rappoet ligne de transmision

SYSTEMES ELECTRONIQUES

Lignes de transmissions

Réalisé par : Mr LAMREOUA Abdelhak Encadrée par : : Mr .GAMMAZ Abdelilah

[Tapez un texte]

C¶est

pour

un

plaisir

autant

qu¶un

devoir

de

remercier toutes les personnes Qui ont pu contribuer de prés ou de loin à l¶élaboration de ce projet, qui nous ont Aidés, nous ont soutenus et ont fait en sorte que ce travail ait eu lieu.

Ainsi nous exprimons nos profondes gratitudes et tenons à remercier notre Encadrant Mr. GHAMMAZ Abdelilah pour ses directives précieuses et conseils pertinents.

Mes vifs remerciements vont aussi à Monsieur D.BELKHIYAT

le

Coordinateur

de

Master

Génie

Electrique.

Nous tenons également à exprimer nos vifs remerciements et toute notre gratitude à l¶ensemble des enseignants qui ont assuré notre formation tout au long de notre période d¶études.

Enfin, nous souhaitons que ce travail soit à la hauteur des exigences

LAMR LAMR EOUA EOUA Abdelhak

3

Mast aster GE2 M arrakech FST

Introduction énéral énéra le : Le domaine des micro-ondes micro-ondes et des radios fré uences, a connu depuis ces dernières dernièr es années une forte demande demande et et de très rands pro pro rès techno lo i ues. Le domaine domaine d¶app d¶appllication touche aujourd¶hui différents domaines a llant llant des appl app lications professionnell professionnelles es de haute précision on comme les systèmes de navi ation de tél té lécommunications terrestres et spatial spatia le, la tél télédétection, la radiométrie, la médecine et santé à des appl app lications rand publ pub lic comme la tél télévision, la tél téléphonie mobil mobi le, radiodiffusion, les systèmes d¶al d¶a larmes ar mes et de sécurit sécu rité. é. Le but des tél télécommunications est de transmettre d¶un point nt à un autre un si nal na l porteur d¶une information. Pour atteindre cet objectif, on modul modu le une porteuse haute-fré uence, ce ui nous permet de transmettre des si naux sur un même support sans u¶il u¶i ls se mél mélan ent puis u¶il u¶ils ont des fré uencese porteuses différentes. La distance à parcourir peut être très variabl variab le et les techni techni ues uti utillisées différentes comme on peut le constater sur les exempl exemp les suivants: suivants: 

Le si nal na l est transformé en onde él é lectroma néti ue par une antenne et se propa e dans l¶espace environnant : c¶est la propagation libre. na l suit une piste de circuit imprimé, une li ne tél téléphoni ue ou ou une lon ueur de  le si nal câbl câble coaxial: coaxia l: c¶est la propagation guidée.

Figure 1. Les deux types de propagation.

uement, les lignes bifilaires ont été util utilisées en premier pour le tél télé raphe et le tél téléphone. Histori

4

LAMREOUA Abde l ak Master GE2 FSTMa 

Figure2 :Les lignes Téléphoniques bifilaires.



Pour ce type de li ne, l¶onde él électroma ectroma néti u e n¶existe n¶existe u¶au voisina voisina e de la li ne.

util utilise aujourd¶hui essentiell essentie llement ement la li ne coaxial coaxia le, constituée par un conducteur central central entouré d¶un bl b linda e, et la li ne imprimée constituée constituée d¶une piste de cuivre sur un substrat isol isolant comme l¶époxy ou le Téf lon, l¶autre face métall métallisée isée réal réa lisant une é uipotentiell uipotentiellee. On

Figure 3. Structure du câble coaxial et allure des lignes de champ.

Figure 4. Structure d¶une ligne imprimée et allure des lignes de champ.



Ces li nes sont sont util utilisées isées jus u¶à des fré fré uences de l¶ordre de 10 G Hz. Au del delà, les pertes dans le diél diélectri ue deviennent excessives et on préfère uti liser un uide d¶onde. 5

LAMREOUA Abde lhak Master GE2 FSTMa

I.

Modèle électrique d·une ligne

1) Le modèle équivalent Les li nes sont des circuits dont les dimensions ne sont pas petites devant la lon ueur d¶onde des si naux transmis. On est donc obl ob li é de tenir compte compte de la vitesse de propa ation des randeurs él électri ues ui est forcément inférieure ou ou é a le à la vitesse de la lumière. Par consé uent, à un instant donné, tensions et courants ne seront pas identi ues en tout point d¶un conducteur, comme on a l¶habitude de l¶admettre aux basses fré uences dans ce u¶on appell appellee l¶approximati ¶appr oximation on des états uasi-statio uasi-stationnair nnaires. es.

