1. RESUMO Em todas as maquinas rotativas, pode-se identificar a problemática do desbalanceamento rotativo, algumas de forma mais que outras, o qual a vibração ocorre devido a um deslocamento do centro de massa em relação ao centro geométrico. Sabe-se, que este tipo de problema pode trazer seriíssimas avarias a maquina e/ou estrutura que a suporta, se a freqüência de rotação se igualar a freqüência natural do sistema. Além de problemas como ruído intenso que muitas vezes prejudicam a saúde do operador. A fim de reduzir re duzir a energia vibracional vi bracional do sistema, é necessário nec essário que se conheçam o parâmetros envolvido com o fenômeno, para ter minimizar ao máximo os danos causados pelo mesmo. Utilizando uma modelagem por parâmetros concentrados, transforma-se um sistema continuo em um sistema discreto, e assim, facilitando a analise e controle aos níveis de confiabilidade necessários.
2. INTRODUÇÃO As literaturas de engenharia mostra que existem vários tipos problemas associados a vibração forçada em um sistema com 1 GDL e amortecido. Desta forma, um tipo destes problemas pode ser caracterizado como desbalanceamento rotativo, sendo que a sua aplicabilidade em problemáticas envolvendo vibrações em estruturas é bastante relevante. As estruturas que sustentam máquinas que apresentam tal problema, conseqüentemente vibram o que faz necessário o conhecimento e o controle da amplitude de vibração deste sistema, para que o mesmo não venha a falha quando entrar em ressonância o movimento rotativo do motor. Para o completo conhecimento a cerca do problema deve-se e determinar dos seus principais parâmetros do sistema que são rigidez, massa e amortecimento equivalente. Para isso, devemos representar o modelo matemático relacionando as propriedades dos sistemas, de forma, que possamos chegar à solução do problema. problema. Neste trabalho será abordado o desbalanceamento rotativo em uma viga bi-apoiada com amortecimento estrutural (esterético), com o qual se pode determina os valores de rigidez, massa e amortecimento equivalente, bem como, a freqüência natural associada ao seu grau de liberdade, neste caso, é apenas um.
3. OBJETIVOS No experimento do sistema massa iremos: • • •
• • •
Determinar a rigidez equivalente Determinar a massa efetiva e equivalente Obter o fator de amortecimento na ressonância e a constante de amortecimento equivalente Plotar o gráfico fator de amplificação x relação de freqüência experimental e analítico Plotar o gráfico amplitude x relação de freqüência experimental e analítico Plotar o gráfico ângulo de fase x relação de freqüência
4. MATERIAIS UTILIZADOS Os materiais utilizados na experiência foram: • • • • • •
Bancada universal para teste de vibração (TecQuipment) Motor elétrico Lâmpada estroboscopica Viga de aço de seção retangular Controlador de rotação Trena e paquímetro
1
• •
Balança Micrometro embutido na bancada
A figura 1 (a) ilustra como a bancada para este experimento foi montada. (a)
(b)
(c)
Figura 1 – (a) Configuração da bancada universal para o experimento do desbalanceamento; (b) obtençao do angulo de fase; (c) Detalhe do motor desbalanceado no meio da viga.
