 0
4π
ids
∫ r
cos α =
2
( 2π R )
3
µ 0 i cos α
4π r 2 µ 0 iR
=
B
(
+ R 2 2
2
2 z +
∫ ds
2
3 2 2 R
)
1.
. a" N 6ueltas en cada es!ira, !or lo /ue la e9!resin 1. se dee multi!licar !or un &actor N , además son dos arre#los cu"os cam!os se anulan " se e6alBan en 8; 72 B
2 µ 0 NiR 2
=
3
=
R 2 2 2 + R 2 2
µ 0 NiR
2 3
=
8 µ 0 NiR 2 3
=
8µ 0 Ni 125 R
( 5) 2 R 3
5 R 2 2 4
B
c. El cam!o /ue crea una oina a una distancia 8 6ale
B1
=
8 µ 0 Ni 125 R
µ 0 NiR 2
=
(
3 2 2 R
)
2
2 z + El cam!o /ue crea la se#unda oina, locali8ada a una distancia s de la !rimera, !ara !untos B2
medidos desde la !rimer oina 6ale
µ 0 NiR 2
= 2
B
5u!er!oniendo amos cam!os3
(( z − s)
2
+
3 2 2 R
)
µ 0 NiR 2
= B1 + B2 =
(
2
2 z
+
)
3
2 R 2
µ 0 NiR 2
+ 2
(( z − s)
2
+
3 2 2 R
)
La deri6ada res!ecto a 83 dB dz
µ 0 NiR 2
=
5
( + R 2 ) 2
2 z 2
dB s z = = − dz 2
− 3 (2 z ) + 2
3 µ 0 NiR 2 5
s 2 2 2 + R 2 2
s decir /ue e&ecti6amente dB dz
=−
3 µ 0 NiR 2 5
( + R 2 ) 2
2 z 2
z
µ 0 NiR 2 2
(( z − s )
s − 2
5
2
3 µ 0 NiR 2 5
s 2 2 2 + R 2 − s 2
2
3 µ 0 NiR 2 5
z
−
( + R 2 ) 2
2 z 2
s − s = − 2
3µ 0 NiR 2 2
3 µ 0 NiR 2 s 5
s 2 2 + R 2 2
(( z − s)
+
5
2
+ R 2 ) 2
( z − s)
3µ 0 NiR 2 s 5
s 2 2 − s + R 2 E 2
dB s z = = 0 re!resenta un mínimo. dz 2
3µ 0 NiR 2
−
+ R 2 ) 2
− 3 2( z − s) = − 2
(( z − s )
5
2
( z − s )
+ R 2 ) 2
@
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3 µ 0 NiR 2 5 dz 2 2 2 ( ) + 2 z R d
2
d B
=−
2
dz
3 µ 0 NiR 2 5 15 µ 0 NiR 2 − 2 z = − z = 7 2 ( z 2 + R 2 ) 72 2 2 ( z 2 + R 2 ) 2
3 µ 0 NiR
(
2
2 z
+
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2
5 2 2 R
+
)
15 µ 0 NiR
(
2
2 z
+
2 2
z
7 2 2 R
3 µ 0 NiR
−
)
2
(( z − s)
2
+
2
5 2 2 R
)
15µ 0 NiR
+ 2
(( z − s)
2
+
2
7 2 2 R
)
( z − s)
2
aciendo 8; s2 d 2 B dz 2
d 2 B dz 2
d 2 B dz 2
=−
2
2
15 µ 0 NiR
+
2
2
2 2 3 µ 0 NiR 15µ 0 NiR s − s + 5 7 5 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 s 2 s s s 2 2 2 2 2 + R 2 + R 2 + R 2 + R 2 2 2 2 2 2 2 3 µ 0 NiR 15 µ 0 NiR s =− + 5 7 2 2 2 2 s 2 " a*ora s; 73 s + R 2 + R 2 2 2
3 µ 0 NiR
=−
2
3 µ 0 NiR 2
+
5
5 R 2 2 4
15 µ 0 NiR 2 R 7 2 5 R 2 2 4
=−
3 µ 0 NiR 2
+
5
5 R 2 2 4
5 R 2 3 µ 0 NiR 2 3µ 0 NiR 2 = − + =0 7 5 5 4 5 R 2 2 5 R 2 2 5 R 2 2 4 4 4
3 µ 0 NiR 2
Ejercicio 5.Un anillo de !lástico de radio a tiene una car#a elctrica, de densidad G, uni&ormemente distriuida' 5u!on#a el anillo en el !lano xy con su centro en el ori#en de coordenadas' 5i el anillo #ira con 6elocidad an#ular constante H en torno a su e
I = q
ω ( 2π r λ )ω = = ω r λ = ω aλ 2π 2π
I
=ω aλ
or lo 6isto en el e
corriente i , a una distancia 8 del e
ara nuestro caso3
B ( z = 0) =
B( z ) =
µ 0ω aλ 2
µ 0ω a 3 λ µ 0ωλ 3
( )2
2 a2
=
2
a
( z
2
+
2
)
3
2 a 2
=
=
µ 0 i
2
R
( z
2
+
2
3 2 2 R
)
µ 0ω a 3 λ
