Rendon Teoria de La Medida

Teoría de la Medida

L R P Z

U N  C F  C D  M B, D.C. 15    2013

Índice general

1. Definiciones preliminares

1

1.1. σ-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1.

σ-Álgebra de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2.

Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. La recta extendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. 1.2.1. 1.

Abie bierto rtos bási básico coss de la recta ecta extend tendid ida. a. . . . . . . . . . .

6

1.2.2.

Arimética en la recta extendida. . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. 1.3. Más Más sobr sobree σ-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4. Funciones simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5. Definición de medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.1.

Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2. La medida de Lebesgue

16

2.1. Medida exterior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



16

2.2. Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3. La integral

33

3.1. Integrales de funciones medibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.

33

Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2. Teorema de la convergencia monótona. . . . . . . . . . . . . . .

36

3.3. Teorema de la convergencia dominada . . . . . . . . . . . . . .

42

3.4. Las integrales de Riemann y de Lebesgue . . . . . . . . . . . . .

44

3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

4. Medida producto

53

4.1. Definición de álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

4.2. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.3. Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

5. Espacios L p

68

5.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

5.2. Completez de los espacios L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

5.3. Algunos conjuntos densos en L p (µ ) . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

6. Algunos tipos de convergencia

88

6.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

6.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

6.3. Teorema de Egoroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

7. Cargas

101

7.1. Teorema de descomposición de Hahn . . . . . . . . . . . . . . .

101

7.2. Teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

7.3. Teorema de representación de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . .

109

7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

CAPÍTULO 1

Definiciones preliminares

1.1. σ-álgebras Definición 1.1.1. Sean X = y M

∅

⊆ P(X). M es una σ-álgebra cuando :

1. X M.

∈

2. Si A M , entonces X − A M.

∈

∈

3. Si {An }n∈N es una familia de elementos de M entonces

∞ A M . n i=1



∈

Al par (X, M) se le denomina espacio medible. Igualmente, X es denominado espacio medible si se sobreentiende cual es la σ-álgebra considerada. Observación 1.1.2. Si A1 ,

∅ ∈ M (consecuencia de las propiedades 1. y 2.)

··· , A ∈ M, entonces n

n i=1



∅ para k > n y de la propiedad 3. 1

∈ M: consecuencia de tomar A =

Ai

k

1.1. σ-ÁLGEBRAS Si { An }n∈N es una familia de elementos de M, entonces que ∞ A = ( ∞ Ac )c y de las propiedades 2. y 3.



i=1

Si A1 ,



i

i=1

i

··· , A ∈ M, entonces n

n i=1



∞ A i i=1



∈ M: ya

∈ M: consecuencia de tomar A =

Ai

k

X para k > n y de la observación anterior.

Ejemplo 1.1.3 (Ejemplos de σ-álgebras). 2. {R, , Q, I}

∅

1. Dado X = , P(X) es una σ-álgebra.

∅

⊆ P(R) es un σ-álgebra

Observación 1.1.4. Sean M1 , M2 σ -álgebras en X = . Entonces M1 M2 es un

∅

∩

σ-álgebra en X.

Por otro lado, al considerar A, una colección no vacía de subconjuntos de X podemos tomar MA =



, donde F := { M : M es una σ-álgebra en X y A

M∈F M

⊆

M}. Tenemos que MA es la menor σ-álgebra que contiene a A, en el sentido que

dada M σ-álgebra en X, con A

⊆ M entonces M ⊆ M. M A

A

se denomina

σ-álgebra generada por A.

1.1.1. σ-Álgebra de Borel Consideremos Rn con su topología usual. La σ-álgebra generada por la familia de abiertos en Rn es denominada σ-álgebra de Borel. Observación 1.1.5. No existe una σ-álgebra con cardinal ℵ0 , cardinal de N. En efecto. Supongamos que M es una σ-álgebra sobre el conjunto X , con M enumerable. Note que si X es fi nito entonces P (X) es un conjunto fi nito y por lo tanto M es un conjunto fi nito.

2

1.1. σ-ÁLGEBRAS Supongamos entonces que X es un conjunto infinito y que M es infinito enumerable. Dado x X definimos Ex =

∈

∩

donde F = { E M : x E }.

∈

E∈F E

∈

remarkérvese que Ex M, además dado E M se tiene que x E o x X − E

∈ ∈ ∈ ∈ por lo tanto E ∩ E = ∅ o E ⊆ E . De igual forma dados x, y ∈ X, distintos, se tiene que E = E o E ∩ E = ∅. Como X es un conjunto infinito y M esinfinito enumerable existe G = { x , x ··· }, x ∈ = j . Definamos E = ∪ E para X para cada i ∈ N, tal que E ∩ E = ∅ si i  cada A ⊆ G. Nótese que E ∈ E . M tal Ahora si A  = B entonces E  = E ; esto es, la función ϕ : P(G) x

x

x

y

x

y

1

xi

xj

A

2

x∈A x

A

A

→

B

que ϕ(A) = EA es inyectiva. Absurdo, ya que P(G) no es enumrable y M es enumerable.

1.1.2. Funciones medibles Sea ( X, M) un espacio medible y ( Y, T ) un espacio topológico. Decimos que f:X

→

Y es medible si y solo si dado V

∈ T (es decir, un abierto en (Y, T )) se

tiene que f−1 (V ) M (es decir, f−1 (V ) es medible).

∈

Ejemplo 1.1.6. Sean (X, M) espacio medible y A χA : X

→

R definida por

χA (x) =

 

1 0

es medible. Dado un abierto básico V

si x A,

∈ si x ∈ / A.

∈ R tenemos que 3

∈

M entonces la función

i

1.1. σ-ÁLGEBRAS si 1, 0 V entonces f−1 (V ) = X M

∈

∈

si 1 V y 0 / V entonces f−1 (V ) = A M

∈ ∈ ∈ / V y 0 ∈ V entonces f (V ) = X − A ∈ M si 1 ∈ si 1, 0 ∈ / V entonces f (V ) = ∅ ∈ M −1

−1

y por lo tanto χA es medible. Proposición 1.1.7. Sean (Y, T Y ), (Z, T Z ) espacios topológicos, (X, M) un espacio medible, f : X Entonces g

→

Y una función medible y g : Y

◦ f es medible.

→

Z una función continua.

Demostración. Sea V T Z (un abierto en (Z, T Z )). Como g es continua, tenemos

∈

que g−1 (V ) T Y . Además como f es medible, tenemos que f−1 (g−1 (V ) ) = (g

∈

f)−1 (V )

◦

∈ M. Es decir: g ◦ f es medible.

Proposición 1.1.8. Sean ( X, M) espacio medible, ( Y, T ) espacio topológico, u, v : X

→

R funciones medibles y ϕ : R2

ϕ( u, v) es medible.

→

(Y ) una función continua. Se tiene que

Demostración. En virtud de la proposición anterior basta ver que

f = ( u, v) : X x

es una función medible. En efecto, siendo R = I 1

R2

→ →

(1.1)

( u (x), v(x))

(1.2)

× I donde cada I es un abierto en R, tenemos que

f−1 (R) = { x

2

i

∈ X : u (x) ∈ I } ∩ {x ∈ X : v(x) ∈ I }. 1

4

2

1.1. σ-ÁLGEBRAS Como { x

∈ X : u (x) ∈ I } ∈ M por ser u medible y { x ∈ X : v(x) ∈ I } ∈ M ya que v es medible, por la de finición de σ -álgebra tenemos que f (R) ∈ M. 1

2

−1

CONSECUENCIAS:

1. Sean ( X, M) espacio medible y u, v : X u (x) + iv(x) es medible.

→

R medibles. Entonces f (x) =

2. Sea (X, M) espacio medible, y consideremos f : X x

→ →

C

(1.3)

u (x) + iv(x)

(1.4)

√

medible. Entonces u , v , | f| := u 2 + v2 son medibles. La prueba consiste en escoger las funciones continuas

√ x, y , y + w, x,y,w ∈ R, con x ≥ 0 2

Im (z ), Re(z ) z

∈C

y usar la proposición anterior. 3. Siendo ( X, M) espacio medible y u, v : X

→

R, se tiene que u + v y u v

·

son funciones medibles. Basta uilizar la proposición anterior combinada con las funciones continuas + : R2

5

→

R y : R2

·

→

R.

1.2. LA RECTA EXTENDIDA

1.2. La recta extendida 1.2.1. Abiertos básicos de la recta extendida. Puede ser que una sucesión (an )n∈N de números reales no sea acotada (es decir, que sup an y/o ´ınf an no existan). Vamos a anexar dos nuevos elementos (que se notarán por + de [− , ] denotará el conjunto R

∞∞

sup an := +

∞

∪ {+

,−

∞∞

y − ), don-

∞ ∞

}. De esta manera se de fine

(si ( an ) no es acotada superiormente en R ) e ´ınf an := −

∞

(an ) no es acotada inferiormente en R).

(si

Se define en [− , ] un orden parcial que extiende al usual en R , teniéndose que −

∞∞ ∞≤ ≤ ∞ r y r

+

para todo r

∈ R.

Las vecindades básicas de [− , ] son de la forma (α, β), [− , α ), (β, + ] con α, β

∞∞

∈R.

∞

∞

1.2.2. Arimética en la recta extendida. En [− , ] se va a tener especial cuidado al de finir las operaciones básicas,

∞∞

ya que no se de finen las situaciones del tipo

+ (−

∞ ∞ ∞∞

), las que consideraremos

como una indeterminación. Adicionalmente, se de fine el producto de manera que 0 d = d 0 = 0 para todo d [− , ].

·

·

∈

En este nuevo conjunto, se harán las de finiciones de manera que extiendan las operaciones + y usuales con las que se cuentan en R.

·

La siguiente tabla muestra la suma de finida en [− , ], con a, b

∞∞

6

∈ R:

1.3. MÁS SOBRE σ-ÁLGEBRAS Suma en la recta extendida. a − +

+ −

∞ ∞

− −

b +

∞ ∞ ∞

−

Indeterminado

b+a

Indeterminado

En la siguiente tabla, a, b

∞ ∞

+

∈R.

∞ ∞ ∞

+ +

Producto en la recta extendida

·

−

0

+

0

a>0 +

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ · ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

−

0

0

b<0 +

−

−

0

0

0

+

0

b a

−

−

0

+

+

1.3. Más sobre σ-álgebras

Proposición 1.3.1. Sean M una σ-álgebra sobre X , Y un espacio topológico y f : X

→

Y una función.

1. N := { E

⊆ Y : f

−1

(E)

∈ M} es una σ-álgebra sobre Y .

2. Supongamos que Y := [− entonces f es medible.

−1

∈ R, f

]. Si para todo α

,

∞∞

((α,

Demostración de 1). Tenemos que Y N puesto que f −1 (Y ) = X

∈

∞ ∈ ])

M,

∈ M.

Si A N , entonces f−1 (A) M y por lo tanto X − f−1 (A) = f −1 (Y − A) M

∈

∈

∈

y con esto concluimos que Y − A N.

∈

Por otro lado, si {Ai }i∈N es una familia en N, entonces f−1 (Ai ) M (i

∈

7

∈ N). De

1.3. MÁS SOBRE σ-ÁLGEBRAS esto, tenemos que



i∈N

N.

f−1 (Ai ) = f−1 (



Demostración de 2). Veamos que f −1 [−

α, β

∈

∞

i∈N

Ai )

∈ M, por lo tanto

∈ M y f

, α )

R. No es necesario estudiar f−1 (α,

hipótesis.

Ac := X − A si A

, α n ] =

Ai

∈

∈ M para todo

(α, β)

] puesto que pertenece a M por

∞  ∞  n∈N [−

i∈N

∞

Sea ( α n )n∈N una sucesión tal que α n < α para todo n tenemos que [− , α ) =

−1



∈ N y α

n

n∈N (α n , +

]c (donde notaremos

∞

⊆ X).

α . De esto

→

Luego f−1 ([−

, α )) = f −1 (

 ∞  ∞∈ ∞ ∩ ∞ −1 n∈N (f (α n ,

])c

n∈N (α n , +

]c ) =

∞

M .

Además tenemos que f−1 (α, β) M para todo α, β f−1 ([−

, β)

(α,

∈

]) = f −1 [−

∞

, β)

−1

∩f

(α,

−1

∈ R, puesto que f

(α, β) =

].

∞ ∞∞

Definición 1.3.2. Sean (an ) una sucesión en [− , ] , bn := sup {ak : k n } y cn := ´ınf {ak : k n }. De finimos

≥

≥

l´ımsup an := ´ınf bn y l´ıminf an := sup cn Definición 1.3.3. Sea {fn : X

[−

, ]}n∈N una sucesión de funciones.

→ ∞∞

l´ımsup fn (x) := l´ımsup {fn (x)} l´ıminf fn (x) := l´ıminf {fn (x)} sup fn (x) := sup {fn (x)} ´ınf fn (x) := ´ınf {fn (x)}

Proposición 1.3.4. Sean (X, M) un espacio medible y {fn : X 8

[−

, ]}n∈N

→ ∞∞

1.4. FUNCIONES SIMPLES. una sucesión de funciones medibles. Entonces l´ımsup fn , l´ıminf fn , sup fn e ´ınf fn son también medibles. Demostración. Basta observar que {x

∈ X : supf (x) ≤ a, n ∈ N} =

{x

∈ X : inf f (x) < a, n ∈ N} =

n

n





n∈N {x

n∈N {x

∈ X : f

∈ X : f

n (x)

≤ a} a}.

n (x) <

l´ımsup fn = ´ınf n≥1 supk ≥n fk

l´ıminf n = supn≥1 ´ınf k ≥n fk estas igualdades aparecen al fi nal del capítulo como ejercicios.

1.4. Funciones simples. Definición 1.4.1. Sean ( X, M) un espacio medible y s : X dice que s es simple si el conjunto s(X) es fi nito . Observación 1.4.2. Si s : X

→

Ai := { x

R es simple y s (X) := { a1 ,

→

R una función. Se

··· , a }, definimos n

∈ X : f(x) = a } i = 1, ··· , n i

Es decir, Ai corresponde a la imagen inversa de ai por la función s, para cada i. Con lo que es posible escribir s =



n i=1

Ai es medible ( ver ejemplo lección 1)

9

ai χAi , recuerde que χ Ai es medible si

1.4. FUNCIONES SIMPLES. Proposición 1.4.3. Sea (X, M) un espacio medible y s : X

∈ M, para i = 1, ··· , n.

simple. s es medible si y sólo si Ai Demostración. "

⇒

" Si s es medible, fíjemos i y escójamos α i , βi

∈ ( α , β ) y a ∈/ ( α , β ) para j = i. De esta manera, A

ai

i

i

R una función

→

j

i

i

i

∈ R tales que = s (α , β ) ∈ M −1

i

i

(debido a que s es medible). "

⇐

" Como χAi es medible si Ai

∈ M (i = 1, ··· , n) y dado que s =

tenemos que s es medible .

Proposición 1.4.4. Sea f : X

[ 0,

→

n i=1

ai χAi

] una función medible. Existe { sn }n∈N suce-

→ ∞

sión de funciones simples,no negativas, tal que s 1

sn



≤ s ≤ ··· ≤ s ≤ ··· ≤ f y 2

n

f puntualmente en X.

Demostración.

Consideremos los conjuntos

(n)

Ek =

∈ x

k X : n 2

≤

k + 1 f (x) < 2n



, k = 0, 1

n

··· , n2

−1

y E(n2n)n = { x X : f (x) > n}.

∈

Note que cada conjunto Enk es medible. Por lo tanto n2n

sn =

 k =0

k χ (n) 2n Ek

es medible; además la sucesión (sn )n∈N es creciente y sn

→

f puntualmente.

Más aún en los conjuntos donde f es acotada tenemos convergencia uniforme, 10

1.5. DEFINICIÓN DE MEDIDA. de hecho: si E = { x X : f(x)

∈

≤ M} entonces para n > M tenemos 0 ≤ f(x) − s < n

1 2n

1.5. Definición de medida. Definición 1.5.1. Sea ( X, M) un espacio medible. una función µ : M se denomina medida si :

[0,

]

→ ∞

1. µ ( ) = 0

∅

2. Dado { Ei }i∈N

⊆ M disyuntos 2 a 2, µ (

piedad es denominada σ-aditividad). Si µ (X) <

∞

Si existe {Ei }i∈N



i∈N Ei ) =



∞ µ (E ) (esta proi i=1

, decimos que la medida µ es fi nita.

⊆ M tal que X =

decimos que µ es σ-finita.



i∈N

Ei y µ (Ei ) <

∞

para todo i

∈ N,

La tripleta (X,M,µ ) será llamada espacio de medida.

Ejemplo 1.5.2. Consideremos el espacio medible ( N, P(N)).

µ : P (N) A

[0,

]

→  ∞ →  ∞

card(A)

si A es fi nito en caso contrario

Esta medida es denominada medida de cardinalidad o de conteo

11

(1.5) (1.6)

1.5. DEFINICIÓN DE MEDIDA. Ejemplo 1.5.3. Dado (X, M) espacio medible, fíjese y X.

∈

µ : M A

[0,

]

→  ∞ →  

(1.7)

1

si y A

0

en caso contrario

∈

(1.8)

es una medida para ( X, M).

1.5.1. Propiedades.

1. Si Ai ,

··· , A ∈ n

M y son disyuntos 2 a 2, µ (



(considérese Ak := para k > n).

∅

2. Si A

n i=1

Ai ) =



n i=1

µ (Ai )

⊆ B (con A, B ∈ M), entonces µ (A) ≤ µ (B) y adicionalmente si

µ (A) <

∞

entonces µ (B − A) = µ (B) − µ (A).

En efecto, µ (B) = µ (A) + µ (B − A). Si µ (A) < sentido (ya que µ (B) podría ser

∞

∞

, µ (B) − µ (A) tendría

sin problemas, lo que no ocurriría en

caso contrario) y por tanto tendríamos µ (B) − µ (A) = µ (B − A). 3. Si {Ai}i∈N

⊆ M es tal que A ⊆ A i

i+1

(i

∈ N), µ (



n∈N

An ) = l´ımn→∞ µ (Ai ).

En efecto, definamos E1 := A1 y En := An − A n−1 (n n i=1



En y por tanto



n∈N An =



n∈N

12

≥ 2). Así, A

En . De esta manera:

n

=

1.5. DEFINICIÓN DE MEDIDA.

µ (



An ) = µ (

n∈N



En )

(1.9)

n∈N

 ∞

=

µ (Ei ) (pues son disyuntos 2 a 2)

(1.10)

i=1

l´ım →∞

=

n

n



(1.11)

(1.12)

µ (Ei )

i=1

n

l´ım µ ( →∞

=

n

µ (



n∈N

Ei )

i=1

n

l´ım µ (Ai ) (pues →∞

=

4. Si {Ai }i∈N



n

⊆ M es tal que A ⊇ A

(i

i+1

i

Ei = Ai )

(1.13)

i=1

∈ N) y µ (A ) < 1

An ) = l´ımn→∞ µ (Ai ).

En efecto, tómese En := A1 − An (n A1 −





n∈N An = A 1

∩



1). Se tiene que

≥



n∈N (X − An ) .

En virtud de la propiedad 2., tenemos que µ ( (pues µ (A1 ) <

∞

). Por otro lado, µ (





(¿Por qué?).

por lo que l´ımn→∞ µ (An ) =

}, nótese que

.

¿Por qué falló aquí la propiedad 4.?

13



n∈N

An )

n∈N

An ).

∞

para algún i

∈N

] la medida de cardinalidad.

→ ∞  ··· ∞

Definiendo A n := {n, n + 1,

En =

, en virtud de la propiedad 2.).

Para tenerse esta propiedad, basta pedir que µ (Ai ) <

[0,

n∈N

En ) = µ (A1 )−µ (

∞ 

Así, podemos concluir que l´ımn→∞ µ (An ) = µ (

Observación 1.5.4. Sea µ : P (N)



En ) = l´ımn→∞ µ (A1 − An ) =

n∈N

µ (A1 ) − l´ımn→∞ µ (An ) (pues µ (A1 ) <

n∈N

, entonces

∞

n∈N

An = , pero µ (An ) =

∅

∞

1.6. EJERCICIOS

1.6. Ejercicios 1. Sean ( An )n∈N una sucesión de conjuntos en X, muestre que:

χ∪ni=1 Ai = 1 − Πni=1 (1 − χAi ) χ∩ni=1 Ai = Π ni=1 ( χAi ) χlimsupAn = limsupχAn χliminfAn = liminfχAn

2. Sean ( X, M) un espacio medible y { fn : X de funciones medibles. Muestre que:

{x

∈ X : supf (x) ≤ a, n ∈ N} =

{x

∈ X : inf f (x) < a, n ∈ N} =

n

n

[−

, ]}n∈N una sucesión

→ ∞∞

 

n∈N {x

n∈N {x

∈ X : f (x) ≤ a}

∈ X : f

n

n (x) <

a}.

. 3. Sean ( An )n∈N una sucesión de conjuntos en X . Tomando E0 =

∅ y E

n =

∪

n k =1 Ak ,

Fn = A n − En−1 para cada n

∈ N.

