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1. OBJETIVO.
Mediante el empleo del sistema llamado “Puente de Wheatstone”, Wheatstone”, establecer el valor de cada una de las resistencias de carbón.
Determinar de manera experimental la resistencia equivalente para las diversas combinaciones en serie y en paralelo del grupo de resistencias a estudiar, comprobar estos resultados experimentales con los resultados analíticos y expresar en cada caso con su respectivo error porcentual.
2. FUNDAMENTO TEÓRICO. El circuito inicialmente descrito en 1833 por Samuel Hunter Christie (1784 1865). No obstante, fue el Sr. Charles Wheatstone quien le dio muchos usos cuando la descubrió en 1843. Como resultado este circuito lleva su nombre. Es el circuito más sensible que existe para medir una resistencia. Evidentemente, su sensibilidad depende de los elementos que la componen pero es fácil que permita apreciar valores de resistencia con decimas de ohmio. Una aplicación muy interesante del puente de Wheatstone en la industria es como sensor de temperatura, presión, etc. (dispositivos que varían el valor de su resistencia de acuerdo a la variación de las variables antes mencionadas).
Análisis del puente de Wheatstone La figura 1 esquematiza un puente de Wheatstone tradicional. El puente tiene cuatro ramas resistivas, junto con una f.e.m. (una batería) y un galvanómetro u otro medidor sensible a la corriente. El puente de Wheatstone es un circuito que se utiliza para medir resistencias desconocidas mediante el equilibrio de los brazos del puente.
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Para el análisis del puente vamos a considerar una corriente del puente ( Ig) que se mide con el galvanómetro (G) de resistencia interna Rg. Usando las leyes de Kirchhoff : En el punto C Y en el punto F
: Ia = Ig + Ix ó Ia - Ig - Ix = 0 … (1) : Ib + Ig – Is= 0
… (2)
Por la segunda ley de Kirchhoff la suma de los voltajes en la malla ABFDA:
E – RbIb – RsIs = 0 En la malla ABCDA : E – RaIa – RxIx = 0 Y la malla FBCF
… (3) … (4)
: RbIb – RaIa - RgIg = 0
… (5)
Para resolver Ig se poseen ahora cinco ecuaciones, debemos reducir cuatro ecuaciones para eliminar simultáneamente cuatro corrientes desconocidas. Resolviendo la ecuación (2) para Ib y (1) para Ia:
Ib = Is - Ig y Ia = Ig + Ix Sustituyendo Ib y Ia en las ecuaciones (3), (4) y (5): En la ecuación (3): E + IgRb – Is(Rb + Rs) = 0… (6) En la ecuación (4): E - IgRa – Ix(Ra + Rx) = 0… (7) En la ecuación (5): - Ig(Ra + Rg + Rb ) + IsRb – IxRa = 0… (8) Resolviendo (6) para Is: Is = (E + IgRb) / (Rb + Rs)
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Resolviendo (7) para Ix: Ix = (E - IgRa) / (Ra + Rx) Sustituyendo Is y Ix en (8):
- Ig(Ra + Rg + Rb ) + ((E + IgRb) / (Rb + Rs))Rb – ((E - IgRa) / (Ra + Rx))Ra = 0 Multiplicando, simplificando, sacando en términos de Ig y transponiendo:
Ig = E
Cuando se sustituye por valores específicos, la corriente del galvanómetro puede ser calculada fácilmente por esta expresión. Pero para el equilibrio del puente, la corriente que pasa por el galvanómetro debe de ser igual a cero. Entonces Ig = 0:
RbRx = RaRs, Dividiendo por RbRs, podemos escribir =
(Condición de
equilibrio) Esto indica que la resistencia desconocida puede resolverse en términos de las resistencias conocidas: Rx = Rs (Ra /Rb) La resistencia Rs se denomina rama patrón del puente, y las resistencias Ra y Rb , se las denomina ramas de relación. En el laboratorio se emplea un tipo de puente denominado “puente unifilar” en el que el tramo MBN es un alambre de sección constante dispuesto sobre una regla graduada y en el que las resistencias RI y RII son proporcionales a los segmentos b y a, luego:
RI = b. ρ … (9) RII =a. ρ… (10) Donde ρ es la resistencia por unidad de longitud de alambre. Finalmente, de las ecuaciones… (9) y… (10) se obtiene:
Rx = Rv (RI / RII) = Rv (b / a) que nos da la resistencia Rx a partir de los segmento a y b, y del valor Rv.
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Fig.2. Puente unifilar. La precisión de la medida Rx depende principalmente de la precisión de RII, RI y Rv también de sus valores, así como la sensibilidad del galvanómetro.
Variación de la resistencia con la temperatura La variación de la temperatura produce una variación en la resistencia, afectando las mediciones que se hagan empleando el puente de Wheatstone. En la mayoría de los metales aumenta su resistencia al aumentar la temperatura, por el contrario, en otros elementos, como el carbono o el germanio la resistencia disminuye. Como ya se comentó, en algunos materiales la resistencia llega a desaparecer cuando la temperatura baja lo suficiente. En este caso se habla de superconductores. Experimentalmente se comprueba que para temperaturas no muy elevadas, la resistencia de metales puros a cierta temperatura (
), viene dada por la
expresión:
Donde:
= Resistencia de referencia a la temperatura
.
