Ejercicios Parcial Teor eor´ıa de la Medida Med ida Mario Orlando Escobar Zelaya abril 2016
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Ejercicio 1.
Sea {f n (x)} una sucesi´on de funciones medibles definidas de un conjunto medible E . Demostrar con todo detalle que (a) lim inf f n (x) y lim sup f n (x) son funciones medibles (b) {x ∈ E : f n (x) converge} es medible Soluci´ on
• liminf f n (x)
liminf f n (x) = sup inf f k (x) n∈N
k≥n
= sup I n (x), donde I n (x) = inf {f n (x), f n+1 (x), · · · } n∈N
Demostremos que I n (x) es medible para todo n ∈
N
I n−1 (α, ∞) = {x ∈ E : α < I n (x)} x ∈ I n−1 (α, ∞) ⇔ α < I n (x) (ya que I n ≤ f k (x) ∀k ≥ n) ⇔ α < f k (x), ∀k ≥ n −1 ⇔ x ∈ f k (α, ∞), ∀k ≥ n ∞
⇔ x ∈ f
−1
k
(α, ∞)
k=n
∞ −1
Entonces I n
f (α, ∞) =
−1
k
(α, ∞) y por tanto I n (x) es medible ya que I n−1 (α, ∞) es
k =n
intersecci´on numerable de conjuntos medibles. Ahora sea g(x) = liminf f n (x) tenemos entonces que g(x) = sup{I 1 , I 2 , · · · }, esto es, g(x) es la menor de las cotas superiores para { I n (x)} x ∈ g −1 (α, ∞) ⇔ α < g(x) ⇔ α no es cota superior para {I n } para alg´ un k ∈ N ⇔ α < I k (x) −1 para alg´ un k ∈ ⇔ x ∈ I k (α, ∞) ∞
⇔ x ∈
I
−1
n
n=1
Tenemos por tanto que
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(α, ∞)
N
∞
g−1
∞
I (α, ∞) =
−1
n
∞
f (α, ∞) =
−1
k
n=1
(α, ∞)
n=1 k=n
Por tanto g(x) = liminf f n (x) es medible ya que g −1 (α, ∞) es uni´on numerable de conjuntos medibles.
• limsup f n (x)
limsup f n (x) = inf sup f k (x) n∈N
k≥n
= inf S n (x), donde S n (x) = sup{f n (x), f n+1 (x), · · · } n∈N
Demostremos que S n (x) es medible para todo n ∈
N
x ∈ S n−1 (α, ∞) ⇔ α < S n (x) ⇔ α no es cota superior para {f n (x), f n+1 (x), · · · } para alg´ un k ≥ n ⇔ α < f k (x) −1 para alg´ un k ≥ n ⇔ x ∈ f k (α, ∞) ∞
f ⇔ x ∈
−1
k
(α, ∞)
k =n
∞ −1
Entonces S n
(α, ∞) = f
−1
k
(α, ∞) y por tanto S n (x) es medible ya que S n−1 (α, ∞)
k=n
es uni´on numerable de conjuntos medibles. Ahora sea f (x) = lim sup f n (x) tenemos entonces que f (x) = inf {S 1 , S 2 , · · · }, esto es, f (x) es la mayor de las cotas inferiores para { S n (x)} x ∈ f −1 (α, ∞) ⇔ α < f (x) ⇔ α < S k (x), ∀k ∈ N ⇔ x ∈ S k−1 (α, ∞), ∀k ∈
(ya que f (x) ≤ S k (x) ∀k ∈
N)
N
∞
⇔ x ∈
S
−1
n
(α, ∞)
n=1
Tenemos por tanto que ∞ −1
f
∞
S (α, ∞) =
−1
n
n=1
∞
f (α, ∞) =
−1
k
(α, ∞)
n=1 k=n
Por tanto f (x) = lim sup f n (x) es medible ya que f −1 (α, ∞) es intersecci´on numerable de conjuntos medibles. 3
(b) Demostremos que A = {x ∈ E : f n (x) converge} es medible En el literal anterior se prob´o que lim inf f n (x) y limsup f n (x) son funciones medibles, se tiene entonces que g(x) = lim inf f n (x) − lim sup f n (x) es una funci´on medible. Entonces el conjunto A puede redefinirse de la siguiente manera A = {x ∈ E : g(x) = 0} A = {x ∈ E : g(x) = 0} = =
{x ∈ E : g(x) ≤ 0 } {x ∈ E : g(x) ≥ 0 } g (−∞, 0] g [0, ∞) −1
−1
Ya que g es una funci´on medible se tiene que g −1 (−∞, 0] y g−1 [0, ∞) son conjuntos medibles. Por tanto A es medible porque es intersecci´on de dos conjuntos medibles.
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Ejercicio 2.
Sea f : [0, 1] → R una funci´on definida por f (x) =
Encuentre la medida del conjunto { x ∈
0 xsin(1/x) R
si x = 0 si x > 0
: f (x) ≥ 0 }
Encontremos los puntos de intersecci´on de la curva con el eje x Entonces xsin(1/x) = 0 ⇔ x = 0 o sin(1/x) = 0 1 1 Si sin(1/x) = 0 entonces = πk, esto es, x = ∀k ∈ x πk 1 As´ı los puntos de de intersecci´on son { 0} ∪ : k ∈ N πk 1 1 Notemos que f (x) ≥ 0 en los intervalos , (2k + 1)π 2πk
N
∀k ∈
N
De aqu´ı que ∞
A = {x ∈
R
: f (x) ≥ 0 } = k=1
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1 1 1 , ,1 ∪ (2k + 1)π 2πk π
Adem´as cada uno de estos intervalos son dos a dos disjuntos. Entonces utilizando la propiedad aditiva se tiene ∞
m(A) =
1 1 1 1− + − 2πk (2k + 1)π π 1 1 1 1− + (−1) π π k 1 1 k =1
∞
=
k
k=2
=
1−
π
+ (1 − log(2)) π
1 = 1 − log(2) π
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