Examen de Transferencia de Calor
17/06/04
RESOLUCIÓN DEL EXAMEN DE TRANSFERENCIA DE CALOR DE JUNIO DE 2004 Parte 1. Tiempo: 2 horas.
Problema 1
Una pieza fundida de plástico grande con difusividad térmica 6·10 -7 m2/s se quita de su molde a una temperatura uniforme de 150 ºC. La pieza fundida se expone entonces a un flujo de aire de alta velocidad de modo que la superficie experimenta un cambio súbito de temperatura a 20 ºC. Suponga que la pieza se asemeja a un medio semiinfinito. a) Calcule la temperatura a una distancia distancia de 18 mm de la superficie superficie al cabo de 3 minutos minutos mediante la expresión analítica adecuada. b) Con un incremento espacial de 6 mm, obtenga las ecuaciones en diferencias finitas explícitas de todos los nodos necesarios para poder resolver en el apartado d) la temperatura del nodo situado a 18 mm de profundidad. c) Calcule el ∆t necesario necesario para cumplir la condición de estabilidad. d) Obtenga la temperatura del nodo nodo situado a 18 mm de la superficie al cabo de 3 minutos resolviendo las ecuaciones en diferencias finitas explícitas.
Resolución:
a) Se trata de un medio semiinfinito con condición condición de frontera de temperatura superficial T ( x, t ) − T s x constante, por lo que la expresión matemática a utilizar es: . Al = erf T ini − T s 2 αt sustituir los valores numéricos se obtiene de la Tabla E que erf (0,866) = 0,779 y el resultado final es: T ( x = x = 18 mm, t = = 3 min) = 121,29 ºC. b) Al ser medio semiinfinito la conducción es unidimensional. Llamando nodo 0 al de la superficie se necesitan 5 nodos más hacia el interior de la pieza. La ecuación del nodo 0 es: T 0 = 20 ºC. + − T 1 p T 2 p − T 1 p T 1 p 1 − T 1 p + kA = ρc p A∆ x La ecuación nodal del nodo 1 es: kA ∆ ∆ ∆t α∆t p 2α∆t T p . p +1 p explícita es: T 1 = (T 0 + T 2 ) + 1 − 1 2 ∆ x ∆ x 2
T 0 p
. En forma
Las ecuaciones de los nodos 2, 3, 4 y 5 son similares a las del nodo 1. c) La condición de estabilidad viene dada por 1 − α∆t
∆
2
= 0,5 .
2α∆t
∆ x 2
≥ 0 ⇒ ∆t ≤
∆ x 2 2α
= 30
s
⇒
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d) La resolución se realiza mediante la siguiente tabla: p
t (s)
T 0 (ºC)
T 1 (ºC)
T 2 (ºC)
T 3 (ºC)
T 4 (ºC)
T 5 (ºC)
0
0
20
150
150
150
150
150
1
30
20
85
150
150
150
150
2
60
20
85
117,5
150
150
150
3
90
20
68,75
117,5
133,75
150
150
4
120
20
68,75
101,25
133,75
141,875
150
5
150
20
60,625
101,25
121,56
141,875
145,93
6
180
20
60,625
91,09
121,56
Problema 2
Un frío día de invierno dos alumnos de Transferencia de Calor, de nombres Berokoetxea y Biottegui, se dirigen a la Escuela montados en el Seat Panda de uno de ellos. Mientras recorren el Paseo de La Concha comienza a empañarse el interior del parabrisas. Berokoetxea le dice a Biottegui: - ¡Pon el sistema de ventilación, que se te está empañando el cristal y no se ve nada! - ¡Ya va..., ya va...! ¡Que me estás estresando...! - responde el aludido mientras lo conecta. Cuando enfilan la Avenida de Tolosa el parabrisas comienza a desempañarse. Al mismo tiempo Biottegui, que tiene muchas inquietudes, se pregunta: “¿Cómo funcionará el sistema para desempañar el parabrisas?”. Veámoslo. El sistema de ventilación usado para desempañar el parabrisas de los automóviles funciona descargando aire caliente sobre la superficie interna del parabrisas. Para evitar la condensación del vapor de agua sobre la superficie interna, la temperatura del aire impulsado por el sistema y el coeficiente de convección (T ∞,i, hi ) han de ser lo suficientemente grandes para mantener una temperatura de la superficie interna del parabrisas, T s,i , con un valor igual o superior a la temperatura de rocío (T s,i ≥ T dp). Considérese que el parabrisas del Seat Panda tiene una longitud L = 600 mm y un espesor t = 6 mm y que circula a una velocidad de 70 km/h un día en el que la temperatura ambiente es de 0 ºC. El aire expulsado por el sistema de ventilación tiene una temperatura seca de T ∞,i = 40 ºC y una temperatura de rocío de T dp = 10 ºC. La conductividad térmica del vidrio es k v = 1,4 W/m·K.
