UNIVERSIDADE UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Instituto de Física
Pêndulo Simples
Relatório
Jacqueline de C. de Oliveira nº USP: 7659050 Waleska Martinelli Mart inelli n°USP: 724101
Objetivo
O
objetivo
dessa
experiência
do
pêndulo
simples
é
determinar
experimentalmente a aceleração da gravidade, comparando o valor obtido com o valor teórico e estudar a dependência do período T de oscilação do pêndulo em função do comprimento do fio, do ângulo e da massa. Introdução
Um pêndulo simples consiste de um fio leve e inextensível de comprimento L, tendo na extremidade inferior, por exemplo, uma esfera de massa m; a extremidade superior é fixada em um ponto, tal que ele possa oscilar livremente (resistência do ar desprezível), com amplitudes pequenas (
máximo =
15o).
Quando o pêndulo é deslocado de sua posição de equilíbrio, ele oscila sob a ação da força peso, apresentando um movimento periódico. As forças que atuam sobre a esfera de massa m são: a força peso p e a força de tração T.
Quando o ângulo de oscilação do pêndulo é pequeno (θ<15°), temos que
. Dessa forma, o pêndulo descreverá oscilações harmônicas descritas pela
equação diferencial:
θ
Cuja solução é: θ
freqüência angular é
θ
θ
. Uma vez que a
com freqüência
, o período de oscilação do pêndulo será, portanto:
Procedimento Experimental
Materiais Utilizados
Fio
Cronômetro
Fita Métrica
4 Massas de metal
Transferidor
Suporte do sistema Durante o experimento formaram-se duplas que tinham como incumbência
medir o período de oscilações do pêndulo para três situações diferentes. Na primeira parte, medimos o período para quatro diferentes comprimento do fio, seis medidas para vinte oscilações cada com amplitude de 10º. Na segunda parte, usamos um comprimento do fio fixo e uma massa, assim foram feitas seis medidas de vinte oscilações cada, de pequena amplitude para quatro massas diferentes. Na terceira parte, medimos o período para diferentes amplitudes iniciais de 5°, 10°, 15°, 20° e 30°, fizemos seis medidas de vinte oscilações cada.
Dados Obtidos e Memorial de Cálculo
1ª Parte: Determinação experimental da gravidade com variação no comprimento do fio
(l) e cálculo da média ponderada da gravidade de todos os comprimentos com seus respectivos gráficos. Dado θ ≤ 10º.
1)
: T (s) 36,14 36,22 36,12 36,14 36,18 36,22
2)
Tm(s)
dp
dpm
36,17
0,04
0,02
Tm(1osc)(s)
dp
dpm
1,81
0,00
0,00
G (cm/s^2)
inc g
Pi
971,67
2,59
0,15
T (s) 28,56 28,37 28,45 28,53 28,48 28,53
3)
Tm (s)
DP
DPM
G(cm/s^2)
INC G
28,49
0,07
0,03
969,09
4,34
Tm(1osc.)(s)
DP
DPM
Pi
1,42
0,00
0,00
0,05
T (s) 44,49 44,44 44,27 44,30 44,27 44,22
4)
Tm (s)
DP
DPM
G
INC.G
44,33
0,11
0,04
983,50
2,53
Tm(1osc)(s)
DP
DPM
Pi
2,22
0,01
0,00
0,16
T(s) 17,93 17,77 17,68 17,81 17,84 17,41
Tm(s)
DP
DPM
G(cm/s^2)
INC G
17,74
0,18
0,07
983,49
12,96
Tm(1osc.)(s)
DP
DPM
Pi
0,89
0,01
0,00
0,01
Média Ponderada de G para Diferentes Comprimentos
, onde pi =
e a incerteza da média ponderada se dá por
Média Ponderada de G 976,5773
Inc da MP 1,657045
Gráfico de L (cm) x T (s 2)
6,00
L (cm) x T (s^2)
T (s^2)
5,00
y = 0,0401x + 0,0179
4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 0
20
40
60
80
100
120
140
120
140
L (cm)
L (cm) x G (cm/s 2) 1000,00
G (cm/s2)
995,00
L (cm) x G (cm/s 2)
990,00 985,00 980,00 975,00 970,00 965,00 960,00 0
20
40
60
L (cm)
80
100
Determinação de g a partir de b, dada a equação: T 2 = a+bl.
