Universidad de Cuenca Facultad de Ingeniería Ecuaciones Diferenciales
Autora:
Trelles Lituma Gabriela Marisol
Profesor:
Ing. Corral Serrano Serrano Miguel Miguel Guillermo Guillermo
eléctrico Tema: Analogía entre un sistema mecánico y un sistema eléctrico
Fecha: 15/06/16 Cuenca-Ecuador 1
Tabla de contenido
Resumen ......................................................................................................................................... 3 Introducción .................................................................................................................................... 3 Objetivos ......................................................................................................................................... 3 Sustento teórico ............................................................................................................................. 4 Sistemas eléctricos ..................................................................................................................... 4 Circuito en serie ................................................ ..................................................... ................ 4 Circuito en paralelo .................................................... .................................................... ....... 5 Sistemas mecánicos .............................................. ..................................................... ................ 5 Tipos de analogías mecánico-eléctricas................................................ .......................................... 6 Tabla 1-Tipos de analogías mecánico- eléctricas .................................................... .............. 7 Analogía tipo impedancia ........................................................................................................... 7 Tabla 2- semejanza entre un sistema sistema eléctrico RLC y un sistema mecánico de translación . 9 Analogía tipo admitancia.................................................. .................................................... ....... 9 Tabla 3- Semejanza entre un sistema sistema eléctrico y un sistema mecánico mecánico de rotación .......... 10 Ejemplo 1 sistema mecánico........................................................ ................................................ 10 Ejemplo 2 sistema eléctrico ........................................................ ................................................ 12 Conclusiones ................................................... ...................................................... ...................... 14 Bibliografía ...................................................... ...................................................... ...................... 14
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Resumen
En este trabajo investigativo y comparativo se presentan lineamientos para la modelación matemática aplicada a ecuaciones diferenciales, estas utilizadas tanto para un sistema eléctrico como para un sistema sistema mecánico. Este trabajo trabajo se encontrara enfocado enfocado en ver su analogía (semejanza) y la relación que existe entre los sistemas ya antes mencionados y para la mejor comprensión de los temas se desarrollara desarrollara ejemplos donde se vera de de manera clara las analogías que existen en estos sistemas.
Introducción
Este trabajo trata de la analogía entre un sistema mecánico y eléctrico mediante modelación de ecuaciones diferenciales, se analizara el el comportamiento del sistema eléctrico y el mecánico basado en un sistema de masa –resorte y masa resorte – amortiguador. amortiguador. Tenemos Tenemos que tomar varios aspectos aprendidos en la materia como son las ecuaciones diferenciales de segundo orden para la resolución de los ejemplos y conocimientos básicos sobre electricidad y leyes de newton estas para el sistema mecánico. Nosotros en la vida nos encontramos con diversos problemas que pueden ser solucionados mediantes ecuaciones diferenciales, se presentan de muchas maneras tanto tanto física. Se comparara cada uno de los elementos utilizados en cada sistema sistema para encontrar o visualizar su analogía y así lograr un buen entendimiento del mismo. Objetivos
Comprender que es una analogía. Conocer las características que poseen poseen un sistema mecánico mecánico y eléctrico. Realizar una comparación comparación entre los sistemas mencionados, mencionados, para así así llegar a conocer la la analogía de estos sistemas. Realizar ejercicios de sistemas mecánicos y eléctricos mediante ecuaciones diferenciales. diferenciales. Comprender la importancia de las ecuaciones diferenciales al momento de resolver ejercicios de sistemas mecánicos y eléctricos.