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a) Dibuje el circuito térmico equivalente del sistema. b) Utilizando una correlación para placa plana calcule el valor del coeficiente de convección promedio sobre la superficie exterior del parabrisas, ho . c) Calcule el valor del coeficiente de convección promedio interior, hi , para cumplir la condición impuesta en el enunciado para evitar que se forme condensación en el parabrisas. d) ¿A qué velocidad deberá ser expulsado el aire por el sistema de ventilación para alcanzar ese valor del coeficiente de convección interior, hi ?
Resolución:
a) Circuito térmico equivalente: T ∞,i
T s,i
T s,o
T ∞,o
1
t
1
hi A
k v A
ho A
q
b) La velocidad del aire es: V = 70 km/h = 19,44 m/s. Las propiedades del aire se han de T ∞ ,o + T s,o calcular a la temperatura de película: T f = . Para T s,o se debe suponer un valor 2 comprendido entre 0 y 10 ºC. Si se supone directamente T s,o = 0 ºC, el valor de Re L obtenido es 864.832 > 5·10 5 ⇒ Régimen turbulento. La correlación a emplear es la de capa límite mezclada: Nu L Nu L
= 1.079 ⇒
= (0,037 Re L4 / 5 − 871) Pr 1 / 3 . Al sustituir los valores se obtiene:
ho = 43,4 W/m2·K.
c) Del circuito térmico del apartado a) se puede obtener la siguiente ecuación: T s ,i − T ∞ ,o T − T 10 − 0 40 − 10 = ∞,i s,i ⇒ = ⇒ hi = 12,2 W/m2·K. q= 1 t 1 1 0,006 1 ho A
+
k v A
hi A
43,4
+
1,4
hi
d) Las propiedades del aire se deben calcular a una temperatura de película de 40 + 10 = 25 ºC. Si se supone que la capa límite es mezclada la correlación a T f = 2 emplear es la misma que en el apartado b), pero ahora la incógnita es Re L. Al sustituir hi se obtiene Nu L = 278,33 y al despejar se obtiene un número de Reynolds de Re L = 427.735 < 5·10 5 ⇒ en el extremo el régimen es laminar. Por lo tanto, la correlación a emplear es: Nu L = 0,664 Re L1 / 2 Pr 1 / 3 . Se obtiene Re L = 221.392. Al despejar la velocidad se obtiene: V interior = 5,86 m/s = 21,1 km/h.
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Parte 2. Tiempo: 2 horas y 30 minutos.
Cuestión 1
Un muro de espesor 2 L = 40 mm y conductividad térmica k = 5 W/m·K experimenta una generación volumétrica de calor q& = e& g mientras está sometido a un proceso de convección en sus dos superficies ( x = - L, x = L) con un fluido a temperatura T ∞ = 20 ºC. En condiciones de estado estacionario la distribución de temperaturas en el muro es de la forma T ( x) = a + bx + 2 4 2 cx , siendo a = 82 ºC, b = -210 ºC/m y c = -2·10 ºC/m . El origen de coordenadas se encuentra en el plano medio del muro. a) Calcular el valor de la generación volumétrica de calor q& = e& g . b) Calcular los valores de los flujos de calor en las dos superficies del muro, q ′ (− L) y q ′ ( L) . c) ¿Cómo están relacionados estos flujos de calor con la generación volumétrica de calor en el interior del muro?
Resolución:
a) Se obtiene al resolver la ecuación de calor: k T ( x ) = −
d 2T dx
2
+ q& = 0 ⇒ Al integrar dos veces ⇒
q&
x 2 + C 1 x + C 2 . Al comparar con la ecuación del enunciado: 2k 2 K/m . Despejando: q& = 2·105 W/m3.
