UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA - ITEC FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA - FEM PROFESSOR: GIOVANNI PINHEIRO
BRUNA NORAT BEZERRA 201102140013
EXPERI EXPERI M ENTO M ASS ASSA-M OLA
BELÉM JUNHO/2016
Resumo: No dia 10/06/2016 foi realizado um experimento com aplicações de molas, no Laboratório de Vibrações, localizado no Laboratório de Engenharia Mecânica da UFPA, com o intuito de analisar a deformação de uma mola, sua rigidez e a frequência natural da mesma, de forma analítica e experimental. Este relatório tem o intuito de explicar a teoria embasada para fazer tal experimento e comparar os resultados estudados teoricamente em sala de aula com os encontrados na prática por meio de um experimento laboratorial.
1. Introdução A maioria das atividades humanas envolve, de uma forma ou de outra, vibrações. Sejam elas atividades do cotidiano das pessoas (ouvir por causa da vibração dos tímpanos) ou atividades de um meio profissional (projetos de máquinas, fundações, motores e sistemas de controle em engenharia, por exemplo). Com isso, os estudiosos da área de vibrações começaram a pesquisar os fenômenos naturais e desenvolver teorias matemáticas para descrever a vibração de sistemas físicos. As vibrações podem causar efeitos devastadores às máquinas e estruturas, a partir disso, testes de vibrações passaram a ser um procedimento-padrão em projetos e desenvolvimento da maioria dos sistemas de engenharia, para assegurar que efeitos de desbalanceamento não sejam danosos, por exemplo. Apesar deste efeito negativo, a vibração pode ser vantajosa em várias aplicações industriais e de consumo, a qual melhora a eficiência de certos processos de usinagem, fundição, forjamento e soldagem. Além disso, ela é empregada na simulação de terremotos em pesquisas geológicas e também na realização de reatores nucleares.
1.1. Objetivo Este trabalho tem por objetivo determinar o valor da rigidez analítica e experimental da mola. Assim como determinar a frequência natural analítica e experimental do sistema; a massa efetiva da mola; gerar um gráfico do deslocamento em função da massa; e calcular o erro relativo aproximado para os valores encontrados.
2. Fundamentação Teórica 2.1. Conceitos Básicos de Vibração 2.1.1. Vibração Vibração ou Oscilação é o estudo de movimentos oscilatórios de corpos e forças associadas a eles, ou seja, é qualquer movimento que se repita após um intervalo de tempo. Exemplos disso são o balançar de um pêndulo e o movimento de uma corda dedilhada. Geralmente, um sistema vibratório inclui um meio para armazenar energia potencial (mola ou elasticidade), um meio para armazenar energia cinética (massa ou inércia) e um meio de perda gradual de energia (amortecedor). Assim, a vibração de um sistema envolve a transferência alternada de energia potencial em cinética e de energia cinética em potencial.
2.1.2. Graus de Liberdade, sistemas discretos e contínuos O grau de liberdade é definido pelo número mínimo de coordenadas independentes requerido para determinar completamente as posições de todas as partes de um sistema a qualquer instante. No experimento realizado, o sistema é massa-mola que se move somente na vertical (eixo Y), então ele possui apenas um grau de liberdade. Vários sistemas práticos podem ser descritos utilizando um número finito de graus de liberdade. Porém, grande parte dos sistemas estruturas e de máquinas possuem sistemas que envolvem elementos elásticos contínuos, e consequentemente um número infinito de graus de liberdade, pois precisam de um número infinito de coordenadas para explicar sua configuração defletida. Assim, sistemas com número finito de grau de liberdade são denominados sistemas discretos ou parâmetros concentrados, e os que têm número infinito de graus de liberdade são denominados sistemas contínuos ou distribuídos. A partir da explicação assim, no experimento explicitado neste relatório, o sistema é massa-mola que se move somente no eixo vertical (eixo Y) e, portanto, possui apenas um grau de liberdade, sendo um sistema discreto.
2.2. Classificações de Vibrações Os sistemas de vibração podem ser classificados de várias maneiras, como: vibração livre, forçada, não amortecida, amortecida, linear, não linear, determinística, e aleatória. Um sistema com vibração livre é aquele que após uma perturbação inicial, ele continua vibrando por conta própria. Assim, nenhuma força externa age sobre o sistema. Um exemplo de vibração livre é um pêndulo simples. Um sistema com vibração forçada é aquele sujeito a uma força externa e muitas vezes repetitiva. Quando a frequência dessa força externa coincide com uma das frequências naturais do sistema, ocorre uma ressonância, no qual o sistema sofre oscilações perigosamente grandes. Um exemplo deste tipo de vibrações é a que surge em máquinas, como motores a diesel.
Um sistema com vibração não amortecida é aquele que nenhuma energia foi perdida ou dissipada por atrito ou outra resistência durante a oscilação. Desta forma, quando alguma energia for perdida dessa maneira, o sistema é amortecido. Um sistema com vibração linear é aquele que todos os seus componentes básicos (massa, mola e amortecedor) se comportam linearmente. Assim, o sistema que possui seus elementos básicos com comportamento não linear, é definido como não linear. E por fim, um sistema com vibração determinística é aquele que o valor ou magnitude da excitação é conhecido a qualquer instante. E quando, em um dado instante, o valor da excitação não puder ser previsto, ele é denominado de vibração aleatória. De acordo com essas definições, é possível definir que o experimento em questão obedece a um sistema com vibração não amortecida.