5. METODOLOGIA A metodologia em que este trabalho se baseada segue como etapa inicial o conhecimento do problema físico e a partir deste a concepção do modelo físico e matemático por parâmetros concentrados, de forma, que o valor da freqüência natural e relação de freqüência são determinados analiticamente e experimentalmente, onde se determina o erro relativo. Posteriormente, plotar-se os gráficos, considerando o amortecimento na ressonância, do ângulo de fase, fator de amplificação e amplitude variando com a relação de freqüência. Vale ressaltar, que os calculo que serão feito para o modelo analítico serão mostrados na fundamentação teórica. Descrevendo experimento de forma resumida, colocamos uma viga, de aço e massa conhecida, presa em uma bancada de forma que esta represente uma viga bi-apoiada. Um motor de massa conhecida é preso no meio da viga. Ao eixo do motor, existe um disco com um furo para gerar o desbalanceamento. Então, conectamos este junto ao um controlador de rotação e a lâmpada estroboscopica, e ainda, um sistema elétrico conectado a haste do motor que quando fechado o circuito é emitido um flash de luz da lâmpada. Quando o sistema começa a vibrar, é possível mesurar a amplitude por esta distancia de contato. Como a resposta da vibração tem a mesma freqüência que a excitação, defasado por um ângulo de fase, assim, cada vez que o circuito é fechado tem-se um ciclo por uma unidade tempo, ou seja, a freqüência do flash será a mesma da excitação e podemos observar o ângulo de fase através de uma escala que existe no disco acoplado ao motor. Utiliza-se o papel milimetrado para medir as amplitudes e o deslocamento da caneta. As hipóteses adotadas para o problema foram: • •
Dissipação esterética pela viga Modela-se como uma viga bi-apoida, por parâmetros concentrados
6. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 6.1. Rigidez para viga bi-apoida Para obtermos a rigidez de uma viga bi-apoiada com o carregamento aplicado no meio da mesma, devemos considerar que o deslocamendo da viga é proporcional a força aplicada, de forma
2
que o maior valor da flexa será exatamente aonde este carregamento foi aplicado. Portanto, para equaçao de deformaçao elastica da viga, temos:
=
(1)
A figura 3 mostra o diagrama de corpo livre para uma viga bi-apoiada, com a representaçao do momento fletor, a qual a viga é submetida.
Figure 3 – Diagrama de corpo livre de uma viga bi-apoida.
Assim, determinamos os valores de momento fletor antes do carregamento e depois do carregamento. Assim para valores de 0 ≤ ≤ /2, temos:
=
!
−
E para
2
!
≤
!
=
(2)
!
≤ :
(3)
−
2
Como a equaçao como o carregamento é aplicado de forma que a deformaçao será simetrica, a equaçao do deslocamento em funçao do comprimento da viga será a mesma. Sabendo que A equaçao da linha elastica é dada por:
.
! !
=
(4)
Substituindo o valor do momento, temos: .
! !
=
−
2
Calculando a primeira integral da equação, temos a equação da declividade, constante de integraçao que será determinada.
!
é a primeira
3
.
=
−
!
(5)
+ !
4
Calculando a segunda integral da equaçao, temos a equaçao da flexa, onde constante de integraçao a ser determinada. . .
=
−
!
é a segunda
!
12
(6)
+ ! + !
Assim, para encontrar os valores de problema.
e
!
deve-se utilizar as condições de contorno do
!
=
=
→
2
0
=
(0)
→
0
=
0
Substituindo os valores de x na equação da declividade e equação da flexa, os valores de serão: !
=
!
e ! ,
0 !
!
Finalmente, substituindo os valores de ! , temos: . .
!
e
=
!
16
na equação da linha elástica, os valores de
=
−
!
12
!
+
!
e
16
Arrumando a equação, final da linha elatica para qualquer valor de x, será:
=
(−4
!
!
+ 3
48 .
Sendo a equaçao para o deslocamento máximo da flexa, em
!
!"#
=
(7)
)
/2
=
=
/2,
será:
(8)
48 .
Portanto, o valor do deslocamento máximo da viga na equação de deformação elástica equivalente, o valor da rigidez do sistema será:
=
!"
=
48 .
(9)
!
4
6.2. Massa efetiva e equivalente para uma viga bi-apoiada A fim de determinar a massa equivalente do sistema, devemos considerar a influência da massa da viga juntamente com massa do motor no movimento oscilatório. Para isso, utiliza-se os valores das energias cineticas para cada corpo, contudo, deve-se lembra que o sistema se comporta como um corpo rigido. Assim, temos: !
!"
!
=
!"#"$
(10)
+ !
!"#$
Como procurar-se o valor da massa efetiva da viga, olharemos primeiro para a energia cinetica para quer ponto infinitesimal deste corpo. Na figura 4 mostro modelo fisico arranjado para este problema.
Figure 4 – Modelo físico para determinação da massa efetiva.
A partir do elemento infinitesimal da viga, a energia cinetica para este elemento:
!!"#$
1 =
2
!"#$
(11)
!
Considerando que as propriedades da viga nao variam com seu comprimento, a densidade linear da viga para o elemento infintesimal será:
=
(12)
Substituindo na equaçao da energia cinética e integrando no intervalo de x igual a 0 à L !