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Sustento teórico
Para poder realizar una analogía analogía es esencial conocer su significado por ello, una analogía quiere decir una semejanza entre cosas distintas, por lo cual se denomina un sistema análogo a aquellos que poseen igual modelo matemático pero que físicamente son totalmente distintos. Una ecuación diferencial es una ecuación en la cual intervienen derivadas derivadas de una una o más más funciones desconocidas x(t), x(t), estas dependen del número de variables variables independientes respecto respecto de las que se deriva estas se dividen en dos: 1. Ordinarias: Ordinarias: Son aquellas que poseen derivadas respecto a una sola variable independiente. 2. Con derivadas parciales: parciales: Son aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. Ahora definiremos lo que son un un Sistema eléctrico y mecánico. Sistemas eléctricos:
Un sistema eléctrico es el recorrido que realiza la electricidad (flujo de de electrones) a través de un conductor, desde una fuente fuente de energía hasta su lugar lugar de consumo. Los circuitos eléctricos tienen diversas maneras de conectarse como lo es en serie, paralelo o mixta. Pero en si un sistema eléctrico es una seria de elementos eléctricos, así como lo son las resistencias, inductancias, capacitores, capacitores, fuentes y dispositivos electrónicos los cuales cuales son semiconductores, conectados eléctricamente entre sí con el fin de generar señales eléctricas. eléctricas. Circuito en serie
Configuración de conexión en la que los bornes o terminales de los dispositivos se conectan secuencialmente. Estas poseen algunas características como lo son:
=1+2+⋯; =1=2=⋯= =1+2+⋯+ 1 = 1 + 1 + ⋯+ 1 1 2 Un capacitor sirve para poder almacenar energía de manera de campo eléctrico su unidad unidad es el Faradio (F), una resistencia es la oposición que tienen los electrones de moverse de un lugar a otro y viene dado en ohmios(Ω), ohmios(Ω), la intensidad es el flujo de carga por unidad de de tiempo y viene
dado en amperios(A).
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Circuito en paralelo
Es una conexión donde los puertos de entrada de todos los dispositivos conectados coincidan entre sí, lo mismo que sus terminales de salida.
=1=2=⋯=; =1+2+⋯+ Para resistencias: = + + ⋯ + Para capacitores: =1+2+⋯+ Para generadores:
Figura 1- circuito en serie
Figura 2- circuito en paralelo
Una manera de diferenciar si un circuito se encuentra en serie o en paralelo paralelo depende del número de nudos que compartan compartan dos elementos cualesquiera, cualesquiera, es decir si comparten comparten un solo nudo se encuentran en serie y si comparten dos nudos están en paralelo. Sistemas mecánicos:
Están formados por dispositivos o elementos que tienen como función transformar o transmitir el movimiento desde las fuentes que lo generan. Se caracterizan por tener elementos sólidos con el objetivo de realizar movimiento por acción de una fuerza. En la actualidad la mayor cantidad de sistemas mecánicos son propulsados por motores de combustión interna, entre los sistemas más utilizados se encuentran los resortes, amortiguadores los cuales podemos resolver mediante ecuaciones ecuaciones diferenciales que lo veremos más adelante . Los elementos más comunes son poleas, resortes entre otros.
Figura 3- Sistema mecánico
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En la analogía del sistema mecánico al circuito eléctrico las fuerzas que actúan en el sistema mecánico se convierten en fuentes fuentes de corriente es decir la F que es fuerza será igual a V que es una fuente de energía ya sea alterna o continua continua y los desplazamientos mecánicos en un sistema sistema eléctrico seria al potencial eléctrico. Como podemos ver existe mucha semejanza semejanza entre estos dos sistemas, por ello lo analizaremos más adelante. adelante. La solución de una ecuación que define un sistema sistema puede ser resuelta por un un sistema análogo de otro otro campo en este momento analizaremos analizaremos en un sistema sistema mecánico al eléctrico. Es decir, si se traslada un sistema mecánico mecánico a un sistema eléctrico equivalente, se podrá aplicar los conceptos de los circuitos eléctricos para resolver el sistema. sistema. Para resolver sistemas eléctricos de cualquier tipo, tanto en su parte temporal o transitoria como en la permanente podemos resolver mediante ecuaciones diferenciales y mediante la transformada de Laplace, de cualquiera de las dos formas son son válidas, para poder resolver resolver estos sistemas es necesario tener tener un conocimiento de de eléctrica ya que que utilizamos la ley de Ohm, la cual dice que el voltaje es igual a la intensidad por por la resistencia resistencia es decir: decir: . Para resolver un sistema mecánico en cambio se se va a tener tener que distinguir entre dos sistemas mecánicos si es de rotación o translación y estas estas están dadas por por las leyes de newton.
= ∗ (1)
Tipos de analogías mecánico-eléctricas
Podemos realizar comparaciones entre un sistema sistema eléctrico y uno mecánico, pero debemos debemos tomar en cuenta diferentes aspectos; por ejemplo dentro de esta asimilación entre este par de sistemas se las puede realizar según la corriente. Y se conoce que en un sistema eléctrico las ecuaciones diferenciales que comandan este fenómeno son: Tabla 1-Tipos de analogías analogías mecánicomecánico- eléctricas
Analogía tipo Impedancia ( Fuerza
Voltaje)
Analogía tipo Admitancia ( Fuerza
Corriente)
Como ya vimos los dos tipos que existen de analogías ahora analizaremos analizaremos cada una a más detalle. En esta primera analogía se realizará respecto al voltaje es decir analogía tipo impedancia , por ejemplo entre un circuito RLC y un sistema mecánico de masa-resorte; en donde si se considera.