Muestre que:

⊆ E ∀n ∈ N , F ∩ F = ∅ si i = j y ∪∞

En−1

n

i

n=1 E n =

j

4. Sean ( An )n∈N una sucesión de conjuntos en X. Defina: 14

∪∞

n=1 Fn =

∪∞

n=1 An

1.6. EJERCICIOS

∩∞ (∪∞ liminfA = ∪∞ (∩∞ limsupAn =

m =1

n

m =1

n=m An ).

n=m An ).

Muestre que:

∅ ⊆ liminfA ⊆ limsupA ⊆ X. n

n

5. Sean (An )n∈N una sucesión de conjuntos en X tal que Ai

⊆ A

i+1

∀i ∈ N,

i+1

∀i ∈ N,

muestre que: limsupAn =

∪∞

n=1 An

= liminfAn

6. Sean (An )n∈N una sucesión de conjuntos en X tal que Ai

⊇ A

muestre que: limsupAn =

∩∞

n=1 An

= liminfAn

7. Sean ( X,M,µ ) un espacio de medida ( An )n∈N una sucesión de conjuntos medibles . Muestre que:

≤ liminfµ (A ) limsupµ (A ) ≤ µ (limsupA ), µ (liminfAn )

n

n

n

8. Sean (X, M) un espacio medible y f : X muestre que: f es medible si y sólo si {x

∈ X : f(x) =

f∼ =

es medible.

 

si µ (

∪

[−

n∈N An ) <

, ] una función entonces

→ ∞∞ ∞ ∈ ∞ ∞ } , {x

X : f (x) = −

f

si |f| <

,

0

si |f| =

.

15

∞

∞∈ }

M y

CAPÍTULO 2

La medida de Lebesgue

2.1. Medida exterior. Definición 2.1.1. Una medida exterior sobre un conjunto X ,no vacío, es una función µ ∗ : P(X)

con las siguientes propiedades

[0,

]

→ ∞

µ ∗ ( ) = 0

∅

si A

⊆

∗ k ∈N Ak entonces µ (A)



≤



∞ µ ∗ (A ) k k =1

Decimos que un conjunto es una celda en R si tiene alguna de las siguientes formas (a, b) [a, b ]

16

2.1. MEDIDA EXTERIOR. [a, b) (a, b ]

con a, b

∈ R.

Diremos además que un conjunto es una n-celda o una celda en R n si es de la forma J1

× J · · · × J , donde cada J es un celda en R. 2

n

Definamos para E

i

n

⊆R

µ ∗ (E) = inf

 ∞

µ (Ik ) : I k es una n-celda y E

 ⊆

k ∈N

k =1



Ik .

donde

 ×···×  

k µ (Ik ) = µ ( ak 1 , b1

k ak n , bn ) =

k (bk i − ai )

1≤i≤n

usamos la notación { a, b} para indicar las diferentes posibilidades de celdas en R.

Antes de probar que µ ∗ es una medida exterior en Rn hagamos las siguientes observaciones Si E

∗

∗

⊆ F entonces µ (E) ≤ µ (F) , como consecuencia de las propiedades

del ínfimo como µ (Ik ) = µ (Ik ) es posible escoger en la de finición de µ ∗ (E) cubrimientos por n-celdas cerradas (producto de intervalos cerrados) es posible escoger en la de finición de µ ∗ (E) cubrimientos por n-celdas abiertas (producto de intervalos abiertos) ya que si {Ik }k ∈N es un cubrimiento por n-celdas para E y dado  > 0 existe {Jk }k ∈N cubrimiento por 17

2.1. MEDIDA EXTERIOR. n-celdas abiertas tales que Ik ∞ µ (J ) ∞ µ (I ) + 



k

k =1

≤



 2k

y µ (Jk ) < µ (Ik ) +

⊆ J

k

y por lo tanto

k

k =1

Proposición 2.1.2. µ ∗ es una medida exterior en Rn Demostración.

Restaría mostrar que dada (Ek )k ∈N una secuencia de subconjuntos de Rn tenemos que ∗

∪

µ ( ∞ k =1 Ek ) ∗

Si para algún k

∈ N µ (E ) =

infinito.

∞

tenemos igualdad , pues ambos lados serían

Supongamos entonces que µ ∗ (Ek ) <

∞

Ek

µ ∗ ( ∞ k =1 Ek )

∪

∞

k =1

k

N escojamos (Ik m )m ∈N una sucesión de n-celdas

Ik m

y

m =1

luego

N.

∞∀ ∈ ∈   ≤ ⊆ ≤  ≤

Dado  > 0 y para cada k tales que

µ ∗ (Ek ).

k =1

∞

k

 ≤

∞ µ (Ik ) m m =1

∞

µ (Ik m )

m =1

µ ∗ (Ek ) +

 2k

∞ (µ ∗ (E ) +  ) = k n=1 2k

Proposición 2.1.3. Si I es una n-celda entonces µ (I) = µ ∗ (I)



∞ µ ∗(E ) +  k n=1

Demostración. Como { I, ,

∅ ··· , ∅, ··· } es un cubrimiento para I por n-celdas te-

nemos que µ ∗ (I)

≤ µ (I).

Veamos la otra desigualdad. Consideremos inicialmente el caso en que I es cerrado. Dado  > 0 existe un cubrimiento (Ik )k ∈N de I por n-celdas abiertas tales que ∞ µ ∗ (I) + , i=1 µ (Ik )



≤

como I es compacto existe un subcubrimiento finito de n-celdas que cubren I, que por comodidad notaremos I1 ,

··· , I

m .

18

2.1. MEDIDA EXTERIOR. Consideremos la extensión de los planos n − 1-dimensionales que contienen las fases de las n-celdas I, I1 ,

··· , I

si K1 ,

m

que se dividieron las n-celdas I1 ,

··· , I

que se dividió I tenemos: µ (I) = µ ∗ (I) + .



··· , K son las n-celdas cerradas en las y J , ··· , J las n-celdas cerradas en las µ (J ) ≤ µ (K ) ≤ µ (I ) ≤ p

m

r j=1

1

r



p k =1

j

k



m k =1

k

Si I no es cerrado existe J cerrado tal que J

⊆ I y µ (I) −  < µ (J) por resultado

anterior tenemos que µ (I)

∗

≤ µ (J) +  ≤ µ (I) + 2.

Por la arbitrariedad del  obtenemos lo deseado. Definición 2.1.4. Sean X un conjunto no vacío y µ ∗ una medida exterior en X. E

∗

⊆ X es µ medible si para todo C ⊆ X, µ ∗ (C) = µ ∗ (C

∗

∩ E) + µ (C − E)

. Observe que siempre se tiene: para C, E

∗

∗

∗

⊆ X, µ (C) ≤ µ (C ∩ E) + µ (C − E).

Note además que: Si E es µ ∗ -medible, entonces X − E es µ ∗ -medible.

Definición 2.1.5. Ł = { E P (Rn ) : E es µ ∗ − medible}

∈

Proposición 2.1.6. Sean B

⊆R

Demostración. Dado E

n

⊆R

n

si µ ∗ (B) = 0 entonces B es µ ∗ -medible .

veamos que

µ ∗ (E)

∗

∗

≥ µ (B ∩ E) + µ (E − B) 19

2.1. MEDIDA EXTERIOR. Ahora como µ ∗ (E) = µ ∗ (B) + µ ∗ (E)

Puesto que 0 = µ ∗ (B)

∗

≥ µ (B ∩ E)

∗

∗

≥ µ (B ∩ E) + µ (E − B)

y µ ∗(E)

∗

≥ µ (E − B)

Definición 2.1.7. Sea (X,M,µ ) un espacio de medida decimos que µ es completa si dados B M con µ (B) = 0

∈

y A

⊆ B entonces A ∈ M

Proposición 2.1.8. (Rn , Ł, µ ∗ ) es un espacio de medida y µ ∗ es una medida completa. Demostración. Veamos inicialmente que Ł es una σ-álgebra; para esto mostremos

que:

i φ Ł

∈

ii A Ł entonces X − A Ł

∈

∈

iii Si E, F Ł entonces E

∈

∩ F ∈ Ł

Como E es medible entonces para cada A µ ∗ (A

⊆R

∗

n

tenemos

∗

∩ F) = µ (A ∩ F ∩ E) + µ (A ∩ F − E)

Dado que F es medible tenemos µ ∗ (A) = µ ∗ (A

20

∗

∩ F) + µ (A − F)

2.1. MEDIDA EXTERIOR. como también µ ∗ (A−(E F)) = µ ∗ ((A−(E F)) F)+µ ∗ ((A−(E F))−F) = µ ∗ ((A F)−E)+µ ∗ (A−F).

∩

∩ ∩

∩

∩

De lo anterior concluimos

µ ∗ (A) = µ ∗ (A

iv Dados A1 , A2 ,...,A n Ł entonces

∈

Basta observar que

n i=1



∗

∩ F ∩ E) + µ (A − (E ∩ F)) n i=1



Ai = X −

Ai

∈ Ł

n i=n (X − A i )



y por lo tanto como

consecuencia de los numerales 2, 3 tenemos que Rn − ∗

v Si E, F Ł con E

∗



n n i=n (R

− Ai )

∈ Ł

∗

∩ F = ∅ entonces µ (E ∪ F) = µ (E) + µ (F) Sabemos que E, F ∈ Ł luego ∈

µ ∗ (A (E F)) = µ ∗ ((A (E F)) F)+µ ∗ ((A (E F))−F) = µ ∗ (A E)+µ ∗ (A F)

∩ ∪

∩ ∪ ∩

∩ ∪

∩

Tomando A = Rn obtenemos lo deseado. vi Sea { Ei }i∈N familia disyunta en Ł entonces ∞ µ ∗ (E ).



i=1

∞ E i=1 i



i

Para cada A µ ∗ (A

∈ Ł

y µ ∗ ( ∞ i=1 Ei ) =



n

⊆ R , E , F ∈ Ł se tiene que ∗

∗

∩ (E ∪ F)) = µ (A ∩ E) + µ (A ∩ F)

Definamos Fn =

n i=1



Ei

21

si E

∩ F = φ (∗)

∩

2.2. MEDIDA DE LEBESGUE Veamos que ∗

µ (A)

∗

≥ µ

    ∩

µ ∗ (A) = µ ∗ (A n

  ≥ →∞  =

i=1 n

µ ∗ (A)

≥

∞ E) i=1 i



Ei

∗

+ µ

∞

A

i=1

Ei

i=1

∗

∗

∩ F ) + µ (A − F ) pués F es µ -medible µ (A ∩ E ) + µ (A − F ) de ( ∗) n

∗

∗

n

n

∗

i

µ (A

i=1

haciendo n

A−

∞

∗

∩ E ) + µ i

(2.1) (2.2)

n

  A−

∞

Ei

(2.3)

i=1

tenemos

∞ µ ∗ (A E )+ µ ∗ (A − ∞ E ) i i=1 i=1 i



∩

∗

≥ µ (A −



∞ E )+ µ ∗ (A i=1 i

Con esto probamos que Ł es una σ-álgebra, además si tomamos A =

∩

∞ E i=1 i



tenemos la σ-aditividad y con esto vemos que µ ∗ es una medida, la completez de µ ∗ es una consecuencia directa de la proposición anterior.

2.2. Medida de Lebesgue Definición 2.2.1. El espacio ( Rn , Ł, µ ∗ ) es llamado espacio de medida de Lebesgue, y la medida µ ∗ es llamada medida de Lebesgue. Proposición 2.2.2. Lema Sean A, B



⊆R

n

disjuntos tales que

 ∈ A, b ∈ B} > 0

d(A, B) = inf { a − b : a

22

2.2. MEDIDA DE LEBESGUE entonces µ ∗ (A

∗

∗

∪ B) = µ (A) + µ (B)

Demostración. Demostración

Para esto basta probar que µ ∗ (A además que µ ∗ (A

∗

∗

∪ B) ≥ µ (A) + µ (B); podemos suponer

∪ B) < . Sea δ = inf {a − b : a ∈ A, b ∈ B } > 0. Dado  > 0 existe (I ) una sucesión de n-celdas que cubren A ∪ B tales que ∞ µ (I ) ≤ µ (A ∪ B) + ,

∞

k k ∈N



∗

k =1

∗

k

podemos asumir que las n- celdas tienen diámetro menor que δ (por qué?). Con este supuesto vemos que ninguna n-celda intersecta simultaneamente a los ∞ µ ∗ (I ) µ ∗ (A B) +  conjuntos A y B. Luego µ ∗ (A) + µ ∗ (B)

≤



k =1

≤

k

∪

Proposición 2.2.3. Toda n-celda es Lebesgue medible Demostración. Veamos que dado A

Consideremos Ik =

como ( A

∈ x

⊆R

n

tenemos µ ∗ (A)

∗

∗

≥ µ (A∩I)+µ (A−I).



1 I : dis (x, Rn − I) > k

∩ I ) ∪ (A − I) ⊆ A y dis(A ∩ I , A − I) ≥ k

k

1 k

entonces por el lema

anterior tenemos µ ∗ (A)

∗

∗

∗

≥ µ ((A ∩ I ) ∪ (A − I)) = µ ((A ∩ I )) + µ ((A − I))(∗) k

k

. De otro lado sabemos que A I = (A Ik ) (A (I − Ik ) Luego µ ∗(A Ik )

∩

µ ∗ (A

∗

∗

∩ ∪ ∩

∩ ≤

∩ I) ≤ µ (A ∩ I ) + µ (I − I ). k

k

Pasando al l´ímite y observando que lim n→∞µ ∗ (I − Ik ) = 0 (por qué?). tenemos que µ ∗ (A

∗

∩ I) = lim →∞µ (A ∩ I ). Tomando l´ímite en (∗) obtenemos lo deseado. n

k

Usando el Teorema de Lindelo ff vemos que todo abierto en Rn es unión enu23

2.2. MEDIDA DE LEBESGUE meraable de n-celdas abiertas y por lo tanto es un conjunto Lebesgue medible, de ah´í concluimos que todo conjunto cerrado es también Lebesgue medible y p or consiguiente todo Boreliano es Lebesgue medible; esto es, la σ -álgebra de Borel es un subconjunto de la σ-álgebra de Lebesgue.

Ejemplo 2.2.4. Consideremos I = [0, 1 ] , 0 < α 1 removemos de I sucesiva-

≤

mente una colección de intervalo abiertos de la siguiente forma: removemos el intervalo central de longitud α 3; es decir removemos I11 = ( 12 −

α 1 α ) , + 2,3 2,3 2

obtenemos por lo tanto dos intervalos cerrados disjuntos,

cada uno de longitud

1− α 3 2

a saber



1 α J11 = 0, − 2 2,3

 

1 α + J12 = ,1 2 2,3



removemos los intervalos centrales , I21 , I22 , de longitud α 9 de los intervalos J11 , J12 respectivamente , obteniendo cuatro intervalos cerrados disjuntos. J21 , J22 , J23 y J 42


1− α − 2α 3 9 4

procediendo de forma análoga de los intervalos cerrados disjuntos, cada uno de longitud

n−1 α 3n

1− α −···− 2 3 2n

Ink +1 , 1

removemos los intervalos centrales

≤ k ≤ 2

n


24

α 3n+1

2.2. MEDIDA DE LEBESGUE sean An =

2n−1

2n





j=1

I jn−1 , Bn =

Jnk

y C α =

k =1

∞



Bn = [0, 1 ] −

n=1

∞



An

n=1

el conjunto Cα es llamado conjunto de cantor. La longitud de los intervalos removidos de I es

 ∞

2n α n+1 = α 3 n=0

Luego µ ( Cα ) = 0 si 0 < α < 1 entanto que µ ( Cα ) = 0 si α = 1. El

∗



∗

caso más conocido de conjunto de Cantor es cuando α = 1 , sabemos por example que es un conjunto no enumerable, esto nos permite deducir que cualquier subconjunto de este conjunto está en la σ-álgebra de Lebesgue y por lo tanto el ℵ0

cardinal de de la σ -álgebra es por lo menos 22

= 2c , mas como la σ -álgebra

de Lebesgue está contenida en P(R) vemos que el cardinal de la σ-álgebra de ℵ

Lebesgue es 22 0 . No es di ficil intuir que la σ -álgebra de Borel tiene cardinal c = 2ℵ0 , para esto pensemos en la familia de intervalos con extremos racionales, la cual resulta ser contable, la σ-álgebra generada por esta familia es justamente la de Borel . Consideremos uniones enumerable de intervalos de la familia con complementos de intervalos de la familia ,este nuevo conjunto tiene cardinal c = 2ℵ0 . Si nuevamente hacemos uniones enumerables de conjuntos de la nueva familia con complementos de conjuntos de la familia obetenemos un conjunto de cardinal c = 2ℵ0 . Lo que nos permite intuir que el cardinal de la σ -álgebra de Borel es c = 2 ℵ0 y por lo tanto está estrictamente contenida en la σ-álgebra de Lebesgue.

Para una prueba del cardinal de la σ -álgebra de Borel presentamos el siguiente Teorema, sin prueba, que se encuentra en el libro: Real and Abstract Analysis de 25

2.3. PROPIEDADES . Edwin Hewwit y Karl Stromberg. Teorema 2.2.5. Sean X un conjunto y A una familia de subconjuntos de X tal que

∈ A. Si M es la menor σ-álgebra que contiene a A y el cardinal de A es e, con e ≥ 2 , entonces el cardinal de M es menor o igual que e φ

A

ℵ0

A

2.3. Propiedades . Teorema 2.3.1. Sea E

⊆R

E es Lebesgue medible

Demostración. "

⇒

n

⇔∀

∃

( ε > 0)( G abierto)(G

" Si µ ∗ (E) <



µ ∗ (E) = ´ınf

∞

∞

⊇ E

∧ µ ∗ (G − E) < ε)

como

µ (Ik ) : I k es una n-celda y



k ∈N

k =1

 ⊇

Ik

E

dado ε > 0 existe (Ik )k ∈N cubrimiento de E por n-celdas abiertas tales que

 ∞

µ ∗ (Ik ) < µ ∗ (E) + ε

k =1

Si tomamos G =



In µ ∗ (G) < µ ∗ (E) + ε

. Ahora como E es Lebesgue medible tenemos µ ∗ (G) = µ ∗ (G

∗

∗

∗

∩ E) + µ (G − E) = µ (E) + µ (G − E) 26

2.3. PROPIEDADES . Luego µ ∗ (G − E) = µ ∗ (G) − µ ∗ (E) < ε

Si µ ∗ (E) = + Hagamos

∞

∈ E : x ≤ 1}

E1 = { x

.. .

∈ E : n − 1 < x ≤ n}, n = 2, 3,... Para cada n ∈ N existe G abierto tal que G ⊇ E En = { x

n

Hagamos G = Luego G

⊇ E



n

n

∧ µ ∗ (Gn − En ) <

∞ G n n=1 ∗

µ (G − E)

 ≤ ∞

µ ∗ (Gn − En ) < 

n=1

"

⇐

Dado n

"

∈ N; existe G abierto tal que . n

µ ∗ (Gn − E) <

⊇ E,

Gn

hagamos G =



n∈N

1 n

⊇ E luego

Gn

µ ∗ (G − E) µ ∗ (G − E) = 0, As´í G − E

Corolario 2.3.2. Si E

n

⊆R

≤ µ (G − E) < n1 , ∀n ∈ N ∗

n

c

∈ Ł y E = (G − E) ∩ G con lo que E ∈ Ł entonces

µ ∗ (E) = ´ınf {µ ∗ (G) : G es abierto ∧ G

27

⊇ E}

ε 2n

2.3. PROPIEDADES . Demostración. si µ (E) =

∞

entonces cada abierto, G, que contiene a E tiene

medida infinita y por lo tanto el in fimo del conjunto es infinito. si la medida de µ (E) <

∞

se razona de la misma manera como en la prueba del Teorema.

Teorema 2.3.3. Sea E

⊆R


Demostración. "

con Gc

⇒

⊆ E y G

c

n

⇔∀

∃ ⊆ E)(F es cerrado

( ε > 0)( F

" Dado ε > 0 Existe G abierto G

⇐

" Dado n

Hagamos F =

c

tal que

µ ∗ (G − Ec ) < ε

cerrado . µ ∗ (E − Gc ) = µ ∗ (E

"

⊇ E

∧ µ ∗ (E − F) < ε)

∗

c

∩ G) = µ (G − E ) < ε

∈ N, Existe F ⊆ E, F cerrado y µ (E − F ) < n1 n



n∈N

∗

n

n

Fn µ ∗ (E − F)

≤ µ (E − F ) < n1 ∗

n

Así µ ∗ (E − F) = 0 y por lo tanto E − F Ł y E = E − F

∈


n

⊆R

Lebesgue medible entonces

µ ∗ (E) = sup {µ ∗ (F) : F es cerrado ∧ F

Demostración. Si µ ∗ (E) <

∪ F ∈ L

∞

⊆ E}

,dado  > 0 existe G abierto tal que Ec 28

⊆ Gy

2.3. PROPIEDADES . µ ∗ (G − Ec ) < .

Ahora Gc

c

∗

c

∗

c

⊆ E, con G cerrado, además µ ∗ (E −G ) <  luego µ (E)− µ (G ) < , ya que µ ∗ (E) < y por lo tanto µ (G ) < ,de donde se sigue el resultado. Si µ (E) = consideremos D = {x ∈ R : 1 ≤ x < k }. Entonces E = ∪ D ∩ E y por lo tanto = µ (E) = µ (E ∩ D ). Como para cada k ∈ N se tiene que µ (D ∩ E) < . Entonces para cada k ∈ N existe C conjunto cerrado tal que C ⊆ D ∩ E con µ (C ) ≥ µ (D ∩ E) − . Ahora lim →∞ µ (∪ C ) = µ (∪ C ) = [µ (D ∩ µ (C ) ≥ ∗

k ∈N

∞

k

∗

∞

n

k



∗

∞

∗

1 ] = 2k

∞

n k =1

∗

k

k

k ∈N

k

.

