Relatório 1 – Calibração Estática de um Manômetro de Bourdon
1
Índice Objetivo: ..................................................................................................................................................................................... 3 Base Teórica: .............................................................................................................................................................................. 3 1-Metodologia:........................................................................................................................................................................... 5 Dados Experimentais:................................................................................................................................................................ 6 Resultados e Análise dos Dados:............................................................................................................................................... 8 Discussão e Conclusões:.......................................................................................................................................................... 13 Referências Bibliográficas:...................................................................................................................................................... 14
Índice de Tabelas Tabela 1. Dados da classificação do Manômetro. Tabela 2 – Dados experimentais de Pressão Tabela 3 – Dados experimentais de Pressão em bar. Tabela 4 – Dados experimentais de Temperatura em oC Tabela 5 – Média e Desvio Padrão das Temperaturas em oC Tabela 6 – Pressão efetiva exercida pelos pesos em bar. Tabela 7 - Variância dos parâmetros da regressão por mínimos quadrados.
6 7 7 7 8 9 10
Índice de Gráficos Gráfico 1 – Curva de Calibração em bar – Ciclo 1 Crescente Gráfico 2 – Curva de Calibração em bar – Ciclo 2 Crescente Gráfico 3 – Curva de Calibração em bar – Ciclo 1 Decrescente Gráfico 4 – Curva de Calibração em bar – Ciclo 2 Decrescente Gráfico 5 – Curva de Calibração em bar – Pressão Média X Pressão Lida
10 12 12 12 13
Índice de Figuras Figura 1 – Aparato experimental:Manômetro e Balança de pressão durante o ciclo de carregamento 5 Figura 2 – Manômetro a ser calibrado. 6 Figura 3 – Termômetro LMD 30 usado para o experimento. 8
2
Objetivo: O objetivo principal deste experimento é propiciar um contato com técnicas de calibração estática de instrumentos de medição, incluindo cálculo de incerteza de medição.
Base Teórica: A teoria usada para este experimento baseia-se nos equacionamentos de estatística e tratamento de dados e modelos específicos para tratar experimentalmente dados de pressão.
Valor médio. O valor média de um conjunto de dados é o resultado da divisão entre a soma de todos os valores pela quantidade de valores: n
∑T
(1)
i
T
=
i =1
n
Desvio Padrão O desvio padrão é o valor que quantifica a dispersão dos eventos sob distribuição normal. Seu cálculo se dá pela média das diferenças entre o valor de cada evento e a média central: (2)
n
∑ (T − T )
2
i
sT =
i =1
n(n − 1)
Incerteza: A incerteza é um parâmetro associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão dos valores. A incerteza combinada da medida y pode ser calculado pela equação abaixo: s
2
∂G s xi = ∑ xi i =1 ∂ n
2 y
(3)
Já o cálculo da incerteza expandida (u y ) que reflete a faixa de dúvidas ainda presente na medição para uma probabilidade de enquadramento. Neste experimento o valor de u y é 95.45% e pode ser calculado pela equação: u y
= k ×s y
(4)
Onde k é o fator de abrangência. O fator k é calculado a partir dos grados de liberdade da variável y (v eff ) e a Tabela referencia em [ (1)].
