Raciocínio Lógico - Ronilton Loyola

AULÃO TRT‐RJ/2013 RACIOCÍNIO LÓGICO: PROF. RONILTON LOYOLA 1. Conceito de Proposição É toda oração declarativa, com sentido lógico completo, e que tem um único valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F). Exemplos: - Flamengo é clube carioca. - A Lua é maior que a Terra. - Jorge casou-se casou-se com Estela. - Existe vida vida após a morte. Não são consideradas proposições: As construções sem verbo, pois não são orações.

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Exemplos: - Olá. - Psiu. - Ufa. As orações sem sentido lógico completo.

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Exemplos: - José é. - Casou-se com Maria. - É múltiplo de 4. As orações imperativas, as exclamativas e as interrogativas.

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Exemplos: - Suba a escada agora. - Beba Coca – Cola ! - Quem descobriu descobriu o Brasil ? As sentenças abertas.

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Exemplos: - Ele é um bom advogado. - x+ 2= 5 - xy – 3 > 8

Caiu na prova!!! (FCC/TRF-2ªREGIÃO/2007) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças: 1. A terça parte de um número. 2. Jasão é elegante. 3. Mente sã em corpo são. 4. Dois mais dois são cinco. 5. Evite o fumo. 6. Trinta e dois centésimos. É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números: (A) 1, 4 e 6; (B) 2, 4 e 5; (C) 2, 3 e 5; (D) 3 e 5; (E) 2 e 4.

2. Proposições Compostas e Conectivos Lógicos A partir de proposições simples dadas, podemos construir proposições compostas utilizando os conectivos lógicos: conjunção (e), disjunção (ou), disjunção exclusiva (ou ...ou...), condicional (se...então...) e bicondicional (...se e somente se...). Exemplos: p: Pedro é pedreiro. q: João é advogado. p Λ q: Pedro é pedreiro e João é advogado.


p v q: Pedro é pedreiro ou João é advogado. p v q: Ou Pedro é pedreiro ou João é advogado. p  q: Se Pedro é pedreiro, então João é advogado. p  q: Pedro é pedreiro se, e somente se, João é advogado. Agora vamos postular um critério para determinar o valor lógico (V ou F) dessas proposições compostas. Veja a tabela a seguir, denominada tabela–verdade ou tabela de valorações: p q p Λ q p v q p v q p

q p

V V

V

V

F

V

V

V F

F

V

V

F

F

F V

F

V

V

V

F

F F

F

F

F

V

V

q

Importante!!! O número de linhas ou de valorações possíveis de uma tabela-verdade é dado pela expressão: 2N, onde N representa o número de proposições simples dadas. Por exemplo, a tabela-verdade da proposição [(p linhas.

Λ

q)

r] tem 2N = 2³ = 8



3. Negação de uma Proposição Simples Dada uma proposição p qualquer, sempre podemos obter outra proposição ¬p (lê-se:”não P”) chamada de negação da proposição p e cujo valor lógico é oposto ao de p, ou seja: se p é verdadeira (V), ¬p é falsa (F); se p é falsa (F), ¬p é verdadeira (V). Veja a tabela-verdade da negação de uma proposição p: p

¬p

V

F

F

V

Exemplos: a) p: João é advogado. ¬p: João não é advogado. b)


p: Marcos é mentiroso. ¬p: Marcos não é mentiroso (Marcos só fala a verdade). c) p: cinco é menor que sete. ¬p: 5 não é menor que 7 (cinco é maior ou igual a sete). Observações: 1) Podemos empregar como equivalentes de "não p" as seguintes expressões: Não é verdade que p.

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É falso que p.

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É mentira que p.

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Daí, as seguintes frases são equivalentes: - Estudar não é fácil. - Não é verdade que estudar é fácil. - É falso que estudar é fácil. - É mentira que estudar é fácil. 2) Também podemos representar a negação de uma proposição p pelo símbolo: ~p. 3) Uma dupla negação equivale a uma afirmação: ¬¬p = p. Exemplo: A negação da proposição “É falso que existem pelicanos que não comem peixe” é a seguinte proposição: “Existem pelicanos que não comem peixe”.