!
!
!!"#$
=
!
1 2
!
Porém, podemos considerar apenas a metade da viga, devido a simetria da mesma, onde temos:
! /!
!
!"#$
=
2
1
!
2
! /! !
∴
!
!"#$
=
!
(13)
!
5
Para determinar o valor da velocidade podemos utilizar uma relaçao entre a deformação estática e a deformação dinâmica da viga. Na figura 5 representa o modelo considerando a deformações estáticas e dinâmicas.
Figura 4 – Equiparação entre os deslocamentos estaticos e dinâmicos.
Então, relacionando proporcionalmente os deslocamentos com as suas posiçoes, obtem-se:
∆( )
∆( )
=
∴
∆(/2)
=
∆(/2)
(14)
Derivando o deslocamento y no tempo, temos o valor da velocidade para quaisquer pontos da viga. ∆( )
=
∆(/2)
(15)
Substituindo na equação da energica cinetica da viga e ordenando os coeficientes, temos: ! /!
!
!"#$
=
∆(/2)!
!
(16)
!
∆( ) !
Onde ∆( ) é a equaçao da linha elastica e ∆(/2) é a equaçao da flexa maxima para a viga biapoiada, demonstrada anteriormente. Assim, relacionando as equações do deslocamento em quelquer ponto e deslocamento máximo, obtem-se: ∆
∆( )
/2
=
(−4 ! + 3! ) !
Substituindo na equação da energia cinética, chega-se em: !
!"#$
! /!
=
!
!
∆(/2)
!
∆ /2
!
!
(−4 ! + 3! )!
!
Simplificando e reorganizando os termos da equaçao, temos: !
! /!
!"#$
=
!
(17)
(9! ! − 24 ! ! + 16 ! )
! !
Resolvendo a integral definida, obtemos: !
!
17 !"#$
=
35 ! 2
!
6
E finalmente, a equação da energia cinética da viga e o valor da massa efetiva. 17 !"#$
!
!"#$
=
35
!
(18)
2
Substituindo a equaçao da energida cinetica da viga na equaçao de energia cinetica de todo o sistema, determinamos
!"
!
1 =
2
!"#"$
!
+
17 !"#$
35
!
(19)
2
Assim a equação que determina a massa equivalente do sistema será: 17 !"
=
!"#"$
+
35
!"#$
(20)
6.3. Vibração forçada O modelo físico de um sistema com 1 GDL, amortecido e forçado, gerado a partir do problema real, é mostrado na figura 5 a seguir.
Figure 5 – M odelo real e físico de um sistema com 1GDL, com amortecimento esteretico e vibração forçada
Onde !" é a massa equivalente, !" é a rigidez equivalente e !" é a constante de amortecimento equivalente. Se for medido a partir do ponto de equilíbrio estático massa !" , aplicando a segunda lei de Newton e considerarmos o força excitadora que varia no tempo ( ) temos a seguinte equação do movimento !"
+
!"
+ !"
=
( )
(21)
Onde para resolver a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem, assumimos a solução a forma:
=
!
+
!
( )
(22)
Sendo ! e ! () sao a solução homogenea e particular da equaçao do movimento, respectivamente. Contudo a ! é solucionado com um problema de valor inicial, no entanto, tende a zero quando a maquina entra em regime, de forma, que apenas ! ( ) é soluçao da equaçao, como mostra a figura 6.
7
Figura 6 –Solução homogenea, particular e geral para o caso sub-amortecido.
Assim para a força externa, de natureza harmonica, obtemos a seguinte expressão:
=
!
!"#
=
(23)
! sin
E a resposta particular da vibração terá a mesma natureza, porem defasada de um ângulo
!
=
! (!" !!)
=
! sin(
.
(24)
− )
Sendo e são amplitude e fase, respectivamente. E seus valores são solução da equaçao do movimento, deste modo, amplitude será determinada por: !
!
! /!"
=
1
− !
!
+ 2ξ
!
!
! =
(25)
(!" − !" ! )! + (!" ) !
E a fase será determinada utilizando
=
2ξ
!!
tan
1
− !
=
(26)
!"
!!
tan
(!" − !" !
O valor de ξ pode ser obtido, na regiao de ressonância, ou seja, ξ
=
1,
como:
! /!" =
2 !