3
s y4
n
=
v eff
4 s xi
∑ vi
(5)
i =1
Pressão a ser medida. O cálculo da pressão produzida pelas mas sas é feito através da seguinte fórmula: p
= ( p p + pc ) g [1 + (20 − T )C T ]
(6)
g n
Em que: p = pressão exercida pelos pesos da balança [bar] p p = pesos primários pc = pressão exercida pelos pesos complementares [bar] g = aceleração da gravidade local [m/s²] T = média da temperatura [°C] g n = aceleração da gravidade normal: 9,80665 [m/s²] CT = constante de correção para temperatura local: 2 × 10-5 [1/°C]
Método dos Mínimos Quadrados. O método dos mínimos quadrados é uma técnica de regressão matemática que procura encontrar o melhor ajustamento para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre a curva ajustada e os dados. O ajuste é obtido numa forma linear p 0 = mp i + b . Sendo:
m=
N ∑ pi p0 − ( ∑ pi )( ∑ p0 ) N ∑ pi − ( ∑ pi ) 2
(7)
2
( ∑ p )( ∑ p ) − ( ∑ p )( ∑ p p ) b= 2
i
i
0
i
N ∑ pi − ( ∑ pi ) 2
0
(8)
2
E os desvios padrão dos parâmetros calculados são obtidos pelas equações abaixo: 2 p0
s
∑ ( mp =
i
+ b − p0 )
s p2
(9)
N
∑ pi sb = N ∑ pi − ( ∑ pi ) 2
2
2
0
2
2
(10)
4
Ns p2
2
sm =
0
N ∑ pi − ( ∑ pi ) 2
2 pi
s
=
s 2p0 m2
2
(11)
(12)
1- Metodologia: A metodologia usada para realizar este experimento foi a seguinte: Foram utilizados dois equipamentos para realização deste experimento: 1- Um manômetro de pressão e 2- A Balança de Pressão Sendo que a balança de pressão foi usada como padrão para calibração do manômetro. O experimento foi iniciado limpando o manômetro e montando-o no dispositivo. Depois o tubo foi preenchido com o fluido hidráulico com cuidado para evitar acúmulo de bolhas de ar no óleo, agindo na válvula de contenção. Em seguida, iniciou-se o procedimento de calibração do manômetro. O técnico colocou massas de referencia sobre a balança sendo que cada massa estava marcada com a pressão equivalente que exerce sobre a balança em unidades de bar . Este procedimento foi feito utilizando cinco pressões pré-estabelecidas. Em cada ponto foram-se obtendo os dados experimentais para este experimento: 1 A pressão equivalente do massa padrão, 2 A pressão indicada no manômetro e 3 A temperatura do laboratório medida em três termômetros distribuídos no laboratório). O experimento foi realizado em dois ciclos, sendo um de carregamento e um outro de descarregamento. O Ciclo de Carregamento 1 iniciou com pressão zero sobre o manômetro, vide figura1.
Figura 1–Aparato experimental – Manômetro e Balança de pressão durante o ciclo de carregamento
As pressões produzidas por massas padrões foram comparadas com as pressões indicadas pelo mostrador do manômetro. 5
Fez-se isso utilizando cinco pontos pré-estabelecidos. Esses pontos foram atingidos cada um quatro vezes. Foram feitos dois ciclos crescente-decrescente, ou seja, em cada ciclo foi colocado massa até que o mostrador estivesse no primeiro ponto pré-estabelecido, depois no segundo e assim por diante, até o quinto. Depois a massa (Ciclo de Descarregamento) foi retirada, chegando ao quarto, ao terceiro e decrescendo até ficar completamente sem massa novamente.
Dados Experimentais: Os dados do manômetro calibrado são: Tabela 2. Dados da classificação do Manômetro.
Fundo ou Faixa de escala: Valor de uma divisão: Resolução assumida: Classe
21 Kgf/cm2 1 Kgf/cm² 0.5 Kgf/cm² C
Figura 2 – Manômetro a ser calibrado.
6
- Dados Experimentais de Pressão Tabela 2 – Dados experimentais de Pressão SMP [bar]
SMC Pontos 1
1° CICLO
2°CICLO
Pressão Crescente Decrescente Crescente Decrescente [Kgf/cm2] 0 0 0 0 0
2
5
4,9
4,1
4,6
4,2
3
10
10
8,95
9,55
9,2
4
15
15,5
14,15
14,75
14,25
5
21
21,2
21,2
20,7
20,7
Tabela 3 – Dados experimentais de Pressão em bar. SMP [bar]
SMC
1° CICLO
2°CICLO
Pontos
Pressão [bar]
1
0
0
0
0
0
2
4,903325
4,9
4,1
4,6
4,2
3
9,80665 14,70997 5 20,59396 5
10
8,95
9,55
9,2
15,5
14,15
14,75
14,25
21,2
21,2
20,7
20,7
4 5
Crescente Decrescente Crescente Decrescente
Sendo: SMC – pressão lida no manômetro e SMP – Pressão verdadeira indicada pelas massas.
