Probabil obabiliidad de transici transición ón por uni unidad de tie tiempo (segunda regl regla deoro de F ermi) 1 El comportamiento comportamiento de un sistem sistema mecániconico-cuántic cuántico o se descri describe be medi ediante su funci función ón de onda que es la solución de la ecuación de Schrödinger.
ih
∂ = Hψ ∂t
donde H es el Hamiltoniano del sistema. Si H es dependiente pendiente del tiem tiempo se lo lo puede separar en una parte rte dependiente pendiente y en otra que no sea dependiente
H = H 0 + H1(t) Conociendo las soluciones para H0 buscamos buscamos las las deH deH, utilizando la teoría de perturbaciones. Esta teoría considera que H1 << H0 (a H1 lo llamamos el Hamiltoniano de perturbación o de interacción). L a función función de ondadel del siste sistem ma no perturbado (soluci (solución ón de la ecuación ecuación con H0) tiene la forma
(q, t) = u(q)e−iEt / h Si se asume sume queen t =0 =0 el sistem sistema se encuentra en en un estado estado ini inici cial al i no perturbado, se ti tiene eneque: que:
H 0ui = Ei ui Donde ui y Ei son las funciones propias y valores propios de la energía del Hamiltoniano H0 y cumplen:
∫ u u dq = δ * f i
if
tan tan pronto como la la perturba perturbaci ción ón comienza enza (la (la cual induce la transi transici ción). ón). L a función función de onda se puede puede expresar expresar com como la la superposici rposición ón de las funci funciones ones de de ondadel del sistem sistema no perturbad rturbado,
= ∑ ai (t) ⋅ ui e−iEit / h i
donde la ui son inde indepe pendi ndiente entes del del tiem tiempo, más más no las las ai, como se muestra explí explícitam citamente. Adem demás la condición condici ón ini inici cial al señal señala que que para toda f
a f (0) = δ if Cuando uando la la perturbaci perturbación ón ha actuado actuado por un tiem tiempo t, la la probabi probabillidad de que el sistem si stema ha ha efectuado una transición al estado f no f no es cero, el índice f caracteriza f caracteriza cualquier estado final de un 1
Esta deducción ducción puede puede ser omiti omitida da en el estudio, dio, sin sin embargo bargo la l a expresión xpresión de la la segundaregla de Fermi debeser muy bien bien expli xplicada.
espectro discreto o continuo. Para evaluar la probabilidad de transición se tiene que encontrar los coeficientes af (t). Reemplazando la forma general de ψ en la ecuación de Schrödinger para el Hamiltoniano total, se tiene:
ih ih ∑ i
∂ = (H 1 + H 0 )ψ ∂t
∂ai −iEi t / h ui e = ∑ H1ai ui e−iEi t / h ∂t i
multiplicando por la conjugada de la función de onda propias e integrando en todo el volumen, la relación de orto-normalidad conduce a
∂a f ∂t
=
1 iω t ai H 1fi e fi ∑ ih
donde se ha definido
H 1fi = ∫ u*f H1ui dq y representan los elementos de la matriz de transición dadas por el Hamiltoniano de perturbación H1., y ω fi =
E f − Ei h
La aproximación de perturbación se usa para realizar la integración de la derivada de los coeficientes, y consiste en reemplazar H1 por ε H1 y expresar las ai en serie de potencias de ε .