Obsérvese que para cada n Teorema 2.3.5. Sea E

⇒

∗

n

⇔∀

k ∈N

∞

∃

( ε > 0)( K compacto , K

∗

∗

k



k

1 2k

k

k ∈N

∗

k

⊆ E

∧ µ ∗ (E − K) < ε)

∈ E : x ≤ n} luego

l´ım µ ∗ (En ) = µ ∗ (E)

∈ N tal que µ ∗ (E) − µ (En0 ) <

∗

Luego µ (E − En0 ) <

∗

∗

es un conjunto cerrado.

" Hagamos En = { x

Dado ε > 0 existe n0



∞

k

n k =1 C k

⊆ R , µ (E) <


Demostración. "

∈N∪

∗

k

k

n

∞

k ∈N

∗

k

E) −

c

ε 2

ε 2

por teorema anterior, existe C cerrado C

⊆ E

n0

tanto µ ∗ (E − C) = µ ∗ (E − En0 ) + µ ∗ (En0 − C) < ε

29

ε 2

tal que µ ∗(En0 − C) < por lo

2.3. PROPIEDADES . Note que C es cerrado y acotado , por lo tanto compacto "

⇐

" Lo mismo que en el caso anterior.


n

⊆R

, Lebesge medible entonces

µ (E) = sup {µ (E) : K compacto ∧ K

∗

∗

Demostración. Si µ ∗ (E) <  2

⊆ E y µ (E − F) <

F

K compacto tal que K

∞

⊆ E})

, dado  > 0 existe F conjunto cerrado tal que

; como F es Lebesgue medible y con medida fi nita, existe ∗

⊆ F y µ (F − K) <

 2

.

Luego µ ∗ (E − K) < ; es decir µ ∗(E) < µ ∗ (K) + . Si µ ∗ (E) =

∞

entonces existe F cerrado tal que F

que necesariamente µ ∗ (F) =

∞

∗

⊆ E y µ (E − F) < . Nótese

(por qué?) ∗

Si consideramos DK == {x F : x

∗

∈   ≤ K} vemos que µ (F) = lim →∞µ (D ) k

k

y que cada Dk es compacto., Esto concluye la prueba. El siguiente resultado nos muestra que no todo subconjunto de R es Lebesgue medible Teorema 2.3.7. Si A

n

⊆R

es Lebesgue medible y todo subconjunto de A es Lebes-

gue medible, entonces µ ∗ (A) = 0

Corolario 2.3.8. Si µ ∗ (E) > 0 entonces existe B

⊆ E tal que B ∈/ Ł

Demostración del Teorema : definamos en Rn la relación x ∼ y

⇔

x − y

∈Q

n

Se puede ver que ∼ es una relación de equivalencia. Escojamos, usando el axioma de elección, un elemento de cada clase de Rn / ∼ y denominemos por E dicha 30

2.4. EJERCICIOS colección. Dados r, s

∈Q

n

tenemos

i (E + r)

∩ (E + s) = φ si r = s

ii x

n

∀ ∈ R , ∃r ∈ Q

Hagamos At = A Sea K

n

tal que x E + r

∈

n

∩ (E + t), t ∈ Q , A medible A ⊆ A t

t

⊆ A (compacto) Luego t

∞

∗

> µ

  

 

K+r

r∈[0,1 ]n ∩Qn

=

 

µ ∗ (K + r)

(2.4)

r∈[0,1 ]n ∩Qn

=

µ ∗ (K)

(2.5)

r∈[0,1 ]n ∩Qn

entonces µ ∗ (K) = 0. Luego µ ∗ (At ) = 0 y por lo tanto µ (A) = 0 pues A =



t∈Qn At

2.4. Ejercicios 1. Sea A

⊆R

n

con µ ∗ (A) <

acotado tal que A

∞

. Muestre que para cada  > 0 existe A

⊆ R

∗

⊆ A y µ (A − A ) < 

2. Muetre que el conjunto {E

⊆R



n

: µ ∗ (E) = 0 o µ ∗ (Rn − E) = 0 } es una σ-

álgebra. 3. Sean M

n

n

⊆ R , h ∈ R y λ ∈ R: Si M es medible muestre que M + h , λM

son medibles y que µ ∗ (M + h ) = µ ∗ (M) , µ ∗(λM) = | λ|n µ ∗ (M) 4. Demostrar que si f : R

→

R es monotona entonces es Lebessgue medible

31

2.4. EJERCICIOS 5. Sea f : Rn muestre que

→

df dx1

R Lebesgue medible si

df dx1

existe en cada punto de Rn

es Lebesgue medible.

6. Muestre que no existe una σ-álgebra con cardinal ℵ0 (el cardinal de N ) ∗

7. Sea E

⊆ [0, 1 ] si µ ([0, 1 ] − E) = 0 muestre que E es denso en [0, 1 ].

8. Sea E

⊆R

9. Sea E

⊆R

n

si µ ∗ (E) = 0 muestre que intE =

n

enumerable muestre que µ ∗ (E) = 0

32

∅

CAPÍTULO 3

La integral

3.1. Integrales de funciones medibles. Definición 3.1.1. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida , s : X función simple medible, (s = E

∈ M. Definimos



n i=1

ai χAi , donde A i

  sdµ :=

[0,

] es medible y E

→ ∞

) una

∈ M para i = 1, ··· , n) y

n

E

Si f : X

[0,

→ ∞

 E

ai µ (Ai

i=1

∩ E)

∈ M definimos

fdµ :=

sup

 

sdµ .

0≤s≤f,s simple

E

Tal supremo existe, en virtud del hecho de que existe una sucesión {sn }n∈N de funciones simples sobre X , tal que 0

≤ s ≤ ·· · ≤ s ≤ ·· · ≤ f y s

puntualmente.

33

1

n

n

→

f

3.1. INTEGRALES DE FUNCIONES MEDIBLES.

3.1.1. Propiedades. 1. Si 0

≤ f ≤ g y E ∈ M, entonces

Demostración. Sean A :=

B := A



E



E



E

fdµ

≤



E

sdµ : s es simple no negativa y s

sdµ : s es simple no negativa y s

∈

⊆ B y 0

≤ g



f ,

fdµ

A

Demostración. Del hecho de que

A

fdµ

E

B

≤ f



y

. De esta manera, como

 ≤ ≤  ≤  ≤  

⊆ B entonces sup A ≤ sup B, es decir,

2. Si A, B M , A

gdµ

E

gdµ .

fdµ .

sdµ

B

sdµ si s es simple no

negativa (¿Por qué?) se sigue el resultado. 3. Si E M y c

∈

+

∈ R ∪ {0},

E

cfdµ = c

E

fdµ .

Demostración. Es consecuencia de las propiedades del supremo ya que c

≥

0

4. Si E M es tal que µ (E) = 0 , entonces

∈



E

fdµ = 0 .

Demostración. Si µ (E) = 0 y s es simple no negativa entonces



E

sdµ = 0,

luego el resultado se tiene para funciones simples no negativas y por lo tanto para f 5. Si f

≥ 0 y E ∈ M,



E

fdµ =



X

fχE dµ

Demostración. Como χA∩B = χ A χB y el resultado es válido para funciones

simples no negativas, obtenemos lo deseado. 6. Si s es simple no negativa y E M entonces ϕ (E) :=

∈

medida para ( X, M). Demostración. a ) ϕ( ) = 0 se sigue de la propiedad 4.

∅

34



E

sdµ define una

3.1. INTEGRALES DE FUNCIONES MEDIBLES. b ) Sea {Ei }i∈N

⊆ M disyunta 2 a 2, y considérese E :=

ϕ(E) =



n

sdµ =

E



i∈N

 ∩    ∩     ∩    ∩     ai µ (Ai

Ei .

E)

(3.1)

i=1 n

=

ai

µ Ai

n

=

ai

j=1

∞

n

ai

µ (Ai

E j )

(3.3)

µ (Ai

E j )

(3.4)

i=1

(suma fi nita de límites es el límite de la suma) (3.5) ∞ sdµ (3.6)

j=1

=

∞

i=1

j=1

=

(3.2)

i∈N

i=1

=

E j

∞

Ej

ϕ(E j ).

(3.7)

j=1

Por lo tanto, ϕ es una medida para ( X, M). 7. Si s, t son simples no negativas y E



E

sdµ +



E

∈

M, entonces

tdµ .



E

Demostración. Supongamos que s y t son de la forma s =

t =



m j=1

b j χBj , respectivamente.

Al considerar C ij := Ai

∩ B ( i = 1, ··· , n;

partición de X. Como



Cij

tdµ y



i,j (Ai

de que ϕs (E) := (X, M).



j

Cij

j = 1,

(s + t)dµ =



n i=1

ai χAi y

··· , m ) se forma una

(s + t )dµ = (ai + b j )µ (Cij ) =



Cij

sdµ +

∩ B ∩ E) = E, el resultado se sigue utilizando el hecho



j

E

sdµ y ϕt (E) :=

35



E

tdµ de finen dos medidas para

3.2. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA.

3.2. Teorema de la convergencia monótona. Proposición 3.2.1 (Teorema de la convergencia monótona). Sean ( X,M,µ ) un espacio de medida , f n : X medibles tal que f n

l´ımn→∞



X

fn dµ .

[0,

], n

→ ∞

∈ N una sucesión creciente de funciones

f puntualmente en X . Entonces f es medible y

→



X

fdµ =

Demostración. Es claro que f es medible, por ser el límite de funciones medibles

(ver sección 3 capítulo 1). Por otro lado, como



X

≤

fn dµ

sucesión creciente), l´ımn→∞ Por otro lado, sea 0



X



fdµ para todo n

X

fn dµ

≤



X

∈ N (por ser { f }

n n∈N

una

fdµ .

≤ s ≤ f simple y fi jemos 0 < α < 1. Definimos En := { x

Claramente, E1

∈ X : f

n (x)

≥ αs(x)}.

= ⊆ E ⊆ ··· ⊆ E ⊆ y X = E (pues si f(x)  αs(x) < f(x), luego existe n ∈ N tal que αs(x) < f (x) ≤ f (x)). Así, f dµ ≥ f dµ ≥ αsdµ , para cada n ∈ N. 2



n

n∈N

0,

n

n



X

n

 →∞

En

Tomando n



n

En

  ≥

, tenemos que

En

αsdµ

→  

dad 3 (sección 5 capítulo 1), ya que ϕ(E) := Por lo tanto, l´ımn→∞ Tomando α

→

X

fn dµ

X

E



X

αsdµ en virtud de la propie-

αsdµ define una medida.

αsdµ = α

1, tenemos que l´ımn→∞

para toda función simple s



X

X

fn dµ

X

≥

sdµ .



X

sdµ . Pero como esto vale

≤ f, entonces podemos decir que l´ım →∞ n

fdµ .



X

fn dµ

≥

Luego se tiene el resultado. Corolario 3.2.2 ((1) Lema de Fatou). Sean (X, M) un espacio de medida y fn : X

[0,

] funciones medibles ( n

→ ∞

∈ N). Entonces 36



X



l´ıminf fn dµ l´ıminf

≤

X

fn dµ .

3.2. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA. Demostración. Defínase gn := ´ınf i≥n fi ( n

∈ N). De esta manera tenemos que 0 ≤ g ≤ ·· · ≤ g ≤ ·· · y que l´ım →∞ g (x) = g dµ ≤ f dµ si i ≥ n (puesto l´ıminf f (x). Adicionalmente tenemos que que g ≤ f ), por lo que g dµ ≤ l´ıminf f dµ , esto para todo n ∈ N. 1

n

 

n

n



i

n



n

X

X

n

i

X

n

X

Por el teorema de la convergencia monótona tenemos que



X

l´ımn→∞ gn dµ = l´ımn→∞

sultado.



X



≤ l´ıminf

gn dµ

X

n



X

l´ıminf fn dµ =

fn dµ , luego se tiene el re-

Ejemplo 3.2.3. Definamos fn : [0,

)

[0,

x

]

∞ →  ∞ →   1

si n

0

en caso contrario

≤ x < n + 1

Nótese que l´ımn→∞ fn (x) = 0 , ya que fn (x) = 0 si n Por otro lado, 0 = 1



(3.8)

l´ıminf fn dµ = l´ımn→∞ [0,∞)



(3.9)

≤ x.



gn dµ l´ıminf [0,∞)

≤

Corolario 3.2.4 ((2)). Sean ( X, M) un espacio de medida, µ : M medida y fn : X

[0,

] funciones medibles ( n

→ ∞   ∞

n=1

X

∈ N). Entonces

fn dµ

∞) fndµ =

[0,

[0,

] una

→ ∞  X

∞ f dµ = n=1 n

Demostración. Sabemos que dado m N , existe una sucesión de funciones simm ples { sm n }n∈N tal que s 1

x

∈ ≤ ·· · s ≤ ·· · f m n

∈ X.

y l´ımn→∞ sm n (x) = fm (x) para todo

m

 

De esta mamera, la sucesión s1n + s2n

n∈N

converge puntualmente a f1 + f 2 ,

de forma creciente. Por el teorema de la convergencia monótona , tenemos que



X

(f1 + f2 ) dµ = l´ımn→∞

  X

s1n + s2n dµ = l´ımn→∞

37



X

s1n dµ +l´ımn→∞



X

s2n dµ =


     ∈ ≤ ≤ ·· · ≤ ≤ ·· · ≤         → ∞  ∈   → ∞ ∅  ⊆              X

f1 dµ +

X

f2 dµ .

Utilizando un argumento inductivo, podemos veri ficar que n i=1

X

n i=1 fi dµ

X

=

fi dµ .

n i=1 fi

Tomemos gn := ∞ f.

(n

N). Claramente, 0

g1

gn

i=1 i

Finalmente, nuevamente por el teorema de la convergencia monótona tenemos n n que ∞ n=1 X fn dµ = l´ımn→∞ i=1 X fi dµ = l´ımn→∞ X i=1 fi dµ = l´ımn→∞ l´ımn→∞ gn dµ = X ∞ n=1 fn dµ . X Corolario 3.2.5 ((3)). Dados ( X,M,µ ) un espacio de medida y f : X medible, entonces ϕ(E) := además

X

gdϕ =

E

E

[0, + ]

M) de fi ne una medida en (X, M) y

fdµ ( E

fgdµ (donde g : X

[0, + ] es medible).

Demostración.

1. Es evidente que ϕ( ) = 2. Sea { En }n∈N

fdµ = 0 (ya visto anteriormente).

∅

M una colección cuyos elementos son disyuntos 2 a 2. De

esta manera tenemos que ϕ(E) = ϕ Puesto que ϕ(En ) =

∞

X

(ϕ(En )) =

n=1

n∈N

En =

X

fχE dµ .

fχEn dµ , tenemos que

∞

n=1

∞

=

X

fχEn dµ

(3.10)

X

fχEn

dµ (por el corolario 2)

(3.11)

n=1

fχE dµ (por ser los En disyuntos 2 a 2) (3.12)

=

X

=

fdµ

(3.13)

E

= ϕ

  En

n∈N

38

(3.14)

X

gn dµ =

3.2. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA. De esto tenemos que ϕ es una medida para ( X, M). Por otro lado, veamos que



X

gdϕ =



X

fgdµ .

Primero veámoslo para g := χE . En este caso,



X

fχE dµ .

De este hecho tenemos que Siendo ahora g : X



X

gdϕ =



X



X

χE dϕ = ϕ(E) =



E

fdµ =

fgdµ vale si g es una función simple.

] una función medible, existe {sn }n∈N una sucesión de

[0,

→ ∞

funciones simples tal que 0

≤ s ≤ ··· ≤ s ≤ ·· · ≤ g y l´ım →∞ s (x) = f(x) 1

n

n

n

para todo x X. Así tenemos que

∈



gdϕ =

X

        

l´ım s dϕ →∈∞ n

X

= = =

l´ım →∞

n

l´ım →∞

n

(3.15)

sn dϕ (por el teorema de la convergencia monótona )(3.16)

X

fsn dµ (el resultado vale para funciones simples) (3.17)

X

f l´ım sn dµ (por el teorema de la convergencia monótona (3.18) )

X

=

n

n

→∞

fgdµ

(3.19)

X

Corolario 3.2.6 ((4)). Si c X

[0,

] es medible,

→ ∞



+

∈ R ∪ { 0}, (X,M,µ ) es un espacio de medida y f :

cfdµ = c X



X

fdµ .

Demostración. Este resultado se tiene como consecuencia inmediata del teorema de la convergencia monótona , pues esto vale para las funciones simples. Comple-

tar los detalles es un buen ejercicio. Corolario 3.2.7 ((5)). Sea ( X,M,µ ) un espacio de medida y f : X función medible.

39

[0,

] una

→ ∞

3.2. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA. µ ( {x

∈ X : f(x) = 0}) = 0

Demostración. Sea E := {x

⇔

X

fdµ = 0

∈ X : f(x) = 0}. Tenemos que E ∈ M puesto que

E = f −1 (0, ], donde es claro que f−1 (0,

∞

tiene sentido µ (E).

] está en M por ser f medible. Luego

∞

Veamos ahora la prueba de este corolario. "

⇒ 

": Si µ (E) = 0 ,

fdµ =

  

fdµ

(3.20)

E∪(X−E)

X

=

fdµ (porque la integral define una medida en ( X,(3.21) M))

fdµ +

X−E

E

= 0 + 0 (pues µ (E) = 0 y f (x) = 0 si x

∈ X − E)

(3.22)

= 0.

(3.23) (3.24)

"

⇐

∈

": Consideremos E n := x

mos que E1

⊆ E ⊆ ·· · y que E := 2

1 n

X : f (x) >



n∈N



(n

∈ N). De esta manera tene-

En . Veamos que µ (En ) = 0 para cada

∈ N. Si x ∈ E tenemos que f(x) > , luego fχ ≥ χ . Por lo tanto 0 = fdµ = fdµ = fχ dµ ≥ χ dµ = χ dµ = µ (E ) para cada n ∈ N. Luego µ (E ) = 0 para cada n ∈ N. Por la propiedad 3 de una medida n

n



En



X

En

n



1 n

X

1 n

En

1 n

1 n

En

(sección 5 capítulo 1) tenemos que µ (E) = µ

En



X

En

1 n

n



X

  n∈N

En = l´ımn→∞ µ (En ) = 0

Definición 3.2.8. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida decimos que una propiedad P(x) es válida para µ -casi todo x X si µ ( {x X : x no satisface P(x)}) = 0 . As´í por example dada f : X

∈

[0,

∈

] una función medible . Diremos que f es

→ ∞

nula en µ -casi todas partes si µ ( {x X : f(x) = 0 }) = 0 .

∈



40


Ejemplo 3.2.9. Sea f : [0, 1 ]

[0,

] tal que f(x) = 0 si x

→ ∞

∈ Q y si x ∈ I f(x) =

n donde n es el número de ceros que aparecen inmediatamente después del

punto decimal.



Muestre que f es medible y encuentre el valor de fdµ . (medida de Lebesgue). Consideremos g : [0, 1 ] x < 10−n n = 0,1,

Entonces f

···

] tal que g (0) = 0 y g (x) = n si 10−(n+1)

gdµ pero

gdµ = [0,1 ]

∞ n( 1 − 1 ) = n=0 10n 10n+1



9n n=0 10n+1

∞

=

1 9

Corolario 3.2.10 ((6)). Sean ( X,M,µ ) un espacio de medida y f n : X ( n

≤

≤ g y f = g en µ -casi todas partes. Luego f es medible y además

    fdµ =

[0,

→ ∞

[0,

]

→ ∞

∈ N) funciones medibles tales que f ≤ f ≤ ·· · y l´ım →∞ f (x) = f(x) en 1

µ -casi todas partes de X. Entonces l´ımn→∞ Demostración. Sea E := {x

2



X

n

fn dµ =



X

n

l´ımn→∞ fn dµ

∈ X : l´ım →∞ f (x) = f(x)}. Podemos decir sin pron

n

blemas que f = fχE + fχ X−E . Análogamente fn = fn χE + f n χX−E para todo n

∈ N.

Por hipótesis tenemos que µ (E) = 0 (puesto que l´ımn→∞ fn (x) = f(x) en µ -casi todas partes en X).

41

3.3. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DOMINADA De esta manera, l´ım →∞

n

  fn dµ

=

X

= =

l´ım →∞

n

l´ım →∞

n

(3.25)



fn χX−E dµ

X

(3.26)

l´ım fn χX−E dµ (por el teorema de la convergencia monótona (3.27)) →∞

n

l´ım fn χX−E dµ →∞

n

l´ım fn dµ →∞

(3.28)

n

X−E

=

fn dµ (pues µ (E) = 0 )

X−E

X

=



             X

=

 

(3.29)

l´ım fn dµ (pues µ (E) = 0 ) →∞

(3.30)

n

X

3.3. Teorema de la convergencia dominada Definición 3.3.1. Sea (X,m,µ ) un espacio de medida. Decimos que una función f : X

[−

,

] o f : X

→ ∞∞ →

C es integrable si f es medible y

Proposición 3.3.2. Sean f, g funciones integrables y α, β



X

|f|dµ <

∞

.