Pour l¶étude, on découpe la li ne en en tronçons tronçons de lon u eur dx ui serontcaractérisés serontcaractérisés par : 

une résistance série R.dx en énéral énéra l très faibl faible ( prendra R = 0, pas de pertes) p ertes) para llèèle G.dx en énéral énéra l très faibl faible ( prendra G = 0, isol iso lation  une conductance parall parfaite))  une inductance série L.dx, où L est l¶inductance linéi ue (0,5 à 5 mH/m ) para llèèle C.dx, où C est la capacité linéi ue (50 à 100 pF pF / m)  une capacité parall 2) Equation

de propagation des télégraphistes t élégraphistes

Si le énérateur fournit un si nal na l sinusoïdal sinusoïda l, la tension V(x) et le courant I(x) dépendent de la position positi on x et on montre ue ces randeurs vérifient les é uations appel appeléeséquations des

télégraphistes : A. E uation uationss variationne variationnell lles es (tension)

6


v(x) ! dx

x i x t

 Rdx

i(x)  v(x dx) 

Or x v v(x dx) ! v(x)  dx x x

Chute de tension sur dx

v x x x

!  R i(x)  L

i x x t

B. E uation uationss variationne variationnell lles es (courant)

i(x) ! Cdx

x v x t

 Gdx

Or i(x  dx) ! i(x) 

v(x)  i(x  dx) x i x x



dx

Chute de courant sur dx

x i x x

! G

v( x)  C

x v x t

D¶où les é uations de propa propa ation appel appelées équations des télégraphistes :

2

x v x x

2

2

 LC

x t

2

x i x

3)

2

x v 2



 RC LG

x v



2



x i x t

2









 RG

v!0

x t

x i

x t



i!0

Solutions des Equations des télégraphistes :

Ces deux é uations différentie différentiell lles es du second ordre admettent les sol solutions sinusoïdal sinusoïda les suivantes :

La tension sur la li ne est la somme de deux ondes pro ressives se propa eant en sens contraire : : est une onde pro ressive d¶ampl d¶amp litude V1 se propa eant de la source vers la char e avec une vitesse v. v. On l¶appell ¶appellee onde incidente.

7


: est une onde pro ressive d¶ampl d¶amp litude V2 V2 se propa eant de la char char e vers vers la source : c¶est l¶onde réfléchie.

Figure 5. Ondes incidente et réfléchie sur une ligne.

4)



Solutions pour une ligne sans pertes

Li ne sans pertes : pas de résistance ni de conductance





x 

x x

Nouvell Nouvelles es é uations :



!

x t



Avec



x i 

x x



 LC

x

 LC

x i 

!

x t

Sol Solutions particul particu lières : f(t-x/u) et (t+x/u)

Le courant peut donc être vu comme la superposition d¶un de deux courants i+ et-:i 1 u! i+ se propa e dans dans le sens des x positifs avec la vitesse de phase LC courant incident.  1 dans le sens des x né atifs avec la vitesse de phase  i- se propa e dans u! LC courant réf léchi.  « » ¬ df ¼ dg v i x x On intè intè re par rapport rapport à t : ! !  ¬ x x ¼ x t C x x C .u ¬ d  ) d  )¼ (t (t u u ½ 





v

!

x x » « f ( t ) g ( t )  N ( x)    C .u ¬ u u ¼½ 1



fonction arbitraire de x.

Or la donne al a lors Ce v i ( x) ! 0 N ! L 



D¶où



x

v!

t



L«

x

¬ (  u)  C 





(



x  )»¼ u ½

+ On a bien al a lors i + i- = f(t-=xi/u) + (t+ x/u)

8


+

-

et v + = v = Zc (f(t- x/u) - (t+ x/u)) Avec l¶impédance caractéristi ue de la li ne. Zc est L Zc ! C v L v L et !  



i



!

i

C

Remar ue : si on est dans le vide: vide:

u

!

En générale

1



! c ! 3 .1

LC

C 8

m/ s

A. Impéd Impédance ance caractéri caractéristi sti ue Lors ue le fil fil est infini (pas de réf lexion en bout de li ne), on on définit définit l'impédance l'impédance

caractéris caractéristi ti ue ZC de de la li ne : 

les câbl câbles coaxiaux BNC de laboratoire (ancien réseau Exemple : ZC = 50 pour informati ue).

B. Vitesse de propa ation Considérons ici ue la li ne est est à faibl faibles pertes (R » 0 / m et G » 0S / m), on démontre al a lors ue la vitesse de propa ation Vp du du si nal nal dans la li ne est : 

II.

Exemple : pour un câbl câb le coaxial coaxia l BNC on a mesuré L = 257 n H/ m et C = 97,5 pF / m. Ce ui donne ZC § 51  et Vp § 2.108 m/s

Caractéristiques des ondes : impédance caractéristique, exposant de propagation, coefficient de réflexion

1)

Impédance

caractéristique :

On écrit le rapport tension sur courant en tout point de la li ne :

a

la dimension d¶une impédance.

A. Situation pour une onde pro ressive seul seu le : Si seul seule une onde pro ressive existe (termes en eíx ), nous obtenons :

Z ne dépend pas de mais de la pul pulsation . Ceci montre ue les ondes de courant et tension pro ressives sont en tout point de la li ne dans un rapport Zc . 

