Disciplina de Análise Experimental em Engenharia
Relatório do Experimento
Docente: José Luiz Gasche Discente: Viviane Cassol Marques
Ilha Solteira, 28 de Junho de 2013. -0-
Relatório do experimento Sumário Objetivo:
...........................................................................................................................1
Formulação do problema: Estudo do objeto:
...................................................................................................1
...............................................................................................................1
Determinação das frequências naturais de forma analítica ....................................................3 Cálculo das incertezas
...................................................................................................4
Incerteza do comprimento U(L) .......................................................................................4 Incerteza combinada do momento de inércia Uc(I)
....................................................6
Incerteza combinada da massa por unidade de comprimento Uc(m) ................................7 Frequências naturais e Incerteza combinada das frequências Uc(f) .................................8
Determinação experimental das frequências naturais ...........................................................9 Instrumentação
........................................................................................................9
Esquema experimental ...............................................................................................10 Procedimento de execução
.........................................................................................11
Cálculo da incerteza combinada na medição das frequências naturais experimentais ................14
Conclusão ...........................................................................................................................16 Referências bibliográficas
.................................................................................................17
-0-
Planejamento do experimento Determinação experimental das frequências naturais de uma viga com uma extremidade fixa e outra livre
Objetivo:
Determinar as frequências naturais de uma viga com uma das extremidades fixa e outra livre, também chamada de “viga fixa-livre”, de forma experimental, considerando excitação do tipo vibração livre. Formulação do problema:
Todo objeto possui suas vibrações naturais ou, suas frequências características. O número de frequências naturais existentes em um sistema depende do número de graus de liberdade do sistema. A Frequência natural de um sistema de um grau de liberdade é a frequência considerando uma vibração livre influenciada pela massa e rigidez do objeto. Aumentar a massa de um objeto reduz a sua frequência natural. Aumentar a rigidez do objeto, por exemplo, aumentando a tração de uma corda do violão, aumenta sua frequência natural. Quando o objeto vibra em sua frequência natural ele entra em ressonância. O objetivo é determinar, de forma experimental, as frequências naturais do sistema, neste caso uma viga com as condições de contorno nas extremidades, fixa-livre. É importante o conhecimento destas frequências naturais pois assim pode-se evitar que o sistema trabalhe em ressonância. Estudo do objeto:
Vibração livre é uma condição em que não existem forças externas sobre o sistema. Muitos sistemas apresentam movimento harmônico quando em vibração livre. Um sistema de vibração com n Graus de Liberdade (GDL) tem n frequências naturais, e para cada frequência natural existe uma relação entre as amplitudes dos movimentos independentes, conhecidos como modos de vibração. Um componente estrutural elástico tem um numero infinito de distintas frequências naturais e modos de vibração correspondentes (MENDELSOHN, 2000). -1-
A Tabela 1 apresenta alguns exemplos de formulas analíticas utilizadas em sistemas contínuos para determinação das frequências naturais e modos de vibrar (RAO, 2009) de alguns casos clássicos onde as condições de contorno são bem definidas. Os dados da Tabela 1 se baseiam no modelo de viga de Euler Bernoulli, que envolve as seguintes hipóteses físicas: 1. Os deslocamentos verticais de todos os pontos de uma mesma seção transversal são pequenos e iguais ao eixo da viga; 2. O deslocamento lateral é nulo; 3. As seções transversais normais ao eixo da viga antes da deformação permanecem planas e ortogonais ao eixo após a deformação. Tabela 1 - Equações Analíticas para determinação das frequências naturais e modos de vibrar de vigas (RAO, 2009).
-2-
Para a determinação das frequências naturais de vigas, de forma experimental é necessário a aquisição da função de transferência do sistema vibratório. A função de transferência relaciona um sinal de excitação com o sinal de resposta da viga devido a esta excitação. A excitação da viga pode ser feita a partir de um equipamento muito parecido com um martelo, chamado martelo de impactação que possui um transdutor que mede a força transferida para a estrutura. Quando excitamos a estrutura por impactação, temos uma força transiente,impulsiva, que irá excitar a viga em todas as frequências por um curto espaço de tempo. A resposta da viga, devido a esta excitação é medida com um transdutor chamado acelerômetro. Quando utilizamos acelerômetros nas medições deve-se levar em consideração que este também é um equipamento intrusivo, ou seja, que pode modificar os resultados obtidos com o experimento, pois o mesmo adiciona massa ao sistema.
Determinação das frequências naturais de forma analítica
O sistema vibratório utilizado neste experimento é uma viga que possui uma das extremidades fixa e outra livre. Para estes casos clássicos, com condições de contorno bem definidas, existem modelos matemáticos pré-definidos para o cálculo das suas frequências naturais, como apresentado na Tabela 1. De acordo com RAO, 2009, as frequências naturais de uma viga fixa-livre podem ser calculadas a partir da Equação 1.
