EJEMPLO No.34: X Y
Y *
Z
Z
= XY + YZ + ZX
X
Producto de dos matrices.- Sea A= (aij) (aij) m x n != ("ij) n x # . El producto de A y B es una matriz de mx#. mx#. Si el número de columnas de A es igual al número de renglones de B, entonces entonce s A y B son compatibles bajo la multiplicación. EJEMPLO No. 3$: A=
a11 a21
a12 a22
B= 2x2
b11 b12 b21 b22
RC
2x2
a11b11a12b21 a21b11a22b21
A*B=
a11b12a12b22 a21b12a22b22
RC
A % ! = (a ij) Nota.- &ecordar &ecordar e' conce#to conce#to de' #roducto #roducto ectoria'. ectoria'. En e' #roducto de matrices siem#re mu'ti#'icaremos e' ector ren*'+n de 'a #rimer matri, #or e' ector co'umna de 'a se*unda matri,.
EJEMPLO No. 3:
A= ! $
"2 %
A # B = ! $
2&2
"2 %
"2 '
B= "2 '
1 "!
1 "!
= "% ( ") "1$
a11 = *!, "2+
"2 '
= "%
a12 = *!,"2+
1 !
=!%=(
a21 = *$, %+
"2 '
= ")
a22 = *$, %+
1 "!
= $ "1) = "1$
A# B = 2&2
a 11 a 21
a12 a22
EJEMPLO No. 3
/onsiderar 'as si*uientes matrices e0ectuar 'os #roductos 1ue se indican A= 2 $
"! 1
B= ! % 1 1 2 '
=
2 ' ! $ "2 "1
A % != a11 a12 a1! = ! % 2 a21 a22 a2! 1! 2% $
-ota / c de A = / r de B ! % /= a11 a12 a21 a22
=
22 )
2! )
! %A = -o se puede realizar •
El orden de los 0actores si altera el producto de matrices porue al combinar el orden de los 0actores y multiplicarlos, obtenemos otro resultado, ejemplo A m & n
! n & p
A . ! = compatibles porue n = n, la resultante seria tamao m & p
2EO&EMA 3
Le asociatia #ara 'a mu'ti#'icaci+n de matrices Sean A = *aij+ n & m, B = *bij+ m & p y = *cij+ p & . Entonces la ley asociati3a A(!/) = (A!) / Se cumple y AB, de0inida por cualuiera de los lados de la ecuación anterior, es una matriz de tamao n & *número de renglones de A por el número de columnas de + 2EO&EMA 4
Le distri"utia #ara 'a mu'ti#'icaci+n de matrices. Si todas las sumas y todos los productos siguientes est4n de0inidos, entonces, A(! /) = A! A/
(A !) / = A/ !/
EJEMPLO No. 3
E0ect5e 'os c6'cu'os indicados: Si A=
2 ! "1 $
! A = "2 ' 1 "1
Si
!= "2 ' 1 "1
2 "1
A= "$ 5 1 2&! ' $ 2
A % ! = "$ 5 2&! ' $ /%7=1 ! & ! "2 1
$ ! '
1 2 % 5 $
! $
' ! ' !
=
!= ! "1 1 !&! 5 % $ ' 1 2
! "1 # 5 % ' 1 #
1 1! $ = 2' 2
2 "! 5 1 ' % 2 ! 1
=
/= 1 $ % !&! "2 ! 5 1 ' $
!5 2%
7= !&!
2 "! 5 1 ' % 2 ! 1
1) 2'
1) 15 !5 ( 21 1! 1' ( (
! % A = -o se puede realizar el producto
P&O!LEMA8 7E APL9/A/9ON
EJEMPLO No. 3
6na tienda 3ende la3adoras de platos de la marca 7abe y 8oo3er de acuerdo a los siguientes datos 7es 7arca : 7arca ;
enta ? menudeo
9iciembre 1) 1(
7arca : 2$' !5'
;EN2A8 Abril 1' 12
Agosto 12 1$
/O82O8 7arca ; 1(' 2%'
9etermine el total de 3entas y el de costos as@ como las utilidades durante los meses establecidos.