9


B. Situation pour une onde ré ressive seul seule Si seul seule une onde ré ressive existe (termes en e+x ), nous obtenons :

Le rapport onde de tension /onde de courant a le même modul module pro ressives, mais sa phase est opposée.

ue pour les ondes

On nomme cette impédance l¶impédance caractéristique de la li ne. Une li ne terminée terminée par par c est dite adaptée. son impédance caractéristi ue Z Nous avons établ étab li l¶expression de Z c en fonction des paramètres linéi ues de la li ne de propa ation R, L, et G : !

Dans un contexte « faibles pertes » ui impl impli ue : R  jL et G  j  . On a laors à érer une impédance caractéristi ue réell réelle, e, ui s¶écrit s¶écr it : "

L¶adaptation de la li ne s¶en trouve évidemment randement simpl simp lifiée. 2)

Exposant

de propagation

Les é uations de propa ation ue nous avons étab étab lies font apparaître le facteur :

              

On nomme ce facteur « exposant de propagation ». Il Il se décompose en fonction de  et , ue l¶on nomme respectivement « exposant d¶atténuation » et « exposant de phase ». y

On cal calcul cule souvent l¶atténuation d¶une onde en dB /m : 

n.p / y

! 20Lo 20Lo  eí  ! í8,68. #

dB

m.

 est rel relié à la vitesse de phase par la rel relation: ation: a lement écrire  en fonction du temps y On peut é al

caractéristique de la li ne T c:

Dans l¶hypothèse « faibl faib les pertes », on obtient pour les expressi expr essions ons de d e et de  : et Les termes =R/ 2Z c et G/ 2Z c représentent les pertes conductrices dues à la résistance série R et les pertes diél diélectri ues dues dues à la conductance G, respectivement. 10


3) Coefficients

de réflexion et de transmission ² Rapport Rapport d·Ondes Stationnairee (ROS) Stationnair

1. Coefficient de réf lexion On définit un coefficient de réf lexion  par le rapport d¶une onde se propa eant dans un sens sur l¶onde se propa eant en sens inverse, inverse, après réf lexion sur un obstacl obstac le ou une discontinuité. Cel Ce la peut concerner les ondes de tension ou de courant, mais en pratique on considère essentiellement les ondes de tension. Pour une onde pro ressive de tension, on définit dans le cas énéral énéral le coefficient de réf lexion +  en un point x de la li ne par :

l l, soit : En x ! l , on considère la li ne char char ée par par une impédanceZ l l Z On peut exprimer en util utilisant les é uations de propa ation ( ) ) et et ( ), soit:

et On en déduit la définition énéral énérale et uni uni ue du coefficient de réf lexion entension entension :

2. Coefficient de transmission Le coefficient de transmission est par définition le rapport entre l¶onde de tension transmise à une char e, ou à une liaison entre deux li nes, et l¶onde de tension incidente (se propa eant vers vers la char e). Pour une onde pro ressive de tension, on on a donc :

y

Pour une onde ré ressive de tension, on a :

On en déduit la définition énéral énéra le et uni ue du coefficient de transmission transmission en tension :

11


Le coefficient de tra nsmission en courant s¶écrivant T i ! 1í , on obtient bien un coefficient de transmission en puissance : 3. Rapport d¶onde stationnaire On util utilise l¶abréviation ROS, ou en An lais le terme « Voltage VSWR . 

E $

%

&

'

(

(

)

0

1

2

3

tanding Wave R atio atio », soit

S

ROS :

x,  en un point x de la li ne Nous avons montré précédemment ue la tension V s¶exprimait par la rel relation :

 étant le coefficient de réf lexion en x ! 0

Impose 1í  < v < 1+  Ainsi cette ampl amp litude normal norma lisée passe par des maxima et minima :

Fig it ure ure : ampl ud e d e l¶ ond e d e t ension. T ra racé eff ect ué pour  ! 0,5.

12


Le ROS ou VSWR se définit comme suit :

 

ter minée par un court-circuit ou ouverte :| Dans le cas où la ligne est terminée :|| = 1  = . Si la li ne est char ée par une impédance de même va leur ue son impédance caractéristi ue : || = 0   =1.