as = as(0) + ε as(1) + ε 2as(2) + ... hay que notar que:
ai(0) = ai (0) = 1 reemplazando en la correspondienteecuación se tiene:
∂a(f 0) ∂a(f 1) 1 iω t + ε + .... = ∑ [ε ai(0) + ε 2ai(1) + ....]H 1fi e fi ∂t ∂t ih a) orden cero
∂a(f 0) =0 ∂t a(f 0) = δ fi = cte
b) orden uno (primera aproximación)
∂a(f 1) ∂t
=
1 1 iω t iω t ai(0) H 1fi e fi = H 1fi e fi ∑ ih i ih
la cual se puede integrar para obtener: t
(1) i
a
1 1 iω t´ iω t H 1fi (1− e fi ) = H 1fi ∫ e fi dt´= ih hω fi 0
Si se desprecian las aproximaciones de mayor orden. Obtenemos que la probabilidad de transición del estado inicial al final es:
a(f 1)
2
= 4 H 1fi
2
(hω fi )− 2 sen2 ⎛ ⎜ 1 ω fit ⎞⎟ ⎝ 2
⎠
Si se tiene un grupo de estados finales cuya energía es casi la misma, los podemos tratar como un continuo y expresar el número de estados por intervalo de energía alrededor de la energía final en forma de una densidad de niveles ρ (Ef ). Si se asume que los elementos de matriz del Hamiltoniano de interacción varía suavemente con f dentro del grupo de estados finales en la región alrededor de Ef al cuadrado de estos elementos de matriz se lo puede considerar independiente de Ef y tratarlo como un valor constante. La probabilidad de transición por unidad de tiempo (en primer orden de perturbación) desde el estado inicial a todos los estados accesibles finales está dada por: ∞
2
2 1 1 Wfi = ∑ a f = ∫ a f ρ (E f )dE f t f t −∞
note que dE f = hdω fi Si se consideran los estados finales dentro de una banda de energía deancho ΔE<
Wfi =
4 H 1fi ρ (E f ) ht
∞
∫ −∞
sen2 (ω fi t / 2) ω 2fi
dω fi
obteniéndose,
Wfi =
2π h
ρ (E f ) H 1fi
2
que sele conoce con el nombre de la segunda regla de oro de Fermi.
Como se ha mencionado anteriormente existe una relación directa entre la probabilidad de transición y la sección eficaz. Para encontrar dicha relación se considera una colisión elástica. En tiempos muy antes y muy después de la colisión la partícula incidente y dispersada pueden ser consideradas libres. Si se considera las funciones propias del operador cantidad de movimiento, normalizadas con las condiciones de borde periódicas,
− ih∇up (q) = pup (q) 1 ikr⋅qr up (q) = 3/ 2 e L Al considerar la colisión elástica, habrá una transición en el estado (de cantidad de movimiento) del proyectil. L a probabilidad de tal hecho, evaluado por la aproximación de perturbación, esta dado por Wfi y no es otra que la razón entre el volumen de interacción efectivo, barrido por la partícula, y el volumen total L3. Una partícula moviéndose a velocidad υ i en el sistema centro de masa, barre un volumen de interacción efectivo, por unidad de tiempo υ i dσ De manera que:
Wfi =
υ i
L3
dσ
en colisiones elásticas no hay transferencia de energía en el CM sino solo de cantidad de movimiento. Esto sugiere que se utilice las funciones propias del operador cantidad de movimiento en lugar de las energéticas para determinar la probabilidad de transición. Si se introduce el vector de onda inicial como r
r
ki = pi / h y un análogo para el vector de onda final. Si además, r
r
r
ki − kf = k con r
r
ki = kf = k
(colisión elástica)
asumiendo que la perturbación se produce por una fuerza dedispersión esférica-mentesimétrica, r r 1 i k⋅ q H = ∫ u H 1ui dq = 3 ∫ H 1e dq L
1 fi
* f
en coordenadas polares,
H 1fi =
1 H1(r ) ⋅ eikr cosθ r 2senθ drdθ dφ 3 ∫∫∫ L ∞
4π senkr H = 3 ∫ H1(r )r 2 dr kr L 0 1 fi
Por otro lado, la densidad de estados finales esta dada como:
dN f
dΩ(hk)2 d(hk) ρ (E f ) = = dE f h3dE f 3
⎛ L ⎞ m ρ (E f ) = ⎜ ⎟ 2 k f dΩ ⎝ 2π ⎠ h de la relación anterior,
dσ L3 Wfi = dΩ vi dΩ de manera que, ∞
dσ 2m senkr = 2 ∫ H 1(r )r 2 dr dΩ h 0 kr
2
relación que se le conoce con el nombre defórmula de colisión de Born.