→T2
, sendo b = 4
2/g . Portanto,
, G = 984,50 cm/s . 2
Conclusão: O valor obtido de 984 cm/s 2 é aproximado do obtido pelo IAG de 970
cm/s2. 2ª Parte: Determinação experimental da gravidade com variação no ângulo (θ) e
cálculo da média ponderada da gravidade de todos os diferentes ângulos com seus
respectivos gráficos. Dado: 1)
:
T (s)
31,11 31,25 30,97 31,00 31,23 31,12
Tm(s)
DP
31,11
Tm (1osc)
2)
1,56
0,11
DP
G
DPM
975,50
0,05
DPM 0,01
Inc. g 4,39
Pi
0,00
0,05
:
T (s)
31,15 31,17 31,24 31,03 31,18 31,26
Tm(s) 31,17
DP
DPM 0,08
0,00
0,00
INC. G 971,85
0,03
DPM
Tm(1osc)(s DP
1,56
G
pi 0,07
3,85
3)
T (s) 31,21 31,24 31,26 31,24 31,29 31,19
Tm
des. Pad dpm 31,24
Tm(1s)
0,04
0,00
inc. g 967,71
0,01
des. Pad dpm
1,56
4)
g
3,36
Pi
0,00
0,09
:
Tm
T (s) 31,45 31,53 31,48 31,42 32,00 31,98
DP 31,64
Tm(1s) 1,58
DPM 0,27
DP
G
0,01
943,10
0,11
DPM 0,01
INC. G
pi 0,02
7,31
5)
Tm
T (s) 32,37 32,34 32,26 32,32 32,30 32,43 DP 0,06
32,34
Tm(1s) 1,62
DPM
DP
G
INC. G 903,09
0,02
3,31
DPM 0,00
0,00
Média Ponderada de G para diferentes ângulos
Média Ponderada de G
968,69 cm/s
Incerteza da MP
2
Gráficos
± 2,10
2,00
θ (º) x T (s)
T (S)
1,80
y = 0,0028x + 1,5337
1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20
θ (º)
0,00 0
5
10
15
2
Θ 2,00
20
25
30
θ2 (º) x T (s)
T (s)
1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20
θ^2 (º)
0,00 0
200
400
600
2
Θ (º) x G (cm/s )
800
G (cm/s2)
990,00
Ângulo (º) x G (cm/s 2)
980,00 970,00 960,00 950,00 940,00 930,00 920,00 910,00 900,00 890,00 0
5
10
15
20
25
30
Ângulo (º)
Determinação de g a partir do valor obtido para α. Dado: T= α+βl.
Equação da reta obtida a partir dos dados experimentais e do gráfico de θ2 (º) x G(cm/s2) foi y = (9.10 -5)x + 1,5508. O valor obtido para o coeficiente angular é muito pequeno se comparado ao coeficiente linear, então ele se torna desprezível na função, mostrando que o ângulo inicial não
influi no período (para todo θ
4ª Parte: Determinação experimental da gravidade com variação na massa e cálculo da
média ponderada da gravidade de todos os diferentes ângulos com seus respectivos gráficos. Dado:
1) Massa 1
T (s)
31,15 31,16 31,06 31,05 31,12 31,16
Tm(s)
DP
31,12
DPM
0,05
TM(1OS)(s DP 1,56
G(cm/s^2)INC. G
DPM
0,00
973,66
0,02
3,50
PI 0,00
0,08
2) Massa 2
T (s) 31,18 31,22 31,09 31,16 31,18 31,20
Tm(s)
DP 31,17
DPM 0,04
TM(1os)(s) DP 1,56
3) Massa 3
G(cm/s^2 INC. G
DPM 0,00
970,23
0,02
PI 0,00
T (s) 31,22 31,25 31,27 31,13 31,16 31,24
0,08
3,44
Tm(s)
DP 31,21
DPM 0,05
TM(1OS)(s) DP 1,56
G(cm/s^2 INC. G 967,74
0,02
DPM 0,00
3,53
PI 0,00
0,08
4) Massa 4
T (s) 31,22 31,16 31,22 31,19 31,15 31,18
Tm(s)
DP
31,19
DPM 0,03
Tm(1OS)(s DP 1,56
G(cm/s^2)INC. G
DPM 0,00
969,30
0,01
3,33
PI 0,00
0,09
Média Ponderada de G para diferentes massas Média Ponderada de G
Incerteza da MP
970,22 cm/s2 Gráficos M (g) x T(s)
± 1,72
M (g) x T (s) 1,80
y = 8E-06x + 1,5587
1,60 1,40 1,20
T(s)
1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 0
20
40
60
80
100
120
140
160
M (g)
M (g) x G (cm/s2) G (cm/s^2)
978,00
M (g) x G (cm/s 2)
976,00 974,00 972,00 970,00 968,00 966,00 964,00 962,00 0
50
Massa (g)
100
150
Discussão e Conclusão
Os dados do experimento nos levaram a resultados bem próximos do real, o que mostra que o período do pêndulo simples depende somente do comprimento do fio. Na linearização das grandezas físicas e na construção do gráfico encontramos um erro, pois o experimento não foi feito sobre condições controladas, podendo ser influenciado pelos erros de leitura das medidas, leitura de tempo, assim como as aproximações nos cálculos, apesar de ter sido refeito uma parte das medições. No cálculo da aceleração da gravidade local, a porcentagem de erro encontrada foi variada. Este erro deve-se a fatores que podem ter comprometido a exatidão do resultado da experiência como: A percepção visual na hora de definir o valor do comprimento do fio do pêndulo.
A habilidade psicomotora de cada integrante do grupo para soltar o bloco metálico da mesma altura.
O paralelismo do fio que provavelmente não foi mantido, uma vez que ele não deveria oscilar pros lados.
O experimento mostrou que o período é diretamente proporcional ao comprimento do fio e inversamente proporcional a aceleração gravitacional.Em relação às massas utilizadas e a amplitude do movimento, o período se mantém constante para efeitos experimentais. Isso deve-se ao fato da força tangencial ser maior quanto maior a amplitude e massa do movimento gerando assim uma maior aceleração.O experimento pôde comprovar todas as hipóteses teóricas e, desse modo, o resultado foi muito satisfatório.
