Radicales y racionalización

Seminario de Álgebra

Repaso Integral

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RACIONALIZACIÓN

Luego: f( x )

=

x − 2x − 1 =

∴

 f ( x ) =

 x + x − 1

2

−

Es la transformación de una expresión fraccionaria con denominador irracional en otra equi valente con denominador racional.

 x − ( x − 1)

2

2 x − 1 1 − 2 2

Factor racionalizante (FR) Es aquel que facilita la racionalización de una expresión fraccionaria irracional. Procedimiento para racionalizar:

Regla práctica a + b ± 2 ab

=

 A  FR

a ± b; a > b

×

 B  FR

 Ejemplos

5−2 6

• •

= 3+ 2− 2 3 2 = 3 − 2

1.er  caso:

Considerando m > n se tiene

2 x + 2 x 2 − 1 = x + 1 + x − 1+ 2 ( x + 1) ( x − 1)

 A  m

2x + 2 x

2

−1 =

x +1+ x −1

2. caso:

A+ B + C

+

5

D

23

 A

10 + 60 + 40 + 24

 x

 Resolución

±

22

x

+

y+

y

5+ 3

z

 A

=

3

•

=

=

45 4 ×5 = 5 3 2 2 22 4

Considerando x > 0

60 + 40 + 24 ), es decir

Sea 10 + 60 + 40 + 24

=

5

 m

 A·

x m− n  x

= 25 4

2.o caso:

Hallemos la raíz cuadrada de

(10 +

 n

4

 x m− n =  m · m  x n  x m− n  m

 A

 x

• o

C 

Donde:  B es irracional y C es racional

Considerando x > 1 se tiene:

→

A × FR

=

 x

±

y

·

3

=

 y > 0 se tiene

∧

5+ 3

 x



y

 x



y

×

=

5− 3 5− 3

A

(

x

y



)

 x − y

=

3( 5 − 3) 2

3.er  caso:

Elevamos al cuadrado:

Considerando x e y reales se tiene 10 + 60 + 40 + 24

= ( x + y + z) + 2

xy +

yz +

zx

)  A

 x + y + z = 10  2 xy = 60 → xy = 15  → 2 yz = 40 → yz = 10 2 zx = 24 → zx = 6 

3

•

luego, x=3;  y=5;  z=2 ∴

10 + 60 + 40 + 24

 x

±3y

 –

2

–

2

2

+3y · 2 =3 =  x ± 3 y 3 x  3 xy + 3 y 2 x

3

xy

2

2 3

3

3− 2

3

(

2 2 A 3 x  3 xy + 3 y

2

 x ± y

2

+ 3 3·2 + 3 2 = × 3 3 − 3 2 3 3 − 3 2 3 3 2 + 3 3·2 + 3 2 2 2(3 9 + 3 6 + 3 4 ) 2 → 3 3 = 3−2 3− 2 2

∴

= 3+ 5+ 2

3

 A

3

= 2(3 9 + 3 6 + 3 4 )

)

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Repaso Integral

PRÁCTICA DIRIGIDA  1.

4.

Dados los números reales  x = 3 + 8 ;

y = 7 − 40

de racionalizar 5 ;  x ∈ N ∧ x  f ( x ) =  x + x − 2

calcule el valor de ( x+y –1)2. A) 1

B) 5

C) 2

D) 9 2.

Halle el denominador que resulta luego

∈ Q'

A) ( x+4)( x – 1)

E) 25

B) ( x – 2)( x – 1) C) ( x+2)( x+1)

Luego de descomponer en radicales simples

D) ( x+4)( x+1)

2

2 x + 3 x + 2 x − 1; x > 1 indique el radical simple generado que

E) ( x – 4)( x – 1)

tenga mayor valor numérico. 5.

A) D) 3.

 x + 1

B)

2

2 x + 1 2

3 x − 1 2

C) E)

 x + 3

2

entero.

3 x + 1 2

A) 32

Indique el resultado luego de descompo-

+

15 4

+

B)

6.

1 2 1 4

+

E) 2

5− 2+ 3 ? 5+ 2− 3

A) Es un número primo. B) Es múltiplo de cinco.

D) 5 + 1 5 2

C) 8

¿Qué podemos afirmar del denominador luego de racionalizar

C) 5 + 3

E)

B) 16

D) 4

ner 7 + 16 + 60 . 15  A) 2

Racionalice la expresión 32 e indique su denominador 3 3 + − 25 2 5 3

C) Tiene seis divisores. D) Tiene cuatro divisores compuestos.

1 2

E) Es un número impar.

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