6.5 LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN LARGA: INTERPRETACIÓN INTERPRETACIÓN DE LAS ECUACIONES Tanto como γ como Z c son cantidades complejas. complejas. A la parte real de la constante de propagación γ se le llama constante de atenuación α y se mide en nepers por unidad de longitud. longitud. La parte en cuadratura de γ se llama constante constante de fase β y se mide en radianes por unidad de longitud. Así,
Y las ecuaciones (.!"# y (.!$# dan
Las propiedades de % α& y %'β& ayudan a eplicar la )ariación de los )alores *asoriales de )oltaje y corriente como una *unción de la distancia a lo largo de la línea. +l trm cam-ia en magnit magnitud ud con*or con*orme me cam-ia, pero %'β& (ue es trmino ino %α& cam-ia idntico a cos β / j sen β # siempre tiene una magnitud de 0 y origina un des*asamiento de β radianes por unidad de longitud de la línea. +l primer trmino en la ecuación (.!#, se incrementa en magnitud y a)an1a en *ase con*orme se incrementa la distancia desde el etremo etremo receptor. 2or el contrario, con*orme con*orme se considera considera el a)ance a lo largo de la líne línea a desde desde el etre etremo mo gener generad ador or 3aci 3acia a el etr etrem emo o recep recepto torr, el trm trmin ino o disminuye en magnitud y est4 atrasado en *ase. 5sta es la característica de una onda )iajera y es similar al comportamiento de una onda en el agua, la cual )aría en magnitud con el tiempo en cada punto, mientras ue su *ase est4 retrasada y su )alor m4imo disminuye con la distancia desde el origen. La )ariación en el )alor instant4neo no se epresa en el trmino pero est4 implícito ya ue 6 7 e 87 son *asores. +l primer trmino en la ecuación (.!# se llama voltaje incidente. +l segundo termino en la ecuación (.!#, disminuye en magnitud y est4 retrasado en *ase desde el etremo receptor 3asta el etremo generador. generador. 9e llama voltaje reflejado. +n cualuier punto a lo largo de la línea, el
)oltaje es la suma de las componentes de los )oltajes incidente y re*lejado en ese punto. :omo la ecuación de la corriente es similar a la del )oltaje, se puede considerar ue la corriente est4 compuesta de las componentes incidente y re*lejada. 9i la línea se termina en su impedancia característica Z c, el )oltaje en el etremo receptor 67 es igual a 8 7Z: y no 3ay onda re*lejada de )oltaje ni de corriente, como se puede )er al sustituir 8 7Z: por 67 en las ecuaciones (.!# y (.!;#. A la línea terminada en su impedancia característica se le conoce como línea plana o línea infinita. +ste n )alor típico de Z c es de $?? @ para una línea area de un circuito y !?? @ para la de dos circuitos en paralelo. 2or lo general, el 4ngulo de *ase de Z c est4 entre ? y 0BC. Las líneas con conductores agrupados tienen )alores -ajos de Z c porue tienen una L m4s -aja y una : m4s alta ue las de las líneas con un conductor por *ase. +n la pr4ctica con sistemas de potencia, la impedancia característica es conocida algunas )eces como impedancia de sobrevoltaje. 9in em-argo, el trmino Dimpedancia de so-re)oltajeE por lo general se reser)a para el caso especial de líneas sin perdidas. 9i una línea no tiene perdidas, su resistencia serie y su conductancia paralelo son cero y la impedancia característica se reduce al n
para la línea de longitud l se reduce al
n
Fonde es el )oltaje línea a línea en la carga. Fe-ido a ue la carga es puramente resisti)a,
o con
en Gilo)olts,
Algunas )eces, los ingenieros de potencia encuentran con)eniente epresar la potencia transmitida por la línea en trminos de por unidad de los :89, estos es, como la relación entre la potencia transmitida y la carga-ilidad a la impedancia de so-re)oltaje. >na longitud de onda H es la distancia entre dos puntos de una onda a lo largo de la línea ue di*ieren "?C o !I radianes en *ase. 9i β es el des*asamiento en radianes por milla, la longitud de onda en milla es
La )elocidad de propagación de una onda en millas por segundo es el producto de la longitud de onda en millas y la *recuencia en 3ert1, o
2ara la línea sin perdidas de longitud l metros, (.!J# y (."?# dan
y las ecuaciones
:uando se sustituyen los )alores de L y : en estas ecuaciones para la línea area de pocas perdidas, se encuentra ue la longitud de onda es aproimadamente "??? millas a una *recuencia de ? K1 y ue la )elocidad de propagación es muy cercana a la )elocidad de la lu1 en aire (aproimadamente 0 ??? millasMs o " 0? mMs#. 9i no 3ay carga en una línea, 8 7 es igual a cero y los )oltajes incidentes y re*lejados son iguales en magnitud y en *ase en el etremo receptor, como puede ser determinado mediante las ecuaciones (.!# y (.!;#.
