Matéria: Física II Nomes (s): Ana Flávia Caron, Aleksandro Balbino, Beatriz Tavares Ferreira, Heitor Monteiro, Luiza
Fornazari, Tamyrez Marquez Docente: Theotônio Mendes 2ª experiência d e Física II – Pêndulo Pêndulo Simples
Resumo
Foi realizado um estudo que consistiu na observação do funcionamento de um pêndulo simples. A partir dessa observação, foi possível determinar o período de oscilação do pêndulo, verificar sua dependência com o comprimento do fio (L), a aceleração da gravidade (g) e a amplitude de oscilação. A partir das determinações feitas, foi possível estimar o valor de g (aceleração da gravidade), bem como concluir que o pêndulo exerce movimento harmônico simples. Objetivo:
Determinar a o valor do período de oscilação e quais fatores o influencia, além disso, a partir dos dados obtidos, calcular a aceleração gravitacional local.
Introdução:
Um pêndulo simples é um sistema que consiste em uma massa pontual presa a um fio inextensível e com massa desprezível. Tais características fazem com que ele seja considerado um sistema teórico. O pêndulo do nosso experimento, evidentemente, não é ideal, pois o corpo não será pontual, o fio não terá massa desprezível e não será rigorosamente inextensível. Entretanto, se usarmos um corpo cujas dimensões lineares sejam pequenas em comparação com o comprimento do fio, um fio de massa muito menor que a do corpo e, cuja distensão durante o movimento seja desprezível, teremos um sistema físico que pode ser considerado como um pêndulo simples cujo princípio foi concebido por Galileu, e sendo materializado por Huygens, em 1656.
Descrição experimental
Para o estudo de pêndulos simples utilizou-se um conjunto formado por um suporte com disco com escala, um conjunto de sustentação, fio e massas que juntos possuem um comprimento (L) igual a 0,90m e três massas de d e peso não conhe c onhecido, cido, sustentadas por um gancho gancho.. Este conjunto pode ser representado pela imagem a seguir.
Figura 1. Conjunto para estudo de pêndulos simples.
Para garantir que o arranjo experimental estava correto era preciso observar se o sistema sem perturbações apresentava o fio com as massas acopladas rente ao que correspondia a angulação zero, como demonstrado na figura a seguir.
Figura 2. Sistema em repouso com fio acoplado às massas coincidindo com a angulação zero.
Com o auxilio de um cronometro cada integrante do grupo realizou uma medida de dez períodos para cada um dos diferentes ângulos em estudo (5°, 10°, 15°, 20°, 30° e 45°). A medida consistia em segurar as massas atreladas ao gancho de modo a coincidir a angulação do fio que suporta as massas com o ângulo de interesse e então soltar o conjunto de modo a promover a oscilação. A perturbação no sistema pode ser exemplificada na figura abaixo.
Figura 3. Comparação do sistema em repouso com fio acoplado às massas coincidindo com a angulação zero e do
sistema após perturbação com ângulo de interesse.
O individuo que promovia a perturbação do sistema era responsável por iniciar o cronômetro junto ao inicio da oscilação e travá-lo ao final de dez períodos. Os tempos de cada medição foram então anotados e tratados de modo a calcular valores médios e suas respectivas incertezas para o tempo que corresponderia a um período.