(1)
Onde: = Parâmetro adimensional determinado pela Tabela 1 E = Módulo de elasticidade 210 GPa L = Comprimento da viga I = Momento de inércia m = massa por unidade de comprimento
-3-
Para o caso em estudo os dados geométricos da viga utilizados para o cálculo analítico das frequências naturais possuem incertezas de medição, as quais serão calculadas a seguir: Comprimento:
Medição Comprimento (m) 1 0,303 2 0,304 3 0,304 4 0,304 5 0,303 Média 0,3036 Desvio 0,000547723 Resolução da trena – 0.001 m
Incerteza no comprimento U(L)
0,000244949 m
0,000288675 m
Assim a incerteza no comprimento da viga medido é: 0,000378594 m
Momento de inércia: m
4
Sendo que este depende de outras duas variáveis geométricas com incertezas a definir b = largura e h = espessura Largura Medição 1 2 3 4 5 Média Desvio
Largura (m) 0,018 0,019 0,02 0,019 0,019 0,019 0,00070711 -4-
Resolução do paquímetro utilizado – 0.0001 m
Incerteza na largura U(b)
m
2,88675E-05 m
Assim a incerteza na largura da viga medida é:
0,000317543 m
Espessura Medição Espessura (m) 1 0,0028 2 0,0029 3 0,003 4 0,0029 5 0,003 Média 0,00292 Desvio 8,3666E-05
Resolução do paquímetro utilizado – 0.0001 m
Incerteza na espessura U(h)
3,74166E-05 m
2,88675E-05 m
Assim a incerteza na espessura da viga medida é:
4,72582E-05 m
-5-
Incerteza combinada do momento de inércia Uc(I)
4,62333E-06 m 4
O momento de inércia é função da largura e da espessura da viga, então é possível determinar sua incerteza combinada. I = f(b,h)
2,02419E-12m 4
Logo, o momento de inércia a ser usado para calcular as frequências naturais da viga é: I = 4,623E-06 ± 2,024E-12 m 4
Massa por unidade de comprimento:
Kg/m
Sendo que este depende de outras duas variáveis geométricas com incertezas a definir M = massa da viga e L = comprimento Massa da viga Medição Massa(Kg) 1 0,1423 2 0,1425 3 0,1423 4 0,1424 5 0,1423 Média 0,14236 Desvio 8,944E-05 Resolução da balança – 0.0001 m -6-
Incerteza na massa U(M)
4E-05 Kg
2,88675E-05Kg
Assim a incerteza na espessura da viga medida é: 4,93288E-05Kg
Incerteza combinada da massa por unidade de comprimento Uc(m)
0,468906kg/m
A massa por unidade de comprimento é função da massa e do comprimento da viga, então é possível determinar sua incerteza combinada. m = f(M,L)
0,001932841 Kg/m
Logo, a massa por unidade de comprimento a ser usada para calcular as frequências naturais da viga é: m =0,46891 ± 0,00193 Kg/m
-7-
Cálculo das fr equências natu rai s da viga e suas incertezas:
Substituindo os valores médios dos dados geométricos, obtém-se as seguintes frequências naturais da viga. Frequência 1 2 3 4 5
Hz 25,5091 159,8625 447,6197 877,1559 1450,2045
Neste caso a incerteza combinada é calculada para cada uma das frequências, já que o valor de β n varia para cada freqüência. Incerteza combinada das frequências Uc(f) f = f(L,I,m)
-8-
Hz
Então, o valor das frequências naturais da viga calculadas de forma analítica juntamente com suas incertezas combinadas é:
Hz
Determinação experimental das frequências naturais
Primeiramente foram realizadas marcações na viga a fim de realizar várias medições para a determinação das frequências naturais. Foram obtidas 18 funções de resposta em frequência, das quais serão extraídos os valores das frequências naturais da viga.
Instrumentação
Os equipamentos necessários para a realização do experimento, utilizando excitação por impactação são os seguinte: - Uma viga de aço 1020, com módulo de elasticidade de 210 GPa, massa de 0,14236Kg , engastada em uma das extremidades em uma base inercial e livre na outra,com as seguintes dimensões 0,3036 m X 0,019 m X 0,00292 m; - Uma base inercial para fixação da viga; - Um acelerômetro,marca B&K (Brüel&Kjaer) modelo 4397, sensibilidade 0,991 mV/ms2; - Um martelo de impacto, marca B&K modelo 8202 com transdutor de força PCB 802, sensibilidade de 10,3 mV/N; - Um hardware para aqui sição de sinais, com canais suficientes para aquisição dos sinais do acelerômetro e do martelo de impactação;
-9-
- Um microcomputador que possua um software para análise dos sinais e calculo da função de transferência.
Esquema experimental
O experimento deve ser montado de acordo como o apresentado nas Figura 1 e 2.