4)

Adaptation d'impédance

La uestion de l¶adaptation d¶impédance se pose à cha ue fois fois ue l¶on souhaite connecter deux systèmes ou circuits entre eux et transférer un maximum de puissance. Nous décrivons ci-dessous une so lution afin d¶adapter les parties réell réellee et ima inaire, en util utilisant la techni ue du transformateur d¶impédance ¼ d¶onde d¶une part, et des « stubs » en circuit ouvert ou court-circuit d¶autre part. Nous considérons des li nes de propa ation sans pertes. Adaptation partie réell réellee : transformateur ¼ d¶onde : La méthode pour mettre en uvre la techni ue d¶adaptation par transformateur transformateur ¼ d¶onde est la suivante : y

y

Cal Calcul culer l¶impédance ¶impédance d¶une d¶une char e réell réellee « vue » à travers une li ne de propa ation de lon ueur l . Cette impédance correspond à l¶impédance d¶entrée du circuit ainsi constitué d¶une li ne char ée. ! /4 , la li ne est é uival Montrer ue pour l uiva lente à un tra nsformateur nsformateur d¶impédance. Adaptation partie ima inaire : « stub » :

Nous all a llons ons montrer ue l¶impédance ramenée à travers une li ne de propa ation par un circuit ouvert (CO) ou un court-circuit (CC) est purement ima inaire et peut être compl complètement ajustée. Nous considérons donc le circuit de la Fi Fi ure 14.

ure ure 14. Illust rat rat u pr u st ub. ub. Fig ion d in in cipe d

13


La méthode consiste à établ étab lir l¶expression de l¶impédance d¶entrée du circuit (vue du plan d¶entrée), puis à montrer ue cette impédance impédance est purement ima ima inaire. On peut é alement montrer ue l¶impédance ramenée représente a lternative terna tivement ment un conde co ndensateur nsateu r puis une sel self, puis un condensateur, , et dire pour uell ue llee appl application fondamental fondamenta le en électroni ue ce enre de circuits seront intéressants.

A. Ligne "ouverte" (ZR = ) : L'extrémité de la li ne est est en "circuit ouvert" ouvert" ce ui correspond correspond à ZR = . On constate al a lors une réf lexion du si nal nal en bout de li ne, ne, ce si nal nal réf léchit va revenir vers le énérateur HF.

La réf lexion "positive" est mise en évidence à l'osci l'oscill lloscope oscope branché aux bornes du énérateur (chrono ramme cidessous): dessous):

B. Ligne "court-circuitée" (ZR = 0) : L'extrémité de la li ne est en "court"courtcircuit" ce ui correspond à ZR ZR = 0. On constate al a lors une réf lexion du si nal nal en bout de li ne, ce si nal na l réf léchit va revenir vers le énérateur HF.

La réf lexion "né ative" est mise en é vidence à l'osci l'oscill lloscop oscopee branché branc hé aux bornes born es du énérateur (chrono ramme ci-dessus) ci-dessus) :

C. La ligne adaptée : On dit u¶une li ne est adaptée si ell e llee est terminée sur une résistance é a le à son impédance caractéristi ue.

4

1


Si une li ne est est adaptée, adaptée, il il n¶y a pas d¶onde réf léchie et on a simpl simp lement sur la li ne une onde pro pro ressive se propa eant de de la source vers la char e.

Figure 6. Le cas de la ligne adaptée.

En bout de li ne de lon ueur l, on peut écrire :

Et on a évidemment aussi : v (l (l,t) = Zc.i(l Zc.i(l,t)



ce ui impl impli ue nécessairement V2 = 0

i une ligne est adaptée, il n¶y a pas d¶onde réfléchie r éfléchie et on a simplement sur la ligne une onde progressive se propageant de la source vers la charge. La tension sur la li ne a pour expression : v(x,t) = - kx ) = V1.cos((t-x/v) ) V1.cos(t S

y y y

à l¶entrée de la li ne (x = 0) 0) on a : v(0,t) = V1.cos(t ). à une distance x de l¶entrée, on a : v(x,t) = V1.cos(t -  ) avec  = .x /v les points en phase avec l¶entrée sont séparés par un interva lle lle tel tel ue le déphasa déphasa e soit un mul mu ltipl tiple de 2 :  = .x/v = n.2 avec n entier soit x = n.2.v /w = n.v/f = n. n.

Figure 7 : Répartition de la tension sur la ligne à t=0 (a) et à t=to (b).

15


Après to secondes, tous les maxima ont avancé d¶u ne distance xo = v.to. La li ne est le siè e d¶une d¶une onde pro ressive se dép dép laçant à la vitesse v de la source vers la char e. De pl plus, à l¶entrée, tension et courant sont en phase p hase et la li ne adaptée se comporte vu vu de l¶entrée comme une simpl simp le résistance de val va leur : Re = V(0)/I(0) = Zc  

i une ligne d¶impédance caractéristique Zc est adaptée, cette ligne a une impédance d¶entrée résistive et égale à Zc. En tout point de la ligne, la tension est sinusoïdale et a une amplitude identique à l¶amplitude de la tension à l¶entrée de la ligne.

S

5)

Coefficient de réflexion sur une ligne désadaptée: désadaptée:

Pour étudier ce cas, nous a llons llons faire un chan ement de repère en prenant un axe ui a son ori ine en bout de li ne et orienté orienté de la sortie vers l¶entrée. La variabl variab le x représente maintenant la distance entre le point courant et l¶extrémité de la li ne. Nous choisissons é a lement l¶ori ine des des temps pour ue la phase de l¶onde incidente soit null nullee au niveau de la char char e.