4. Tautologia, Contradição e Contingência Chama-se tautologia ou proposição logicamente verdadeira toda proposição composta onde, na última coluna de sua tabela-verdade, encerra-se somente o valor lógico verdadeiro (V), ou seja, tautologia é toda proposição composta, cujo valor lógico é sempre a verdade (V), independentemente do valor lógico (V ou F) das proposições simples que a compõe. Exemplo: A proposição composta p v ¬p é uma tautologia. Veja a tabela-verdade: p

¬p

p v ¬p

V

F

V

F

V

V

Chama-se contradição ou proposição logicamente falsa toda proposição composta onde, na última coluna de sua tabela-verdade, encerra-se somente o


valor lógico falso (F), ou seja, contradição é toda proposição composta, cujo valor lógico é sempre a falsidade (F), independentemente dos valores lógicos (V ou F) das proposições simples que a compõe. Exemplo: a proposição composta p Λ ¬p é uma contradição. Veja a tabela-verdade: p ¬p p Λ ¬p V

F

F

F

V

F

Chama-se contingência toda proposição composta onde, na última coluna de sua tabela-verdade, figuram simultaneamente os valores verdadeiro (V) e falso (falso). Em outras palavras, contingência é toda proposição composta que não é tautologia nem contradição. Exemplo: a disjunção p v q é uma contingência.

Caiu na prova!!! (FCC/TRT-PR/2008) Considere a seguinte proposição: ”Na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza: (A) um silogismo; (B) uma tautologia; (C) uma equivalência; (D) uma contingência; (E) uma contradição.

5. Equivalência Lógica Dadas duas proposições compostas P e Q, dizemos que “P é equivalente a Q” quando P e Q têm tabelas-verdade iguais, isto é, quando P e Q têm sempre o mesmo valor lógico: ambas são simultaneamente verdadeiras ou falsas. Quando “P é equivalente a Q”, indicamos por P ⇔ Q. Note que P ⇔ Q quando a bicondicional P  Q é verdadeira, isto é, quando não ocorre V  F nem F V em nenhuma linha. Observação: Cabe lembrar que os símbolos  e ⇔ são distintos. Quando P  Q é uma tautologia, ou seja, quando não ocorre V  F nem F  V em nenhuma linha, dizemos que P é equivalente a Q, e passamos a escrever P ⇔ Q. Exemplo: A proposição “Se faz Sol, então vou à praia” é equivalente a “Se não vou à praia, então não faz Sol”.


6. Equivalências Notáveis Eis um grupo de equivalências fundamentais em nosso curso de Lógica: 1) Contrapositiva da Condicional: (p

q)

(¬q

¬p).

Exemplo: A proposição “Se hoje é segunda-feira, então amanhã é carnaval” é equivalente a “Se amanhã não é carnaval, então hoje não é segunda-feira”. 2) Reescrita da Condicional: (p

q)

(¬p v q).

Exemplo: A proposição “Se Maria estuda, então ela passa no concurso” é equivalente a “Maria não estuda ou passa no concurso”. 3) Reescrita da Bicondicional: (p

q)

(p

q) Λ (q

p).

Exemplo: A proposição “Joana estuda se, e somente se, ganha mesada” é equivalente a “Se Joana estuda, então ganha mesada. Se Joana ganha mesada, então estuda”. (¬p v ¬q).

4) Negação da Conjunção: ¬(p Λ q)

Exemplo: A negação da proposição “João é advogado e Francisco é pedreiro” é equivalente a “João não é advogado ou Francisco não é pedreiro”. Importante!!! Também podemos negar a conjunção aplicando a reescrita da condicional, ou seja: ¬(p Λ q) (p ¬q). Exemplo: A negação da proposição “João é advogado e Francisco é pedreiro” é equivalente a “Se João é advogado, então Francisco não é pedreiro”. 5) Negação da Disjunção: ¬(p v q)

(¬p Λ ¬q).