6.6 LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN LARGA: FORMA HIPERBÓLICA DE LAS ECUACIONES Las ondas de )oltaje incidente y re*lejada se encuentran rara )e1 cuando se calcula el )oltaje de la línea de potencia. La ra1ón por la ue se anali1ó el )oltaje y la corriente de una línea en trminos de las componentes incidente y re*lejada es ue tal an4lisis es na *orma m4s con)eniente de esas ecuaciones para los c4lculos de corriente y )oltaje de la línea de potencia se encuentra al introducir las *unciones 3iper-ólicas. +stas
9e encuentra un nue)o conjunto de ecuaciones al rearreglar las ecuaciones (.!"# y (.!$# y sustituir las *unciones 3iper-ólicas por los trminos eponenciales. Las nue)as ecuaciones ue dan el )oltaje y la corriente en cualuier punto a lo largo de la línea son
9i se considera N l para o-tener el )oltaje y la corriente en el etremo generador, se tiene
Al eaminar estas ecuaciones se o-ser)a ue las constantes generali1adas del circuito para una línea larga son
Al resol)er las ecuaciones (."B# y (."# para 6 7 e 87 en trminos de 6 9 e 89 se tiene
2ara líneas tri*4sicas -alanceadas las corrientes en las ecuaciones anteriores son de línea y los )oltajes son al neutro, esto es, los )oltajes de línea di)ididos entre √3
. 9e de-en e)aluar las *unciones 3iper-ólicas con el *in de resol)er las
ecuaciones. Las siguientes ecuaciones dan las epansiones de los senos y cosenos 3iper-ólicos de los argumentos complejos en trminos de *unciones circulares e 3iper-ólicas de argumentos realesO
Las ecuaciones (.$?# y (.$0# 3acen posi-le el c4lculo de *unciones 3iper-ólicas de argumentos complejos. La unidad matem4tica correcta para βl es el radian y este es la unidad encontrada para βl al calcular la componente en cuadratura de γl. 9e pueden )eri*icar las ecuaciones (.$?# y (.$0# al sustituir en ellas las *ormas eponenciales de las *unciones 3iper-ólicas y las *ormas eponenciales similares de las *unciones circulares. Ptro mtodo para e)aluar las *unciones 3iper-ólicas complejas se o-tiene mediante las ecuaciones (."0# y (."!#. Al sustituir α / jβ por Q, se o-tiene
Ejemplo 6. >na línea de transmisión de un circuito a ? K1 tiene una longitud de ";? Gm (!"? millas#. Los conductores son del tipo Rook con espaciamiento plano 3ori1ontal y ;.!B m (!". pies# entre ellos. La carga en la línea es de 0!B RS a !0B G6 con un *actor de potencia de 0??. +ncuentre el )oltaje, la corriente, la potencia en el etremo generador y la regulación de )oltaje de la línea. Fetermine tam-in la longitud y la )elocidad de propagación de la onda en la línea. Sol!"#o$. :on el *in de usar las ta-las A." a A.B del apndice, se seleccionan los pies y las millas en )e1 de los metros y Gilómetros.
Y de las ta-las para el conductor Rook
Fe las ecuaciones (.$!# y (.$"# y si se conoce ue ?.$;B? radianes N !;.!!C
+ntonces la ecuación (."B#
Y de la ecuación (."#
+n el etremo generador
Fe la ecuación (."B# se o-ser)a ue sin carga, (8 7 N ?#
Así, la regulación de )oltaje es
La longitud de onda y la )elocidad de propagación se calculan como sigueO
2articularmente, en este ejemplo se o-ser)a ue en las ecuaciones para 6 9 e 89, el )alor de )oltaje de-e epresarse en )olts y de-e ser el )oltaje línea a neutro.
