Racionalización de radicales La racionalización de radicales es un proceso donde se tiene que eliminar el radical o los radicales, que están en el denominador de la fracción. Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresión adecuada, de forma que al operar elimine la raíz del denominador. Racionalización de un radical índice 2 Para racionalizar un monomio de este tipo, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma. En el siguiente caso:
hay que multiplicar numerador y denominador por
Después se despeja la raíz cuadrada del denominador ya que la cantidad subradical que es 5 elevada al cuadrado puede eliminar o despejar la raíz cuadrada:
[editar] Racionalización de binomio de índice 2 Para racionalizar un binomio de índice 2, se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar el numerador y denominador de la fracción por el denominador de la misma. En el siguiente ejemplo:
hay que multiplicar el numerador y el denominador por producto notable de los binomios conjugados.
; este resultado es el que da el
· = Ahora, se procede al despeje de las raíces cuadradas del denominador:
=
= [editar] Racionalización de monomios con índices mayores que 2 Tómese el siguiente caso, ya que tenemos numeradores y denominadores fraccionados y multiplicados por indices mayores que 3.
Primero, todas las cantidades subradicales (si son números enteros elevados que no tienen exponente) se les debe obtener la raíz enésima.
= Ahora, la cantidad que deberá ser multiplicada al numerador y denominador de la fracción sigue un procedimiento diferente a las anteriores.
Las cantidades exponenciales de los subradicales del radical para multiplicar al numerador y denominador de la fracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical. En caso de que el exponente sea mayor que el índice de la raíz, la cantidad de aquel exponente será la que falte para llegar al múltiplo más cercano de la raíz. = En este ejemplo, es , ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz... Ahora, se procede a multiplicar el numerador y el denominador:
· = Despejando las raíces, que son de índice 5:
= Simplificando, se obtiene: = [editar] Racionalización de binomios con radical mayor a 2 Cuando se tienen binomios con radical de índice 3, es preciso utilizar productos notables, en este caso la adición y sustracción de cubos, según sea el caso. Por ejemplo, en el caso de la expresión:
Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el resultado que dé el producto notable del denominador. = Para este caso se aplica sustracción de cubos como se muestra arriba. Este es el resultado del producto notable, que irá en el denominador, que multiplicará tanto al numerador como al denominador:
·
=
Ahora, se resuelven las potencias que están fuera del paréntesis:
Ahora, el denominador se transforma en producto notable:
: Ya que los exponentes de las cantidades subradicales del denominador son iguales o múltiplos de 3, puede procederse al despeje del radical del denominador, que es el último paso de la racionalización:
: que es el resultado deseado. Racionalización
Racionalizar una fracción consiste en quitar del denominador las raíces. • Si en el denominador lo único que aparece es una raíz, multiplicamos convenientemente el numerador y el denominador por una raíz de tal forma que se vaya del denominador la raíz. Ejemplo:
•
Si en el denominador aparecen dos raíces sumándose o restándose, multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero sin radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama Racionalización o Racionalización de Radicales de los denominadores. Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el Conjugado del Denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa. Por ejemplo, se desea racionalizar la siguiente fracción: .....7 ---------- = √5 - √3 Entonces, multiplicamos numerador y denominador de la fracción anterior por: √5 + √3 <-- Conjugado del Denominador (Operación Inversa) .....7.........√5 + √3 ---------- * ----------- = √5 - √3.....√5 + √3 ......7(√5 + √3) ----------------------- = (√5 - √3)(√5 + √3) 7√5 + 7√3....7√5 + 7√3 ------------- = -------------- <=== Expresión final ....5 - 3...............2 RACIONALIZACIÓN DE RADICALES Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores. Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente. Se pueden dar varios casos: 1. Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.
Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción
, multiplicaremos numerador y
denominador por
Otro ejemplo. Racionalizar Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador, tenemos:
Ahora basta multiplicar numerador y denominador por
para eliminar la raíz del denominador:
También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por
Y ahora extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.
2.
, como vemos da el mismo resultado. Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.
Por ejemplo
, multiplicamos numerador y denominador por
En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o sea una expresión del tipo
Otro ejemplo:
3.
, ahora multiplicamos numerador y denominador por
Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n quecomplete una potencia de exponente n.