8o'uci+n.-Establecemos estructuras matriciales, de tal manera ue las lecturas de los datos del renglón de la primera matriz, sean las mismas lecturas para las columnas de la segunda matriz. < Proeedor 2$' ;enta ?menudeo !5'
1(' 2%'
#
7ic 1) 1(
A"ri' 1' 12
A*osto 7ic A"ri' A*osto $$4 12 = 3> 4> @@4> > 4> 1$ 33@>
@4>
3>>
EJEMPLO No. 4>
6na tienda 3ende dos tipos de bicicletas marca & y marca y, 0abricadas por la misma compa@a. as siguientes matrices dan las 3entas de estos art@culos durante cada mes, as@ como el precio de 3enta, y y el costo del distribuidor. 9etermine el total de costos, de 3entas, y las utilidades de cada uno de los art@culos para los meses enunciados. Marca < Marca 2&$
9ic. 5
7arzo 1'
< BMenudeo 15' B7istri"uidor ('
1)' 1''
Abril 1$
Marca < Marca Bmenudeo 15' 1)' B7istri"uidor (' 1''
7ayo 12
7ic #< 5
Mar,o A"ri' 1' 1$
mao 12 =
7ic. Mar,o A"ri' mao @$> > 33> 3>> @@3> @>> @> @>
EJEMPLO No. 4@
6n 0abricante de joyer@a sobre diseo tiene órdenes por dos anillos, tres pares de aretes, cinco prendedores y un collar. El 0abricante estima ue le lle3a 1 Cora de mano de obra Cacer un anillo, 1 D Coras Cacer un par de aretes, D Cora un prendedor y dos Coras un collar. a+ E&prese las órdenes del 0abricante cono un 3ector renglón n. b+ E&prese los reuerimientos en Coras para los distintos tipos de joyas como un 3ector columna. c+ 6tilice el producto escalar para calcular el número total de Coras ue reuerir4 para determinar las órdenes. 8o'uci+n: a+ A=*2, !, 5, 1+
b+ B= 1 1D D 2 c+ A # B = 2*1+ !*1 D+ 5*1?2+ 1*2+ A # B = 2 $.5 2.5 2 = 11 Coras EJEMPLO No. 4
6n turista regresó de un 3iaje por Europa con moneda e&tranjera de las siguientes denominaciones 1''' cCelines austriacos, 2' libras inglesas, 1'' 0rancos 0ranceses, 5'''liras italianas y 5' marcos alemanes. En dólares, un cCel@n 3al@a '.'55, la libre 1.)', el 0ranco '.2', la lira '.''1 y el marco '.$'. a+ E&prese la cantidad de cada tipo de moneda por medio de un 3ector renglón. b+ E&prese el 3alor de cada tipo de moneda en dólares por medio de un 3ector columna. c+ 6tilice el producto escalar para calcular cuantos dólares 3al@a el dinero e&tranjero del turista. 8o'uci+n:
a+ A = *1''', 2', 1'', 5''', 5'+ b+ B=
'.'55 1.)' '.2' '.''1 '.$'
c+ A # B = 1'''*'.'55+ 2'*1.)'+ 1''*'.2'+ 5'''*'.''1+ 5'*'.$'+ A # B = 55 !% 2' 5 2' A # B = 1!% dólares EJEMPLO No. 43
a siguiente tabla contiene 3entas, utilidades brutas por unidad y los impuestos por unidad sobre las 3entas de una compa@a grande. Mes
Enero Gebrero 7arzo Abril
99
$ % 5 )
2 1 ! 2.5
ArtCcu'os
Dti'idad unitaria (en cientos de d+'ares)
F FF FFF
!.5 2.5 1.5
999
2' ( 12 2'
9m#uestos unitarios (en cientos de d+'ares) 1.5 2 '.%
Encuentre una matriz ue muestre las utilidades y los impuestos totales para cada mes 8o'uci+n: D.2 = Dti'idades tota'es 9. 2 = 9m#uestos tota'es 9 Enero $ e"rero %
99 999 2 2' 1 (
F FF
D.D 9.D !.5 1.5 2.5 2
Enero 0e"rero
D.2 9.2 4.$ 3.$ @.4
Mar,o A"ri'
5 )
! 12 2.5 2'
FFF $&!
1.5
'.% ! & 2
mar,o A"ri'
43.$ >. 4.