Exemplo: A negação da proposição “Marcos é mineiro ou Paulo é paulista” é equivalente a “Marcos não é mineiro e Paulo não é paulista”. 6) Negação da Condicional: ¬(p

q)

(p Λ¬q).

Exemplo: A negação da proposição “Se Márcia passa no concurso, então João larga o emprego” é equivalente a “Márcia passa no concurso e João não larga o emprego”. 7) Negação da Bicondicional: ¬(p

q)

(p v q).

Exemplo: A negação da proposição “Pedro é paulista se, e somente se, Antônio é carioca” é equivalente a “Ou Pedro é paulista ou Antônio é carioca”.

Caiu na prova!!! (FCC/TST/2012) A Seguradora Sossego veiculou uma propaganda cujo s l o g a n era: “Sempre que o cliente precisar, terá Sossego ao seu lado.” Considerando que o s l o g a n necessariamente, se o cliente:

seja

verdadeiro,

conclui-se


que,

a) não precisar, então não terá Sossego ao seu lado; b) não precisar, então terá Sossego ao seu lado; c) não tiver Sossego ao seu lado, então não precisou; d) tiver Sossego ao seu lado, então não precisou; e) tiver Sossego ao seu lado, então precisou.

Caiu na prova!!! (FCC/TRT-SP/2008) A negação da sentença ”A Terra é chata e a Lua é um planeta” é: (A) Se a Terra é chata, então a Lua não é um planeta. (B) Se a Lua não é um planeta, então a Terra não é chata. (C) A Terra não é chata e a Lua não é um planeta. (D) A Terra não é chata ou a Lua é um planeta. (E) A Terra não é chata, se a Lua não é um planeta.

Caiu na prova!!! (FCC/AFR-SP/2010) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a P Q é: (A) ~Q

~P

(B) ~Q

P

(C) ~P

~Q

(D) Q (E) ~(Q

~P P)

Caiu na prova!!! (FCC/SJCDH-BA/2010) Uma afirmação equivalente à afirmação ”Se bebo, então não dirijo” é: (A) Se não bebo, então não dirijo. (B) Se não dirijo, então não bebo. (C) Se não dirijo, então bebo. (D) Se não bebo, então dirijo. (E) Se dirijo, então não bebo.


Caiu na prova!!! (FCC/TRT-GO/2008) Considere as proposições: P: Sansão é forte. Q: Dalila é linda. A negação da proposição P ¬Q: (A) Se Dalila não é linda, então Sansão é forte. (B) Se Sansão não é forte, então Dalila não é linda. (C) Não é verdade que Sansão é forte e Dalila é linda. (D) Sansão não é forte ou Dalila é linda. (E) Sansão não é forte e Dalila é linda.

7. Sentenças Abertas e Quantificadores Sentenças abertas são orações que contêm variáveis e cujo valor lógico (verdadeiro ou falso) vai depender do valor atribuído às variáveis. Portanto, sentenças abertas não são proposições. Exemplos: a) x + 1 = 12 (Sentença aberta com uma variável: x.) b) x³ - 3x² = -2xy (Sentença aberta com duas variáveis: x e y.) c) a² -3a > 0 (Sentença aberta com uma variável: a.) Mas podemos transformas as sentenças abertas em proposições, utilizando os quantificadores universal e existencial. O Quantificador Universal

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O quantificador universal, utilizado para transformar sentenças abertas em proposições, é indicado pelo símbolo , que se lê: “qualquer que seja” ou “para todo”. Exemplos: a) ( x ) ( x +1 = 7 ), que se lê: “Qualquer que seja o número x (ou para todo número x ), temos que x + 1 = 7” . b) ( x ) ( x² + 1 > 0 ), que se lê: “Qualquer que seja o número x (ou para todo número x), temos que x² + 1 > 0 ”.