8
6.4. Desbalanceamento rotativo
Figura 7 – Rotação da massa desbalanceadora.
Na figura 7 mostra uma aplicaçao de um modelo simplificado de um sistema com um 1 GDL, amortecido e forçado para o problema de desbalanceamento em maquinas rotativas. A massa total da maquina será M, e a massa desbalanceadora será m. A força centrifuga, representada por !"#$%!& , pode ser decomposta nas direçoes x e y ou horizontal e vertical. Assim, o somatorio de forças na direçao da força centrifuga para o sistema físico em questão, temos: !
=
!
∴
!
=
(27)
!
!
Sendo que é a massa desbalanceadora e é a excentricidade. Se a posição angular da massa for medida considerando a posição vertical, então sua componente da excitaçao será dada por !
=
!
!
(28)
sin
Então a equação do movimento pode ser extraida da mesma forma que anteriormente. !"
+
!"
+ !"
=
!
!
(29)
sin
A solução da equação será, portanto, idêntica ao que foi mostrado para o modelo de vibração forçada amortecida com 1 GDL. Subtituindo o valor da força desbalanceadora (eq.(25)) nas equações da amplitude e da fase mostrada anteriormente, considerando como nossa solução a o movimento em regime, ou seja, () ! (). =
!
!
!
/!" !
!
→
=
1
−
!
!
+ 2ξ
!
!
=
!"
1
−
!
Onde U é caracterizado como o desbalancemento, amplificação ( R), como sendo:
!
1
!
=
=
1
− !
!
+ 2ξ
!
!
! /!"
!
+ 2ξ
×
!
(30)
. Outrossim, pode-se definir o fator de
(31)
Seguindo com as caracteristicas do fator de amplificaçao pode ser notada como a partir dos graficos mostrados na figura 8, que mostra a relaçao R com a relaçao de frequencia (r) e ainda a
9
relaçao com ângulo de fase para diferentes valores de ξ, ou seja, super-amortecido, subamortecimento e criticamente amortecido.
Figura 8 – Variação de X e
com a relação de frequência.
7. DISCURSSÕES E RESULTADOS Neste tópico, devemos calcular o valor de freqüência natural de forma analítica para isso devemos conhecer a rigidez equivalente da viga e o valor da massa efetiva e equivalente. Onde o ultimo, foi determinado pesando a massa da viga e a massa do conjunto motor . Já rigidez foi determinada a partir dos dados obtidos da geometria da viga. Considerando que a mesma é feito de aço com módulo de elasticidade igual a 207 GPa, seção transversal retangular de 1”x1/2”, comprimento de 0,837 m e massa de 2,086 kg. Além do motor desbalanceado, de 2,972 kg, que tem massa desbalanceadora de 0,0085 kg e a excentricidade de 0,038 m. Portanto, sabemos pela teoria que o problema deve ser tratado é,na verdade, um sistema sub-amortecido, sendo assim, os valor do fator de amortecimento esperado para o experimento deverar ser menor que 1. E para a relaçao de frequencia, sabemos que a fase deverá ser igual a 1. A partir destes parametros podemos calcular frequência natural, rigidez e massa equivalente do sistema.
Massa Equivalente
!"
!"
=
Rigidez Equivalente
48 =
!
!
5 10 /
Freqüência Natural Analítica
17 !"
=
!"#"$
!"
=
+
35
3 9852 ,
!"#$
kg
!
!
_!
_!
=
!" =
!"
116 358 rd/s ,
Com os dados experimentais medidos, utilizando o micrometro embutido e a lampada estroboscopica, podemos determinar o valores de fase e amplitude para cada rotaçao controlada pelo controlador de rotação, e ainda, identificar a regiao de ressonancia atraves da fase, que deverá ser igual a 90, onde a relação de frequência será igual a 1,encontrando assim a frequência natural experimentalmente. Na tabela 1, mostra os dados obtido para cada valor de frequência de rotação do motor, amplitude e fase.
10
Tabela 1 – Valores da fase e amplitude variando com
(RPM)
e _
obtida na ressonância.
! !!"
_
! !"#
_exp
/!_!"