Figura 1 – Esquema experimental – visão geral
Figura 2 – Esquema experimental – martelo, viga e acelerômetro - 10 -
Procedimento de execução:
Inicialmente é necessário realizar a calibração dos instrumentos, a seguir apresento a calibração do acelerômetro. Para a calibração do acelerômetro foi utilizado um calibrador da marca B&K, modelo 4294 com as especificações conforme apresentado na Figura 3. Este calibrador vibra com uma amplitude de 10 m/s 2 ± 3% na frequência de 159,15 ± 0,02%, ou seja, o acelerômetro deve medir estes valores de amplitude e frequência para ser considerado calibrado.
Figura 3 – Especificações do calibrador de acelerômetro
Figura 4 – Esquema experimental para calibração do acelerômetro - 11 -
Para a realização do experimento, com o intuito de determinar as freqüências naturais da viga, a impactação deve ser feita na parte mais próxima ao engaste, pois esta é a área mais rígida da viga, excitando assim a viga por inteiro e evitando o efeito de repique. A viga foi dividida em dezoito pontos de medição, sendo o acelerômetro deslocado para efetuar as medidas em cada um desses pontos, como mostra a Figura 5. Ponto de Impactação
Figura 5 – Subdivisões da viga Se deseja calcular as quatro primeiras frequências naturais e para melhor distribuir a energia dentro desta faixa de frequências, baixa e média frequências é importante utilizar uma ponta, no martelo de impactação, de nylon com dureza média. Outra informação importante é quanto à fixação do acelerômetro à viga que pode ser feito através de cera de abelha ou cola tipo ‘bonder ’ , geralmente a cera é vendida juntamente com o acelerômetro, neste experimento foi utilizada esta cera. Os dados adquiridos, a partir dos transdutores, a saber martelo de impactação e acelerômetro e enviados ao hardware de aquisição, conectado ao computador deverão ser lidos no software de analise de sinais. Este software realiza o cálculo da função de transferência que será utilizada para a determinação das frequências naturais da viga. Cada uma das 18 funções de transferência medidas, apresentadas na Figura 6, foram realizadas a partir da média de 3 impactações da viga.
- 12 -
Frequências analisadas
Figura 6 – Função de Transferência da viga para os 18 pontos da viga Serão analisadas somente as quatro primeiras frequências, pois, acima da frequência de 1200 Hz os dados não se mostram precisos, devido a problemas no software de aquisição. A Figura 7 apresenta um zoom em cada uma das frequências naturais que se deseja determinar a incerteza. Os valores serão retirados dos gráficos, sendo que a resolução máxima do equipamento é de 2Hz
- 13 -
Frequência natural 1
Frequência natural 3
Frequência natural 2
Frequência natural 4
Figura 7 – Variação da frequência natural para os 18 pontos da viga
Cálculo da incerteza combinada na medição das frequências naturais experimentais
Os valores das incertezas nas frequências naturais são função da resolução e do desvio das medições, então pode ser representada por: f = f(med,R) - 14 -
f = med + R
Incerteza nas Medidas U(med)
Ponto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Media Desvio Incerteza
Freq 1 (Hz) Freq 2 (Hz) 24 152 24 152 24 154 24 152 24 154 24 154 26 154 26 152 26 152 26 154 26 154 26 154 26 154 24 154 24 152 26 152 24 154 24 154 24,888889 153,22222 1,0226199 1,0032626 0,2410338 0,2364717
Freq 3 (Hz) 424 428 426 430 424 426 428 428 432 430 428 430 432 434 434 432 434 434 429,66667 3,3781303 0,7962329
Freq 4 (Hz) 832 834 834 836 838 840 838 842 844 838 844 846 844 848 846 846 850 850 841,666667 5,62557187 1,32596000
Incerteza do equipamento U(R)
0,57735 Hz
Incerteza combinada
- 15 -
Então, o valor das frequências naturais da viga calculadas de forma analítica juntamente com suas incertezas combinadas é:
Hz
Conclusão
A Tabela abaixo mostra a comparação entre as freqüências naturais calculadas de forma analítica e as medidas experimentalmente. Frequências naturais analíticas
Hz
Frequências naturais experimentais
Hz
Pode-se verificar que quanto maiores os valores das freqüências maiores são as diferenças entre os valores calculados e medidos. Estas diferenças podem ser devido ao engaste não se perfeito e também devido a adição de massa do acelerômetro que não é considerado no modelo analítico.
- 16 -
Referências bibliográficas
Andrade, A. O. e Soares, A. B., 2003. “Técnicas de Janelamento de Sinais”, Faculdade de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia-MG, Brasil. Mendelsohn, D. A., 2000. “Free Vibration, Natural Frequencies and Mode Shapes ”, The Engineering Handbook, Ed. Richard C. Dorf, Boca Raton: CRC Press LLC.
Rao, S., 2009. “Vibrações Mecânicas” . 4ª edição. Editora Prentice-Hall, 448p.
- 17 -