O Quantificador Existencial

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O quantificador existencial, utilizado para transformar sentenças abertas em proposições, verdadeiras ou falsas, é indicado pelo símbolo , que se lê: “existe”, “existe um”, “existe pelo menos um” ou “algum”. Exemplos: a) ( x) (x + 3 = 5), que se lê: “Existe um número x (ou existe pelo menos um número x ), tal que x + 3 = 5”. b) ( x) (x² < 0), que se lê: “Existe um número x , tal que x² < 0”.

8. Negação de Proposições Quantificadas Uma sentença com o quantificador universal é negada assim: substitui-se o quantificador universal pelo existencial e nega-se a sentença. ●

Exemplos: a) sentença: (

x) (x + 5 = 48) / negação: (

x) (x + 5

≠

48)

b) sentença: Todo losango é um quadrado. / negação: Existe pelo um losango que não é quadrado. Uma sentença com o quantificador existencial é negada assim: substitui-se o quantificador existencial pelo universal e nega-se a sentença. ●

Exemplos: a) sentença: (

x) (x + 3 < 5) / negação: (

x ) (x + 3

5)

≥

b) sentença: Existe um brasileiro que gosta de futebol / negação: Todo brasileiro não gosta de futebol. Observação: A negação de “Existe P que é Q” é a afirmação “ Todo P não é Q”, o que equivale a dizer “Nenhum P é Q”. Da mesma forma, a negação de “Nenhum P é Q” é a proposição “Existe P que é Q”. Exemplos: a) A negação de “Existe baiano que é casado” é a proposição “Nenhum baiano é casado”. b) A negação de “Nenhum paulista é flamenguista” é a proposição “Existe paulista que é flamenguista”.

Caiu na prova!!! (FCC/TST/2012) A declaração abaixo foi feita pelo gerente de recursos humanos da empresa X durante uma feira de recrutamento em uma faculdade: “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês.”


Mais tarde, consultando seus arquivos, o diretor percebeu que havia se enganado em sua declaração. Dessa forma, conclui-se que, necessariamente: a) dentre todos os funcionários da empresa X, há um grupo que não possui plano de saúde; b) o funcionário com o maior salário da empresa X ganha, no máximo, R$ 3.000,00 por mês; c) um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês; d) nenhum funcionário da empresa X tem plano de saúde ou todos ganham até R$ 3.000,00 por mês; e) alguns funcionários da empresa X não têm plano de saúde e ganham, no máximo, R$ 3.000,00 por mês.

Caiu na prova!!! (FCC/BB/2011) Um jornal publicou a seguinte manchete: "Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários." Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é: a) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários. b) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários. c) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários. d) Existem Agências com deficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil. e) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo.

Caiu na prova!!! (FCC/TRT–AM/2012) Uma senhora afirmou que todos os novelos de lã guardados numa gaveta são coloridos e nenhum deles foi usado. Mais tarde, ela percebeu que havia se enganado em relação à sua afirmação, o que permite concluir que: a) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou algum deles foi usado; b) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou todos eles foram usados; c) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e já foram usados; d) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e algum deles já foi usado;


e) existem novelos de lã brancos na gaveta e eles já foram usados.

Caiu na prova!!! (FCC/TRT–AM/2012) O diretor comercial de uma companhia, preocupado com as numerosas reclamações de clientes sobre a falta de produtos do catálogo nas lojas da empresa, deu a seguinte ordem a todos os gerentes: “Pelo menos uma de nossas lojas deve ter em seu estoque todos os produtos de nosso catálogo.” Dois meses depois, o diretor constatou que sua ordem não estava sendo cumprida. Com essas informações, conclui-se que, necessariamente: a) nenhum produto do catálogo estava disponível no estoque de todas as lojas da empresa; b) no estoque de apenas uma loja da empresa não havia produtos do catálogo em falta; c) alguma loja da empresa não tinha em seu estoque qualquer produto do catálogo; d) algum produto do catálogo estava em falta no estoque de todas as lojas da empresa; e) no estoque de cada loja da empresa faltava pelo menos um produto do catálogo.