Para diminuir a diferença provocada pela aproximação de sen(θ) ~ θ (com ângulo em radianos) foi calculada a média e incerteza para os períodos de todos os integrantes que realizaram o experimento, referentes aos ângulos 5°, 10°, 15°, que apresentam razão sen(θ)/θ mais próximas a 100%, como pode
ser visto em destaque na tabela abaixo. θ (graus)
θ (rad)
sen(θ)
sen(θ)/θ
1
0,017453
0,017452
99,9949%
2
0,034907
0,034899
99,9797%
5
0,087266
0,087156
99,8731%
10
0,174533
0,173648
99,4931%
15
0,261799
0,258819
98,8616%
20
0,349066
0,342020
97,9816%
30
0,523599
0,500000
95,4930%
45
0,785398
0,707107
90,0316%
Tabela 1. Valores de ângulo e seus respectivos valores da função seno
Estes dados foram então utilizados para chegar ao valor correspondente de aceleração da gravidade experimental e sua respectiva incerteza, visto que o comprimento do fio (L) e o valor para o período estavam determinados. A determinação experimental do valor da gravidade serviu então para inferir a eficiência do experimento visto que se trata de uma grandeza conhecida e que não varia no planeta Terra. Após a comparação da aceleração gravitacional real e calculada experimentalmente, para evidenciar a diferença entre o valor de período experimental determinado pelo uso do cronometro e o período real determinado pelas grandezas fixas (comprimento do fio (L) e aceleração gravitacional (g)) foi calculado o período real do pendulo estudado. Fórmulas envolvidas no experimento: Determinação do tempo de um período
̅ ⋯ ̅ =1 =
Média
=
+
=
.
+
+
Desvio padrão
2 =1 ̅ (
=
)² 1
Desvio padrão da média
√ ̅ ⇒ 2 2 =
1 1 ).
(
̅ =1 (
)²=
Aceleração gravitacional a partir do ensaio
=2
Determinação do período teórico
=4
=2
Resultados e discussão
Tabela 02
Ângulos de oscilação θ
Integrante A B C D E F
5°
10°
15°
20°
30°
45°
18,82
19,03 19,00 18,94 19,09 18,87 19,09 1,902 0,009 0,003
19,09 18,94 18,78 19,06 18,84 19,08 1,896 0,013 0,005
19,06 18,97 18,85 19,19 19,47 18,97 1,908 0,02 0,009
19,28 19,12 19,21 19,69 19,28 18,90 1,924 0,03 0,010
20,03 19,68 19,28 19,93 19,72 19,56 1,970 0,03 0,010
19,08
Tmédio(s) σ(s) σm(s)
18,84 19,12 18,56 19,00 1,892 0,02 0,008
∗Valores
dos integrantes de A a F foram obtidos a partir de 10 oscilações Tmédio:Período de 1 oscilação; σ:desvio padrão; σm: desvio padrão da média
O valor real medido, que está destacado em negrito na tabela, foi de 18,13s só que tal valor destoava dos outros, retornando um desvio padrão muito grande. Percebeu-se então que na hora da contagem foi perdido meio ciclo por isso o valor foi corrigido como mostrado abaixo:
⇒ ⇒ =
Onde:
.
=
18,13 . 10 9,5
t: tempo real para dez ciclos; tmed: tempo medido pelo integrante; nmed:números de ciclos contados pelo integrante; nreal: números de ciclos para o tempo medido;
= 19,08
Talvez a perda deste meio ciclo resida no fato do integrante não ter determinado o pico de maneira coerente, em vez disso, travou o cronômetro de maneira antecipada como destacado de pontilhado na figura abaixo:
Figura 4. Demonstração do possível erro experimental na qual a linha pontilhada se refere ao cronômetro
travado antecipadamente. Gráfico 01 – Períodos em função dos ângulos de oscilação
Média dos tempos para os ângulos de 5° a 15°
5 10 15 ⇒ ⇒ �5 2 10 2 15 2 ⇒ � 2 2 2 ⇒ ∴ °
=
=
+
°
+
°
3
°
+
°
+
°
=
1,892 + 1,900 + 1,896 3
= 0,008 + 0,003 + 0,005
= ,
± ,
= 1,89
= 0,02
Aceleração gravitacional a partir dos dados do ensaio
⇒ 2 2 ⇒ 2 2 −2 =2
=4
0,90 = 9,94 . (1,89 )
=4
g c =9,94m.s-2
Período teórico
⇒ −2 ∴ =2
=2
0,90 9,81 .