Figure8 :La ligne désadaptée est parcourue par deux ondes progressives.

Les deux ondes s¶écrivent a lors V1.cos( [t + kx ) pour l¶onde incidente et V2.cos([ t - kx ) pour l¶ onde réf léchie. La tension et le courant sur la li ne val va lent :

Or en bout de li ne on peut aussi écrire : v (0,t) = R.i(0,t) d¶où

C¶est le coefficient de réf lexion en bout de li ne. ne.

16


([HPSOH : pour un câbl câb le coaxial coaxial de Zc = 50  char é à son extrémité par une résistance de

100  le coefficient de réf lexion vaut r = ( 100 - 50 ) / ( 100 + 50 ) = 0,333 et donc V2 = 0,333.V1 Il est intéressant de noter les val va leurs extrêmes de ce coefficient de r éf lexion : résistance de char e nu nu lle lle r = -1. infinie r = +1.  résistance de char e infinie Ondes stationnaires sur 6) 

une ligne désadaptée

A une distance x du bout de la li ne la tension s¶écrit al a lors : v(x,t) = V1.cos( [t + kx ) + r.V 1.cos([t - kx ) o



Aux points x0 où les 2 termes sont en phase, on aura un e ampl amp litude maximal maxima le et val va lant: ant: V (xo) = V1.(1 + r ) supérieure à la tension en entrée

Ces points sont caractérisés par : k.x0 = n.2 soit x0 = n. [ o



Aux points x1 où les deux termes sont en opposition de phase, on aura une amp litude minimal minima le et val va lant : V(x ) = V .(1 - r ) inférieure à la tension d¶entrée 1

1

ces points sont caractérisés par : k.x1 = (2n + 1 ). soit x1 = ( 2n + 1). [

Figure 9. Répartition de la tension sur la ligne désadaptée.

On a donc le Taux d¶Ondes Statio nnaires nnaires ou TOS :

On peut retenir comme repères les val va leurs suivantes :   

TOS = 1 li ne parfaitement adaptée, r = 0. TOS de 1 à 1,5 li nes pres ue adaptée. TOS supérieur à 2 li nes désadaptées. 4

5

6

7

On retiendra donc un troisième résul résu ltat fondamental fondamental :

17


Lorsqu¶on applique à l¶entrée l¶entrée d¶une d¶un e ligne désadaptée une tension tension d¶amplit d ¶amplitude udeV1, la tension en

sortie de la ligne a une valeur dépendant de la désadaptation et comprise entre 0 et 2.V1.

III.

Applications(Lignes de transmission d¶ondes TEM ) 1) Ligne à plaques parallèle

Cette li ne est composée de deux pl p la ues parall parallèèles parfaitement conductrices (). Entre les conducteurs, se trouve un diél diélectri ue (, (, ) dans dans le uel uel se propa propa e l¶onde EM. Dans le métal métal E= 0. Nous avons une densité de char e de surface  s et un e surface js. coura nt d W est supposé bcp p lus rand ue d, de façon à considérer seul seu lement l¶intérieur de la li ne où les champs sont homo ènes. 

Comme la li ne n e a une section constante (indépendante de z), l¶onde reste toujours pol polarisée E||n. L¶onde est parfaitement TEM.

Avec les conditions de continuité aux interfaces métal méta l/diél diélectri ue, nous trouvons pour les champs dans le diél diélectri ue

Le champ él électri ue est orienté sel se lon ux, le champ H sel selon. Cel Cela fixe la direction de propa ation sel selon uz, et donne un courant de surface dans la direction uz.

18


Nous voul vou lons trouver les expressions pour la tension et le courant transportés par la li ne. Le courant de surface est

Et le courant total tota l dans la pl p la ue inférieure à x=0. Comme le champ él él., est une onde, la tension (ddp) entre les deux pl p la ues est une fonction de z:

On trouve les é uations des tél télé raphistes :

On reconnaît des expressions pour la capacité e la d

8

et l¶ uct ance L (par unité de lon ueur z) z) in in d d

l ign igne:

Les é uations des tél té lé raphes deviennent: deviennent :

19


Ces deux deux é uations coupl couplées se combinent pour for mer un système ana lo ue aux é uations

d¶onde: d¶onde:



Sol Solution énéral énéra le



Dispersion



L¶impédance Z0 de la li ne est est définie par :



L¶admittance Y0 est donnée par :

(*)

Exemple: Dans un circuit imprimé à haute puissance deux conducteurs sont séparés par une couche de diél diélectri ue (en (en énéral énéral du SiO2) avec = 40. Le cahier cahier de char e pour cet cet élément est le suivant: suivant : Impédance du circuit faibl faib le (Z0= 10 ), champ maxima l 40¶000 V/ cm, et puissance à transporter 1 kW. Quell Quelles es sont les contraintes pour la éométrie ? On va étudier les ré ions à l¶intérieur de W. C¶est là ue la puissance va se concentrer car la conductivité  y est maximal maxima le. Figure11 :Modèle pour une ligne de transmission micro -électronique