∈ C. Entonces αf + βg

es una función integrable. Demostración. Se sigue del hecho de que αf + βg es medible por ser f y g medi-

bles, y de que |αf + βg|

≤ |αf| + |βg| (como ejercicio completar los detalles)

Definición 3.3.3. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida y f : X

42

[−

, ]

→ ∞∞

3.3. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DOMINADA medible. Definimos: f+ (x) := máx {f(x), 0}

f− (x) := máx {−f(x), 0}

(3.31)

(3.32)

Además si f es integrable definimos

   f+ dµ −

fdµ :=

X

X

f− dµ

X

Para el caso complejo de finimos

       u + dµ −

fdµ :=

u − dµ + i

v+ dµ −

v− dµ

donde f = u + iv Proposición 3.3.4. Sea f una función integrable . Entonces Demostración.

1. Supongamos que f : X

  X

[−

,

X

f+ dµ +

X

2. Supongamos que f : X i

X

v+ dµ −

Sean z :=



X

X

fdµ

]. Como f = f+ − f− ,

→ ∞ ∞ ≤    →  

[ f+ − f− ]dµ

  ≤ 

f− dµ =

X

|f|dµ

C yque f = u +iv. Así,

v− dµ .

X

fdµ =

X

|f|dµ

 



X

X

fdµ =

u + dµ −

 

∈ C tales que |α | = 1 y αz = |z | (tal escogencia = 0, α := |z |/z ; si z = 0 se toma se hace de la siguiente manera: si z  X

fdµ y α

cualquier α con la condición pedida). Tomemos u = Re (αf) y v = Im (αf). De esta manera u | u | Como

  X



fdµ = αz = α

X

fdµ =

43



X

≤ ≤ |αf| = | f|. αfdµ ∈ R, tenemos que

X

u − dµ +

3.4. LAS INTEGRALES DE RIEMANN Y DE LEBESGUE



αfdµ es real. Así, X

to que u | f|).

≤

  X

fdµ =



αfdµ = X



udµ

X

≤



|f|dµ (pues-

X

Teorema 3.3.5 (Teorema de la convergencia dominada). Sean f n : X N) funciones medibles tales que l´ımn→∞ fn (x) = f(x) para todo x

→

∈

C ( n

∈ X. Si existe g integrable tal que para todo x ∈ X y todo n ∈ N se tiene que |f (x)| ≤ g(x), n



 ∈ ≤   ≤  ≤    ≤  ≤  ≤        ≤ entonces f es integrable y l´ımn→∞ Demostración. Fijo x

X



fn dµ =

X , se tiene que |f(x)|

g (x) (ya que |fn (x)|

todo n), y por lo tanto f es integrable (ya que Además, |fn − f|

fdµ

X

X

≤ g(x) para

|f|dµ ).

2g . Usando el lema de Fatou tenemos que

l´ıminf [2g − |fn − f| ]dµ l´ıminf

( 2g)dµ = X

X

(2g)dµ X

(2g)dµ +l´ıminf X

por lo tanto l´ımsup Ahora

fdµ .

X

f dµ − X n

X

X

X

−|fn − f|dµ

(2g)dµ −l´ımsup X

|fn − f|dµ = 0 , luego l´ımn→∞

fdµ =

X

(fn − f)dµ

X

 

( 2g − |fn − f|)dµ . Así, X

X

X

|fn − f|dµ = 0 .

|fn − f| dµ .

Luego obtenemos lo deseado.

3.4. Las integrales de Riemann y de Lebesgue En esta sección suponemos que el lector está familiarizado con la integral de Riemann y algunas de sus propiedades. Sea P ([[a, b ]) el conjunto de particiones del intervalo [a, b ]. Dada una función acotada f : [a, b ]

R definimos:

→ 

n

b

f(t)dt = supP∈P([a,b ])

a

 1=1

44

m i (ti − ti−1 )



|fn − f|dµ .

3.4. LAS INTEGRALES DE RIEMANN Y DE LEBESGUE

 b

n

f(t)dt = infP∈P([a,b ])

a



Mi (ti − ti−1 )

1=1

donde m i = inf {f(t) : t [ ti−1 , ti ]} y Mi = sup {f(t) : t [ ti−1 , ti ]}

∈

As´í tenemos que

∈

 ≤

(b − a)inft∈[a,b ] f(t)

 ≤ b

b

f(t)dt

f(t)dt

a

a

≤ (b − a)sup

t∈[a,b ] f(t)

. Decimos que f es integrable según Riemann, lo que escribimos f R

∈

si



b a

f(t)dt,

b

b

f(t)dt =

f(t)dt

a

a

y dicho valor lo denotamos por R







b a

f(t)dt Una función ϕ : [a, b ]

→

R es

escalonada si existe una partición P de [ a, b ] tal que ϕ (t) = c i , ci es constante, en cada intervalo abierto de la partición es sabido además que



 

 ≤



 

 ≥ ∞

b

b

ϕ(t)dt : ϕ es una función escalonada en [a, b ] , ϕ

f(t)dt = sup R

a

b

a

b

ϕ(t)dt : ϕ es una función escalonada en [a, b ] , ϕ

f(t)dt = inf R

a

a

f

Consideremos (X,M,µ ) un espacio de medida y E M tal que µ (E) <

∈

45

f

.

3.4. LAS INTEGRALES DE RIEMANN Y DE LEBESGUE Dada f : E

→

R acotada ,no necesariamente medible, de finimos

  ∗

fdµ = inf

E

 

sdµ : s

∈ S(E), s

sdµ : s

∈ S(E), s

E

fdµ = sup

∗E

E

 ≥  ≤ f

f

donde S(E) es el conjunto de funciones simples de finidas en E y tomando valores Reales Proposición 3.4.1. Sea E un conjunto medible de medida fi nita y f : E función acotada entonces

  ∗

E

fdµ =

∗E

→

R una

fdµ si y sólo si f es medible

si f es medible entonces

  ∗ E

fdµ =

fdµ = ∗E



E

fdµ

Demostración. Sean (sk )k ∈N , (rk )k ∈N sucesiones de funciones simples tales que

≤ s ≤ f ≤ r ≤ r k = 1,2, ···

sk

y

k +1

k +1

k

 ↑   ↓  ∗

sk

fdµ

∗E

E

rk

E

fdµ

E

Por qué existen dichas funciones? recurde que si s, r son funciones simples entonces max {s, k } y min {s, k } son funciones simples. Las funciones f∗ = supsk y f ∗ = infrk son medibles. Además como s k f ∗

≤ ≤

∗

≤ f ≤ r tenemos que f y f

f

∗

k

con µ (E) <

∞

∗

son integrables, pués son medibles y acotadas

, y vale

 ≤  ≤  ≤  sk dµ

f∗ dµ

f∗ dµ

E

E

46

rk dµ

E

3.4. LAS INTEGRALES DE RIEMANN Y DE LEBESGUE Concluyendo que

 ≤  ≤  ≤     fdµ

∗E

Supongamos ahora que f∗ − f∗

f∗ dµ

f dµ

E

∗E

∗

∗

fdµ.

E

fdµ =

E

E

fdµ . Entonces

≥ 0 tenemos por resultado anterior que f

∗

E

(f∗ − f∗ )dµ = 0 y como

− f∗ = 0 µ -casi todas partes.

Luego f∗ − f = 0 µ -casi todas partes y f es medible (por que?). Reciprocamente supongamos que f es medible (y acotada) y sea la sucesión (sk )k ∈N de funciones simples , no negativas, tales que s k

supx∈E |f(x)| entonces

 ↑     ≤   ∞   ≥   ↓    ≥ 

( f − f)dµ y por lo tanto

sk dµ

E

ya que

E

f − sk

E

|f| dµ

f µ (E) <

  

 

( f − sk )dµ

E

 ↓

fdµ

E

, nótese también que f − sk

 

∈ S(E) y que

f y f − sk f por lo tanto ∗

fdµ lo que implica que

( f −sk )dµ

E

f − f , con f =

↑  

E

E

De manera análoga se puede ver que



→

fdµ = lim k→ ∞

≤

fdµ E

probando que las tres integrales son iguales Proposición 3.4.2. Sea f : [a, b ]





∗E

  

( f −sk )dµ

E

 ≥

fdµ con lo que se estar´ía

R una función Riemann integrable entonces f

es medible y el valor de la integral de Riemann es igual al valor de la integral de Lebesgue. Demostración. Como el conjunto de funciones escalonadas en [ a, b ] está conte-

47

∗

fdµ

E

3.4. LAS INTEGRALES DE RIEMANN Y DE LEBESGUE nido en el conjunto S([a, b ]) tenemos

 b

   ≤ ≤ ≤

f(t)dt

fdµ

∗a

a

b

∗b

b

fdµ

fdt

a

a

y como f es Riemann integrable entonces las cuatro integrales son iguales y el resultado se sigue del teorema anterior. Una función f : [a, existe la integral, R

)

∞ → 

R es Riemann integrable ,integral impropia, si

k fdt a

, para cada k > 0 y existe lim k→ ∞R



k fdt a

.

Ejemplo 3.4.3. Puede existir la integral impropia de Riemann de una función y no obstante no existir la integral de Lebesgue. consideremos f : [0,

)

∞ →

Es sabido que l´ımx→∞ R

R tal que f (x) = sent si x = 0 y f(0) = 1. t

x sent dt o t

Ahora el valor de las integrales





existe. ∞ +

0

   ≥ f dt y

∞

0

f− dt es

de Lebesgue de f no existe. En efecto :



∞

0

f+ (t)dt =

  ∞

n=0

(2n+1)π

2nπ

sent dt t

∞

n=0

(2n+1)π

2nπ

∞

, con lo que la integral

1 sentdt = (2n + 1)π

 ∞

n=0

2 = (2n + 1)π

. De forma análoga se muestra para la otra integral. Definición 3.4.4. Una función f : [a, b ]

→

R se dice semicontinua inferiormente

(semicontinua superiormente) si para todo x c > f(x)) existe una vecindad V x

∈ [a, b ] y para todo c < f(x) ( de x tal que, para todo y ∈ V se tiene que x

c < f( y) (c > f( y)).

Note que el sup (inf) de una familia no vac ´ía de funciones semicontinua inferiormente (semicontinua superiormente) es semicontinua inferiormente (se48

∞

3.4. LAS INTEGRALES DE RIEMANN Y DE LEBESGUE micontinua superiormente) Proposición 3.4.5. Sea f : [a, b ]

→

R una función acotada.

f es Riemann integrable si y sólo si f es continua en µ -casi todas partes. Demostración. Sean (sk )k ∈N , (rk )k ∈N sucesiones de funciones escalonadas con

≤ s ≤ f ≤ r ≤ r

sk

k +1

k +1

k k = 1,2,

···

tales que R



b a

sk (x)dx

↑

b a

f(x)dx y R

Siendo ( t j−1 , t j ), j = 1, 2

 ↓

··· , n

b r dx a k

k

b a

f(x)dx.

los intervalos en los que sk (tk ) es constante ,

podemos suponer que k k lim k→ ∞ sup1≤ j≤nk (t j − t j−1 ) = 0

También podemos suponer que cada s k (tk ) es semicontinua inferiormente ( semicontinua superiormente) bastando para eso que en t jk sea igual al inf (sup) de los valores en los intervalos adyacentes y del valor f(t jk ). Tomando f∗ = supsk y f∗ = infrk tenemos

 ↑   ↓       b

R

b

f∗ dµ y R

sk (x)dx

[a,b ]

a

por lo tanto

[a,b ]

a

b

b

[a,b ]

a

f∗ dµ.

f∗ dµ y

f(x)dx =

a

Si suponemos que f es Riemann integrable entonces como tenemos f ∗

f∗ dµ

rk (x)dx

∗

≤ f ≤ f

[a,b ]

f∗ dµ =

[a,b ]

f∗ dµ y

se sigue que f ∗ = f = f∗ , µ -casi todas partes en

[a, b ] y por consiguiente f es semicontinua superiormente e inferiormente en µ -

casi todo punto de [a, b ] y por lo tanto continua en µ -casi todo punto en [ a, b ]. 49

3.5. EJERCICIOS Reciprocamente. Si f es continua en x podemos suponer que sk (x) rk (x)

↑

↑

f(x).

f(x) y

Por lo tanto si f es continua en µ -casi todas partes de [a, b ] tenemos que f∗ = f ∗ µ -casi todas partes y por consiguiente



f∗ dµ =

[a,b ]

entonces



b a

f(x)dx =



b a



f∗ dµ

[a,b ]

f(x)dx. y así f es Riemann integrable.

3.5. Ejercicios 1. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida y fk : X sucesión medibles tales que f k



fdµ con X

 ∞  →  ≤ 

se tiene que sugerencia:

fdµ <

X

A



X

haga B = A y B = A c

lim k →∞ fk dµ

3. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida y fk : X

→ ∞ ∈ ∞ → ∞ ∈

sucesión creciente de funciones medibles tales que muestre que existe f tal que fk y que



X

fdµ = lim k→ ∞

⊆ X

f dµ B k

sucesión decreciente de funciones medibles con f dµ = X k

f dµ X k

fdµ

fdµ liminf



], k

f en µ -casi todas partes y

2. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida y fk : X

que lim k →∞

[0,

. Muestre que para todo conjunto medible A

f dµ A k

B

→

N una

→ ∞ ∈ →

→ 

[0,

], k

f dµ X k

[0,

<

], k

f dµ X k

N una

muestre

N una

≤ M ∀k ∈ N

f en µ -casi todas partes , f es integrable

f dµ X k

4. De un ejemplo de una función f : [0, 1 ] 50

→

R que es Lebesgue integrable

3.5. EJERCICIOS y que no exista una función g integrable segun Riemann tal que f = g µ -casi todas partes

5. Sean ( X,M,µ ) un espacio de medida y f : X ble tal que

 ∞  ∞

muestre que µ ( {x X : f (x) =

fdµ <

X

6. Sean ( X,M,µ ) un espacio de medida y f : X dible tal que σ-finito

X

fdµ <

E



X

fdµ <

}) = 0

] una función me-

[0,

muestre que el conjunto {x X : f(x) > 0} es

∈

7. Sean ( X,M,µ ) un espacio de medida y f : X ble tal que

] una función medi-

[0,

→ ∞ ∞ ∈ → ∞

] una función medi-

[0,

→ ∞

muestre que para todo  > 0 existe un conjunto

∞   ∞ ≤

∈ M tal que µ (E) <

y

X

fdµ

E

fdµ + 

8. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida y f : X

[0,

] una función

→ ∞

medible tal que f es integrable muestre que µ ( {x X : | f(x)| 1 



X

|f| dµ <

∞

∈

≥ }) ≤

→

R tal que la función

(desigualdad de Chebyshev)

9. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida y f : X [a, b ]

×

∈ [a, b ], suponga también que para algún t ∈ [a, b ] f(x, t ) = lim → f(x, t), ∀x ∈ X y que existe una función g integrable tal que |f(x, t)| ≤ g (x). Muestre que f(x, t )dµ = x

→

f(x, t) es medible para cada t 0

lim t→t0

0



X

t

t0



f(x, t)dµ

10. Sean ( X,M,µ ) un espacio de medida y f : X ción x

→

función t

f(x, t) es medible para cada t

→

× [a, b ]

→

0

X

R tal que la fun-

∈ [a, b ], suponga también que la

f(t, x) es continua en [ a, b ] y que existe una función g inte-

grable tal que |f(x, t)|

≤ g(x). Muestre que la función F(t) =

es continua 51



X

f(x, t)dµ

3.5. EJERCICIOS 11. Sean −

∞

∞

≤

y f : [a, b ]

muestre que f es integrable y

da de Lebesgue

[0,

] tales que lim x→b R

∞ → ∞

fdµ = lim x→b R [a,b ]

52



x a



x a

f(t)dt <

f(t)dt . µ medi-

CAPÍTULO 4

Medida producto

4.1. Definición de álgebra Definición 4.1.1. Sean X un conjunto no vacío y A

⊆ P(X) decimos que A es

una álgebra si: i φ

∈A

ii Si E

∈ A entonces X − E ∈ A

iii Si E1 ,...,E n

∈ A entonces

Una función µ : A i µ (φ) = 0

[0,



n i=1

∈ A

Ei

] es una medida en A si

→ ∞

ii Si {Ei }∞ i=1 es una familia disyunta en A tal que ∞ µ (A )



i=1

i

53



∈ A entonces µ (

Ei

∞ A)= i i=1



4.1. DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA Definición 4.1.2. Sean A una álgebra en X y µ una medida en A la función µ ∗ : P (X)

tal que dado B

⊆ X



µ ∗ (B) = ´ınf

∞

[0,

]

→ ∞

∈ A, ∀i ∈ N y B

µ (Ai ) : Ai

i=1

 ⊆

i∈N

Ai



es llamada medida exterior generada por µ . De la misma manera como en el cápitulo 2 , medida exterior de Lebesgue, podemos mostrar. Proposición 4.1.3. µ ∗ es una medida exterior en P(X). Demostración. Por la de finición es claro que µ ∗ ( ) = 0, ahora por las propieda-

des del ´ínfimo se tiene que si E, F

∅

∗

∗

⊆ X con E ⊆ F entonces µ (E) ≤ µ (F).

Restaría mostrar que dada ( Ek )k ∈N una secuencia de subconjuntos de X tenemos que ∗

∪

µ ( ∞ k =1 Ek ) ∗

Si para algún k

∈ N µ (E ) =

infinito.

∞

µ ∗ (Ek ).

k =1

∞

k

 ≤

tenemos igualdad , pues ambos lados serían

Supongamos entonces que µ ∗ (Ek ) <

N.

∞∀ ∈ ∈   ⊆ ≤ k

Dado  > 0 y para cada k N escojamos ( Ak m )m ∈N una sucesión en A tal que Ek

∞

m =1

Ak m

y

∞

µ (Ak m )

m =1

54

µ ∗ (Ek ) +

 2k

4.1. DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA luego µ ∗ ( ∞ k =1 Ek )

∪

≤



∞ µ (Ak ) m m =1

∞

k =1

≤



∞ (µ ∗(E ) +  ) = k n=1 2k

Definición 4.1.4. A = { A P (X) : A es µ ∗ − medible}.

∗

∈



∞ µ ∗ (E ) +  k n=1

Observación 4.1.5. Dado E A entonces µ (E) = µ ∗ (E); en efecto:

∈

por la definición se tiene que µ ∗ (E)

≤ µ (E), ahora dado {E } cubrimeinto de E por elementos de A tenemos que E = ∪ E ∩ E luego µ (E) ≤ µ (E ∩ E) ≤ µ (E ); y por lo tanto µ (E) ≤ µ (E). n n∈N

n∈N



n∈N



n

n∈N

∗

n

n

Teorema 4.1.6. (X, A , µ ∗ ) es un espacio de medida , µ ∗ es una medida completa y A

∗

⊆ A∗.

Demostración. Veamos inicialmente que A es una σ -álgebra; para esto mostre-

∗

mos que:

i φ A

∈ ∗

ii si A A entonces X − A A

∈ ∗

∈ ∗

iii Si E, F A entonces E

∈ ∗

∩ F ∈ A∗

Como E es µ ∗ -medible entonces para cada A µ ∗ (A

∗

⊆ X tenemos ∗

∩ F) = µ (A ∩ F ∩ E) + µ (A ∩ F − E)

Dado que F es µ ∗ -medible tenemos µ ∗ (A) = µ ∗ (A

55

∗

∩ F) + µ (A − F)

4.1. DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA como también µ ∗ (A−(E F)) = µ ∗ ((A−(E F)) F)+µ ∗ ((A−(E F))−F) = µ ∗ ((A F)−E)+µ ∗ (A−F).

∩

∩ ∩

∩

∩

De lo anterior concluimos

µ ∗ (A) = µ ∗ (A

∗

∩ F ∩ E) + µ (A ∩ F − E) ∗

iv Si E, F A con E

∗

∗

∩ F = ∅ entonces µ (E ∪ F) = µ (E) + µ (F) Sabemos que E, F ∈ A∗ luego ∈ ∗

µ ∗ (A (E F)) = µ ∗ ((A (E F)) F)+µ ∗ ((A (E F))−F) = µ ∗ (A E)+µ ∗ (A F)

∩ ∪

∩ ∪ ∩

∩ ∪

∩

∩

Tomando A = X obtenemos lo deseado. v Dados A1 , A2 ,...,An A entonces

∈ ∗

Basta observar que

n i=1





n i=1

Ai = X −

∈ A∗

Ai

n i=n (X − A i )



y por lo tanto como

consecuencia de los numerales 2, 3 tenemos que X −

n i=n (X



− Ai )

∈ A∗

∞ vi Sea {Ei }i∈N familia disjunta, dos a dos, en A entonces ∞ A , µ ∗ ( i=1 Ei ) = i=1 Ei ∞ µ ∗ (E )



i=1

∗



∗

si E

i

∈ ∗

Si A, B A entonces

∈ ∗

µ ∗ (A

∗

∩ (E ∪ F)) = µ (A ∩ E) + µ (A ∩ F)

. Definamos Fn =

n i=1



Ei .