6.% EL CIRCUITO E&UI'ALENTE DE UNA LINEA LARGA +l circuito nominal I no representa eactamente una línea de transmisión porue no se tiene en cuenta ue los par4metros de la línea est4n distri-uidos uni*ormemente. La discrepancia entre el circuito nominal I y la línea real se 3ace mayor con*orme la longitud de la línea se incrementa. 9in em-argo, es posi-le encontrar el circuito eui)alente de una línea de transmisión larga y a esta representarla con precisión (al menos en cuanto a las medidas en los etremos de la línea se re*iere# mediante una red de par4metros concentrados. Al sustituir en la ecuación (.B# ZU y YUM! en lugar de Z y de YM!, se o-tiene el )oltaje en el etremo generador del circuito eui)alente en trminos de sus ramas serie y paralelo, asi como el )oltaje y la corriente en el etremo receptorO
2ara este circuito sea eui)alente al de la línea de transmisión larga, los coe*icientes de 6 7 e 87 en la ecuación (.$$# de-en ser idnticos, respecti)amente, a los coe*icientes de 6 7 e 8 7 en la ec. (."B#. Al igualar los coe*icientes de 8 7 en las dos ecuaciones se o-tiene
Fonde Z es igual a zl y es la impedancia serie total de la línea. +l termino (sen3 γlM γl es el *actor por el ue se de-e multiplicar la impedancia serie del circuito I nominal para con)ertirlo al circuito eui)alente I. 2ara in)estigar la rama paralelo del circuito eui)alente I, se igualaran los coe*icientes de 67 en las ecuaciones (."B# y (.$$# para o-tener
Al sustituir Zc sen3 γl por ZU da
Ptra *orma para la epresión de la admitancia paralelo del circuito eui)alente se puede encontrar al sustituir en la ecuación (.$J# la identidad
La identidad se puede )eri*icar al sustituir las *ormas eponenciales de las ecuaciones (."0# y (."!# para las *unciones 3iper-olicas y al recordar ue tan3 Q N sen QM cos3 Q. A3ora,
Fonde Y es igual a yl, la admitancia paralelo total de la línea. +n la ecuación (.B!# se muestra el *actor de corrección ue se usa para con)ertir la admitancia de las ramas en paralelo del circuito nominal I en las del circuito eui)alente I. :omo para )alores peueVos de yl, tan3 (ylM!# y ylM! son aproimadamente iguales, el circuito nominal I representa de manera -astante aproimada las líneas de transmisión de longitud media. +n la *igura .J se muestra el circuito eui)alente I. Tam-in se puede encontrar un circuito eui)alente T para una línea de transmisión.
Ejemplo 6.5 +ncuentre el circuito eui)alente I para la línea descrita en el ejemplo ." y comp4rese con el circuito nominal I. Sol!"#($. :omo del ejemplo ." ya se conoce el sen3 yl y el cos3 yl, se usaran a3ora las ecuaciones (.$B# y (.$J#.
Al usar los )alores de 1 y y del .", se encuentra ue la impedancia serie del circuito nominal I es
Y ue las ramas paralelo iguales son de
2ara esta línea, la impedancia de la rama serie del circuito nominal I ecede a la del eui)alente I en ".. La conductancia de las ramas paralelo del circuito nominal I es ! menor ue la del eui)alente I.
6.) FLU*O DE POTENCIA A TRA'+S DE UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN Aunue si se conocen el )oltaje, la corriente y el *actor de potencia se pueden encontrar o calcular siempre el *lujo de potencia en cualuier punto a lo largo de la línea de transmisión. Las ecuaciones se aplican a cualuier red de dos puertos o dos pares de terminales. 9e repite la ecuación (.# y al resol)erla para la corriente en el etremo receptor 8 7 se tiene
9e deja ue
Y se o-tiene
+ntonces, la potencia compleja 6 7 8W7 en el etremo receptor es
Y las potencias real y reacti)a en el etremo receptor son
Al o-ser)ar ue de la ecuación (.B# la epresión para la potencia compleja 2 7 / jX7 es el resultado de la com-inación de dos *asores epresados en *orma polar, se pueden di-ujar estos dos *asores en el plano complejo cuyas coordenadas 3ori1ontal y )ertical est4n en unidades de potencia (atts y )ars#. +n la *ig. .0? se muestran las dos cantidades complejas y su di*erencia de la manera ue lo epresa la ecuación (.B#. +n la *ig. .00 se muestran los mismos *asores con el origen de los ejes coordenados despla1ado.
Fonde Q7 es el angulo de *ase por el ue 6 7 adelanta a 87. +l sigo de X es consistente con la con)ención ue le asigna )alores positi)os cuando la corriente esta en atraso con respecto al )oltaje. >n eamen de la *ig. .00 muestra ue 3ay un limite para la potencia y ue se puede transmitir al etremo receptor de la línea para magnitudes especi*icas de los )oltajes en los etremos generador y recptor. >n incremento en la potencia entregada signi*ica ue el punto G se mo)er4 a lo largo del circulo 3asta ue al 4ngulo β [ sea cero\ esto es, m4s potencia ser4 entregada 3asta ue [ N β.
Rayores incrementos en [ darían como resultado una menor potencia reci-ida. La potencia m4ima es
La carga de-e tomar una gran corriente en adelanto para alcan1ar la condición de m4ima potencia reci-ida. =eneralmente, la operación se limita a conser)ar a [ menos ue "BC y a igual o mayor ue ?.JB 2ara las líneas cortas, la carga-ilidad est4 limitada por e*ectos trmicos.