9. Princípio da “Casa dos Pombos” É o Princípio do Pombal proposto em 1834. Existem 10 casinhas em um pombal e onze pombos no chão. Se alguém os espantar e se todos se esconderem no pombal, podemos afirmar que pelo menos uma casinha vai ter no mínimo dois pombos.

Caiu na prova!!! (FCC/TRT–AM/2012) Existem no mundo 7 bilhões de pessoas, nenhuma delas com mais de 200.000 fios de cabelo em sua cabeça. Somente com essas informações, conclui-se que existem no mundo, necessariamente: a) mais do que 7 bilhões de fios de cabelo; b) pessoas com nenhum fio de cabelo em suas cabeças; c) duas pessoas com números diferentes de fios de cabelo em suas cabeças; d) duas pessoas com o mesmo número de fios de cabelo em suas cabeças; e) pessoas com 200.000 fios de cabelo em suas cabeças.


Caiu na prova!!! (FCC/TCE–SP/2012) Leia a manchete a seguir: “Cada uma das 32 seleções que participarão da Copa do Mundo de 2014 terá de escolher uma única dentre as 12 cidades sedes para se concentrar ao longo de todo o torneio.” Considerando o conteúdo da manchete, conclui-se que, necessariamente: a) algumas cidades serão escolhidas por duas e outras por três seleções; b) todas as cidades sedes terão de receber pelo menos uma seleção; c) alguma cidade sede não será escolhida por nenhuma das 32 seleções; d) pelo menos uma cidade sede será escolhida por mais de duas seleções; e) nenhuma cidade sede poderá receber mais do que três seleções.

10. Sequências e Psicotécnicos Caiu na prova!!! (FCC/TCE–PR/2011) Sabe-se que os termos da sequência (8, 9, 12, 13, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 26, ...) foram obtidos segundo uma lei de formação. De acordo com essa lei, o 13º termo dessa sequência é um número: a) par; b) primo; c) divisível por 3; d) múltiplo de 4; e) quadrado perfeito.

Caiu na prova!!! (FCC/TRF–2ª REGIÃO/2012) Sabe-se que exatamente quatro dos cinco grupos de letras abaixo têm uma característica comum. BCFE - HILK - JKNM - PQTS - RSUV Considerando que a ordem alfabética adotada é a oficial, o único grupo de letras que NÃO apresenta a característica comum dos demais é: a) BCFE b) HILK c) JKNM


d) PQTS e) RSUV

Caiu na prova!!! 05. (FCC/MPE–PE/2012) Eu sou homem. O filho de Cláudio é pai do meu filho. Nesse caso, o que sou de Cláudio? a) pai b) avô c) neto d) filho e) bisavô

Caiu na prova!!! (FCC/TRT–AM/2012) Um analista esportivo afirmou: “Sempre que o time X joga em seu estádio marca pelo menos dois gols.” De acordo com essa afirmação, conclui-se que, necessariamente: a) o time X marca mais gols em seu estádio do que fora dele.; b) o time X marca menos de dois gols quando joga fora de seu estádio; c) se o time X marcar um único gol em um jogo, este terá ocorrido fora de seu estádio; d) se o time X marcar três gols em um jogo, este terá ocorrido em seu estádio; e) o time X nunca é derrotado quando joga em seu estádio.

MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos Razão e Proporção Regra de Três Porcentagem Juros

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(FCC/BB/2011) Certo mês, um comerciante promoveu uma liquidação em que todos os artigos de sua loja tiveram os preços rebaixados 20%. Se, ao encerrar a liquidação o comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos na liquidação devem ser aumentados em:


a) 18,5% b) 20% c) 22,5% d) 25% e) 27,5% Resolução: Seja X o preço inicial dos artigos. Como os preços foram rebaixados em 20%, o fator de decréscimo é 1 – 0,2 = 0,80, e os preços passaram a ser 0,80X. O comerciante pretende voltar a vender os artigos pelo preço X. Então, haverá um acréscimo em relação a 0,80X. Seja K o fator de acréscimo. Então, temos que: K(0,80X) = X ⇒ K = X/0,80X = 1/0,80 = 1,25. Logo, os preços deverão ser aumentados em 25%. Gabarito: letra d. (FCC/TRF–1ªR/2011) Na compra de um computador, um técnico recebeu um desconto de 10% sobre o preço de M reais. Após certo tempo, comprou um novo computador por R$ 2.370,00 e, para fazer o pagamento, deu o primeiro computador como entrada, com prejuízo de 10% sobre a quantia que havia pago, e mais três parcelas sem juros de R$ 250,00 cada. Nessas condições, M é igual a: a) 2.000 b) 2.050 c) 2.100 d) 2.105 e) 2.110 Resolução: Na compra do primeiro computador, como o desconto foi de 10% sobre o preço M, o técnico pagou 0,90M. Na compra do segundo computador, como o prejuízo foi de 10% sobre 0,90M, o técnico pagou (0,90).(0,90M) e mais três parcelas de R$ 250,00, totalizando R$ 2.370,00. Logo: (0,90).(0,90M) + 3.(R$ 250,00) = R$ 2.370,00 0,81M + R$ 750,00 = R$ 2.370,00 0,81M = R$ 2.370,00 – R$ 750,00 0,81M = R$ 1.620,00 M = R$ 1.620,00/0,81 M = R$ 2.000,00. Gabarito: letra a. (FCC/TRE–AC/2010) Relativamente ao total de registros de candidaturas protocolados certo mês por três Técnicos Judiciários, sabe-se que: 8/15 foi protocolado por Alciléia, 5/12 por Berenice e os demais por Otacílio. Assim sendo, a quantidade protocolada por Otacílio corresponde a que parte do total de registros protocolados nesse mês? a) 5% b) 12,5% c) 15% d) 17,5% e) 20% Resolução: Seja X o total de registros protocolados. De acordo com o enunciado, (8/15)X foi protocolado por Alciléia e (5/12)X foi protocolado por Berenice. Então as duas protocolaram, juntas, um total de (8/15)X + (5/12)X = (57/60)X. Logo, como Otácilio protocolou os demais, ele protocolou X – (57/60)X = (3/60)X = (1/20)X = = 0,05X = 5%X.


(FCC/TRT–RS/2011) Na compra de um par de sapatos, Lucimara pode optar por duas formas de pagamento: à vista, por R$ 225,00; R$ 125,00 no ato da compra mais uma parcela de R$ 125,00, um mês após a compra. Se Jucimara optar por fazer o pagamento parcelado, a taxa mensal de juros simples cobrada nesse financiamento é de: a) 10% b) 20% c) 25% d) 27% e) 30% Resolução: O preço à vista é R$ 225,00. Como Lucimara pagou R$ 125,00 no ato, deveria, se não houvesse juros, pagar mais R$ 100,00 depois de 1 mês. Mas ela pagou, depois de 1 mês, mais R$ 125,00, já que foram duas prestações iguais de R$ 125,00. Seja K o fator de acréscimo. Então, k.100 = 125 juros simples é 25%.

⇒

k = 125/100 = 1,25%. Logo, a taxa mensal de

Também podemos resolver a questão aplicando a fórmula M = C(1+iT), onde o montante é M = R$ 125,00, o capital aplicado é C = R$ 100,00 e o prazo é T = 1 mês. Substituindo, vem: M = C(1+iT) 125 = 100(1+i.1) 1 + i.1 = 125/100 1 + i = 1,25 i = 1,25 – 1 i = 0,25 = 25%. Gabarito: letra c.


Raciocínio Lógico - Ronilton Loyola

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