L¶impédance du diél diélectri ue



L¶impédance de la li ne



impose un rapport pour les dimensions

Si le courant et tension sont rel re liés par :

Et donc 20


Permet d¶éval d¶éva luer la tension nécessaire pour transporter 1 kW. Cette tension crée un champ cha mp:: Comme le champ de cl c la ua e est limité Emax on trouve pour l pour l¶épaisseur du diél diélectri ue. Et

emarques: emarques:

R

A. Si le diél diélectri ue absorbe, absorbe, il il faut tenir compte de sa conductivité diel die l, ce ui modifie les EMax entre E et

H.

Maintenant

Ceci conduit à la définition de la conductance G



En énéral énéra l, les conducteurs util uti lisés ne sont pas des conducteurs conduct eurs parfaits. Il I ls ont une résistivité R f m). Cel Cela a pour consé consé uence u¶il u¶il va y avoir un peu de chute ini ini e (en / de tension, càd un faibl faib le champ él électri ue le lon des lpa ues conductrices. Cette composante z du champ fait ue les ondes ne sont pl p lus purement TEM.



Néanmoins, dans le cas où R<<L, on peut simp lement continuer l¶approximation des ondes TEM, en écrivant



est toujours la bonne sol solution, avec

Ainsi l¶admittance devient

2)

Le câble coaxial

Le câbl câble coaxial coaxia l est lar ement ement util utilisé pour les si naux de fré uence < 1G Hz (câbl (câble TV, branchements BNC, etc.). Il I l est fondamental fondamenta l d¶en étudier les caractéristi ues.

Il est composé d¶un cur méta lli lli ue de rayon a, d ¶u ¶un cond uct eur eur e rayo rayon b. creu x d N o us supposons u¶il u¶i ls sont des conducteurs parfaits. Les deux sont séparés

21


par un diél diélectri ue défini par ,  et conductivité .

Comme le câbl câble a une section constante (indépendante de z), l¶onde reste toujours pol po larisée E||n.



Propriétés de E: Conducteurs parfaits: parfaits : E  aux surfaces



E E Diél Diélectri ue sans char es: es: D= =0 =0

y

Ainsi le f lux

A

A ne dépend pas de r, ce qu i est E .n.d raisonnable

La forme de l¶onde sel selon z est La tension V(z) entre les deux conducteurs est simpl simp lement

y

Propriétés Prop riétés du champ ma néti ue H:

Propa Propa ation sel selon uz

Ce champ induit un courant I( z) z) Le câbl câble a une impédance impédance Z0. Sa éométrie éométrie su ère u¶il u¶il est condensateur etbobine et bobine en même temps. On s¶attend donc à trouver une capacité C et une induction L pour ce câb le. 

Déterminons d¶abord V0/I0 qui se trouve avec la loi d e Farad Farad ay ay :

22




V0/I0 est

simpl simplement donné par l¶impédance  du diél diélectri ue. ue.

Pour cal ca lcul culer la capacité C , nous constatons ue la surface du du coeur porte une char e de

surface : Et pour la capacité C par unité de lon ueur l l (F/m) d

Le f ma néti ue par par unité unité de lon ueur est lux ma

Et donc l¶inductance par unité de lon ueur ( H/m) En absence de résistance ohmi ue, le câbl câble a une impédance ui est est simpl simplement donnée par

emarques: emarques:

R

  

L¶impédance carac c aractérise térise le câbl câble de part part sa sa éométrie et son diél diélectri ue. Z ne dépend pas de la lon ueur du câbl câb le. Elle lle dépend de la fré uence à travers . Il I l est important de choisir de câbl câb les de même impédance pour éviter r éf les pertes par réf lexion. Les é uations (*) s¶app s¶applli uent à toutes les li nes TEM, basées basées sur 2 conducteurs. I l suffit de connaître l¶inductance et la capacité pour connaître la dispersion. 0 0

23


IV.

Abaque de Smith : description

1) Intérêt L¶aba ue de S mith constitue un outil outil encore lar ement ement util utilisé dans le domaine des hyperfré u ences, I l permet d¶effectuer graphiquement le passage (dans les deux sens) entre le coefficient de réflexion à l¶extrémité d¶une ligne et l¶impédance de charge. Ces deux paramètres étant compl comp lexes, il ils peuvent peuve nt être repr ésentés da ns un p lan compl complexe. L¶aba ue de Smith S mith consiste à superposer deux deu x pl p lans compl complexes : un plan cartésien représentant le coefficient de réf lexion et un faisceau de courbes représentant l¶impédance de char char e. 2) Construction La rel relation liant le coefficient de réf lexion à l¶impédance caractéristi caractéristi ue et et l¶impédance de char e d¶une li ne est :