(
2
2 z +
B =
3 2 2 a
)
µ 0ωλ 2
Ejercicio ).- (R.H.K. 35.3"! Un disco del#ado de !lástico de radio R tiene una car#a # distriuida uni&ormemente en su su!er&icie' 5i el
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disco #ira con una &recuencia an#ular H alrededor de su e
=
a. El cam!o ma#ntico en el centro del disco es B . El momento di!olar ma#ntico del disco es µ =
µ 0 ω q 2π R
ω qR 2
4 Sugeencia% el disco #ue gia es e#ui&alente a un con!unto de es'ias de coiente ' (se el esultado del e!ecicio anteio '
a. Consideremos un anillo de anc*o d situado a una distancia del centro' Este anillo tendrá un di&erencial de car#a dq =σ ( 2π rdr ) = 2πσ rdr ' or lo 6isto en el e
2πσ rdr ω = σ ω rdr ' 2π µ dI µ 0σ ω rdr µ 0σ ω dr Este d" #enera en el centro del disco un dB dado !or3 dB = 0 = = 2r 2r 2 di&erencial de corriente dado !or dI = 2πσ rdrf =
El cam!o total será i#ual a la suma de todas las contriuciones d43 R
B
=
µ 0σ ω dr
∫ 0
2
=
µ 0σ ω R
=
2 R
ˆ NiAn
. Como3 μ
µ 0 ω R
2 R
q π R
2
=
µ 0 ω q
2π R
en nuestro caso
=
R 2
d µ = dI π r
2
3
= σ ω rdr π r = πσ ω r
dr
⇒ µ =
∫ d
R
R
∫ r dr =
=
3
µ πσ ω
0
πσ ω
0
4
4
= π
q
π R
R
2
ω
4
4
ω qR
=
2
4
Ejercicio 7.- (R.H.K. 35.$3! La &i#ura muestra la seccin trans6ersal de un conductor cilíndrico *ueco de radios a " b, /ue conduce una corriente i uni&ormemente distriuida' a. Usando el resultado del anillo am!eriano circular mostrado, 6eri&i/ue /ue B)* !ara el inter6alo b + + a está dado !or3 B ( r ) =
(
r 2
µ 0 i
2π a 2
− b2 )
− b2 r
. Com!ruee esta &rmula !ara los casos es!eciales en los /ue a, b " b -' c. 5u!on#a /ue a;2,00 cm, b;1,A0 cm e i ;100 ), os/ue
∫
∫
∫
La corriente encerrada !or ese anillo am!eriano 6ale3 i ( r ) = JA = 2π rB ( r ) = µ 0
i
π ( a 2
−b2 )
. 5i3 r = b
⇒ B ( a ) =
. 5i3 b = 0
⇒ B(r ) =
π ( r 2
− b 2 ) ⇒ B (r ) =
µ 0 i (a 2
µ 0 i a
2
−b2 )
(b 2
−b2 ) a
µ 0 i (a 2
−b2)
( r 2
i π ( a
2
−b
2
)
π ( r 2
−b 2 )
−b2 ) r
= 0 > r = b ⇒ B (a ) =
µ 0 i (a 2
(a 2
−b2 )
−b2 ) a
=
µ 0 i a
r
Ejercicio .- (R.H.K. 35.$)! Un conductor es &ormado !or un nBmero in&inito de alamres ad"acentes, cada uno in&initamente lar#o " conduciendo una corriente i -' Demuestre /ue las líneas de B son como se re!resentan en la &i#ura " /ue B !ara todos los !untos arria " dea
%
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in&inita de corriente está dado !or
B ( r ) =
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µ 0 ni en donde n es el nBmero de alamres !or unidad de 2
lon#itud'
* L
∫
B.d s =µ 0 Ni Consideremos como anillo am!eriano el rectán#ulo mostrado e n la &i#ura' ara e6aluar la inte#ral, *acemos el cálculo en los lados3 B.d s =2 B.L +2 B.h =2 BL "a /ue el cam!o B es !er!endicular a + B.h =0 .'