56

∩ F = φ (∗)



4.1. DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA Veamos que para A

⊆ X

∗

µ (A)

    ∩

∗

≥ µ

A−

n

=

i=1 n

µ ∗ (A)

≥

∞ E) i=1 i



+ µ

∞

A

Ei

i=1

∗

∗

∩ F ) + µ (A − F ) pués F es µ -medible µ (A ∩ E ) + µ (A − F ) de ( ∗) n

∗

n

∗

µ (A

n

∗

i

i=1

haciendo n

Ei

∗

i=1

µ ∗ (A) = µ ∗ (A

  ≥ →∞ 

∞

∗

∩ E ) + µ i

n

  A−

∞

Fi

∞ µ ∗ (A E )+ µ ∗ (A − ∞ F ) i i=1 i=1 i



∩

∗

≥ µ (A −



∞ E )+ µ ∗ (A i=1 i

∗

∈ A veamos que B es µ -medible. Sea A ⊆ X y veamos que µ (A) ≥ µ (A ∩ B) + µ (A − B) Dado ε > 0 existe {A } , A ∈ A cubrimiento de A tal que ∗

i i∈N

∗

∗

µ (Ai )

≤ µ (A) + ε

i

 ∞

i=1

Entonces ∗



∞ A ;y A i i=1

µ (A

(4.3)

i=1

⊆ A∗

Dado B

⊆

(4.2)

tenemos

Mostremos ahora que A

Como A

(4.1)

∩ B)

∩B⊆

 ≤ ∞

i=1

∗



µ (Ai

∗

∞ (A i i=1

∩ B),

∩ B), A − B ⊆ ∗

µ (A − B)

57



 ≤

∞ (A − B) i i=1

µ ∗ (Ai − B)

∩

4.1. DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA ∗

µ (A

∗

∩ B) + µ (A − B)

 ≤ ∞

µ ∗ (Ai )

i=1

∗

≤ µ (A) + ε

La completez de µ ∗ se sigue directamente de las observaciones del capítulo 2

Teorema 4.1.7. Si A es un álgebra y µ una medida σ - fi nita en A entonces la ex- tensión, µ ∗ , de µ a A es única

∗

Demostración. Sea ν otra extensión de µ a A

Inicialmnete suponemos que µ (X) <

∞

∗

.

Sea B A y {Ai }i∈N una familia de conjuntos en A tal que B

∈ ∗

Luego ν(B)

 ≤ ∞

ν(Ai ) =

i=1

de donde ν(B)

 ∞

⊆



∞ A. i i=n

µ (Ai )

i=1

∗

≤ µ (B)

Ahora µ ∗ (X − B) + µ ∗ (B) = µ ∗ (X) = µ (X) <

y ν(X − B) + ν(B) = ν (X) = µ (X) <

Luego µ ∗ (B) = ν (B)

∞ ∞

Miremos ahora el caso en que µ es una medida σ-finita; esto es, existe una familia de conjuntos ( F ) en A tal que X = ∞ F , µ (F ) < . i i∈N

Podemos suponer también que Fi



i=1

i

⊆ F ∀i ∈ N i+1

Luego

58

i

∞

4.2. ALGUNAS PROPIEDADES

µ ∗ (B) = =

l´ım µ ∗ (B n→∞

∩F) l´ım ν(B ∩ F ) →∞

(4.4)

(4.5)

i

i

n

= ν(B)

(4.6)

4.2. Algunas propiedades Sean (X, M1 , µ ), (Y, M2 , ϕ) espacios de medida. Definimos el rectángulo R = A

× B, A ∈ M , B ∈ M 1

y M = M1

⊗ M

2

2

la σ -álgebra generada por el

conjunto de rectángulos. Nuestro objetivo es de finir una medida Π en M tal que Π(A

× B) = µ (A)ϕ(B)

con A M 1 , B M2 .

∈

∈

Consideremos





k

Z =

Ri : k

i=1

∈ N, R es un rectángulo para cada i

i = 1,2, ..., k

Note que en la de finición de Z podemos escoger los rectángulos disjuntos dos a dos pués dados A 1 , A2

⊆ X y B , B ⊆ Y tenemos que

× ∪ ×

1

2

× ∪

∩ × ∪

∪

×

(A1 B1 ) (A2 B2 ) = [(A1 −A2 ) B1 ] [(A1 A2 ) (B1 B2 )] [(A2 −A1 ) B2 ]

La afirmación se sigue por un argumento inductivo. 59

4.2. ALGUNAS PROPIEDADES Proposición 4.2.1. Z

⊆ P (X × Y ) es un álgebra Demostración. Es claro que ∅ ∈ Z además dados R , ··· , R ∈ Z entonces ∪ R ∈ Z . Resta probar que dado R ∈ Z entonces X × Y − R ∈ Z, lo que es consecuencia 1

n

n i=1 i

de la siguiente propiedad : Dados A1 , A2

⊆ X y B , B ⊆ Y tenemos

(A1

1

2

× B ) − (A × B ) = [(A ∩ A ) × (B − B )] ∪ [(A − A ) × B ] 1

2

2

Definición 4.2.2. Dado R =

1

n i=1 Ai

∪

2

×B

i

1

2

con Ai

×B

i

1

2

1

··· , n rectángulos

i = 1,

disjuntos dos a dos. Definimos Π(R) =



n i=1

µ (Ai ).ϕ(Bi )

Proposición 4.2.3. Π es una medida en Z Demostración. Mostremos inicialmente que si A

× B

(Ai

×B)

i i∈N

familia disjunta dos dos entonces XA×B (x, y) = X A (x).XB ( y) =

 ∞

=

∞ (A i i=1



× B ) , con

XAn (x)XBn ( y)

n=1

Usando el Teorema de la convergencia monotona dos veces tenemos µ (A)ϕ(B) =

  ∞

µ (An )ϕ(Bn )

n=1

Π(A

× B) =

∞

n=1

60

Π(An

× B ). n

i

4.2. ALGUNAS PROPIEDADES

Consideremos una familia {En }n∈N de elementos de Z disjunta dos a dos y tal que

∪

∈ Z . Como cada E es union fi nita de rectángulos, dos a dos disjunta, se

i∈N Ei

i

obtiene el resultado por la consideración ya probada Por Teorema de la sección anterior existe una extensión de Π a la σ -álgebra Z∗ que continuaremos denotando por Π; además si suponemos que µ, ϕ son σ-finitas entonces la extensión es única. Nótese que M

Definición 4.2.4. Dado E

Dada f : X

× Y

f(x, y)

→

∗

⊆ X × Y definimos Ex = { y

∈ Y : (x, y) ∈ E}

E y = { x

∈ X : (x, y) ∈ E}

K de finimos f x : Y

Proposición 4.2.5.

⊆ Z

Si E

f(x, y), f y : Y

→ → K:y

→ → K:x

y

∈ M entonces E ∈ M , ∀x ∈ X y E ∈ M , ∀ y ∈ x

2

1

Y

× Y

Sea f : X

→

K, K espacio Topológico. Si f es M- medible entonces

fx es M2 − medible y f y es M 1 − medible Demostración. Para mostrar la primera parte veamos que Ω = {E

⊆ M ⊗ M

∀ ∈ X)(E ∈ M )} es una σ-álgebra y que M ⊆ Ω

( x

x

2

61

1

2

:

4.2. ALGUNAS PROPIEDADES Dado R = A

× B, A ∈ M , B ∈ M 1

Rx =

luego R Ω

∈

2

 

B si x

∈ A, si x ∈ / A.

φ

Para ver que Ω es una σ-álgebra mostremos que: X

× Y ∈ Ω

Si E Ω entonces

∈

(Ec )x = (Ex )c pués

y

c

∈ (E )

x

y por lo tanto (Ec )x M 2

∈

Si E =

∞ E entonces E = x i=1 i





⇔ ⇔ ⇔

∈ E / E (x, y) ∈ y ∈ ( E ) (x, y)

x

c

(4.7)

c

(4.8) (4.9)

∞ (E ) M i x 2 i=1

∈

Mostremos la segunda parte del enunciado si fx : Y

→ → K : y

fx ( y) = f (x, y)

y U un abierto en K entonces f−x 1 (U) = (f−1 (U))x M 2 Es importante mencionar que la inclusión M

∈

∗

⊆ Z

puede ser propia; pués

Z∗ es completa en tanto que M puede no serlo.

si existe un conjunto B no medible en M 1 entonces escogiendo un conjunto C 62

4.3. TEOREMA DE FUBINI en M2 con medida nula tenemos que B

× C ⊆ X × C con Π(X × C) = 0. Luego B × C ∈ Z , pero por el resultado anterior B × C ∈ / M . ∗

4.3. Teorema de Fubini Definición 4.3.1. Dado X un conjunto no vacío ,un conjunto no vacío C

⊆ P (X)

es una clase monotona si Si dada ( Ai)i∈N una familia en C y A1

⊆ A ⊆ ... entonces

si dada (Ai)i∈N una familia en C y A1



i∈N

2

⊇

A2

⊇

A3



⊇

i∈N

∈ C

Ai

... entonces

∈ C

Ai

Observación 4.3.2. Si A es una familia de conjuntos, CA = {C : C es clase monótona C



C∈F

C donde F =

⊇ A} es la menor clase monotona conteniendo A y

será llamada clase monotona generada por A Lema 4.3.3. Si A es un álgebra, entonces CA = M A ( σ-álgebra generada por A) Demostración. Dado que una σ-álgebra es una clase monotona tenemos que

CA

⊆M

A

, para mostrar la otra inclusión probemos que CA es una σ- álge-

bra, lo que se obtiene si conseguimos mostrar que CA es un álgebra. Definamos CA (E) = { F

∈ C

A : F

−E

∈ C

A,

E−F

∈ C

Observe que: CA (E) es una clase monotona para todo E

63

⊆ X

A,

E

∩ F ∈ C

A}

4.3. TEOREMA DE FUBINI E

∈ C

E

∈ A

A (F)

⇒

⇔∈ F

A

⊆ C

C A (E)

A (E)

CA = CA (E) para cada E

∈

A, por ser CA la menor clase monotona

conteniendo A. CA (F) = C A ,

∀F ∈ C

A

Así concluimos que CA es una álgebra. Lema 4.3.4. Sean (X, M1 , µ ), (Y, M2 , ϕ) espacios de medida σ- fi nitos. Si E

∈ M entonces las funciones f(x) = ϕ (Ex ), g( y) = µ (E y )

son M1 y M2 medibles, respectivamente, y Π(E) = Demostración. Supongamos inicialmente que Π(X



f(x)dµ = X

× Y ) <

Definamos H = { E

∞

y



g( y)dϕ

Y

∈ M : f(x) = E es M −medible , g( y) = µ (E ) es M −medible y Π(E) = x

1

2



f(x)dµ =

X

Ahora si E = A B con A M 1 y B M2 entonces f(x) = E x = ϕ (B) χA (x) y g ( y) =

×

E y

∈ ∈ = µ (A) χ ( y) luego E ∈ H, por lo tanto Z ⊆ H. B

Mostremos que H es una clase monótona, con lo que probariamos que H = M. Si A 1

⊆ A ⊆ A ⊆ ... con A ∈ H, ∀i ∈ N entonces 2

3

i

hacemos fn (x) = ϕ (AnX ) tenemos que f1

≤ f ≤ ... y f (x) 2

n

→

∪

ϕ((



i∈N

Ai

∈ H, ya que si

i∈N Ai )x )

el resultado se sigue al aplicar el Teorema de la convergencia monotona. 64



g(

Y

4.3. TEOREMA DE FUBINI Si A1

⊇ A ⊇ A ⊇ ... con A ∈ H, ∀i ∈ N entonces tomando las mismas 2

3

i

funciones como en el caso anterior y usando el Teorema de la convergencia dominada tenemos que

∩

∈ H .

i∈N Ai

En el caso en que Π(X

tomamos una secuencia creciente (Zk )k ∈N

× Y ) =

∞ ∞ ∀ ∈

de rectángulos tal que Π(Zi ) <

, i

N y

∪

i∈N Zi

= X

× Y . Aplicamos el

resultado anterior a los conjuntos E Zi y usamos el Teorema de la convergencia

∩

monotona para obtener el resultado. Teorema 4.3.5 (Teorema 4.3.5 (Teorema de Tonelli). Tonelli) . Sean (X, M1 , µ ), (Y, M2 , ϕ) espacios de me-

×

dida σ- fi nitos nitos y F : X Y

[0,

] una función M-medible. Entonces las funciones

→ ∞ 

f(x) =



F y dµ

Fx dϕ, g( y) =

Y

X

son M1 y M M2 medibles, respectivamente, y vale

   = fdµ =

X

gdϕ =

X×Y

Y

Demostración. Vale para χE , E

∈ M

y por lo tanto vale para funciones simples. simples.

Dada F no negativa M- medible, existen S1 funciones simples tal que Sn Haciendo

→  → → fn (x) = f, gn

≤S ≤ 2

...

≤S

n

sucesión de

F .

(Sn )x dϕ,

Y

tenemos que fn

FdΠ

gn ( y) =



(Sn ) y dµ

X

Teorema de la convergencia monotona) g (por Teorema

El resultado se obtiene integrando. Teorema 4.3.6 (Teore 4.3.6 (Teorema ma de Fubini). Fubini). Sean ( X, M1 , µ ), (Y, M2 , ϕ) espacios de medida σ σ- fi nitos nitos y F F : X

× Y

[−

, ] una función integrable entonces las funcio-

→ ∞∞

65

4.4. EJERCICIOS nes





 



f(x) =

F y dµ

Fx dϕ, g( y) =

Y

X

son integrables y además

= fdµ =

X

FdΠ =

X×Y

gdϕ

Y

Demostración. Basta aplicar el teorema de Tonelli a F + , F− .

4.4. 4.4. Ejer Ejerci cici cios os 1. Sea E B R , σ-álgebra de Borel. Muestre que { (x, y) R 2 : x + y E } y

∈ ∈ {(x, y) ∈ R .x − y ∈ E } son elementos de B ⊗ B n

R

∈

R

2. Sean ( X, M) un espacio medible , α, β

∈ R y E ∈ M ⊗ B . Muestre que {(x, t) ∈ X × R : (x,αt + β) ∈ E } ∈ M ⊗ B R

R

3. Sean (X, M) un espacio medible y f : X {(x, t)

∈ X × R : f(x) = t} ∈ M ⊗ B

R

→

R medible . Muestre que

4. Sean f integrable en ( X, M1 , µ ) , g integrable en ( Y, M2 , υ) y ϕ (x, y) = f(x)g( y), x M2 , Π) y



∈ X , y ∈ Y . Muestre que ϕ es integrable en (X × Y, M ⊗ 1

 

ϕ(x, y)dΠ = (

X×Y

X

fµ ))(( Y gdυ)

5. Sean ( X,M,µ ) un espacio de medida , f : X X

× [0,

] : 0

∞

≤ t ≤ f(x)} muestre que

f es medible si y sólo si ωf

Si f es medible entonces



∈ M ⊗ B

X

] y ω f = {(x, t)

∈

∞ , B[0,∞ ] σ-álgebra de Borel

[0, ]

= Π (ωf ) fdµ =

66

[0,

→ ∞

4.4. EJERCICIOS 6. Sean ( X, M1 , µ ) y ( Y, M2 , ϑ) espacios de medida σ -finitos.Muestre que si E, F

∈ M ⊗ M 1

2

ϑ(Ex ) = ϑ (Fx ),

∀x ∈ X entonces Π(E) = Π(F)

67

CAPÍTULO 5

Espacios L p

5.1. Definición Definición 5.1.1. Una función ϕ : (a, b) (a, b) y t

→

R se dice convexa si dados x, y

∈

∈ [0, 1 ] ϕ(tx + (1 − t) y) ≤ tϕ(x) + ( 1 − t)ϕ( y). Una función es convexa si el grá fico de ϕ , { (t, ϕ(t)) : x ≤ t ≤ y}, está por

debajo del segmento de recta comprendido entre ( x, ϕ(x)) y ( y, ϕ( y)). Proposición 5.1.2. ϕ : (a, b)

→

R es convexa si y sólo si para todo c

ϕc : (a, b) − {c} x

es creciente.

→ →

R

ϕ(x) − ϕ(c) x−c

∈ (a, b)

(5.1)

Demostración. Sea t1 < t2 y veamos que ϕc (t1 ) < ϕc (t2 ), si ϕ es convexa.

Hay que considerar tres casos: t1 < c < t2 , t1 < t2 < c y c < t1 < t2 . 68

(5.2)

5.1. DEFINICIÓN Miremos el primer caso, los otros se tratan de manera análoga . Como t2 − t 1 = (c − t 1 ) + (t2 − c), tenemos que

         ≤     c −t1 t2 −t1

t2 −c t2 −t1

t2 +

c −t1 t2 −t1

ϕ(c)

t 2 −c t2 −t1

c−t1 t2 −t1

+

t2 −c t2 −t1

= 1 y que

t1 = c . Como ϕ es convexa,

ϕ(t2 )+

t2 −c t2 −t1

ϕ(t1 ), luego

ϕ(t1 ), de donde tenemos que

c−t1 t2 −t1

c−t1 t2 −t1

+

t2 − c t2 −t1



  ≤   c−t1 t2 −t1

ϕ(c)

(ϕ(t2 )− ϕ(c))+

t2 −c t2 −t1

ϕ(t2 )+

(ϕ(t1 )−

≥ 0, por lo que (c − t )(ϕ(t ) − ϕ(c)) ≥ ( t − c)(ϕ(c) − ϕ(t )), luego ≤ . Reciprocamente sean x, y ∈ ( a, b). Sin pérdida de generalidad podemos asumir que x < y. Si t ∈ ( 0, 1), x < tx + (1 − t) y < y. Por hipótesis tenemos que ≤ . ϕ(c))

1

ϕ(t1 )−ϕ(c) t1 −c

2

2

1

ϕ(t2 )−ϕ(c) t 2 −c

ϕ(tx+(1−t) y)−ϕ(x) tx+(1−t) y−x

ϕ( y)−ϕ(tx+(1+t) y) y−tx−(1−t) y

esto es ϕ(tx+(1−t) y)−ϕ(x) (1−t)( y−x)

≤

ϕ( y)−ϕ(tx+(1+t) y) . t( y−x)

Luego t[ϕ(tx + (1 − t) y) − ϕ(x)]

≤ (1 − t)ϕ( y) − (1 − t)ϕ(tx + (1 − t) y)

y por lo tanto ϕ(tx + (1 − t) y)

≤ tϕ(x) + ( 1 − t)ϕ( y).

Observación 5.1.3. Si ϕ : (a, b) sólo si ϕ es creciente.



→

R es diferenciable, entonces ϕ es convexa si

Proposición 5.1.4 (Desigualdad de Jensen). Sea ( X,M,µ ) un espacio de medida tal que µ (X) = 1 ( espacio de probabilidad ). Si f : X (a, b) para todo x



X

∈ X, y si ϕ : (a, b)

◦

( ϕ f)dµ

Demostración. Sea t :=



X

→

→

R es convexa entonces ϕ

  X

fdµ . Obsérvese que a < t < b. Siendo s, u tales que

a < s < t < u < b y puesto que ϕ es convexa, tenemos que H(s) = ϕ( u )−ϕ(t) u −t

∈ fdµ ≤

R es medible , f(x)

ϕ(t)−ϕ(s) t−s

≤

= H ( u ) (tomando c := t ). De esto tenemos que existe β := sup {H(s) :

69

5.1. DEFINICIÓN a < s < t} y α := ´ınf {H(s) : t < s < b}. Así, β( u − t) ϕ( u )

≤ ϕ( u ) − ϕ(t), es decir,

≥ β( u − t) + ϕ(t) si t ≤ u .

Análogamente tenemos que ϕ(s)

≥ β(s − t) + ϕ(t) si s ≤ t.

Así, ϕ(s)

≥ β(s − t) + ϕ(t) para todo s ∈ (a, b).

Haciendo s := f(x) ( x X), ϕ(f(x))

∈

≥ β(f(x) − t) + ϕ(t).

Integrando sobre X, tenemos que



X

≥

ϕ(f)dµ β

0 y t :=



X



[ f(x)− t ]dµ + ϕ(t) = ϕ X

fdµ ).

  X

fdµ (ya que

Definición 5.1.5. Sean (X,M,µ ) un espacios de medida y 1 Ł p (X,M,µ ) = { f : X



→

C : f es medible y



X

|f| p dµ <

∞



X

[ f(x)− t ]dµ =

≤ p <

}

En Ł p (X,M,µ ) de finimos la siguiente relación f ∼ g

⇔

∞

definimos

f = g en µ -casi

todas partes de X , no es difíl ver que que ésta relación es de equivalencia. Definición 5.1.6. L p (X,M,µ ) = Ł p (X,M,µ )/ ∼ . 1 < p <

∞

los elementos

de L p (X,M,µ ) son clases de equivalencia , los representantes de esas clases los notaremos simplemente por las letras f, g, h Proposición 5.1.7. L p (X,M,µ ) 1 Demostración. Dados f

p

∈ L

≤ p <

∞

es un espacio vectorial.

se tiene que c C cf L p .

Si usamos que la función t p , 1

∀ ∈

≤ p <

∞

(λx + ( 1 − λ) y) p

∈

, t > 0 es convexa entonces p

≤ λx

70

+ (1 − λ) y p

5.1. DEFINICIÓN p

 ≤ x + y 2

1 Si λ = , 2

x p + y p Así dadas f, g 2

Proposición 5.1.8. La función .





|f| p dµ X

 

1/p

1

≤ p <

 

Demostración. f

p

∞

p

p

∈ L

: L p (X,M,µ )

, f + g L p

∈

→ ∞ →   [0,

. es una norma.