Fase(graus)
Amplitude_exp(m)
825
14
2,40E-04
(RPM) 1200
925
10
2,70E-04
1200
0,771
1025
5
3,50E-04
1200
0,854
1125
4
6,20E-04
1200
0,938
1175
10
1,40E-03
1200
0,979
1200
90
7,37E-03
1200
1,000
1275
150
8,70E-04
1200
1,063
1325
200
5,90E-04
1200
1,104
1400
165
4,60E-04
1200
1,167
1600
160
3,00E-04
1200
1,333
1700
205
2,90E-04
1200
1,417
r
=
0,688
Com os dados referentes ao motor desbalanceado e frequência de rotação poderemos calcular o valor da forças desbalanceadoras e fator de amplificação experimental para cada uma dessas rotações. Na tabela 2, temos os valores da força desbalanceadora e fator de amplificação variando com a frequência natural. Tabela 2 – Valores da força desbalanceadora e fator de amplificação experimental.
Força desbal. (N)
FatorAmplificação (R_exp)
86,39
2,411
5,372
96,86
3,031
4,807
107,33
3,721
5,075
117,81
4,483
7,463
123,04
4,890
15,447
125,66
5,100
133,51
5,758
77,967 8,153
138,75
6,218
5,119
146,60
6,942
3,575
167,55
9,067
1,785
178,02
10,236
1,529
(rd/s)
Então para r 1, Calcula-se o fator de amortecimento esteretico da viga, utilizando a força desbalanceadora e amplitude (deslocamento máximo) para esta condição, e ainda o valor da rigidez equivalente. De posse do valor de ξ, podemos calcular o valor da constande de amortecimento estrutural do sistema. =
Fator de Amortecimento
ξ ξ
! /!" =
=
2 !
0 0067 ,
Constante de amortecimento
!"
!"
=
=
2ξ
!" !"
6 23 . / ,
11
Utilizando o valor do fator de amortecimento, pode-se calcular analiticamente, valores de amplitudes (com a eq. 31), e ainda deteminar os valores de relação de frequência analítica utilizando a rigidez e a massa equivalente. Na tabela 3 são apresentados os valores determinados Analiticamente com equações mostradas na fundamentação teórica. Tabela 3 – Amplitude, relação de freqüência e fator de amplificação para cada valor .
(RPM)
!
_! (RPM)
r _a
Amplitude_a(m)
Fatordeamplificação( R_a)
825
1111,113
0,742
9,96E-05
1,229
925
1111,113
0,832
1,83E-04
2,259
1025
1111,113
0,922
4,64E-04
5,728
1125
1111,113
1,012
3,95E-03
48,718
1175
1111,113
1,057
7,72E-04
9,530
1200
1111,113
1,080
5,71E-04
7,041
1275
1111,113
1,147
3,37E-04
4,163
1325
1111,113
1,192
2,73E-04
3,373
1400
1111,113
1,260
2,19E-04
2,703
1600
1111,113
1,440
1,57E-04
1,932
1700
1111,113
1,530
1,42E-04
1,746
Seguindo a metodologia proposta, podemos enfim esboçar o gráfico da amplitude variando com a relação de freqüência analítico-experimental. A figura 9 mostra o gráfico da relação de freqüência x amplitude. 0,008 0,007 ) 0,006 m ( e 0,005 d u t 0,004 i l p0,003 m A0,002
Experimental AnalíOco
0,001 0 0
0,5
1
1,5
2
Relaçãodefrequência
Figura 9 – Variação de X a relação de frequência.
E ainda, fazendo uso das tabelas 1, 2 e 3 é possível plotar os valores de fator de amplificação e ângulo de fase variando com a relação de freqüência. A figura 10 (a) exibi os valores de fatores de amplificação variando com a relação de freqüência analítico-experimental e a figura 10 (b) representa o valores de ângulo de fase variando com a relação de freqüência.
12
90
4
) R ( 80 o70 a ç a 60 c fi i l 50 p m40 A e30 d r 20 o t a F 10
Experimental AnalíOco
) 3,5 d a r 3 ( e s 2,5 a f e 2 d o1,5 l u g 1 n Â
0,5
0
0 0
(a)
0,5
1
1,5
2
0
RelaçãodeFrequência(r)
0,5
1
1,5
RelaçãodeFrequência
(b)
Figura 10 – (a) Variação de R com a relação de freqüência; (b) variação de
com a relação de frequência.