NO2A. No de"es o'idar 1ue Para sumar matrices tienen 1ue ser de' mismo tamaFo Para mu'ti#'icar dos matrices e' n5mero de co'umnas de 'a #rimer matri, de"e de ser i*ua' a' n5mero de ren*'ones de 'a se*unda matri, E' #roducto de un ren*'+n #or una co'umna es un esca'ar ( una cantidad cua'1uiera) E' #roducto de dos matrices siem#re se rea'i,a mu'ti#'icando 'os ren*'ones de 'a #rimer matri, #or 'as co'umnas de 'a se*unda matri,
H
- I.
)
9N82&D//9ONE8.- E0ectúa las operaciones indicadas y comenta tus resultados con los de tus compaeros (+
2 ! "5
)'+
! ' $
5
=.
)1+. *a,b+*c,d+ =
)2+.
a*bc+
KKKKKKKK$
)$+
=
*"1,"!,$,5+*"1,"!,$,5+= 1 "2 $
a=
Jealice las operaciones indicadas con los 3ectores sig.
)!+
! "2
"=
' "! "
$ "1 5
c=
*2b+ * !c"5a +KKKKKKK..2)
9N82&D//9ONE8 .- Jealiza los c4lculos indicados y compara tus resultados con los de tus compaeros.
)5+ .
)+ .
)(+.
(1+.
2 "1
! 2
"$ 5 1 ' $ 2
$ '
1 %
)%+ =
))+ .
! "1 1 5 % $ ' 1 2
=
1 $ % "2 ! 5 1 ' $
2 "! 5 1 ' % 2 ! 1
! "2 1 $ ' % 5 1 (
1 ' ' ' 1 ' ' ' 1
H
('+
1 "1 1 1
1 ' "2
"1 ' 2 !
% $ !
1 $ 2 "! 5
*1 $ ' 2+
! 2 1 "2
=
(2+. =
- I.
a d g
b e C
=
c 0 j
"% $ ' !
=
=
1 ' ' ' 1 ' ' ' 1
=
(
9N82&D//9ONE8.- Jesuel3e los siguientes problemas, aplicando las operaciones matriciales necesarias y comenta el resultado con tus compaeros.
(!+ En un Cuerto se culti3an manzanas rojas, amarillas y 3erdes, las cuales se 3enden en cajas en dos mercados el mercado de arriba y el de abajo. a ganancia es de 5.5 por cada caja de manzanas rojas, !.25 por cada caja de manzanas amarillas y 2.'' por cada caja de manzanas 3erdes. En el mercado de arriba se 3endieron 2'', 15' y !'' cajas de manzanas rojas, amarillas y 3erdes respecti3amente y en el de abajo 1)', 25' y 2'' de rojas , amarillas y 3erdes respecti3amente. Lual 0ue la ganancia generada por las 3entas en cada mercadoM..........................................................22!.5' y 22$.5' ($+ inco estudiantes ten@an las siguientes cantidades de billetes y monedas Heresa 2 billetes de 1', ! de 1, 5 de 25 cent., 1 de 1' cent., y ! centa3os Jicardo 1 de 5, ) de 1,, 2 de 25 cent., ! de 1' cent., 1 de 5 cent. ; 1 centa3o uis 1 de 1', 2 de 1' cent., 2 de 5 cent.a3os arlos 1 de 1', 1 de 5, 2 de 1, ( de 25 cent., $ de 5 cent., y $ centa3os Sara 2 de 1, ! de 25 cent., ! de 1' cent., ! de 5 cent. ; 1% centa3os. Luanto dinero tra@a cada uno de ellosM.............................2$.!), 1!.)%, 1'.!', 1(.$(, !.!% (5+ 6na compa@a paga un salario a sus ejecuti3os y les da un porcentaje de sus acciones como un bono anual. El ao pasado el presidente de la compa@a recibió )',''' y 5' acciones, se pagó a cada uno de los ! 3icepresidentes $5,''' y 2' acciones y el tesorero recibió $',''' y 1' acciones. alcular la cantidad total de dinero y el número total de acciones ue pagó la compa@a a los ejecuti3os el ao pasado. KKKKKKKKKKKKKKK..255''' y 12' (%+ En una granja se recogen dos cosecCas al ao, las cuales se en3@an por embarue empauetadas en cajas a tres distribuidores. 9e la primer cosecCa se en3iaron $'', 25' y %'' cajas a los distribuidores A, B y respecti3amente y de la segunda cosecCa 1)', !'' y 25' a los distribuidores A, B y respecti3amente. Si las ganancias de la primer y segunda cosecCa 0ue de 2.25 y !.15 por caja respecti3amente Lual 0ue la ganancia obtenida por los distribuidores durante el aoM............................................................... (+ a siguiente tabla contiene 3entas, utilidades brutas por unidad y los impuestos por unidad sobre las 3entas de una compa@a grande