−
q& 2k
= c = -2·104
b) Aplicando la ley de Fourier en los dos extremos de la pared: dT q ′ ( x = L ) = − k dx x = L
=
5.050 W/m2 y q ′ ( x
= − L) = −k dT dx
=
-2.950 W/m2.
x = − L
c) Toda la energía generada en la pared ha de salir por las dos superficies de los extremos, luego: q& ·Vol = q&· A·2 L = q ′ ( x = L ) · A + q ′ ( x = − L ) · A ⇒ 2·10 5 ·0,04 = 5.050 + 2.950 = 8.000 W/m2.
Cuestión 2
Una varilla muy larga de sección circular se une en un extremo a una pared calentada y transfiere calor por convección a un fluido frío. a) Si el diámetro de la varilla se triplica, ¿en cuánto cambia la rapidez de transferencia de calor? b) ¿En cuál de los dos casos la distribución de temperaturas a lo largo de la varilla caerá más rápidamente?
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Resolución:
a) Se utiliza la fórmula del calor para aletas de longitud muy larga: q f sustituir q3 D
=
los 27 ·q D
valores
de
las
dos
aletas
y
al
= M =
compararlos
hPkAc θ b . Al se
obtiene:
= 5,196·q D .
b) Se emplea la fórmula de la distribución de temperaturas en una aleta muy larga: θ ( x) = θ b e − mx . Al sustituir los valores se obtiene: m3 D
= 1/
3 ·m D
= 0,577·m D ⇒
La
distribución de temperaturas cae más rápidamente en la aleta de diámetro D.
Problema 3
Berokoetxea y Biottegui, sus dos compañeros de Transferencia de Calor, se suelen quedar a comer al mediodía en la cafetería de la Facultad de Derecho. Un día, mientras esperan en la cola a que les sirvan la comida, Biottegui le comenta a Berokoetxea: - ¡Mira! ¿Has visto el sistema que utilizan para mantener caliente la comida? - ¡Sí! ¿Te imaginas que en el examen de Transferencia de Calor hubiese un problema sobre este sistema? Evidentemente, la suposición de Berokoetxea se ha hecho realidad y a continuación se plantea el enunciado del problema. El sistema para mantener la comida caliente empleado en la cafetería de Derecho consiste en introducir las bandejas que contienen la comida en un baño de agua caliente que se mantiene a 50 ºC. Consideraremos que el recipiente que contiene el baño de agua caliente tiene unas dimensiones de 2 m de largo, 80 cm de ancho y 60 cm de altura o profundidad. El baño de agua se mantiene caliente mediante una conducción de agua a mayor temperatura que recorre el recipiente haciendo un recorrido serpenteante de manera que su longitud total es de aproximadamente 7 m. El tubo de la conducción de agua a mayor temperatura es de pared delgada y 20 mm de diámetro. El agua que circula por el interior del tubo entra a 80 ºC con un caudal másico de 0,1 kg/s.
Vista en planta (dimensión ⊥ al dibujo 60 cm) 2m Baño de agua a 50 ºC 80 cm
¿T m , s a l?
80 ºC T m , e n t = 0,1 kg/s
Tubo de agua caliente: D = 20 mm L = 7 m
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a) Suponga un valor adecuado (constante a lo largo de todo el tubo) para la temperatura de la superficie exterior del tubo y calcule el coeficiente de convección del baño de agua a 50 ºC sobre el tubo. b) Calcule el coeficiente de convección promedio para el agua a mayor temperatura que circula por el interior del tubo. c) Estime el valor de la temperatura de salida del agua que circula por el interior del tubo.
Resolución:
a) La temperatura supuesta del tubo debe estar entre 50 y 80 ºC. Suponiendo T s = 64 ºC ⇒ T f = 57 ºC = 330 K. Se calculan las propiedades del agua a esta temperatura. Se calcula el número de Rayleigh ⇒ Ra D = 7.059.599. Se emplea la correlación de Churchill y Chu para la convección libre sobre un cilindro largo horizontal:
Nu D
1/ 6 0,387 Ra D h D = = 0,60 + k [1 + (0,559 / Pr ) 9 / 16 ]8 / 27
b) Suponiendo T m,sal = 54 ºC
⇒ T m =
80 + 54 2
2
= 29,97
⇒
hext
= 974 W/m2·K.