2.3. Procedimento de análise de vibrações A maioria dos sistemas vibratório encontrados na prática são muito complexos e por isso, é impossível considerar todos os detalhes para uma análise matemática. Por esta razão, a análise de um sistema vibratório normalmente envolve modelagem matemática, solução das equações e interpretação dos resultados. É o que será mostrado neste relatório de acordo com este experimento realizado. Etapa 1- Modelagem Matemática: a finalidade de fazer uma modelagem matemática é representar todos os aspectos importantes do sistema com o propósito de obter equações matemáticas que estabeleçam o comportamento do sistema. Nele deve-se incluir detalhes suficientes para descrever o sistema em forma de equação para torna-los menos complexo. Etapa 2 – Derivação das equações governantes: tendo a modelagem matemática disponível, utilizam-se os princípios da dinâmica e derivam-se as equações que descrevem a vibração do sistema. Para isso, algumas abordagens costumam ser utilizadas, como a segunda lei do movimento de Newton, o princípio de D’Alembert e o
princípio de conservação de energia. Etapa 3 – Solução das equações governantes: as equações do movimento devem ser resolvidas para determinar a resposta do sistema vibratório.
Etapa 4 – Interpretação dos resultados: a solução das equações governantes fornece os deslocamentos, velocidades e acelerações das várias massas do sistema. Esses resultados servem para interpretar a finalidade da análise e possíveis implicações no projeto.
3. Materiais e Métodos 3.1. Planejamento Experimental As etapas experimentais analisadas neste experimento estão descritas abaixo: 1 – Determinação da rigidez da mola e erro relativo 2 – Elaboração de um gráfico massa x deslocamento 3 – Determinar a massa efetiva da mola 3 – Determinar a massa e a rigidez equivalente do sistema 4 – Determinar a frequência natural do sistema
3.1.1. Acessórios e Equipamentos Para a realização deste experimento foram utilizados os seguintes materiais: uma haste de apoio com suporte para pesos, uma mola de aço, uma régua graduada em milímetros, discos de massa (400g cada), uma bancada universal para testes de vibrações TM-16, um cronômetro e um paquímetro.
3.2. Considerações Adotadas Para a realização do experimento foi adotado algumas considerações no sistema: não há dissipação de energia; o sistema necessita de apenas uma coordenada independente para descrever o movimento desejado; a mola funciona somente dentro do seu regime elástico; e o sistema é não amortecido.
3.3. Resumo dos Experimentos Realizados 3.3.1. Experimento 1 - Massa mola livre No primeiro experimento foram acrescentados discos de 400g ao sistema e analisado no marcador as deformações que a mola sofria. Para isso, existiu uma posição de equilíbrio estático, ou seja, uma posição referencial, de 32,5mm. E o sistema já começava com uma massa de 400g. Foram acrescentados mais 4 discos de mesma massa para a geração das deformações da mola.
A partir desses dados experimentais, foi possível determinar analiticamente e experimentalmente a rigidez equivalente da mola, o erro gerado entre a análise analítica e experimental, e um gráfico entre as massas e o deslocamento.
Uma força é desenvolvida na mola sempre que houver um movimento relativo entre suas duas extremidades. Esta força é proporcional à quantidade de deformação e é dada pela fórmula abaixo:
= ∗ Onde: F – força da mola (N) K – rigidez da mola ou constante elástica (N/m) X – deformação da mola (m) No caso deste experimento, a força aplicada no sistema é o próprio peso dos discos adicionados ao sistema, então:
= ∗∆ = ∆
Desta forma, é possível calcular a rigidez da mola experimentalmente para cada massa dos discos e para cada deformação encontrada, como é mostrado abaixo: Posição de equilíbrio estático (mm)
= 31,5 = 22
(referencial)
Massa de teste (g) 400 800
= 17,5 = 12,9 = 8,4
1200
1600
2000
= 0, 00,315.8.9,08,1022 → = 826 / = 0, 01,315.2.90,8,01175 → = 841 / = 0, 01,315.6.90,8,01129 → = 844 / = 0, 0315.2.9,08,10084 → = 849,35 / Calcula-se uma média dos 4 k para saber qual o valor do k experimental. Teoricamente o valor de k para cada quantidade de massa colocada é constante, pois esta sendo analisado na região elástica do material, ou seja, a mola não sofre nenhuma deformação permanente. Assim:
849, 3 5 = 4 ∴ 826841844 → = 840,087 / 4 Para calcular a rigidez da mola analiticamente, utiliza-se a fórmula abaixo:
= ...