Dans la prati ue, l¶impédance ¶impédance caractérist caractéristii ue Z c d¶une li ne de propa ation peut, en premiè première re approximation, être considérée comme réell rée lle. e. C¶est dans cette hypothèse u¶est tracé l¶aba ue de Smith, soit :

Sur un pl plan compl complexe, on représente le coefficient de réf lexion

Il s¶a it ensuite de représenter sur ce pl plan le lieu de l¶impédance ¶impédance de char e

compl complexe

Des calculs simples montrent que : 

le lieu de

constante est représenté par un cercl cerc le de rayon

centré en 

le lieu de

constante est représenté par un cercl cerc le de rayon

centré en

2

4


La Fi ure 15 montre la représentation des cercl cerc les représentant les parties réell réellee et ima inaire de

dans un plan compl complexe de coordonnées  re et  im :

Fig ure ure 15.

9

ion d onst ru ruct e l¶abaque d e Smith. th.

1) Utilisation L¶aba ue de Smith sert a priori priori à passer de coefficient de réf lexion à impédance de char e (et vice-versa). Il I l est util utilisé pour de nombreuses nombreuses opérations ui mettent en jeu jeu des décal déca la es de lon ueur car, pour une ligne sans pertes, dans le plan des coefficients de réf lexion, un décal décala e de lon ueur simp le déphasa déphasa e : x se traduit par un simpl

Correspondant à un a ller-retour ller-retour de l¶onde, comme l¶indi ue la rel relation :

Cette ¶é uation uat ion montre u¶un tour

complet de l¶abaque correspond corres pond à :

Si l¶on souhaite connaître l¶impédance de char e « vue vue » au niveau niveau du pl p lan d¶entrée représenté sur la Fi ure précédent, il i l suffit de placer z char sur l¶aba ue de Smith, puis d¶effectuer une rotation correspondant à (5 , comme le montre la Fi ure ci-dessus. ci-dessus. @

25


2) Exemple

d·application : Exemple 1

Nous considérons une li ne de propa ation d¶impédance caractéris caractéristi ti ue u e Zc=200; , de lon ueur él électri ue ou phase l l = 130° terminée par une impédance: impédance : 1? Z = R í jX = 400 í j300 T. Que lle lle est l¶impédance d¶entrée Z e vue du pl p lan P

Fig is isat ion d xemple d ure ure 19. U t ti l e l¶abaque d e Smith. th. E e cir . cuit

Solution : 

La lon ueur él électri ue est é al a le à soit l/=0.36 l¶aba ue de Smith sont normal normalisées, donc nous  Les impédances reportées sur reporterons : 26


! 2 et x = í1,5, Portons cette val va leur sur l¶aba ue de Smith à l¶intersection des cercl cerc lesr es r 0. 0. soit P s¶éloi ne de la char char e, le point P déplace sur le 0 se dépl  En l¶absence de pertes, si l¶on s¶él 0, dans le sens des ai uill cercl cercle de rayon OP ui lles es d¶une montre. Le rayon de ce cerc l e nous permet, à l¶aide de la ré lette disposée près de l¶aba ue, de déduire ue le ROS 

de la li ne sera :  ! 3,33. 0 représentant la li ne à la terminaison, on se dépl dép lace sur le cercl cercle  A partir du point P défini précédemment d¶un an le de d e 260° (2l (2 l), ce ui donne le point P . P est à l¶intersection des cercl cerc les : r e ! 0,77 et x e ! 1,09, d¶où l¶impédance d¶entrée cherchée soit : On peut retrouver ce résul résu ltat par cal ca lcul cul.

Exemple 2

: admittance

Déterminer l¶admittance d¶entrée Y d¶impédance ance caractéristi caractéristi ue e d¶une li ne de propa ation d¶impéd Z c = 100, de lon ueur él électri ue 60°, terminée sur une impédance impédance normal norma liséeZ iséeZ T = 1+ j0, 7.

Solution : 27


Montrons d¶abord comment l¶on passe d¶une impédance à une admittance sur l¶aba ue. Nous T en Z avons montré u¶une li ne ¼ d¶onde transformait une impédance de char eZ tellee ue e. tell , soit en impédance norma nor mallisée : , donc . Une lon ueur 4  (li ne ¼ d¶onde) fait fait tourner de  sur l¶aba ue. On en déduit donc ue sur l¶abaque, pour

passer de l¶impédance à l¶admittance, il suffit de prendre le symétrique par rapport au centre de l¶abaque. La suite du raisonnement est ca lquée lquée sur l¶exempl ¶exemple 1. On obtient :

Exemple 3

: Adaptation d·impédance :

On réal réa lise l¶adaptation d¶une char e Z = 20 - j6 T à l¶aide d¶un tronçon de li ne court court circuité de lon ueur l , pl p lacé à une distance d de la char e (Fi ure 21). La fréq fréquence de travail travail est est é a le à 2 G Hz. La permittivité rel relative effective du mil mi lieu est  reff reff ! 2. ure ure 21. Ad apt apt at ¶i ¶ mpéd ance. Fig ion d

Solution : En M , nous devons combiner deux impédances : y y

T L¶impédance ramenée par le tronçon de lon ueur terminé par d d Z L¶impédance ramenée par le tronçon de lon ueur l l en court-circuit.

