Punto Numero 3 Edwin Montoya

Aporte ejercicio 3 Edwin Montoya

3. Usando como guía los ejemplos 4.9 de las paginas 83 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Respuesta al impulso en sistemas analógicos) y la tabla 4.1 que caracteriza los tipos de salida de los sistemas LTI analógicos, determine la respuesta al escalón del siguiente sistema: ÿ (t) + 10ẏ (t) + ay(t) = x(t) Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, si este digito es cero, utilice a = 3. En nuestro caso a = 6, de manera que requerimos hallar la respuesta al impulso de: ÿ (t) + 10ẏ (t) + 6y(t) = x(t)

La ecuación característica de este sistema es. s2 + 10s + 6 = 0 Puesto que necesitamos los ceros de esta ecuación, los determinamos a partir de la solución de la ecuación de segundo orden. x=

−b ± √b 2 − 4ac 2a

Al reemplazar los correspondientes valores de a = 1, b = 10 y c = 6, encontramos que. −10 ± √102 − 4(6) x= 2 x=

x=

−10 ± √76 2

−10 ± 2√19 2

x = −5 ± √19

Tenemos entonces que la ecuación característica es. [s − (−5 + √19)][s − (−5 − √19)] = 0

La respuesta natural del sistema es. h(t) = K1 e(−5+√19)t + K 2 e(−5−√19)t con h(0) = 1 y h′ (0) = 1. De manera que las ecuaciones para K1 y K 2 son: K1 + K 2 = 1 (−5 + √19)K1 + (−5 − √19)K 2 = 1

De la primera ecuación tenemos que K 2 = 1 − K1. Reemplazando esto en la segunda ecuación, tenemos que. (−5 + √19)K1 + (−5 − √19)(1 − K1 ) = 1 (−5 + √19)K1 + (−5 − √19) − (−5 − √19)K1 = 1 (−5 + √19 + 5 + √19)K1 = 1 − (−5 − √19) 2√19K1 = 6 + √19 K1 =

6 + √19 2√19

Entonces. K2 = 1 −

K2 =

6 + √19 2√19

2√19 − 6 − √19

K2 =

2√19 −6 + √19 2√19

De aquí, la respuesta al impulso del sistema es.

𝐡(𝐭) =

𝟔 + √𝟏𝟗 𝟐√𝟏𝟗

𝐞(−𝟓+√𝟏𝟗)𝐭 +

−𝟔 + √𝟏𝟗 𝟐√𝟏𝟗

𝐞(−𝟓−√𝟏𝟗)𝐭