- Dados Experimentais de Temperatura: Existem 3 termômetros localizados em três diferentes locais do laboratório e foram anotadas as temperaturas desses 3 termômetros em cada uma das fases e ciclos, pois a medição depende da temperatura local. A variação de temperatura entre os três termômetros foi devido possivelmente pela aglomeração dos alunos que ficaram muito próximos a dois dos termômetros e afastados do terceiro. Os dados de temperatura foram: Tabela 4 – Dados experimentais de Temperatura em oC
% VFE 0 5 10 15
Temp Crescente 1 Temp Decrescente 1 ciclo ciclo T1 T2 T3 T1 T2 T3 21,6 21,3 21 23,5 23 22 21,8 21,6 21,3 23,5 23 22,1 22,7 22 21,5 23,6 23 22,2 23 22,6 21,8 23,6 23,1 22,3
Temp Crescente 2 Temp Decrescente 2 ciclo ciclo T1 T2 T3 T1 T2 T3 23,7 23,1 22,4 23,9 23,1 22,6 23,7 23,1 22,4 23,9 23,1 22,6 23,8 23,1 22,5 24 23,2 22,7 23,8 23,1 22,5 24 23,3 22,9 7
20
23,5
23
22
23,7
23,1
22,4
23,9
23,1
22,6
24,1
23,4
23
- Gravidade Local: •
g local: 9,7808439 m/s²
- Pressão Atmosférica: •
Pressão atmosférica: 675 mmHg
Resultados e Análise dos Dados: Os resultados obtidos foram os seguintes: - Cálculo das médias e desvio padrão das temperaturas. Usando as fórmulas 1 e 2, temos: Tabela 5 – Média e Desvio Padrão das Temperaturas em oC
Média Sx 22,04 0,77 Temp Crescente 1 ciclo 67 72 Temp Decrescente 1 0,73 ciclo 22,94 8 0,66 Temp Crescente 2 ciclo 23,12 77 Temp Decrescente 2 0,66 ciclo 23,32 34 22,85 0,71 Valores Médios 67 16
- Cálculos das Pressões efetivas: Usando a fórmula 6 e para p C = 0 , temos:
Tabela 6 – Pressão efetiva exercida pelos pesos em bar.
Pressão exercida pelos pesos [bar] Ponto 1 2
1º Ciclo Crescente
0 4,886826
2º Ciclo
Decrescente
0 4,088977
Crescente
0 4,587633
Média
Desvio Padrão
Decrescente
0 4,188708
0 4,45
0 0,31934 8
9,973115 15,45833 21,143
3 4 5
8,925938 14,11196 21,143
9,524325 14,71035 20,64435
9,175266 9,425 14,21169 14,6625 20,64435 20,95
0,393596 0,533148 0,250597
Variâncias As variâncias associadas à curva de calibração são calculadas pelas fórmulas, 09, 10, 11 e 12, então: Tabela 7 - Variância dos parâmetros da regressão por mínimos quadrados.
Variância s p2 0
Magnitude [kgf/cm2]2 0,00921531833422245
2
0,00515316424279853 3,37758313646036 0,00966592745411285
sb
2
sm
s p2 i
Para calcular a incerteza Sy temos primeiro que calcular as derivadas da fórmula 6 para as variáveis pc , g e T . Então temos: ∂ p ∂ pc ∂ p ∂ g ∂ p ∂T
=
=
g g n
[1 + (20 − T )C T ]
( p p + p c )
g n
[1 + (20 − T )C T ]
= −C T ( p p + pc )
g g n
E utilizando a fórmula 3, temos: de s y2
2
∂G = ∑ s xi ( 3) i =1 ∂ xi n
temos 2
2 2 g ( p p + pc ) g [1 + (20 − T )C T ] × s g = [1 + (20 − T )C T ] × s p + g + − C T ( p p + pc ) g × sT g n n n 2 −14 2 Substituindo os valores para s g = 6,25 ×10 , s p
=1,44 ×10 −4 e sT = 0,256441 , temos que
Valores de Sy:
Sy1 Sy2 Sy3
0,011967 74 0,011967 91 0,011968 9
49 0,011969 55 0,011971 43
Sy4 Sy5
A incerteza combinada IC é calculada da seguinte equação: 2 y
2
IC = s + ( EA) +
(2 Re) 24
2
+
(0,00122 P n ) 12
2
,
(13)
Onde, •
P n é a maior pressão aplicada á balança, sendo . P n = 21,143 bar
•
Re é a resolução assumida para o instrumento, neste caso 0,25 bar.