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La impedancia mecánica Zm se define como la relación compleja entre la fuerza eficaz que actúa sobre un área de un dispositivo mecánico (o un medio acústico) y la velocidad eficaz compleja lineal resultante a través de tal área. Sus unidades son los Ohmios mecánicos (N*seg)/m. Su modelo dinámico de masa-resorte masa-resorte viene dado por: por:
+ +=( +=(),(2) Por lo tanto su función de transferencia la cual relaciona la entrada con su salida viene dada por la siguiente ecuación:
() = 1 (3) () ++
Para un circuito eléctrico RLC que quiere decir resistencia, inductancia y capacitancia.
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Ya que se conoce que en un sistema eléctrico eléctrico las ecuaciones diferenciales que comanda este fenómeno es:
() (4); () = ( Al aplicar las leyes de Kirchhoff se tiene
() + 1 ∫ ()(5) () = ( () + ( Ahora dejamos todo en en función de la carga eléctrica tendremos:
() (6) () = () + () +
Por lo tanto su función de transferencia la cual relaciona la entrada con su salida viene dada por la siguiente ecuación:
() = 1 (7) () + 1 + 1 Ahora teniendo las ecuaciones resultantes resultantes tanto del circuito eléctrico RLC con el sistema sistema masaresorte se puede llegar a algunas conclusiones:
() () () () = + + ; () = () é () () () = + + (); () = () á Tabla 2- semejanza entre un sistema sistema eléctrico RLC y un sistema sistema mecánico de translación translación
Sistema eléctrico (RLC)
Sistema Mecánico de translación
Inductancia (L) Resistencia (R) Corriente (i = dq/dt) Voltaje (V) Carga (q) Inverso del capacitor (1/c)
Masa (m) Coeficiente de rozamiento (b) Velocidad (dx/dt) Fuerza (F) Desplazamiento lineal (x) Constante de elasticidad (k)
Estos dos sistemas poseen poseen mucha similitud.
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Ahora continuaremos con el siguiente tipo de analogía admitancia es decir fuerza- corriente. Y un sistema masa-resorte-amortiguador El sistema mecánico de admitancia consiste consiste en amortiguadores los cuales cuales reaccionan mediante torque, para ser exactos los sistemas mecánicos vienen dado por la segunda ley de newton la cual dice:
∑=.
Donde J es el momento de inercia, y es la aceleración angular. En un circuito:
Las
funciones que modelan modelan son las vistas anteriormente: anteriormente:
() (8) () = ( () (9) () = 1 ∫ () + () + ( Si el sistema mecánico es el mismo que el que utilizamos en la analogía analogía 1, masa-resorte el cual estaba regido por la siguiente ecuación:
() () () = + +() Poniendo la ecuación obtenida en función del flujo f lujo magnético, y comparando con la ecuación de nuestro sistema mecánico (masa-resorte-amortiguador), se tiene:
() + 1 (); () = ( () é () = () + 1 ( () () () á () = + + ( (); () = ( 9
Con las dos ecuaciones obtenidas obtenidas se puede llegar a la siguiente tabla de semejanza. Tabla 3- Semejanza entre un sistema eléctrico y un sistema mecánico de rotación
Sistema eléctrico
Sistema Mecánico de rotación
Capacitor (c) Inverso de resistencia (1/R) Corriente (i ) Voltaje (V) Flujo magnético ) Inverso de inductancia (1/L)
Masa (m) Coeficiente de amortiguador (b) Fuerza (F) Velocidad (V) Desplazamiento (x) Constante del resorte (k)
(
Ahora para una mejor mejor comprensión se realizara unos unos ejemplos los cuales los resolveremos mediante ecuaciones diferenciales de segundo orden. Para realizar el ejemplo realizaremos con la analogía analogía tipo impedancia es decir, Fuerza Fuerza ---Voltaje. se encuentra sujeta a un Ejemplo 1: En un sistema mecánico hay un bloque con masa de 9kg se resorte con una constante de elasticidad de 5 N/m. Se suelta desde el reposo desde una altura de 40cm por encima de la posición de equilibrio del sistema y esta acoplado a un un amortiguador con B=18. DATOS: m = 9kg K = 5 N/m B = 18 kg/s x = 0.4 m F=0N Se tiene la ecuación para para resortes que viene dada por:
x dx d m dt + B dt +kx=F(t) Reemplazamos los datos que tenemos del problema, problema, la fuerza es cero ya que cuelga de reposo: reposo:
