Racionalización y sus tipos

Tema: Racionalización Objetivo: Explicar en qué consiste la racionalización a través de portales de internet y libros para que podamos aplicarla en matemáticas, y que nos ayudara a aprender más. Introducción: En el presente trabajo se explicará el proceso de racionalizar el numerador o denominador de una expresión fraccional. La racionalización es un proceso que permite simplificar expresiones que contiene radicales que no son exactos. Marco teórico Definición: La racionalización de radicales es un proceso en donde se tiene que eliminar la raíz o raíces que están en el denominador de una fracción. Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por una expresión adecuada, de forma que al operar, se elimine la raíz del denominador. Materiales: Desarrollo: La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones. Podemos distinguir tres casos: 1) Racionalización del tipo

a b√c

Se multiplica el numerador y el denominador por a b √c

=

a .√ c a. c a.√ b = √ 2= b.c b . √c . √c b ( √ c )

√c

Para racionalizar el numerador, se busca eliminar los radicales que aparecen en el numerador. Se sugiere considerar los siguientes pasos:

  

Multiplicar el numerador y denominador por un radical que elimine al radical del numerador. Simplificar los radicales. Simplificar la fracción resultante.

Ejemplos:

*Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción 5 √2 √ 2 , multiplicaremos numerador y denominador por 5 5√ 2 5√2 5√2 = = = √ 2 √ 2. √ 2 √ 22 2

*Racionalizar

2√ 3 √ 18

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador, tenemos: 2√ 3 2√3 2√3 = = √ 18 √ 2. 32 3 √ 2



√ 2+

1 2 √2 √2 1 =√ 2+ =√ 2+ = √ 2+ = 1+ 2 √2 √ 2. √ 2 2 2 (√ 2)

2) Racionalizar del tipo

( ) √2= 32 √ 2

a b √ cm n

Se multiplica el numerador y denominador por:

√n c n−m

n

n

n

n

a √ c n−m a . √ c n−m a . √ c n−m a . √ c n−m = = = = n m n m n n−m n m n n n−m b.c b √ c b √ c . √c b √ c .c b √c a

Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa. Ejemplos: 7 ( √ 5+ √ 3 ) 7 ( √ 5+√ 3 ) 7 ( √ 5+ √ 3 ) 7 ( √5+ √ 3 ) 7 = = = = 5−3 2 √5−√ 3 ( √ 5−√ 3 ) ( √ 5+√ 3 ) ( √ 5 )2−( √ 3 )2

2 ( 3−√ 7 ) 2( 3−√ 7) 2(3−√ 7) 2 = = = =3−√ 7 3+ √ 7 ( 3+ √ 7 ) ( 3−√ 7) 9−7 2

3) Racionalizar del tipo:

a √b+ √ c

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical. Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado: a +b

a – b

-a + b

-a – b

a – b

a + b

-a – b

-a + b

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

( a+b ) . ( a−b ) =a2−b2

Ejemplos 2 2 ∜ 23 2 ∜ 23 2 ∜ 23 4 3 = = = = √2 ∜ 2 ∜ 2 ∜ 23 ∜ 2 4 2

2.(4+ 2 √ 2) 2.(4+2 √ 2) 2.(4 +2 √ 2) 2.(4 +2 √2) 4+2 √ 2 2 = = 2 = = = 4−2 √ 2 ( 4−2 √ 2 ) .(4+ 2 √ 2) 4 −( 2 √ 2 )2 16−4.2 8 4

Conclusión: Se puede decir en conclusión que la racionalización de radicales es extraer raíces. Hemos aprendido de sus 3 de sus casos que intervienen que nos ayudará en la continuación de aritmética superior. Recomendaciones: En algunas expresiones algebraicas que involucran radicales se puede racionalizar el numerador o el denominador de dichas expresiones, según sea el caso y el objetivo que se desea alcanzar. El concepto y los procedimientos que se usan para racionalizar el numerador y el denominador de expresiones algebraicas son análogos. Bibliografía

  “Algebra y trigonometría con geometría analítica”/ autores Arthur Goodman,Lewis Hirsc/paginas 43-45  http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/racionalizacion/Racionalizacion_ home.html  http://lasmatematicas.eu/docs/eso/4eso/mm/radicales/index.htm l  http://www.matematicasfisicaquimica.com/conceptos-dematematicas/159-conceptos-matematicas-raices-radicales/1009racionalizacion-denominador-raices-raiz-radicales-ejemplos.html  http://www.vitutor.com/di/re/r17.html