= 67 º C = 340 K . Se calculan las propiedades
=
& 4m
= 15.158 ⇒ π Dµ Régimen turbulento. Se comprueba que L/ D = 7/0,02 = 350 > 60 ⇒ Flujo completamente del agua a esta temperatura. Se obtiene el número de Reynolds: Re D
desarrollado. Se emplea la correlación de Dittus-Boelter: Nu D
⇒
= 0,023 Re D4 / 5 Pr 0,3 = 68,19
hint = 2.250 W/m ·K. 2
c) Se debe emplear la expresión de la variación axial de la temperatura media para el caso de un tubo rodeado de un fluido externo (convección interna y externa simultáneas):
U A ∆T sal T ∞ − T m, sal 1 . = = exp − s = exp − & & ∆T ent T ∞ − T m,ent m c m c R p p tot
Se calcula la U =
1 1 hint
+
1
=
hext
2
679,7 W/m ·K. Al despejar en la ecuación anterior se obtiene: T m,sal = 64,7 ºC.
Problema 4
Se quiere curar un disco metálico recubierto colocándolo en la parte superior de un horno cilíndrico con el mismo diámetro que el disco. La base del horno se caliente eléctricamente y su pared lateral se puede suponer rerradiante. El curado se consigue al mantener el disco metálico a T 2 = 400 K durante cierto tiempo. El calentador eléctrico de la parte inferior del horno mantiene su superficie a T 1 = 800 K y está montado en la parte superior de una base de material cerámico de conductividad térmica k = 20 W/m·K. La parte inferior del material cerámico de la base, el aire ambiente y las paredes y el techo de la sala donde está el horno se encuentran a una temperatura de 300 K. Las emisividades de la superficie del calentador eléctrico y de las superficies interior y exterior del disco son, respectivamente, ε1 = 0,9, ε2, i = 0,5 y ε2, o = 0,9.
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a) Dibuje el circuito térmico radiativo del interior del horno. b) Calcule los factores de forma necesarios que aparezcan en el circuito anterior. c) Determine el calor disipado por conducción a través de la base cerámica del horno. d) Determine la potencia eléctrica del calentador necesaria para mantener las condiciones del enunciado. e) Determine el coeficiente de convección que se debe mantener en la superficie externa del disco superior para satisfacer las condiciones del enunciado. f) A la vista de los datos del enunciado y de los resultados de los apartados c) y d), ¿qué mejora se podría introducir en el sistema?
Resolución:
a) Circuito radiativo del horno:
Eb1
1 − ε1
1
1− ε2
ε 1 A1
A1 F 12
ε 2 A2
J 1
J 2
E b2
q1
q2
1
1
A2 F 23
A1 F 13
J 3 = E b3 q3 = 0
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b) Usando la Figura 10.2: L/r 1 = 0,2/0,06 = 3,33 y r 2/ L = 0,06/0,2 = 0,3 Empleando la regla de la suma: F 11 + F 12 + F 13 = 1 ⇒ F 13 = F 23 = 0,92. c) qcond
= k b A
T 1 − T b Lb
⇒ F 12 ≈ 0,08.
= 4.523,9 W.
d) Al hacer un balance de energía en la base se obtiene: qeléct = qcond + q1,rad . q1,rad se obtiene de la ecuación del circuito del apartado a): q1, rad
= −q 2,rad =
E b1 − E b 2 1 − ε1 1 + 1 ε 1 A1 A1 F 12 + 1 A1 F 13
+
+
1− ε2
= 83,1 W
⇒ qeléct = 4.607 W.
ε 2 A2
1 A2 F 23
e) Al hacer un balance de energía en el disco superior se obtiene: q2,rad = qconv + qrad,ext = 2 4 hext A(T 2 − T ∞ ) + ε 2,oσ A(T 24 − T alr ) ⇒ hext = 64,55 W/m ·K. f) Casi todo el calor del calentador eléctrico se escapa por conducción a través de la base cerámica. Habría que aislar dicha base.