) : f

= 0 si y sólo si f(x) = 0 en µ -casi todo x

f

p

=

∈ X, es decir f

pertenece a la clase de la función nula, esto es f = 0 en L p . Dados f L p y λ C tenemos que λf p = | λ| f

∈

∈

 



p

En el caso p = 1 la desigualdad triangular es una consecuencia de la desigualdad triangular en C. Para los casos 1 < p < resultados previos Definición 5.1.9. Sea 1 < p <

∞

1

∞

es necesario mostrar algunos

, q es el exponente conjugado de p si

1 1 + = p q

Proposición 5.1.10 (Hölder). Sean p, q exponentes conjugados. Si f L p (X,M,µ ) yg

∈

Lq (X,M,µ ) entonces

f.g

1

∈ L (X,M,µ ) y



      ≤ 1/p

|fg|dµ

X

p

|f| dµ

X

Como ex es convexa etx+(1−t) y

≤ te

x

+ ( 1 − t)e y

etx e(1−t) y

≤ te

x

+ ( 1 − t)e y

Para α > 0 y β > 0 t =

1 1 , 1 − t = p q

71

q

|g| dµ

.

X

1/q

.

∈

5.1. DEFINICIÓN x = ln α y = ln β

Hagamos θ = α 1/p , δ = β 1/q luego δθ

≤ p1 θ

p

+

1 q δ (*) q

∀ δ, θ ∈ [0,

∞

)

Si alguna de las funciones f o g es la función nula el resulatdo se tiene.Supongamos pués que f

  = 0 p

y g

  = 0 q

Usando (*) tenemos |f|

1 |f| p 1 |g|q + p f p q g qq p

|g|

f g ≤   p

q



Integrando tenemos que

f g





≤ f g

1 p

q

|fg|dµ

X

≤

|fg|dµ 1

p

q

Proposición 5.1.11 (Desigualdad de Minkowsky). Sean f, g L p (X,M,µ ) (1 <

∈

p <

∞

) entonces

f + g ≤ f + g p

p

p

Demostración.

|f + g| p = | f + g||f + g| p−1 p−1

≤ |f||f + g|

72

+ |g||f + g| p−1

5.1. DEFINICIÓN Usando Hölder,



p

≤   + g )

|f + g| dµ ( f

X

Si Si



X



X

p

p

 

 

p−1 q

|f + g|

X

1/q

dµ

|f + g|q dµ = 0 el resultado se tiene .

|f + g|q dµ = 0 entonces f + g





 ≤ f + g p

p

p

Definición 5.1.12. Sean ( X,M,µ ) espacio de medida, f : X

[0,

] medible. f

→ ∞ ∞ ∞ 

es esencialmente acotada si existe α > 0 tal que µ (f−1 ((α, ])) = 0 (|f(x)| α en µ -casi todo x

∈ X).



≤

Definición 5.1.13. Sea β = ´ınf A donde A = α : µ (f−1 (α, + ])) = 0 , β =

∞

en el caso en que A = .

∅

β es denominado supremo esencial de f.

Ahora β A pués

∈

f−1 (β, + ] =

Es decir |f(x)|

∞

∞

  f−1

n=1

1 β+ , n

 ∞

≤ β para µ -casi todo x ∈ X Además si |f(x)| ≤ λ para µ -casi todo x ∈ X entonces β ≤ λ Definición 5.1.14. Ł˜ ∞ (X,M,µ ) = { f : X

→

C : f es medible y |f| es esencialmente acotada }

Como en el caso anterior de finimos en Ł∞ la siguiente relación de equivalencia f ∼ g si y sólo si f = g en µ − casi todas partes

73

5.1. DEFINICIÓN y se define Ł∞ (X,M,µ )/∼ = L ∞ (X,M,µ ) Proposición 5.1.15. Dado ( X,M,µ ) espacio de medida entonces L ∞ (X,M,µ ) es

 

un espacio vectorial, además la función f ∞ : L∞ (X,M,µ )

f∞ = supremo esencial de |f| es una norma

[0,

→ ∞

) donde

Demostración. Veamos la desigualdad triangular

si f, g L ∞ (µ ) entonces f + g ∞

∈



 ≤ f∞ + g∞ (Minkowski)

Existen E1 , E2 M tales que µ (E1 ) = µ (E2 ) = 0

∈

f(x) = f∞, ∀x ∈ X − E

1

g(x) = g∞, ∀x ∈ X − E

2

Luego |f(x) + g(x)|

≤ f∞ + g∞, ∀x ∈ X − (E ∪ E ) y µ (E ∪ E ) = 0 1

2

1

2

Asi

f + g∞ ≤ f∞ + g∞ Definición 5.1.16. El exponente conjugado de 1 es Proposición 5.1.17 (Hölder). Sea ( X,M,µ ) si f fg

1

∈ L (µ ). 74

∞ 1

∈ L (µ ) y g ∈ L∞(µ ) entonces

5.2. COMPLETEZ DE LOS ESPACIOS LP

 X

 ∞ 

|fg|dµ < g ∞

|f|dµ <

X

Observación 5.1.18. Sea (X,M,µ ) un espacio de medida. Si µ (X) < L p (µ )

r

⊂ L (µ ), 1 ≤ r ≤ p ≤ Sea 1 ≤ r < p < . Si f ∈ L (X) entonces

∞ ∞  ≤  

∞

entonces

p

r

p

|f| dµ

|f| dµ

X

Si p =

∞

r/p

r

.(µ (x))1− p <

∞

X

el resultado es inmediato.

5.2. Completez de los espacios L p Proposición 5.2.1. Si (X,M,µ ) es un espacio de medida entonces L p (µ ) para 1Ł eqpŁ eq

∞

es espacio vectorial normado y completo.

Demostración. Mostremos inicialmente que L p (µ ) es completo para 1

≤ p <

∞

.

Si (fn )n∈N es una sucesión de Cauchy en L p (µ ) entonces existe ( fni )i∈N tal que

f

ni +1 −

fni



<

p

1 2

1 para i = 1, 2,... 2i

En efecto, para  = , existe n1

∈ N tal que si m ≥ n entonces 1

f − f  < 21 de igual forma vemos que para  = 21 existe 1 n ∈ N, n > n tal que si m ≥ n entonces f − f  < razonando 2 n1

m p

i

i

i−1

i

i

ni

por inducción se garantiza la existencia de 1 2i k i=1 |fni +1 − fni | y g =

(ni )i∈N tal que |fni +1 − fni | p <

Sea gk =





∞ |f − f | ni i=1 ni +1

75

m p

i

5.2. COMPLETEZ DE LOS ESPACIOS LP gk L p (µ ) y



∈

g Łeq1 ; pués usando el lema de Fatou tenemos que p

Łiminf|gk | p dµ ŁeqŁiminf X



X

|gk | p dµ Łeq1.

textŁuego, existe E M µ (E) = 0 tal que g(x) <

∈

Por lo tanto

  

fn1 +

∞

∞∀ ∈ x

∀ ∈ X − E.

fni +1 − fni es convergente x

i=1

Definamos f =

X − E.(por qué?)

Łim i→∞ fni

si x / E ,

0

f es medible. Note que f nk = fn1 +

para cada x / E

∈

∈ si x ∈ E .



k −1 i=1 (fni +1 − f ni )

Veamos que f L p (µ ) y además que fn

∈

Dado ε > 0 N

→

y lim i→∞fni (x) = f(x)

f en L p (µ )

∃ ∈ N tal que si n, m ≥ N f − f  En particular i, m > N, f − f  Łeqε . ni

p m p

Usando el lema de Fatou tenemos que Luego

n

m p

<ε

p



p

|f − fn | dµ Łeqliminf X



p

X

|fni − fm | dµ Łeqε p .

f − f  < ε , m ≥ N m p

Es decir, f − fm L p si m N

∈

≥

y por tanto f L p

∈

y además fn

→

f en L p (µ ).

Para el caso p =

Bm,n = { x

∞

∈ X : |f

Si (fn )n∈N es una sucesión de Cauchy en L∞ (µ ) definamos Ek = { x

m (x) −

∈ X : |f (x)| > f ∞} k



k



fn (x)| > fm − fn ∞ }.

76

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ ) Así en X − (



k,m,n (Ek

∪B

m,n ))

existe una función acotada f˜ tal que fn

uniformemente y µ (A) = 0 donde A = Definamos

  →

f =

f es medible; f

∈ L∞(µ ) y f

n



k,m,n (Ek

.

∪B

m,n )

f˜

si x X − A,

0

si

→

f˜

∈ x ∈ A .

f en L∞ (µ )

5.3. Algunos conjuntos densos en L p(µ ) Proposición 5.3.1. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida. El conjunto S = {s : X 1

→



C : s es una función simple y µ ( {x : s(x) = 0}) <

≤ p <

∞

.

Demostración. Note que S

p

} es denso en L p (µ )

∞

p

⊆ L (µ ), dada f ∈ L (µ ) ,suponemos inicialmente que tal que 0 ≤ ϕ ≤ f, así ϕ ∈ L (µ ) y por lo tanto ϕ ∈ S . p

≥ 0, existe (ϕ ) Como | f − ϕ | ≤ ( 2f) el Teorema de la convergencia dominada garantiza que f − ϕ  0, cuando j . f

j j∈N

j

j p

→

p

j

j

j

p

→∞

En el caso real , f = f+ − f− , se aplica el resultado ya probado a f+ y a f− . Para el caso complejo escribimos f = Real(f) + iIm (f) y usamos el resultado anterior Definición 5.3.2. Sean X espacio topológico y f : X

→

C una función. El soporte

de f ,denotado por suppf, es la adherencia del conjunto {x X : f(x) = 0 }.

∈



El conjunto de funciones continuas sobre X con soporte compacto será denotado por C0 (X) Proposición 5.3.3 (Teorema de extensión de Tietze) . K 77

n

⊆ Res

es compacto y

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ ) f : K

→

Resm es una función continua, entonces existe f˜ : R esn

f = f˜ en K y supx∈Resn |f˜(x)|

≤ sup

x∈K |f(x)|

Resm tal que

→ →

Demostración. Como f = (f1 ,....,f m ), donde cada función f i : K

mostrar el resultado para m = 1.

Res, basta

Sea U = Resn − K.Para cada x U y s K tomemos

∈

∈

u s (x) = max {2 −

Observamos que : u s es continua en U , 0

|x − s| , 0} dist(x, K)

≤ u ≤ 1 y u (x) = 0 si s

s

|x − s |

≥

2dist(x, K).

Tomemos {s j } j∞=1 un conjunto denso en K (por qué existe?)y de finamos σ(s) =

 ∞

2− j u sj (x), para cada x

j=1

0 < σ(x)

∈ U

≤ 1 para cada x ∈ U. Tomando ahora para cada x ∈ U vk (x) =

y de finiendo f˜(x) =

2−k u sk (x) σ(x)

 

six K,

f(x)

∞ v (x)f(s ) k k =1 k

∈ six ∈ U

tenemos que por el criterio M-Weierstrass f˜ es continua en U. Mostremos que en U se tiene que lim x→a ˜f(x) = f(a) para cada A K.

∈

Dado  > 0 existe δ > 0 tal que |f(a) − f(sk )| <  para todo sk tal que |sk − a| <

78

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ ) δ. Tomemos x

δ 4

∈ U tal que |x − a| <

. Si |a − sk |

≥ δ entonces

≤ | a − s | ≤ | a − x| + |x − s | < 4δ + |x − s |,

δ

k

k

k

luego |x − sk |

≥ 3δ > 2|x − a| ≥ 2 dist(x, K). 4

Por lo tanto v k (x) = 0 siempre que |x − a| < 4δ y |a − sk | ∞ v (x) = 1 tenemos que si |x − a| < δ entonces



k =1

k

≥ δ. Ahora dado que

4

|f˜(x) − f(a)|

 ≤ ∞

vk (x)|f(sk ) − f(a)| < 

k =1

Proposición 5.3.4 (Teorema de Lusin). Sean E fi nita y f : E

compacto K

→

n

⊆ Res

de medida de Lebesgue

Res una función medible . Dado ε > 0 existe un conjunto

⊆ E tal que µ (E − K) ≤ ε y la restriccioón de f a k es continua

Demostración. como 0 = lim k→ ∞ µ ( {x

existen M > 0 y

∈ E : |f(x)| > k }) vemos que para ε > 0 E ⊆ E tales que µ (E − E ) ≤ ε y |f| ≤ M si x ∈ E . ε

ε

ε

Lo que muestra que es su ficiente probar el teorema para el caso en que f es acotada. Consideremos inicialmente el caso en que f

≥ 0.

Veamos que el resultado es válido para funciones simples no negativas. Sea ϕ =



r k =1

ck χEk una función simple, dado ε > 0 para cada k existe un

compacto Fk E k tal que µ (Ek − Fk ) < 2ε .

⊆

Tomemos K =



r k =1

Fk . La restricción de ϕ a K es continua (pués ϕ es constante

en cada Fk , los cuales son dos a dos disjuntos) y µ (E − K) < ε. 79

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ ) Ahora para f existe una sucesión de funciones simples no negativas (ϕ j ) j∈N tales que ϕ j , µ (E − k j )



j∈N

→

≤

f uniformemente.Para cada j existe K j compacto tal que K j ε 2j

⊆ E

y adeás la restricción de ϕ j a k j es continua. Tomando K =

K j vemos que K es compacto y µ (E − K )

≤ ε, también como ϕ

j

uniformemente entonces f restricta a K es continua.

→

f

En el caso general f = f + − f− se aplica el resultado anterior a f+ y a f− Observación 5.3.5. Por los dos resultados anteriores es posible mostrar que: Si f : Resn

→

C una función Lebesgue-medible y A

con µ ∗ (A) < existe g

∈

∞

n

y f(x) = 0 x

∀ ∈ Res

n

⊆ Res

Lebesgue-medible

− A . Entonces para cada  > 0

C0 (Resn ) tal que µ ∗ ( {x : f(x) = g(x)}) < ; además g ∞



  ≤

supx∈Resn |f(x)|

Proposición 5.3.6. El conjunto C0 (Resn ) es denso en L p (µ ), 1 medida de Lebesgue en Resn ) Demostración. Sea S como en la proposición anterior.Si s

existe g

≤

p <

. ( µ

∞

∈ S y ε > 0 entonces

n

∈ C (Res ) tal que g(x) = s(x) excepto en un conjunto de medida menor que ε y |g| ≤ s∞ (teorema de Lusin). Luego 0

1 p

g − s ≤ 2ε s∞ p

y el resultado se sigue por la densidad de S Corolario 5.3.7. Sean 1

≤ p <

∞

y u L p (Rn ) la función

∈

ϕ : Rn

y



→

→

L p (Rn )

ϕ( y) = u y

80

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ ) donde u y (x) = u (x − y). Es continua . Demostración. Dado  > 0, por teorema anterior existe g

 u − g

p

<

n

∈ C (Res ) tal que 0

 . 3

Como g es uniformemente continua existe δ > 0 tal que |g(x) − g( y)| <

 1

3(2µ (K)) p

si |x − y| < δ , donde K = suppg. Si y < δ entonces



g − g  = ( y p



=(



1

p

|g(x) − g(x − y)| dµ (x)) p

Resn

1

p

|g(x) − g(x − y)| dµ (x)) p <

K∪(K+ y)

 3

Luego para | y| < δ tenemos

 u − u  ≤  u − g + g − g  + g − u  y

Definición 5.3.8. Sean f, g : Resn f∗ g(x) =

sentido.



Rn

y p

p

→

y

y p

<

C de finimos el producto de convolución

f (x − y )g( y)dy, para los valores de x donde esta integral tenga

En las condiciones de la de finición vale 1. f∗ g = g ∗ f 81

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ ) 2. f∗ (h ∗ g) = (f∗ h )∗ g 3. f∗ (g + h ) = f ∗ g + f∗ h Proposición 5.3.9. f, g L 1 (Rn ) entonces

∈

f∗ g(x) <

Demostración.



∞

|f∗ g|dx

Resn

pués



Resn

  ≤ f .g

en µ − casi todas partes y f∗ g

 ≤

|f(x − y)|dx

Rn

|g( y)|dy

Rn

1

1

≤ f g 1

1

|f(x − y)|dy = f 1 .



Teorema 5.3.10. Si f L p (µ ), p [ 1,

∈

∈

f g , p



1

1

∞

) y g

1

p

∈ L (µ ) entonces f g ∈ L , f g ≤ ∗

∗

Demostración.

|(f∗ g)(x)| =

  

  

=

1

1

≤ g

Rn

p

|f∗ g| dx

(5.4)

g p ( y)g q ( y)f(x − y)

Rn



(5.3)

f(x − y)g( y)dy

Rn

1 q

|g( y)||f(x − y)| dy

Rn

  ≤  g

p q L1

Rn

|g( y)|(f(x − y)) p dydx

Rn

p q

p p

  g f

= g

1

82

1/q

p

1

(5.5)

p

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ )

∈ [1, ) con p1 + q1 = 1 + 1 . Si f ∈ L (Res ), g ∈ L (Res ) entonces f g ∈ L (Res ). y f g ≤ r f g Proposición 5.3.11 (Teorema de Young). Sean p,q,r, p

p

n

q

n

r

∗

∞

n

∗

r

q

Demostración. Sin perdida de generalidad supongamos que f

  = g p

q

= 1.

Probaremos el resultado para funciones no negativas , el resultado general se sigue de este, tomando |f| y |g|. Usando la desigualdad de Holder para tres funciones, ver ejercicios, tenemos

f∗ g(x) =

 

p r

f( y) g(x − y)

Resn

  ≤

 

f( y) p g(x − y)q dy

Resn

1 r

q r



(1− p )q  r

f( y)

Resn

p

q

f( y)1− r g(x − y)1− r dy

  1 q

dy

g(x − y)

Resn

donde p  , q  son los exponentes conjugados de p y q respectivamente. Note que 1 1 1 1 1 1 +  +  = + (1 − ) + ( 1 − ) = 1 r q p r q p

Además (1 −

p  1 1 1 )q = p ( − )q  = p (1 − )q  = p ; r p r q

(1 −

q  1 1 1 ) p = q ( − ) p  = q (1 − ) p  = q. r q r p

Luego f∗ g(x)

  ≤




Resn

o

83

1 r

,1,1,

 (1 − q )p r



dy

1 p

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ )

r

(f∗ g) (x)

 ≤


Resn

esto es (f∗ g)r

p q

≤ f g . ∗

Por proposición anterior tenemos



(f∗ g)r dx

Resn

p q

∗

1

Definición 5.3.12. α = (α 1 ,...,α n ) ∂|α | ϕ α n 1 ∂xα 1 ...∂xn

Decimos que ϕ

p

q

p p

q q

≤ f g  = f  g  = f g = 1 1

n

1

∈ N , α ∈ N∪ {0}, i

|α | =

n



n i=1

α i , ∂α ϕ

≡

∈ C∞(Res ) si ϕ tiene soporte compacto y existe y son continuas las funciones ∂ ϕ , ∀α ∈ N 0

α

n

Ejemplo 5.3.13.

ϕ(x) =

ϕ

n

∈ C∞(R ) 0

Si se define J(x) =

 

−

1 2



e 1− x

si x < 1,



en otros casos.

0

1 ϕ entonces ϕdx n R



n J C ∞ 0 (R ) y

∈

84



Jdx = 1

5.3. ALGUNOS CONJUNTOS DENSOS EN LP (µ ) Tomemos Jε (x) = ε

∈

Jε

−n

J

x para ε > 0 ε





n C ∞ 0 (R ); Jε dx = 1

SuppJε = B [0, ε ]

Dada f L p (Rn ), f∗Jε C ∞

∈

∈

∂α (f∗ Jε ) = f ∗ ∂α Jε

Teorema 5.3.14. Si f L p (Rn ) entonces f∗ Jε

∈

Demostración.

|f∗ Jε (x) − f(x)| =

= =

≤



|f∗ Jε − f| p dx

Rn

luego



Rn

→

f en L p (Rn )

  

(5.6)

   

f(x − y)Jε ( y)dy − f(x)

(5.7)

Jε ( y)(f(x − y) − f(x))dy

(5.8)

1/q

q

(Jε ( y)) dy

B[0,ε ]

∗

|f∗ Jε − f| dx

p q

∗

  Rn

≤ K(µ (B[0, ε ]))

85

|f(x − y) − f(x)| p dydx

B[0,ε ]

p q



1/p

|f(x − y) − f(x)| dy (5.9)

B[0,ε ]

≤ K(µ (B[0, ε ])) p

p



B[0,ε ]

f − f dy y

p

5.4. EJERCICIOS n p n Corolario 5.3.15. C∞ 0 (R ) es denso en L (R ) p

Demostración. Sea f

n

∈ L (R ). Dado  > 0 por el teorema de la convergencia dominada existe k ∈ N tal que

 



f − χB(0,k ) f

p

<

 2



Luego existe un δ > 0 tal que Jδ ∗ χB(0,k ) f − χB(0,k ) f tiene soporte compacto (por qué?).