∫
∫
B.d s
=2 BL = µ 0 Ni =µ 0 nLi
B ( r ) =
µ 0 ni
2
Ejercicio ,.- (R.H.K. 35.5"! Un toroide /ue tiene una seccin trans6ersal cuadrada de %,20 cm de lado " un radio interior de 1(,2 cm tiene %@% 6ueltas " conduce una corriente de A1@ m)' Calcule el cam!o ma#ntico en el interior del toroide, adentro de la seccin trans6ersal " a&uera del toroide'
El cam!o del toroide es solamente no nulo en su interior
∫ B.ds = µ Ni
⇒ B(r )2π r = µ 0 Ni ⇒ B(r ) =
0
a. B (r ) =
µ 0 Ni
2π r
µ 0 Ni 2π r
− ( 4π ×10 N / A )( 535)( 0,813 A) = = 5%371* 7
2
-$
2π ( 0,162m )
. 5ore el e9terior de la re#in central r ; 0,1(2J0,0%2.m B (r ) =
µ 0 Ni
2π r
=
4π ×10
−7
2
( 535)( 0,813 A) $%*71*-$ = 2π ( 0,162 + 0,052) m N / A
Ejercicio 1*.- (R.H.K. 35.5$! Un solenoide lar#o con 11% 6ueltascm " un radio de $,20 cm conduce una corriente de 1,? m)' Un conductor recto se encuentra a lo lar#o del e
a. amos a utili8ar la a!ro9imacin del cam!o creado !or un solenoide lar#o des!reciamos e&ectos de orde.' Cam!o creado !or el solenoide en direccin del e
estos cam!os B A µ 0 i A 1
B S
=
2π r µ 0 ni S
. B =
+
B A2
2π r
son !er!endiculares " nos interesa /ue &ormen un án#ulo θ3 i i A (6,30) = A ⇒ r = = = 5,36 × 10 −2 m 2π rni S 2π n tan θ i S 2π (11500) tan 40º (0,00194) 2
B S 2
µ 0 i A
i = µ 0 ( ni S ) + A = 2π r 2
(4π ×10 ) −7
2
6,30 -5 (11500 ×0,00194 ) + 2π 0,0536 = 3%))1* 2
(
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Ejercicio 11.- (R.H.K. 35.1"! 5e &orma una *or/uilla lar#a al dolar un tro8o de alamre como se muestra en la &i#ura' 5i el alamre conduce una corriente i ; 11,% )' Considere /ue 7 ; %,20 mm' a. +Cuáles son la ma#nitud " la direccin de B en el !unto a . +En el !unto b, mu" ale
a. El cam!o ma#ntico en el !unto a será i#ual al /ue #enera el semi-aro más los cam!os /ue #eneran los tro8os recto de alamre' BT
= B semiaro + 2 Btrozo−recto =
BT
=
1 µ 0 i 2 2 R
µ 0 i 1
1 + = 1,14 × 10 −3 T 2 R 2 π
+2
( 4π ×10 −7 )(11,5) ) 1 1 = + = + =1,14 ×10 −3 T 2π R 2 R 2 π 2( 0,00520) 2 π
1 µ 0 i 2
µ 0 i 1
1
saliente a la !á#ina.
. El cam!o en el !unto b lo !odemos considerar como la suma de la de dos conductores de lon#itud in&inita " des!reciar el e&ecto del semi-anillo "a /ue está mu" ale
=2
µ 0 i 2π R
µ 0 i
=
π R
=
(4π ×10 −7 )(11,5)) = 8,85 ×10 −4 T
BT
π (0,00520)
=
µ 0 i π R
= 8,85 × 10 −4 T
saliente a la
!á#ina.
Ejercicio 1".- (R.H.K. 35.1$! a. or un tramo recto de lon#itud L &lu"e una corriente i ' Demuestre /ue el cam!o ma#ntico asociado con este se#mento en , a una distancia !er!endicular D, de un e9tremo del alamre µ 0 i L está dado !or B = 4π D L2 + D 2 . Demuestre /ue el cam!o ma#ntico es cero en el !unto =, a lo lar#o de la línea del alamre '
del alamre'
a. El cam!o ma#ntico en el !unto P lo calculamos en &orma similar a como lo *icimos en el µ 0 ids sin θ e
B
=
µ 0
L
∫ dB = 4π i ∫ ds r sin θ = 4π i ∫ ( x
Ddx
2
0
B =
µ 0
L
µ 0 i
4π D
0
3
2
+ D 2 ) 2
=
µ 0 iD 4π
x
(
D 2 x 2
=
1
+ D 2 ) 2
0
µ 0 iD 4π
L
(
D 2 L2
1
+ D 2 ) 2
L L2
+ D 2
. En el !unto = sin θ;0 dB =
µ 0 ids sin θ 4π
2
r
= 0 ⇒ B(Q) = 0
$