= ,
Em um primeiro momento, devido principalmente a sua simplicidade, poderia até não se dar conta da validade deste ensaio. Mas ao se analisar de maneira pormenorizada, verificaremos que ele possui certas sutilezas, como o erro, que nos retorna um valor próximo de aparelhos sofisticados. Logo abaixo, temos um gráfico que representa graficamente os ciclos do pêndulo.
Figura 4. Ciclos de um pêndulo
Pode-se supor que em média cada ciclo do pêndulo tenha um período de 1,9s. Logo, após os dez ciclos, teríamos cronometrados vinte segundos (19s). Suponhamos também que um aluno foi realizar este ensaio, mas tem certa dificuldade para determinar o fim do ciclo (destacado em vermelho na figura acima). Se o operador mantiver esta regularidade no erro isto não será propagado para o ciclo seguinte, pois sempre será compensado pela curva posterior. Ou seja, se o aluno contou de maneira adequada os dez ciclos, mas não conseguiu determinar a amplitude máxima do pêndulo, na pior das hipóteses será detectado um erro apenas no último quarto do ciclo, cronometrando um tempo de aproximadamente 19,75s. Isto retornaria em um erro de aproximadamente 2,5%. Levando em consideração a simplicidade do ensaio este é um erro relativamente pequeno. Se tal valor, fosse utilizado para determinar a aceleração gravitacional da Terra, teríamos um valor calculado em torno de 10,35m.s -2, com um erro 5,5% em relação à aceleração gravitacional teórica (9,81m.s -2), claro que usando um comprimento de massa-fio de 0,90cm. O aumento do erro ocorre devido ao período ser elevado ao quadrado como podemos verificar abaixo: Período real: 1,9s Período com erro de 2,5%: 1,8525s
⇒ 2 2 ⇒ 2 2 −2 =2
=4
=4
0,90 = 10,35 . (1,8525 )
g=10,35m.s-2
−2 −2 −2 ⇒
10,35 . 9,81 . %= 9,81 .
.100
% = 5,50%
Comparação dos valores com de outros grupos
Tabela 02 – Valores dos outros grupos
Grupos 1 2 3 4 5
T (s) 1,897 ± 0,005
1,96 ± 0,02 1,91 ± 0,05
g (m.s 2) 10,18 9,65 9,57
l (m) 0,93 0,94 0,94
Apesar de não termos em mãos todos os dados dos outros grupos percebeu-se uma tendência neste ensaio, que os comprimentos massa-fio próximos de 90cm mantinham uma regularidade nos períodos cronometrados gerando um menor erro e, consequentemente, uma aceleração gravitacional mais próxima do valor teórico de 9,81m.s -2. Já no sistema massa-fio com menor comprimento percebe-se que há uma propensão a sofrer movimentos caóticos (movimentos não lineares), principalmente, se levarmos em consideração que a massa utilizada é uma espécie de um gancho (como na figura 4) na qual são adicionados os pesos, percebeu que este conjunto é muito propicio a sofrer movimentos não pendulares, talvez se ao invés deste conjunto, utilizássemos pesos mais uniformes semelhantes a uma bolha de bilhar, tal erro fosse minimizado. Se não levarmos em consideração o movimento caótico fica claro que o comprimento do fio e aceleração da gravidade local estarão relacionadas diretamente com o período pendular. Conclusão
Podemos concluir que apesar dos erros e da simplicidade do material, o valor obtido para a aceleração gravitacional está próximo do valor teórico e que, este valor poderia ser melhorado caso tivessem sido realizadas outras rodadas de medições ou ainda, se fossem utilizados os valores dos outros ensaios da mesma análise, aumentando assim o valor amostral. Ficou atestado que, independentemente do ângulo em que o pêndulo é lançado, o período de oscilação não muda significativamente entre os participantes. Percebeu-se então que a maior contribuição do erro está refletida na determinação da aceleração da gravidade, que está relacionada com a dificuldade em se determinar períodos de maneira uniforme entre seus integrantes, devido principalmente a tempos de reações distintos.