;
= −
Onde, G – módulo de elasticidade da mola (79,3 GPa) d – diâmetro do fio (espessura – 3,4mm) n – número de espiras da mola (18) D – diâmetro médio da mola (diâmetro externo: 46,35mm e diâmetro interno: 39,55mm) Assim,
= −
= 46,35−304 = 42,95 Logo:
. = 8.. 7 9, 3 10 . 0 , 0 034 = 8.18.0,04295 = 928,83 / A partir dos valores analíticos e experimentais encontrados, é possível calcular o erro relativo sobre a rigidez da mola, da seguinte forma:
= − .100 ∴ 928,8840,3−0840,87 087.100 → = 9,55 % Este erro é devido o experimento apresentar imperfeições como erros de medição humana, atrito do sistema, entre outros. O gráfico massa x deslocamento deste 1º experimento é mostrado abaixo: Massa x Deslocamento 2500 2000 ) g ( e t 1500 s e t a s s 1000 a M
500 0 0
5
10
15
20
25
Deslocamento (mm)
3.3.2. Experimento 2 – Sistema formado por uma mola indexada a uma viga No segundo experimento foi acrescentada uma viga em balanço de 168g, formando um sistema viga-mola. Neste experimento, o sistema já começava com 6
discos de 400g e posicionando a viga em uma posição, ela era liberada e assim, cronometrado o tempo de 10 oscilações da mesma. Foram realizados três testes deste experimento, no qual eram retirados dois discos de 400g a cada teste.
Frequências naturais de um corpo são calculadas pelas frequências em que os corpos “devem” vibrar, isso significa que um corpo não vibra em frequências diferentes
das suas naturais ou de seus harmônicos. Desta forma, é possível determinar a frequência natural do sistema de forma analítica e experimental. Para isso, é necessário calcular a massa e a rigidez equivalente do sistema. 10 oscilações Massa (g)
Tempo (s) 2,84
800 2,84 3,61 1600 3,44 4,99 2400 4,19
Massa da haste: 168g
Massa da viga: 1914g
Dimensão da viga: largura: 25,35mm; altura: 12,07mm e comprimento: 653mm Para o método analítico, tem-se:
= √
Para calcular o keq leva-se em consideração o kmola e o kviga, pois elas são consideradas as molas do sistema. Assim:
= = = 928,83 / Como a área da secção transversal da viga é retangular, seu momento de inércia
é calculado utilizando a fórmula abaixo:
Assim,
12∗ℎ³
= ∴ .,, . ,., → = 3173,76 / = 928,83 3173,76 → = 4102,58 / Para calcular a Meq do sistema é necessário saber a massa efetiva da mola, a
massa da viga em balanço, a massa da haste e as massas testes. Assim, a fórmula fica:
= 3 0,23. = 0,1364 0,23.1,914 0,168 ∴ 0,663 = 0,663 2,4 = 3,063 = 0,663 1,6 = 2,263 = 0,663 0,8 = 1,463
Logo, a frequência natural analítica é:
5 8 = √ ∴ √ 4102, 3,063 → = 36,6 / 5 8 = √ ∴ √ 4102, 2,263 → = 42,58 /
5 8 = √ ∴ √ 4102, 1,463 → = 52,95 / Para calcular a frequência natural experimental utiliza-se a formulação abaixo:
= 2 = ,+, . → = 0,459 = ,+, . → = 0,3525 = ,+, . → = 0,284 Logo,
= 2 ∴ 0,2459 → = 13,69 / = 2 ∴ 0,32525 → = 17,82 / = 2 ∴ 0,2284 → = 22,12 / Observação: a massa efetiva da mola do sistema consiste na porção da massa da mola que deve ser acrescida a massa de teste do sistema. Para determinar a massa equivalente da mola, vamos considerar o modela abaixo:
Considerando um elemento da mola
, de espessura
e distancia
da
extremidade fixa da mola. Então, a energia cinética desse elemento de mola será dada por:
= 12 ̇
Considerando a velocidade do elemento de massa,
com , então:
̇
, variando linearmente
̇ = ̇
Onde L é o comprimento instantâneo da mola. Aplicando na expressão da energia cinética e integrando, resulta em:
= 12 3 ̇
Pode ser observado que a mola contribui com 1/3 da sua massa na formação da massa efetiva do sistema.
4. Resultado Através do experimento realizado em laboratório de vibrações, pode-se perceber que com o aumento das massas de teste, ocorre um aumento nas deformações da mola no experimento 1, contudo, a mola continua com sua rigidez constante, uma vez que ela permanece no regime elástico. No experimento 2, com a adição da viga surge mais um corpo que trabalha contra o movimento da massa de teste, logo as vibrações tornam-se mais lentas e com menor amplitude para uma mesma massa de teste. Porém o fenômeno da massa continua ocorrendo, ou seja, com a diminuição da massa constata-se uma diminuição do período do movimento e com isso um aumento da frequência natural.
5. Conclusão Com este experimento foi possível concluir que o professor teve o objetivo de mostrar experimentalmente o comportamento de uma mola em dois experimentos diferentes. Assim, teve-se um contato com a prática laboratorial e desta forma, foi possível comparar todos os dados obtidos experimentalmente com os valores teóricos aprendidos em sala de aula e com a literatura.
6. Referências Rao, Singiresu S., 2008, “Vibrações mecânicas”, 4ª Ed. Pearson Prentice Hall, São Paulo.