Il est de ce fait pl plus simpl simp le de raisonner en admittance car deux admittances en para llè llèl e c afin s¶ajoutent. On souhaite que l¶ensembl ¶ensemb le des tronçons présente une impédance é a le àZ qu¶il u¶il y ait adaptation, c' c' est-à-dire est-à-dire une admittance admitta nce norma nor mallisée y M ! 1. Or la li ne court-circuitée court-circuitée ramène en M une admittance ycM= jb . Il Il faut donc qu¶en M, M, le tronçon de lon ueur ramène une admittance y d

=1 í M M T

jb. Donc le point représentatif de

yT le cercl cercle dont la partie réell réellee est é al a le à 1, soit le cercl cercle passant par le M M doit se trouver sur centre de l¶abaq ¶abaque. Sur l¶abaq ¶abaque de Smith, pointons le point P 0 correspondant à

28


0, soit Q0, Nous raisonnons en admittance, donc yT s¶obtient en prenant le symétriq symétrique de P

par rapport au centre de l¶abaq ¶abaque. Lorsq Lors que l¶on s¶él s¶éloi ne de la char char eyT , on se dépl dép lace sur le cercl cercle de rayon OQ0 puisq puisque les li nes sont supposées sans pertes. L¶admittance ramenée par le tronçon de lon ueur doit se trouver sur l¶intersection entre e ntre ce d cercl cercle et le cercl cercle r possibi lités, représentées par les points M 1 et M 2, ! 1, ce qui donne deux possibil que nous appel appelons sol solution 1 et sol solution 2. Sollution 1 M1: So M1: y

La lon ueur d se déduit immédiatement : on tourne de Q0 vers M1 dans le sens tri onométriq onométrique, on parcourt donc : 0,51/2 tour í 0,26

23 . La  0,183 ! 0,423

lon ueur d¶onde uidée est é a le à : Donc

! 0,423.10, 6§ 4,5 cm.

1 d

L¶admittance normal norma lisée ramenée par le tronçon de lon ueur en M se lit sur l¶abaq ¶abaque : d d y dM1 = 1 +1,75 j. Pour que yM il faut donc que le court-circuit court-circuit ramène ra mène í 1, 75 j.  !1, il Pointons l¶admittance d¶un court-circuit, soit

, ce 

qui donne le point CC . Lorsq Lorsque nous

nous dépl dép laçons vers le point M , nous rencontrons l¶admittance  1,75 j au point CC M M. Nous avons al a lors parcouru 0,083 0,083 , donc

6

l 1=0,083.10 §8,8 mm.

Sollution M2 : So Nous obtenons respectivement

et

On peut dire que les deux sol solutions sont à peu près éq é quival uiva lentes car les lon ueurs mises mises en jeu sont du même ordre de randeur rand eur

29


30


l ion

Conc

Le domai doma ine des mi micro-ondes et et des radi radios fréq fré quences, a connu depui depu is ces derni dernières années une for te demande et et de très grands prog progrès technologiq echnologiques. ues. Ces évoluti évolutions ons se sont sont nat naturellement urellement confront confrontées à di différent fférentes cont contrai raint es, à savoi savoir : 





Cont ontrai rainte de mi minimisati sation on des ci c ircuit rcuitss élect électroniq roniques ues qui se traduit raduit par la concepti conception on de circuit rcuitss les plus compact compac ts possi poss ibles avec les problèmes de compati compa tib bilité ité élect électromag roma gnétiq nétique ue associ associés. Cont ontrai rainte d¶opti d¶optim misati sation on des bandes de fré quences uti utiles, les, en effet effet, pour évit éviter er tout out problème d¶i d¶interférence, il est est nécessai nécessaire de choi choisir et d¶or gani aniser les bandes de fréq fréquences avec une préci préc ision maxi maximale. Cont ontrai rainte de mi minimisati sation on des coût coû ts de producti produc tion, on, cer tains produit produitss sont sont desti destinés nés à une lar ge diffusi ffusion ce qui impose l¶uti l¶utillisati sation on des mat mat ér iaux et et de procédés de fabr icati cation on les moi moins coût coûteux possi poss ibles

La combi combinai naison de ces di d ifférent fférentes cont contrai raintes dir ige ige les chercheurs vers une intégrati ration on du plus grand nombre de foncti fonc tions. ons. La mét méthode la plus connue est es t l¶uti l¶utillisati sation on des lig l ignes nes de transmi ransmissi ssions uni uniformes mi mises en cascade ou des ignes ig l nes de transmi ransmissi ss ion non uni uniformes.

LAMR LAMR EOUA EOUA Abdelhak

31

Mast aster GE2 M arrakech FST

rappoet ligne de transmision

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