Com isso nota-se uma discrepância entre valores das freqüências naturais e relação de freqüência, na ressonância, experimental e analítica. Desta forma, determinar-se o valor do erro relativo ao experimento.
Erro relativo a _
erroω
n
=
ωn exp ω
erroω
n
−ω
_
n a
_exp
Erro relativo a na ressonância
×100
error
=
rexp r
n
=
7 4% ,
error
−r
a
×100
exp
=
8%
8. CONCLUSÕES Como já foi discutido, muitas são as aplicações de sistemas contínuos onde podemos aplicar a modelagem por parâmetros concentrados, onde temos um sistema de vibração forçada, com 1 GDL e com amortecimento, sendo assim este trabalho nos mostra-se como pode-se determinar o valor da freqüência natural, rigidez, massa e amortecimento equivalente, neste caso como temos apenas o amortecimento estrutural (esterético) percebe-se como o seu valor é ínfimo, o que significa que para reduzir o tempo de ressonância (maior amplitude) pode ser introduzido no sistema um elemento de amortecimento viscoso ou viscoelastico. Observa-se ainda, que o erro encontrado para o valor da freqüência natural foi em torno de 7,4%, o que valida o experimento nas condições na qual foi realizado. Sabe-se que este erro referente a forma como foi medido as amplitudes, de forma, a inferir erros como paralaxe e mal contato do circuito elétrico. Contudo, como pode ser observado no gráfico da figura 10 (b) existe uma grande dispersão nos resultados, o que nos leva a linearizar o gráfico, e obter os erros nos mesmo. E ainda, quando comparado com o gráfico da figura 8, podemos perceber que a medição do ângulo de fase não foi tão coerente como deveria. Isto acontece devido da freqüência de flash da lâmpada ser diferente da freqüência de rotação do motor. Alem disto, podem existir erros devido a as hipóteses e simplificações feitas para este modelo, principalmente no que se diz respeito à modelagem por parâmetros concentrados. A prática experimental da analise de vibração lateral em uma viga bi-apoiada mostro-nos que a resposta do sistema, em amplitude, relação de freqüência e fator de amplificação no domínio do tempo, apresenta-se como suficiente para determinação de parâmetros essenciais a monitoração de equipamentos submetidos a este tipo de regime (desbalanceamento), tornando possível o controle
13
desses referidos parâmetros, de tal forma que se faça o equipamento trabalhar permanentemente em regime ideal, fora da ressonância, condição que poderá levar falha do material.
9. REFERÊNCIAS Inman, D. J. Engineering Vibration. Pearson Prentice Hall. 2 2001.
th
Ed. United States of America.
Rao, S. S. Mechanical Vibrations. Pearson Prentice Hall. 4th Ed. United States of America. 2004. Pg. 20 e 42 Soeiro, N. S. Curso de fundamentos de vibração. Universidade Federal do Pará, 2008. Soeiro, N. S. Notas de Aula, 2011.
14
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA - ITEC FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA - FEM
DANILO DE SOUZA BRAGA 07188002201
VIBRAÇAO LATERAL EM UMA VIGA BIAPOIADA COM AMORTECIMENTO ESTRUTURAL (DESBALANCEAMENTO ROTATIVO)
1º Semestre / 2011
15
SUMÁRIO 1. RESUMO................................................................................................................................... 1 2. INTRODUÇÃO........................................................................................................................ 1 3. OBJETIVOS............................................................................................................................. 1 4. MATERIAIS UTILIZADOS................................................................................................... 1 5. METODOLOGIA..................................................................................................................... 2 6. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA........................................................................................... 2 6.1 Rigidez para viga bi-apoida............................................................................................. 2 6.2 Massa efetiva e equivalente para uma viga bi-apoiada................................................. 5 6.3 Vibração forçada.............................................................................................................. 7 6.4 desbalanceamento rotativo.............................................................................................. 8 7. RESULTADO E DISCURSSÕES......................................................................................... 10 8. CONCLUSOES....................................................................................................................... 13 9. REFERÊNCIAS...................................................................................................................... 14
16