•
EA é o erro aleatório calculado como três desvios padrão ( 3 s ), com o fim de cobrir um 99.7% na curva de Gauss.
•
Os coeficientes são ponderações de quanto o resultado da Incerteza com mudanças em Re e P n.
y
Temos então os Valores de IC: IC1 IC2 IC3 IC4
0,6863 62 0,6863 77 0,6864 05 0,6864 54
Calculando veff (usado para calcular a incerteza expandida), temos: veff
=
s y4 n
s xi4
∑v i =1
i
=
s y4
sT 4 s p4 s g 4 + + 3 1 1
Temos então: Ptos Veff 1 2,0712 2 2,0713 3 2,0715 4 2,0719 10
5 2,0725
E para Veff igual a 2 e k usando uma confiabilidade de 95,45%, temos, k = 4,53. Logo, a incerteza expandida fica: u f = k × s f = 2,87 × 0,012 = 0,054
A curva de calibração é obtida numa forma linear p 0 = mp i + b em que m e b são calculados pelas fórmulas 7 e 8, respectivamente. Os parâmetros de calibração m e b, obtidos são: m = 0,976412668161257 e b = 0,0034 Sendo a curva
de calibração: Po = 0,97641*Pi + 0,0034
Curvas de Calibração Gráfico 1 – Curva de Calibração em bar – Ciclo 1 Crescente
11
Gráfico 2 – Curva de Calibração em bar – Ciclo 2 Crescente
Gráfico 3 – Curva de Calibração em bar – Ciclo 1 Decrescente
Gráfico 4 – Curva de Calibração em bar – Ciclo 2 Decrescente
12
Gráfico 5 – Curva de Calibração em bar – Pressão Média X Pressão Lida
Discussão e Conclusões: A calibração é um instrumento eficaz para verificar a validade das medições, de forma que levando em conta certas incertezas e variações do resultado, seu desvio pode ser perfeitamente aceitável pela proximidade dos cálculos teóricos. Porém como a teoria se baseia em formas perfeitamente lineares e as realidades abrangem muito mais variáveis do que muitas vezes pode-se registrar, o modelo real tornase dinâmico, contudo próximo da linearidade pelo controle. Os resultados obtidos de de Spi e Sp0 ficaram bem próximos neste experimento. Isto é devido a linearidade e relação de proximidade das relações (quase de um para um) do sistema, porém tais resultados possuem significados diferentes.
13
A variância Sp0 (=0,0092) está relacionada aos valores teóricos do experimento, já a variância Spi (=0,0096) se refere a variação dos valores reais que se encontram dentro da faixa compreendida entre o valor médio e mais ou menos essa variação. A incerteza combinada se relaciona de forma que avalia a possibilidade de o valor estar fora dos padrões atribuídos nessas condições o que constitui algo muito difícil de acontecer pela ordem desse fator. A partir da curva de calibração podemos agora interpretar valores obtidos experimentalmente para esse sistema e ter uma noção da variação dos resultados que o envolvem sendo a temperatura um dos principais causadores dela. Vê-se que o método de regressão linear por mínimos quadrados é apropriado para estimar os parâmetros de calibração dos manômetros tipo C.
Referências Bibliográficas: - DOEBELIN, E. O. Measurement systems Ed McGraw-Hill; - Llanos, Carlos. Incerteza de medição. Faculdade de Tecnología: Guia de Laboratório. Universidade de Brasilia. - Pereira, Mariana da Fonseca. Cálculo da Incerteza de Medição na Calibração de uma Balança de Pressão. Natal: Departamento de Engenharia Química, junho 2006. Universidade Federal do Rio Grande Do Norte.
14