Luego f − Jδ ∗ χB(0,k ) f

p

< 2 , note que Jδ ∗ χB(0,k ) f

p

<

5.4. Ejercicios 1. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida ,1 < pk < 1 y fk L Pk (µ ), k = 1,

∈

··· , N muestre que f .f 1

2

≤ p < q <

∞

entonces Lq (µ )

N 1

p

⊆ L (µ )

3. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida , p, q, r

∈ [1, f ∈ L (µ ), g ∈ L (µ ) muestre que fg ≤ f g p

q

r

4. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida y 1 L p (µ )

q

p

n 1 k =1 pk

, k = 1,

2. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida con µ (X) < 1

1 p1

r

6. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida con µ (X) <

∈ L∞(µ ) entonces lim →∞ f = f∞ p

p

86

=

1 p

+

1 q

y

q

∞

5. Sean ( X,M,µ ) un espacio de medida. Muestre que L∞ (µ )

f

1 r

). Si

≤ p < r < q <

∞

2 p2

. Muestre que si

∞ ∞

∩ L (µ ) ⊆ L (µ )

sólo si µ (X) <



= ··· , N con ··· f  ≤ f  f  ···f 

∞

.Muestre que

1

⊆ L (µ ) si y

. Muestre que si

∞

N pN

5.4. EJERCICIOS 7. Sean ( X,M,µ ) un espacio de medida y f

p

∈ L (µ ), 1 ≤ p <

∞

.Muestre

que el conjunto E = { x X : f(x) = 0 } es σ-finito, Muestre además que

∈   lim →∞ µ (E ) = 0 donde E = { x ∈ X : f(x) ≥ n } n

n

n

8. Suponga que X = N, M = P(N) y µ la medida de conteo en N.Mostrar que si f f

≥ 0 entonces 1

   ∞ X

∈ L (µ ) si y sólo si

∞ f(n) n=1

fdµ =

∞ |f(n)| < n=1

9. Sean (X,M,µ ) un esapcio de medida y f L p (µ ) 1

∈

≤ p <

desigualdad de Markov

∀ > 0, µ ( {x ∈ X : |f(x)| ≥ } ≤

fp p

∞

Muestre la

10. Sea f una función integrable en un espacio de probabilidad (X,M,µ )  ef dµ muesre que e X fdµ X

≤



11. Suponga que X = N, M = P(N) y µ la medida de conteo en N .Muestre p

que si f

s

∈ L (µ ) entonces f ∈ L (µ ) donde 1 ≤ p ≤ s < |f ≤ f s

p

∞

p

12. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida y f, g

y además

∈ L (µ ), 1 < p < con f = 0 = g .Muestre que si f + g = f + g entonces p

f fp

p

=

p

p

p

∞

g gp

13. Sean f, g : Rn

→

R con soporte compacto . Si existe f g muestre que

∗

∗ ⊆ supp(f) + supp(g)

supp(f g)

87

CAPÍTULO 6

Algunos tipos de convergencia

6.1. Definiciones Definición 6.1.1. Sean (X,M,µ ) espacio de medida, (fn )n∈N una sucesión de funciones medibles y f una función medible fn

→

f cuando n

→∞

:

Puntualmente. Si ε > 0 N(ε, x) tal que |fn (x) − f(x)| < ε si n

≥ N.

En µ casi todas partes. Si existe E

→

∀

∃

∈ M,

µ (E) = 0 tal que fn

puntualmente en X − E. Uniformemente. Si ε > 0 N(ε) tal que x

∀

n

∃

∀ ∈ X,

f(x)

|fn (x) − f (x)| < ε si

≥ N

En L p (µ ). Si ε > 0 N

∀

∃ ∈ N tal que f − f ≤ ε „ n ≥ N n

Casi uniformemente. Si δ > 0 existe E

∀

uniformemente en X − E. 88

p

∈ M, µ (E) < δ tal que f

n

→

f

6.1. DEFINICIONES En medida. Si α > 0 , l´ım µ {x X : | fn (x) − f(x)| n→∞

∀

∈

≥ α } = 0.

Miremos algunos ejemplos y comentarios de comparación. 1. Sea fn = X[n,n+1 ] , fn 1 4

para α = , µ {x

0 puntualmente pero no uniformemente, además 1 } = 1 , n N luego f n no converge X : | fn (x)| 4

∈

→

≥

∀ ∈

a 0 en medida.

f  p ≤

n p

2.

= 1, por lo tanto tampoco tenemos convergencia en L p (µ ), 1

∞

X[0,n ] , p n1/p L p (µ ), 1

3. Si fn

→

≥ 1, f ≤ p <

≤

0 uniformemente en X pero fn no converge a 0 en

→ ∞

n

,

R

|f| p dµ = 1 , n

∀ ∈N

f en L∞ entonces existe E

∈ M, µ (E) = 0 tal que |f (x) − f(x)| < n

f − f∞ ; ∀x ∈ X − E. n

Luego fn

→

f uniformemente en X − E.

4. Convergencia uniforme implica convergencia puntual, casi uniforme y en medida. 5. fn = X[− 1 , 1 ] converge casi uniformemente pero no uniformemente. n n 6. Sean X = [0, 1 ], µ medida de Lebesgue consideremos

      

[0, 1 ], 0,

y fn = χ In ,



R

1 1 1 1 2 2 1 , , 1 , 0, , , , , 1 , 0, ... 2 2 3 3 3 3 4

|fn | p = µ (In ) luego, fn

→

0, en L p (µ ).

De otro lado x [ 0, 1 ], existen ( fnj (x)) j∈N , tal que fnj (x) = 1, j

∀ ∈

y ( fnk (x))k ∈N , tal que f nk (x) = 0, k

∀ ∈N

∀ ∈ N. Esto nos dice que para ningún

valor de x se tiene convergencia puntual. 89

6.2. EJEMPLOS 7. De la prueba de la completez de los espacios L p (µ ) 1 que si f n fni

→

→

≤ p <

∞

se vió

f en L p (µ ) entonces existe una subsucesión ( fni )i∈N tal que

f en µ -casi todas partes.

6.2. Ejemplos Proposición 6.2.1. Sean (X,M,µ ) espacio de medida (fn )n∈N sucesión en L p (µ ) . Si f n

→

f uniformemente, y µ (x) <

Demostración.

∞

, entonces f n

→

f en L p

ε p Dado ε > 0, existe N N tal que |fn (x) − f(x)| < si n µ (X) Luego, X |fn − f| p dµ < ε p , si n N p

∈



≥ N.

≥

lo que muestra que f L p (µ ) y que fn − f

∈



< ε, si n



p

≥ N.

Proposición 6.2.2. Sean (X,M,µ ) espacio de medida (fn )n∈N sucesión en L p Si fn

→

f en L p (µ ), 1

≤ p <

∞

entonces fn

f en medida.

→   ∈   En α

Demostración. Dado α > 0, veamos que l´ım µ {x n

→∞

Dado ε > 0, N

∃ ∈ N tal que si n ≥ N entonces α p µ (Enα )

 ≤

X

 ≥ 

X : | fn (x) − f (x) | α } = 0 .

|fn − f| p dµ < ε p

|fn − f| p dµ < ε p

En α

Así, µ (Enα ) <

ε α

p



Proposición 6.2.3. Sean ( X,M,µ ) espacio de medida y ( fn )n∈N una sucesión de 90

6.2. EJEMPLOS funciones medibles. Si f fn

→

f casi uniformemente entonces f fn

→

f en medida.

Demostración. Dado α > 0 y ε > 0 existe E ε

∈ M µ (E ) < ε tal que f ε

uniformemente en X − Eε . Luego para n suficientemente grande el conjunto { x

n

→

f

∈ X : |f (x) − f(x)| ≥ α } n

esta contenido en Eε

Proposició Proposición n 6.2.4. 6.2.4. Lema Sea ( (fn )n∈N una sucesión de funciones medibles. Si ( (fn )n∈N es de Cauchy en medida, entonces existem ( fni )i∈N y f f función medible tales que

fni

→

f en medida , en µ -casi -casi todas partes y casi uniformemente.

Demostración. ( fn )n∈N de Cauchy en medida,

∀

α > 0,

l´ım ım µ {x X : | fn (x) − fm (x)| →∞

∈

m,n

≥ α } = 0

∀ε > 0, ∃N; si n,m ≥ N µ ( {x ∈ X : |f (x) − f

m (x)|

n

Existe ( fni )i∈N tal que

  Tomemos Fk =

Ei = { x µ (Ei ) <

∈ X : |f

ni+1 −

1 2i

∞ E , µ (F ) < 1 n i=k i k −1



2

91

fni |

≥ 21 } i



≥ α }) < ε

6.2. EJEMPLOS Note que si i

≥ j ≥ k, k, x ∈ / F entonces k

≤

|fni − fnj |

|fni − fni−1 | + ... + |fnj+1 − fnj |

1

<

2i−1 1

<

2 j−1

+ ... +

1 2 j

.



Fk

F

´ım ∈ M, µ (F) = l→∞ ım µ (F ) = 0 →∞ k

y f(x) =

 

∈ si x ∈ F

0

f es medible. fni

además fni

→ →

k

l´ım ım f (x) si x / F →∞ ni

i

f µ − casi todas partes

f casi uniformemente

0, α > 0 Tomemos k N tal que µ (Fk ) < dados ε > 0,

∈

Para i



→

2k −1

< m´ m´ın ın {α, ε}

≥ k µ {x

fni

1

∈ X : |f

nj (x) −

f(x)|

f en medida.

92



≥ α } ≤ µ (F ) < ε k

(6.2) (6.3)

(fni ) converge uniformemente en X − Fk

Definamos F =

(6.1)

6.2. EJEMPLOS Proposición 6.2.5. Sea (fn )n∈N sucesión de funciones medibles, (fn ) de Cauchy en medida, entonces existe f medible tal que fn

→

f medida. f es únicamente

determinada, excepto por un conjunto de medida nula Demostración. Demostración: Sabemos que existen ( fni )i∈N , f medibles, f ni

en medida. Veamos que fn Dado α > 0

→

→

f

f en medida.

A = { x Bi = { x

∈ X : |f (x) − f(x)| ≥ α } n

∈ X : |f (x) − f

ni (x)|

n

Ci = { x

∈ X : |f

ni (x) −

f(x)|

≥ α 2 } ≥ α 2 }

Note que A

⊆ B ∪ C ∀i ∈ N i

i

de donde se obtiene la convergencia deseada

Supongamos que fn Dado α > 0

fyfn

→ → E = { x

E

g en medida.

∈ X : |f(x) − g(x)| ≥ α }, α > 0

Fn = { x

∈ X : |f (x) − g(x)| ≥ α 2 }

Gn = { x

∈ X : |f (x) − f(x)| ≥ α 2 }

n

n

⊆ F ∪ G , ∀n ∈ N lo que garantiza que f = g en µ -casi -casi todas partes. n

n

Proposición 6.2.6. Si ( ( fn )n∈N es casi uniformemente de Cauchy entonces existe f f 93

6.2. EJEMPLOS medible tal que fn

→

f en µ -casi todas partes y fn

→

f casi uniformemente

Demostración. Dado k N, Ek M , 1 µ (Ek ) < k , (fn )n∈N converge uniformemente en X − Ek . 2 1 Si Fk = j∞=k E j luego, µ (Fk ) < k −1 2 y F1 F 2 ... , µ ( Fk ) = 0.



⊇ ⊇

 

∈ ∃ ∈

∩

l´ım fn (x) si x X − Fk ,

∈ f g uniformemente en X − F Sea g (x) = si x ∈ F . 0 De otro lado como F ⊇ F si k ≤ m , entonces g = g en X − F k

n

k

k

m

f(x) =

 

→

k

k

k

m

k

l´ım fn (x) si x X − Fk , →∞

∈

n

∩

en caso contrario.

0

f medible f n

→

f en µ -casi todas partes .

Los resultados presentados hasta aqui pueden ser resumidos en el siguientes gráfico , donde se denota : convergencia en µ -casi todas partes (ctp), convergencia en medida (m), convergencia casi uniforme (cu), convergencia en L p (µ ) (L p ), 1

≤ p <

∞

.

Además cuando se estudia convergencia en L p (µ ) se asume que la sucesión de funciones pertenece a L p (µ ) . Cuando de un tipo de convergencia se sigue otro, se usa una la línea continua. Cuando sólo es posible garantizar la existencia de una subsucesión convergente se usa una línea puntillada .

Sean ( X,M,µ ) un espacio de medida y ( fn )n∈N una sucesión de funciones medibles 94

6.3. TEOREMA DE EGOROFF

6.3. Teorema de Egoroff Proposición 6.3.1. Sean ( X,M,µ ) un espacio de medida y ( fn )n∈N una sucesión en L p (µ )

i Si f n

f en µ -casi todas partes y existe g

→ → →

f en medida y existe g

partes entonces f

p

→

p

∈ L (µ ) tal que |f (x)| ≤ g(x) µ -casi todas

∈ L (µ ), f

n

Demostración.

i Como fn

n

f en L p (µ )

fn

ii Si f n

p

∈ L (µ ) tal que |f | < g entonces

→

n

f en L p (µ )

f µ -casi todas partes entonces |f|

|fn − f| p

dominada

≤



X

(2|g|) p luego f |fn − f| p dµ

→

∈

≤ g µ -casi todas partes .

L p (µ ). Por Teorema de la convergencia

0 cuando n

→∞

y por lo tanto fn − f





p

→

0

ii Supongamos que f n no converge a f en L P (µ ). Existe ε > 0 (fnj ) j∈N , fnj −



f

p

fnj

∗

> ε( )

→

f en medida.

95



6.3. TEOREMA DE EGOROFF Existe (fnik )k ∈N , f nik Usando (i) fnik − f



f cuando k

→  → p

→∞

en µ -casi todas partes

0 lo que contradice (*)

Sean (X,M,µ ) un espacio de medida , (fn )n∈N una sucesión de funciones medibles y g una función en L p (µ ), 1

≤ p <

∞

tal que |fn |

≤ g∀n ∈ N.

La siguiente gráfica, con las convenciones asumidas anteriormente, ilustra los resultados probados.

Proposición 6.3.2 (Ergoroff ). Sea (X,M,µ ) espacio de medida., (fn )n∈N funciones medibles, µ (X) < Si f n

→

∞

f µ -casi todas partes entonces f n

Demostración.

En (m ) =

∞



{x

k =n

→

f casi uniformemente.

1 } ∈ X : f (x) − f(x) ≥ m k

Em +1 (m )

⊆ E (m )

 

µ

n

En = 0

Así l´ım µ (En (m )) = 0 n→∞

96

6.3. TEOREMA DE EGOROFF Sea ε > 0 existe Enm (m ) tal que µ (Enm (m )) <

Consideremos F = fn

→



ε 2m

∞ E µ (F) < ε m =1 nm

2

f uniformemente en X − F.

Sean (X,M,µ ) un espacio de medida ,con µ (X) <

de funciones medibles

∞

y (fn )n∈N una sucesión

Ejemplo 6.3.3. Sean ( X,m,µ ) un espacio de medida , ( fn )n∈N una sucesión de funciones medibles y f medible. Si fn , f L p (µ )(1

∈

en µ -casi todas partes y fn

 

Como la función

p

→

≤ p < f entonces f − f n

p

x p , x > 0 1

≤ p <

entonces p

∞

 ≤ x + y 2 p

(x + y)

luego

97

es convexa

x p + y p 2

p−1

≤ 2

p

(x p + y p )

N , f n

∞ ∀ ∈ → → ), n

0.

f

6.3. TEOREMA DE EGOROFF |fn − f| p

p−1

≤ 2

(|fn | p + |f| p )

2 p−1 (|fn | p + |f| p ) − |fn − f| p

≥ 0

      ≤  ≤    ≤

l´ıminf 2 p−1 (|fn | p + |f| p ) − |fn − f| p dµ

X

l´ıminf 2 p−1 (|fn | p + |f| p ) − |fn − f| p dµ X

2 p

|f| p dµ 2 p |f| p dµ − l´ımsup

X

|fn − f| p dµ

X

|fn − f| p dµ 0

l´ımsup

X

Miremos otra solución. Definamos Ak = { x X :

∈



1 < | f(x)| p < k } k |f(x)| p dµ

Ak

 →

|f| p dµ

X

Dado ε > 0 existe k N tal que

∈



|f| p dµ <

X−Ak

Existe B

ε ⊆ A , µ (X − B) < 2k tal que f k

n

Hagamos A = X − B Fatou

  

f uniformemente en B (Egoroff )

→    

|f| p dµ l´ıminf

B

|f| p dµ −

X

≤

|fm | p dµ

B

|f| p dµ l´ıminf

A

ε 2

≤

|f| p dµ −

X

98

|fn | p dµ

A

6.4. EJERCICIOS

  ≤    ≤   ≤     →∞  → |f| p dµ −

X

l´ımsup

|f| p dµ

|f| p dµ − l´ımsup

A

A

|f| p dµ

|f| p dµ <

A

A

A

|fn − f| p dµ 2 p−1

ε + kµ (Ak ) = ε 2

|fn | p +

A

|fn | p dµ

|f| p < ε

A

|fn − f| p dµ n

A

→

0

B

Luego fn − f



p

0

6.4. Ejercicios 1. Muestre que el lema de Fatou continua válido si se en lugar de convergencia en µ -casi todas partes se usa convergencia en medida 2. Muestre que el teorema de la convergencia dominada continua válido si se en lugar de convergencia en µ -casi todas partes se usa convergencia en medida 3. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida , µ (X) < Si r(f) =



|f| dµ. X 1+|f|

∞

y f una función medible.

Muestre que una sucesión de funciones medibles, (fn )n∈N ,

converge en medida a f si y sólo si r(fn − f)

→

0.

4. Sean ( X,M,µ ) un espacio de medida , (fn )n∈N una sucesión de funciones medibles y f una función medible. Para cada  > 0 y m

 m

∈ N, si A

{x

∈ X : |f

m (x) −

fn

→

f(x)|

≥ }.Muestre que

 f casi uniformemente si y sólo si lim n→∞ µ ( ∞ m =n Am ) = 0

∪

99

=

6.4. EJERCICIOS fn

→

∞  f en µ -casi todas partes si y sólo si µ ( ∞ n=1 m =n A m ) = 0

∩ ∪

5. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida , (fn )n∈N y ( gn )n funciones medibles. Si fn |fn |

fn

→

|f| en medida

±g

n

→± f

si para cada n

f y gn

→ →

∈ N sucesiones de

g en medida muestre que

g en medida

∈ N f (x) = g (x) en µ - casi todas partes entonces n

n

f(x) = g(x) en µ -casi todas partes

100

CAPÍTULO 7

Cargas

7.1. Teorema de descomposición de Hahn ´ Definición 7.1.1. Sea M una σ − algebra en X; λ : M carga si:

→

R es denominada

1. λ(φ) = 0 2. Si {Ei }∞ i=0 una familia disyunta en M λ

  ∞

Ei =

i=1

 ∞

λ(Ei )

i=1

Observación 7.1.2. Note que la convergencia de la serie debe ser absoluta, de lo contrario una reorganización de los conjuntos modi ficaría el valor de la carga. Si {Ei}ni=1 es una familia disyunta en M, entonces λ (



n i=1

Ei ) =



n i=1

λ(Ei )..

Una carga puede tomar valores negativos (a diferencia de lo pedido para una medida) , además si A, B M, A

∈

⊆ B entonces λ(B − A) = λ(B) − λ(A). 101

7.1. TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN DE HAHN Ejemplo 7.1.3.

Sean ( X, M) espacio medible y µ, φ medidas finitas sobre

M entonces λ = µ − φ es una carga

Sean (X,M,µ ) un espacio de medida y f L 1 (µ ) entonces λ(E) =

∈

es una carga



E

fdµ

Proposición 7.1.4. Sean M una σ-álgebra en X y λ una carga.

⊆ A ⊆ A ⊆ ... ⊆,

Si (Ai )i∈N es una familia de conjuntos en M tal que A1 entonces l´ım λ(An ) = λ ( n

→∞

2

3

∞ A ) n n=1



Demostración. Hagamos E 1 = A1 , E n = An − An−1 para n > 1 luego ( En )n∈N

es una familia disjunta en M y

λ





 



n∈N En =

=

En

n∈N

∞

An

λ(Ei )

(7.1)

i=1

= =

Observación 7.1.5. Si A1

n∈N

l´ım →∞

n

n



λ(Ei )

i=1

l´ım λ(An ). →∞

n

⊇ A ⊇ A ⊇ ... entonces l´→∞ ım λ(A ) = λ 2

(7.2)

3

n

n

(7.3)

  n∈N

An

Definición 7.1.6. Sea λ una carga en X. Decimos que A es positivo con respecto a λ si λ(E

∩ A) ≥ 0 ∀E ∈ M.

Decimos que B es negativo con respecto a λ si λ(E

∩ B) ≤ 0, ∀E ∈ M. Decimos que C es nulo con respecto a λ, si λ(E ∩ C) = 0, ∀E ∈ M. Teorema 7.1.7 (Descomposición de Hahn). Dada λ una carga, existen P, N M,

∈

102

7.1. TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN DE HAHN

∩ N

P positivo con respecto a λ,N negativo con respecto a λ tales que P P

= φ;

∪ N = X.