x d 9 dt + 18 dxdt +5x=0 Si escribimos la ecuación diferencial a la forma de operadores operadores diferenciales 10
(9D +18D+5) +18D+5) x(t) = 0 Para obtener los valores para los cuales la ecuación diferencial es 0 :
4 ∗ 5 ∗ 9 18 ± 12 18± √18 D= = 18 18 D = D = Por lo tanto la solución particular del desplazamiento en función del tiempo del sistema es
( ) =
− − +
Derivamos para obtener la velocidad en función del tiempo
5 −/ 1 − () = 3 3 Debido a la condiciones iniciales se tiene que para t = 0: x = 0.4 m
y v = 0 m/s
(0) = + = (1) (0) = = 0 (2) De modo que = 5 , reemplazando en (1) se tiene 4 = Llegamos a que la solución del sistema para el desplazamiento
() = 12 − + 101 −
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ci rcuito eléctrico es decir la Ejemplo 2: Con el mismo ejemplo vamos a trabajar ahora para un circuito analogía del sistema mecánico del ejemplo 1. En un circuito RLC (resistencia, (resistencia, inductancia y capacitancia) se tiene una inductancia inductancia de 9 faradios una resistencia de 18 ohmios ohmios y una capacitancia de 1/5 1/5 henrios. henrios. DATOS: L=9f c =1/5 h R = 18 Ω
En este circuito solo existe parte transitoria transitoria ya que el voltaje es 0 de la fuente, sin embargo el voltaje que almacena el capacitor hace funcionar al circuito por por eso existe la transitoria. La ecuación diferencial que modela este circuito es:
() () () + + =() Reemplazamos datos:
9 + 18 +5()=0 Ahora
escribimos
en
forma
de
operadores
diferenciales
(9D +18D+5) q(t) = 0 Se nota que esta ecuación es la misma que en el ejemplo1 por ello ya sabemos los valores de D1 y D2
D =
D =
Ya que la ecuación diferencial del sistema mecánico tiene las mismas mismas constantes que el sistema eléctrico las dos ecuaciones diferenciales son iguales por ello:
() =() Entonces los valores de C1 y C2 son:
1 = 12 2= 101 12
Por lo tanto la solución de la carga en función del tiempo del sistema sistema es:
() = 12 − 101 − Derivamos para obtener la corriente en función del tiempo:
En
() = 16 − + 16 −/
= 0 la ()=0
El voltaje de la capacitancia:
Voltaje(t)=C∗q(t) = 52 − 12 −/ = 42 =2 Este es el voltaje con el que inicia el sistema. Para comprobar que V(c) = F(r) .
V(c) =2v por tanto F(F(R) 2 Entonces sabemos que:
= =5(0.4) =2 Esto quiere decir que está bien realizo el ejercicio y su analogía. analogía.
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Conclusiones:
Al realizar el trabajo nos pudimos dar cuenta de que los dos sistemas poseen muchas similitudes entre estas están: La inductancia se opone a la caída de tensión o corriente de manera brusca en el sistema, en cambio la masa en el sistema mecánico se opone a la acción de la fuerza mediante esto podemos notar que tienen funciones funciones semejantes, la constante de resorte en el inverso de la capacitancia como sabemos el capacitor almacena energía en forma de campo eléctrico y al mismo tiempo el resorte almacena energía potencial para para luego entregar al sistema sistema mecánico. En el sistema mecánico lo que que hace la fuerza es la autora del movimiento movimiento del mismo sistema, esta función en el sistema eléctrico cumple la fuente que es la encargada de dar energía al circuito que puede estar constituido de varios varios elementos. La resistencia se opone opone al flujo de electrones electrones (paso de la corriente por un conductor) debido a que la corriente tiene analogía analogía con la velocidad del desplazamiento del bloque bloque en el sistema mecánico entonces entonces el amortiguador se opone a la velocidad del desplazamiento. Como podemos notar en el ejemplo la energía almacena en el capacitor capacitor es igual a 2 voltios y como está relacionada con la fuerza en el sistema mecánico quiere decir que la energía almacenada en el resorte es de 2N, lo que pudimos pudimos comprobar la fórmula de la fuerza de un resorte la cual cual K*x donde K es la constante constante y x su desplazamiento. desplazamiento. Bibliografía
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