Por ejemplo:
Factorizamos el radicando del denominador: numerador y denominador por
, y como
, vamos a multiplicar
para completar la potencia de 5
Otro ejemplo: Para que se elimine la raíz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego basta multiplicar por
Otro ejemplo más Racionalizar el denominador de la fracción:
Multiplicamos numerador y denominador por
Por tanto podemos escribir que
Historia del alfabeto griego El alfabeto griego procede la escritura fenicia. Los griegos tomaron el alfabeto de los fenicios hacia el s. IX a. C., gracias a los contactos comerciales que mantenían con ellos a lo largo de todo el Mediterráneo, especialmente en torno a Chipre o Rodas. La adopción de este alfabeto vino acompañada de una importante adaptación. Utilizaron signos fenicios que no les eran útiles para notar también las vocales. Esta innovación facilitaba la lectura y su interpretación, evitando posibles ambigüedades. Aplicaron el sistema de escritura a todas los campos de la actividad humana, abriendo el camino a la literatura, la ciencia, las artes y otras actividades humanas. En cuanto al modo de escritura, en un principio el alfabeto griego sólo utilizaba las que hoy en día llamamos mayúsculas. Tampoco existían otros signos ortográficos como puntos, comas, interrogaciones e, incluso, la Cada región de separación entre palabras o las tildes. Grecia antigua La dirección del texto podía ir: • De derecha a izquierda siguiendo la costumbre desarrolló su cretesense tomada de la escritura fenicia (rasgo propia variante oriental) del alfabeto. El • De izquierda a derecha. alfabeto griego • En zig-zag. Los griegos denominaron a esta curiosa de época forma de escribir 'bustrofedón', es decir, escritura realizada a la manera como 'gira' un 'buey' cuando antigua se ara. En el cuadro de la derecha podrás practicar su conserva, más o menos, en lectura. nuestras mayúsculas. Las inscripciones griegas desde el s. VIII reproducen las letras mayúsculas. Posteriormente, a partir del siglo IV a. C. la escritura alfabética griega siguió manteniéndose en los papiros literarios. Éstos fueron copiados en pergamino a partir del s. IV d. C. Ya en el s. IX d. C. en Bizancio se origina la minúscula que en el siglo XV fue adaptada para su uso en la imprenta hasta la actualidad. El origen semítico del alfabeto griego no presenta problema alguno. La misma tradición de los griegos al llamar a su escritura phoinikeia grammata o semeia, o sea, "escritura fenicia", señala claramente donde debe buscarse el origen del sistema. Además, incluso una investigación superficial de las formas, los nombres y el orden de los signos griegos lleva inmediatamente a la conclusión de que todas estas características han sido tomadas del sistema semítico de escritura. Incluso un profano no puede dejar de observar la identidad o gran similitud de forma entre los signos del alfabeto griego y los de las escrituras semíticas. Mientras los nombres de los signos del alfabeto griego no pueden explicarse con la ayuda de la lengua griega, se corresponden casi exactamente a los de las diferentes escrituras semíticas. Así, los alpha, beta, gamma, delta, etc., griegos corresponden a los aleph, beth, gimel, daleth, etc., semíticos, con los significados respectivos de "buey", "casa", "camello" y "puerta". De las lenguas semíticas de las que, en teoría, podrían derivarse los nombres
de los signos griegos, debe preferirse sin duda el fenicio y el hebreo. Puede observarse, por ejemplo, que el alpha griego se deriva de aleph, "buey", palabra que existe en fenicio y en hebreo, pero no en arameo, así como que iota, pi, rho griegos se encuentran más cerca de las respectivas palabras fenicias o hebreas, yodh "mano", pe "boca" y ros "cabeza" que de yad, pum y res arameos. Como no hay duda de que los griegos tomaron su escritura de los semitas, el problema consiste en determinar de qué sistema semítico se derivó la escritura griega. En teoría, cualquiera de las escrituras usadas por los pueblos semíticos establecidos en las amplias regiones que se extienden del sur de Cilicia al norte de Sinaí pudo ser el modelo de los griegos. Estas tierras estaban habitadas por los amorreos, arameos y cananeos, incluyendo a los fenicios. Sin embargo, nuestra investigación debe limitarse a los fenicios, los navegantes de la antigüedad, únicos semitas que se atrevieron a desafiar al gran Mar en busca de nuevos horizontes. Los griegos no fueron a la costa de Asia a pedir prestado el sistema semítico; las escrituras nunca pasan de un pueblo a otro de esta forma. Fueron los fenicios, que poseían colonias comerciales por todo el mundo griego, los que llevaron su escritura a los griegos. El origen fenicio está confirmado no sólo por la tradición griega, sino también, como hemos visto, por los resultados de la comparación de los nombres de los signos en los sistemas griego y semítico. La dirección de los signos en la escritura varía considerablemente en las inscripciones griegas más antiguas, ya que se dirigen tanto de derecha a izquierda, como de izquierda a derecha, continuando en estilo bustrófedon, cambiando de dirección alternativamente en cada línea. Sólo poco a poco se fue imponiendo en el sistema griego el método clásico de escribir de izquierda a derecha. CONCLUSIÓN El alfabeto griego es importante de estudiar pues fueron una cultura muy sobresaliente y dejaron mucho que aprender de ellos. Fueron grandes pensadores en casi todos los aspectos de la ciencia, con esto me refiero a matemáticas, filosofía, astronomía, mecánica, construcción, etc. Solo por haber sido tan grandes merecen ser analizados y comprendidos en una forma general para cualquier persona, hablando un poco de le estudio en la escuela con la materia de etimologías greco-latinas, nos sirve como un pequeño avance hacia el aprender las palabras en griego. Las palabras de la actualidad se derivan de palabras antiguas y las griegas bien podrían ser algunas de ellas. Para finalizar, es importante su estudio para empezar a estudiar las palabras en sí, con el aprendizaje del alfabeto griego estamos dando un paso a la vez para llegar a la verdadera meta: “el comprender nuestras propias palabras”.