d+ Lu4l 0ue el total de ingresos impuestos y utilidades durante dicCo tiempoM KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK2)!.$5 , )).1' , 1(5.!5 ()+ 6n 0abricante de muebles elabora sillas y mesas las cuales deben de pasar por un proceso de armado y otro de acabado. 6na silla necesita 2 Coras de armado y 2 Coras de acabado, para una mesa se necesitan ! Coras de armado y $ de acabado. El 0abricante tiene dos plantas A y B, si en el proceso de armado paga ( y 1' por Cora en las plantas A ; B respecti3amente y en el proceso de acabado 1' y 12 por Cora en A y B respecti3amente. Lalcular el costo total de producción de cada producto en cada plantaM K!) y % en A , $$ y ) en B ((+ 6n proyecto de in3estigación nutricional comprende adultos y nios de ambos se&os. a muestra a in3estigar est4 0ormada por )' Combres adultos y 12' niosO 1'' mujeres adultas y 2'' nias. Si un adulto consume diariamente 2' gr. de prote@nas, 2' gr. de grasa y 2' gr. de carboCidratos, y un menor 1' gr. de prote@na, 2' gr. de grasa y !' gr. de carboCidratos. Luantos gramos de prote@nas y grasas consumen diariamente todos los Combres y mujeres del proyectoM KKKKKKKKK..KKKKKKKKKKKKKKK.2)'' y %''' 1''+ 6na empresa de productos de computación tiene en in3entario cuatro tipos de circuitos integrados *2)%, !)%, $)% y 5)%+ para computadora en tres almacenes. En el almacNn A las 3entas por circuito integrado 0ueron 2', 21!', !21' y 2%5. En el almacNn B 0ueron 112', $2!', !12$ y 5 y en el almacNn !2', !12%, 2$! y 1'12 de los circuitos 2)%,.!)%, $)% y 5)% respecti3amente. Si el precio de 3enta y utilidad por circuito 0ue 25 y 1'm para el 2)%, !5 y 1! para el !)%, 52 y 1 para el $)%, ( y !! para el 5)%. Lual 0ue el total en 3entas y utilidades en cada almacNnM KKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKK2!(25 y (!'5, !$5! y 121!, !5)21' y 12!)%5 1'1+ 6n aruitecto construye casas de tres tamaos *1, 2 y ! plantas+ en dos modelos di0erentes *A y B+ . El pro0esionista planea construir 1'' casas nue3as en una subdi3isión del modelo A !' de una planta, 2' de dos plantas y 15 de tres plantas. 9el modelo B 1' de cada tamao. as cantidades de material e&terior necesario para cada tamao de casa es el siguiente para una planta 1' yardas ! de concreto, 2''' pie tablón de madera, 2''' ladrillos y !'' pies 2 de tejas.
c+
d+-inguna
2.
a+
6na matriz
b+6n escalar
c+6n 3ector
d+6n *3ector+
5. Si la matriz Ap&, el producto *BA+ m&, entonces la matriz B es de tamao a+ m&n b+m&p c+p&m d+&p 9N82&D//9ONE8." Jealiza las siguientes operaciones con las matrices indicadas y comp4ralas con las de tus compaeros Si
A=
"1 ! $ "2
"$ ' "1 B= 5 2 !
2 = $ "
ab= AB = ab *AB+ = Si A=
"1 ! $ "2
B= "1 "2 "5 !
! $
a b = B =
"1 ! $ 2
8allar b2=
B = A2 =
A *B+ =
' "1 "$ ' "! "5
a= * 1, 2, ! +
0
b=
1 -4
b2= A * B + =
a.b = B = A2 =
ab *AB+ = Si A=
a= * 1, 2 ,! + b=
' 1 "$
a.b =
=
ab= AB =
' "! 5
B=
' "$ "! "1 ' "5
ab= A *B+ =
=
"1 "5 "2 ! ! $
a= * 1, 2, ! + b2 = a b *AB+ =
b=
' 1 "$ AB = A2=
-o ol3ides estudiar los planteamientos de los problemas de aplicación LoPM. Sigue practicando y estudiando. A-F7IQQQ