Demostración. Definamos P = { P

∈ M : P es positivo con respecto a λ},

P es no vacío ( φ

∈ P) llamemos α = sup λ(P). Escojamos A ⊆ A ⊆ ... tales que λ(A ) α p∈P

1

2

Definamos P =

→

n

∞ A luego n n=1



0

≤ λ(E ∩ P) = λ

 ∞

(An

n=1

∩ E)



Veamos que N = X − P es negativo con respecto a λ Supongamos que no, luego existe E

⊆ X − P = N, λ(E) > 0, ahora E ∈/ P caso contrario P ∪ E es un conjunto positivo con respecto a λ y λ(P ∪ E) > λ(P). 1 Sea n ∈ N el menor natural tal que existe E ⊆ E tal que λ(E ) ≤ − y n λ(E − E ) > 0, Ahora E − E ∈ / P, por identica razón. 1 Sea n el menor natural. E ⊆ E − E , λ(E ) ≤ − . n 1

1

1

1

1

1

2

2

1

2

2

Razonando de igual manera tenemos que {Ek }k ∈N es una familia disjunta de con∞ 1 E juntos y λ −

  ≤ k

k ∈N



k =1

nk 1 Luego ∞ converge y asi n1k 0 cuando k k =1 nk Obsérvese además que λ (E − ∞ i=1 Ei ) > 0



→ 

→∞

P lo que sería una contradicción . Veamos que E − ∞ k =1 Ek Si G E − ∞ k =1 Ek tal que λ (G) < 0 entonces nk , tal que λ (G) <

∃ ⊆





∈

∃

1 nk − 1

contradiciendo la minimalidad de nk . Observación 7.1.8.

La descomposicíón de Hahn no es única.

Sea ( P, N) un adescomposicón de Hahn y C

∈ M un conjunto nulo con

realción a λ Entonces P C , N − C es también una descomposición de

∪

103

7.1. TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN DE HAHN Hahn. Sean ( P1 , N1 ), (P2 , N2 ) dos descomposiciones de Hahn para λ Dado E M, λ(E

∈

∩ P ) = λ(E ∩ P ), λ(E ∩ N ) = λ(E ∩ N ) pues 1

2

1

λ(E

∩ (P − P )) = 0

λ(E

∩ (P − P )) = 0

2

2

1

1

2

luego λ(E

∩ P ) = λ(E ∩ P ∩ P ) = λ(E ∩ P ) 1

1

2

2

La observación anterior le da sentido a la siguiente de finición Definición 7.1.9. Sean X un conjunto no vacío , M una σ-álgebra , λ una carga y (N, P) una descoposición de Hahn de finimos para cada E M

∈

λ+ (E) = λ (E

∩ P), λ

Observación 7.1.10.

−

(E) = −λ(E

∩ N), |λ|(E) = λ

+

(E) + λ− (E)

λ+ ,λ− son medidas fi nitas además λ = λ + − λ−

si λ = µ − ϕ con µ y ϕ medidas fi nitas. λ+ (E) = λ (E

luego λ+

∩ P) = µ (E ∩ P) − ϕ(E ∩ P) ≤ µ (E ∩ P) ≤ µ (E)

≤ µ Análogamente λ− (E) = −λ(E

luego λ−

∩ N) = ϕ(E ∩ N) − µ (E ∩ N) ≤ ϕ(E)

≤ ϕ. 104

7.2. TEOREMA DE RADON-NIKODYM Ejemplo 7.1.11. Sean (X,M,µ ) un espacio de medida f L 1 (µ ) entonces λ(E) =



∈

E

fdµ es una carga y

λ+ (E) =



f+ dµ, λ− (E) =

E



f− dµ

E

|λ|(E) =



|f|dµ

E

Además P = { x : f (x)

≥ 0}, N = {x : f(x) < 0}

es una descomposición de Hahn.

7.2. Teorema de Radon-Nikodym Definición 7.2.1. Sean ( X,M,µ ) un espacio de medida y ϕ una medida ( o una carga) en X. Decimos que ϕ es absolutamente continua en relación a µ , ϕ

 µ ,

si para cada A M con µ (A) = 0 entonces ϕ(A) = 0 .

∈

Lema 7.2.2. Si ϕ y ,µ son medidas tales que ϕ

 µ entonces

∀ε > 0, ∃δ(ε) tal que si µ (E) < δ entonces ϕ(E) < ε Demostración. Razonemos por el absurdo , esto es supongamos que existen ε > 0

, una sucesión ( δn )n∈N tal que δn > 0 y tales que µ (En ) < δn y ϕ(En )

Hagamos Fn =

 ∞ n=1

µ (En )

≤



∞ δ < n=1 n

≥ ε.

∞ E F = k =n k ∞ δ <





∩

n∈N Fn

∞  ≥ n=1

n

Además ϕ(F) = ϕ ( ∞ n=1 Fn )

luego µ (F) = 0.

limsupϕ(En ) 105

≥ ε.

∞

y ( En )n∈N familia en M

7.2. TEOREMA DE RADON-NIKODYM absurdo Lema 7.2.3. Sean ϕ, µ medidas fi nitas. Si ϕ ε > 0, A

 µ y ϕ no nula, entonces existen

∈ M tales que µ (A) > 0 y A es positivo con respecto a ϕ − εµ

1 Demostración. Sean (An , Bn ) Descomposición de Hahn para ϕ− µ . El resultado n es probado si mostramos que existe n N tal que µ (An ) > 0.

∈

Caso contrario µ (An ) = 0 para todo n luego µ ( ∞ n=1 An ) = 0 y por lo tanto ∞ A ). ϕ(



n

n=1

∩

ϕ(



n∈N Bn )

≤ ϕ(B ) ≤ n1 µ (B ) ≤ n

n

1 µ (X). n

Así ϕ ( ∞ n=1 Bn ) = 0.



Luego ϕ

≡ 0.

Absurdo.

Teorema 7.2.4 (Radon-Nicodym). Sean µ, ϕ medidas σ - fi nitas tales que ϕ entonces existe una f : X

[0,

→ ∞

 µ

) medible tal que

ϕ(E) =



∀ ∈ M

fdµ E

E

Cualquier otra función que satisfaga la condición anterior es igual a f en µ -casi dϕ todas partes ,f es denotada por dµ Demostración. Supongamos ϕ, µ fi nitas.

A = { g : X

[0,

]; medibles

→ ∞



≤

gdµ ϕ (E) ,

E

i A = ,pues 0 A

∅

∈

ii Si g A entonces g es fi nita en µ -casi todas partes

∈

106

∀E ∈ M}

7.2. TEOREMA DE RADON-NIKODYM iii Si f, g f(x)

∈ A entonces

máx(f, g)

A ya que si definimos A1 = {x :

∈

≥ g(x)} y A = { x : f(x) < g(x)} tenemos 2



máx(f, g)dµ =



fdµ +

A1 ∩E

E

≤

ϕ(A1



gdµ

(7.4)

A2 ∩E

∩ E) + ϕ(A ∩ E) = ϕ(E) 2

iv Si ( gn )n∈N es una sucesión en A entonces supn∈N gn

(7.5)

∈ A, para ver esto

basta usar el argumento anterior y el Teorema de la convergencia monotona Sea α = sup g∈A

 

gdµ y (fn )n∈N una sucesión en A tal que X

Definamos f = supn∈N fn luego f

∈

Ay



X

 → f dµ X n

α

≤ ϕ(X) luego f es

fdµ = α

integrable. Por lo tanto existe una función f finita tal que f = f µ -casi todas partes. Veamos que ϕ(E) = no es así. Como ϕ −







fdµ

∀ ∈ M.; esto es ϕ −

fdµ E E



fdµ 0 . Supongamos que

≡

˜ µ por lema anterior existen ε > 0 y A

˜ ) > 0 y A ˜ es positiva con respecto a µ (A



ϕ − fdµ − εµ

Así, dado C M

∈

ϕ(C

∩ A˜ )

 ≥

˜ C∩A

fdµ + εµ (C

107

∩ A˜ )

∈

A tales que

7.2. TEOREMA DE RADON-NIKODYM y ˜) ϕ(C − A

 ≥

fdµ

˜ C−A

Sumando tenemos

ϕ(C)

 ≥  ≥

fdµ + εµ (C

C

C

 X

f + εXA˜ =

∩ A˜ )

(f + εXA˜ )

(7.6) (7.7)

  f+ε

˜ A

X

dµ > α.Absurdo.

Si suponemos ahora que ϕ, µ son son σ -finitas.entonces existe { An}n∈N familia disyunta tal que µ (An ) <

∞ ,

n∈N

An = X , ϕ(An ) <

Por el resultado ya probado n



∀ ∈ N , ∃f

E∩An

= ϕ (An fn dµ =

n

: X

∩ E).

∞

[0,

→ ∞

) medible, tal que

Si tomamos f =

 ∞

fn XAn

n=1

obtenemos lo deseado. Supongamos que existe g tal que para todo E



E

(f − g)dµ = = 0 , E

∀ ∈ M , así

∈M



E

gdµ = ϕ(E) luego

-casi todas partes f = g en µ -casi

Definición 7.2.5. Dos 7.2.5. Dos medidas µ, ϕ sobre una σ-álgebra son singulares si existen

∈ M , X = A ∪ B y ∅ = A ∩ B tales que µ (A) = 0 = ϕ(B) lo que se denotará por , ϕ ⊥ µ . Una carga λ en M se dice singular con µ si si |λ| ⊥ µ A, B

108

7.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN DE RIESZ RIESZ Teorema 7.2.6. Descomposición de Lebesgue Sean µ, ϕ medidas σ σ- fi nitas nitas sobre M M luego existen ϕ1 , ϕ2 medidas tales que

 µ, ϕ ⊥ µ

ϕ = ϕ 1 + ϕ2 ϕ1

2

Las medidas ϕ ϕ1 , ϕ2 con ésta propiedad son únicas Demostración. Definamos λ = µ + ϕ, ésta resulta σ-finita y además

µ

 λ y ϕ  λ

por teorema de Radon-Nicodym existen f, g fi nitas y no negativas tales que µ (E) =



fdλ y ϕ(E) =

E



gdλ ,

E

∀ E ∈ M

Sean A = { x X : f(x) = 0 }, B = { x X : f (x) > 0} .

∈

∈

Definamos ϕ1 (E) = ϕ (E A), ϕ2 (E) = ϕ (E B), para cada E M. Dado que

∩ µ (A) = 0 se sigue que ϕ ⊥ µ.

∩

∈

1

De otro lado si µ (E) = 0 entonces f = 0 en λ-casi todas partes luego λ(E B) =

∩

0, esto es ϕ 2 (E) = 0. Para mostrar la unicidad basta observar que si α es es una

medida tal que α

 µ y y α ⊥ µ entonces entonces α = = 0

7.3. Teorema eorema de represent representació ación n de Riesz Definición 7.3.1. Dada T : L p si existe k > 0 tal que |T (f)|

T  = sup



→

C operador lineal, decimos que T es acotado

≤ k f ∀f ∈ |T (f)| f : f ∈ L , f = 0 p

p



p

109

L p . Si T es acotado de finimos

7.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN DE RIESZ RIESZ Observación 7.3.2. Si T es acotado entonces T = sup {|T (f)| : f p = 1 }





Para mayores detalles sobre operadores lineales acotados ver. Ejemplo 7.3.3. Sean 1 < p < Dada f L p definimos

∈

T f : L 1 p

donde +

1 = 1 q

q

∞

y ( X,M,µ ) un espacio de medida

→ → C : g

Ahora

T f (g) =



  g

fgdµ < f

así T f es acotado y

fgdµ

X



|T f (g)| =

 p

p

T  ≤ f f

p

˜ = ˜ L q ya que Consideremos h = sig (f)|f| p−1 , h

∈

    ˜ |q = |h

X

= f

= C <

1˜ luego h luego C

1 |T f (h )| = C

luego, T f = f

p/q p



|f|

X

Como f = 0 hagamos h = =



1/q

p



p

|f|

X

p p p/q p

f = f

∞



= f

p

  

p

Ejemplo 7.3.4. Sea ( X,M,µ ) espacio de medida con µ σ -finita.

110

7.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ Dado f L ∞ definamos

∈

T f : L

1

 → → C : g

fgdµ

X

Así

≤ f∞g

|T f |

1

Luego T f es acotado y T f f ∞ Sea X = ∞ (A1 n=1 An con µ (An ) <

 ≤ 



∞

⊆ A ⊆ ...) 2

dado η > 0, 0 < η < f ∞ definamos E η = { x : | f(x)|



≥ f − η} y

h = sig (f) χE η χAn

se puede ver que h L 1 .

∈

Ahora |T f (h )| =



E η ∩An

≥ 

|f|dµ ( f ∞ − η)µ (E η

∩A ) n

∀ η > 0, ∃h ˜ ∈ L , , h ˜ = µ (A h ∩ E ) = 0 para n suficientemente grande ˜  ≤ 1. tenemos que h ˜ )| ≥ f∞ − η. Luego T  ≥ | T (h 1

n

f

η

f

Teorema 7.3.5 (Teorema de representación de Riesz) . Sean ( X,M,µ ) espacio de medida, µ σ- fi nita. T : L p

∃!g ∈ L

q

( p1 +

1 q

→ 

≤ p <

R (1

= 1 ) tal que

T (f) =

fgdµ,

X

∞ p

∀f ∈ L ,

) operador lineal acotado. Entonces

 

con T = g

Demostración. Supongamos inicialmente que µ (X) <

111

∞

y dividamos la prueba

7.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ en las siguientes etapas se define η(E) = T ( χE ), E η

∈ M y se muestra que η es una carga con

 µ

Usando el Teorema de Radon-Nicodym existe g

∈ L

dµ dη

= g y se muestra que

q

Se muestra que T (f) =



X

p

fgdµ , f

∀ ∈ L

Finalmente se discute el caso en que µ es σ-finita. Veamos que η es una carga: η( ) = 0, η(X) = | T (1)| <

∅

dado {Ei}i∈N familia disyunta en M. Si An = a χE , donde E =

∪

n k =1 Ek

∞

.

entonces { χAn }n∈N converge

∪

n∈N En .

Por el Teorema de la convergencia dominada tenemos que lim n→∞



p

| χAn − χE | dµ = 0

X

también |T ( χE − χAn )|

≤ K  χ − χ  E

An p

y por lo tanto



lim n→∞ |T ( χE − χAn ) = 0.

De la linealidad de T se sigue que η(E) = T ( χE ) = lim n→∞T ( χAn ) = 0. Dado que χAn = ∞ η(E ).



k =1

k



n k =1 χEk

entonces η(E) = lim n→∞

Supongamos ahora que µ (E) = 0 entonces χE

 

|T ( χE )|

p

112

n k =1

T ( χEk ) = lim n→∞

= 0 luego

≤ K  χ  = 0 E p





n k =1 η(Ek )

=

7.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ y por lo tanto | η(E)| = 0, así η g(x) =

dµ dη

 µ. Por el teorema de Radon-Nikodym existe

, g es una función real y T ( χE ) =



∀E ∈ M

gdµ,

E

por la linealidad de T vemos que para cada función simple no negativa s tenemos que T (s) =

 ∞

sgdµ

X

Supongamos inicialmente que 1 < p <

. Tomemos { sk }k ∈N sucesión de fun-

ciones simples tales que s1

p

A = { x

≤ s ≤ ·· · ≤ |g| 2

y lim k →∞sk = | g| p . Definamos

∈ X : g(x) ≥ 0} y B = { x ∈ x : g(x) < 0}. 1

Hagamos ϕn (x) = ( χA − χB )(sn (x)) p , x X. La sucesión {ϕn }n∈N de funciones

∈

simples medibles es tal que

ϕ  = ( n p



1

sn dµ ) p .

X

Además 1

1

g(x)ϕn (x) = | g(x)| (sn (x)) p y ( sn (x)) q

≤ | g(x)|

Luego g(x)ϕn (x)

así 0

≥ (s (x)) n

  ≤ ≤

= s n (x)

≤

ϕn gdµ T (ϕn ).

sn dµ

X

1 +1 p q

X

113

7.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ Entonces



≤

≤ T ϕ  =

sn dµ | T (ϕn )|

X

esto es (

n p

 

1

sn dµ )1− p

x

es decir

sn dµ

X

  T (

1

sn dµ ) p

X

≤ T  q

≤ T 

Por el teorema de la convergencia monotona tenemos que



q

|g| dµ

X

Lo que muestra que g L q y g

q

≤ T 

.

  ≤ T  en el caaso que (1 < p < ). Miremos ahora el caso P = 1 ( q = ) Desamos probar que g∞ ≤ T . Caso contrario la función simple ψ = ( χ − χ ) χ donde C = { x ∈ X : | g(x)| ≥ T } ∈

∞

q

∞

A

B

C

no sería nula y T ( ψ) =





  

|g| dµ > T µ (C) = T ψ

C

1

lo que es una contradicción. Mostremos que T (f) =



x

fgdµ,

P

∀f ∈ L .

Dada f L p existe {sn }n∈N sucesión de funciones simples tal que l´ımn→∞ f − sn =

∈



0.

Por la continuidad de T ( T es cotado) se tiene que T (f) = l´ımn→∞ T (sn ). Usando

114



7.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ la desigualdad de Holder tenemos que



fgdµ −

x

Luego



 ≤ 

≤ f − s  g

|f − sn | gdµ

sn gdµ

X

n p

X

lim n→∞



sn gdµ =

X

 

q

fgdµ

X

y así T (f) = lim n→∞ T (sn ) = lim n→∞

sn gdµ =

X



fgdµ

X

para ver que T = g q usaamos los ejemplos anteriores. Veamos la unicidad.

   

Si existe otra función g1 tal que T (f) =



X



Como g − g1 L q entonces T (g−g1 ) (f) =

∈

 

entonce T (g−g1 ) = g − g1 q = 0 .



fg1 dµ,



X

p

∀f ∈ L . p

∀ ∈ L .

(g − g1 )fdµ = 0 f

Para fi nalizar mostremos el caso en que µ es σ-finita. Sea { Xn }n∈N una sucesión en M tal que X1

⊆ X ⊆ ·· · , ∪ X = X y µ (X ) < T (f)∀f ∈ L (X , M ∩ X , µ ) donde M ∩ X = {E ∩ X p

n

n∈N

2

n

n

n

n

∞

n

Definamos T n (f) =

: E

∩ X } donde f es n

tratada, en cada caso, como una función de finida en X con f = 0 en X − Xn . Por el resultado anterior existe gn L q (Xn , M

∈

T ( χXn f) =



∩ X , µ ) tal que n

fgn dµ

Xn

donde g n es tratado como una función en L (X,M,µ ) con g n = 0 en X − Xn y

g  ≤ T  . n q

Dado que la sucesión {Xn }n∈N es creciente y cada gn es únicamnte determinado, excepto por un conjunto de medidaa cero, podemos suponer que gn+1 (x) = gn (x) si x

∈ X

n

. 115

7.3. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ Definamos g(x) = g n (x) si x

∈ X . n

La cual satisface las condiciones deseadas. Corolario 7.3.6. Sean ( X,M,µ ) espacio de medida, T : L p

∃ ∈ L

operador lineal acotado. Entonces !g

T (f) =

 →

fgdµ,

X

Demostración. Dado T : L p

q

( p1 + p

∀f ∈ L ,

1 q

→

R (1 < p <

= 1 ) tal que

)

∞

 

con T = g

R operador lineal mostraremos que existe uncon-

junto A con medida σ -finita tal que Si f

p

∈ L

y f = 0 en A entonces T (f) = 0;

esto nos permite reducir el resultado al caso anterior, al considerar los espacios de medida ( A, A

∩ M, µ ) que son σ-finitos.

Sea {fn }n∈N una sucesión de funciones en L p tal que T (fn )

≥ T  (1 − n1 ) con f  = 1. n p

Usando la desigualdad de Markov se ve que existe A con medida σ-finita tal que fn = 0 en X − A , n

∀ ∈ N.

Sea E un conjunto medible , de medida fi nita, y disjunto con A.

p

f ± tχ  ≤ (1 + t µ (E)) n

E

1 p

, t

≥ 0

Ahora

±

T (fn ) + T ( tχE )

≤ |T (f ± tχ |

116

n

E

7.4. EJERCICIOS Luego |T (tχE )|

Haciendo n

Haciendo t

→∞ →

p

≤ T  {(1 + t µ (E))

1 p

− (1 −

1 )} , n n

∀ ∈N

y dividiendo por t tenemos 1

|T ( χE )|

( 1 + t p µ (E)) p − 1 T t

≤ 

0+ ( regla de L’ Hospital) vemos que T ( χE ) = 0 . De ahi se sigue el

resulatdo para funciones simples y por densidad para cualquier función f L p

∈

Observación 7.3.7. El teorema de representación de Riesz es aplicable también para un operador lineal T : L p

→

C para ver esto basta considerar los operadores

lineales (ReT )(f) = Re(T (f)) y (ImT )(f) = Im (T (f)) y aplicar el teorema anterior

7.4. Ejercicios 1. Sean M una σ-álgebra en X . Muestre que si λ es una carga en X entonces λ+ (E) = sup {λ(F) : F

⊆ E, F ∈ M}

λ− (E) = −inf {λ(F) : F

⊆ E, F ∈ M}

2. Sea M una σ -álgebra en X. Defina H = {λ : λ es una carga en X} con las operaciones definidas naturalmente y λ = |λ|(X). Muestre que H es un



espacio vectorial normado y completo 3. Muetre que. Un conjunto N es nulo en relación a una carga λ si y sólo si 117

Rendon Teoria de La Medida

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