= Coeficiente de temperatura. Para el cobre = Temperatura de referencia en la cual se conoce
. .
Para semiconductores las resistencias disminuye con el aumento de temperatura de manera exponencial, según la expresión: Laboratorio Nº 4 “Puente unifilar de Wheatstone ”
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yB
Donde R es la resistencia, T es la temperatura absoluta (en Kelvin) y son constantes que dependen del semiconductor.
Errores de medición El puente de Wheatstone se emplea ampliamente en las mediciones de precisión de resistencias desde 1Ω hasta varios megaohms. La principal fuente de errores de medición se encuentra en los errores límites de las resistencias conocidas. Otros errores pueden ser los siguientes:
a. Sensibilidad insuficiente en el galvanómetro u otro detector de corriente. b. Agudeza de visión del observador. c. Cambios en la resistencia de las ramas del puente debido a efectos de calentamiento por la corriente a través de las resistencias. El efecto de calentamiento (I2R) por las corrientes en las ramas del puente puede cambiar la resistencia en cuestión. El aumento de temperatura, como se mencionaba anteriormente, no solo afecta la resistencia durante la medición, sino que, las corrientes excesivas pueden producir un cambio permanente en el valor de la resistencia. Esto puede obviarse y no ser detectado a tiempo y las mediciones subsecuentes resultar erróneas. Es recomendable que la disipación de potencia de las ramas del puente se calcule previamente, en particular cuando se van a medir valores de resistencia bajos y la corriente debe ser limitada a un valor seguro.
d. Las f.e.m. en el circuito del puente o en el circuito de galvanómetro pueden causar problemas cuando se miden resistencias de valor bajo.
e. Los errores debido a la resistencia de los contactos y terminales exteriores al circuito puente intervienen en la medición de valores de resistencia muy bajos. Estos errores se pueden reducir mediante el uso del puente Kelvin (una modificación del puente de W heatstone).
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RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARALELO Resistencias en serie:
En esta ocasión, la diferencia de potencial entre cada borne de las resistencias no es la misma, sin embargo, en cumplimiento de la ley de caída de potencial de Kirchhoff, la suma total de estas caídas de potencial es exactamente igual al de la fuente, por lo tanto nos permite escribir lo siguiente: Y teniendo a la vista la Ley de Ohm, podemos expresar lo anterior como: Expresando en términos de corriente y resistencia Esta vez, la corriente que transcurre a través de cada resistencia es la misma que la corriente total (tener en cuenta que en el caso de la Imagen No.1 solo existe una única corriente), por lo tanto podemos eliminarla de ambos lados de la ecuación y obtener el resultado de la resistencia equivalente o total.
Resistencias en paralelo
Está claro que estamos tomando un número finito de resistencias (k), todas afectadas bajo la diferencia de potencial (V); lo que provoca que haya a través de cada resistencia una Corriente denotada como se muestra en la Imagen. Ahora bien, la corriente total (denotada como It) es exactamente la suma de las k-ésimas corrientes en el circuito, según la ley de Kirchhoff. Por lo tanto nos permite escribir que: Laboratorio Nº 4 “Puente unifilar de Wheatstone ”
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En términos generales, hemos expresado esta corriente total como una sumatoria finita. Ahora recordando la ley de Ohm:
3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y DATOS OBTENIDOS. 3.1. Equipos y materiales: Los equipos y materiales empleados fueron los siguientes:
Una fuente de corriente
Un “Puente Unifilar”
Un galvanómetro
Una caja con seis
Una caja con seis
Diez alambres de
resistencias (Rx)
resistencias conocidas.
conexión.
continua
desconocidas.
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3.2. Procedimiento experimental:
Primero montamos el equipo, tal y como se muestra en la figura 1 (Pág. 3).
Luego equilibramos el puente, observando que entre los puntos A y B no solo exista la resistencia propia de Rx, sino también la resistencia de los conductores y contactos que solo pueden despreciarse en el caso de que resistencia que se desea medir sea comparativamente grande.
Luego elegimos un valor adecuado para Rv tal que la aguja del galvanómetro experimente la menor desviación posible uno u otro lado de la posición de equilibrio, que será recobrada posteriormente con pequeños movimientos del contacto B.
Tomamos nota de las longitudes de a y b, lo mismo que Rv. Los dos últimos pasos los repetimos para cada valor de Rx que deseamos medir.
Fig.3. Montaje Experimental.
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3.3. Datos obtenidos: R
Rv
R12
111 64 44 32 10 22 22 20 10 32 42 10 201 211
R23 R34 R45 R56 R67 R17
a (cm) b (cm) Rx RESISTENCIAS EN SERIE 24 17 22 16 14 22 20 21 22 32 33,5 21 19,5 21
16 23 18 24 26 18 20 19 18 8 6,5 19 20,5 19
74,00 86,59 36,00 48,00 18,57 18,00 22,00 18,10 8,18 8,00 8,15 9,05 211,31 190,90
Rx Prom. 80,30 Ω 42,00 Ω 18,29 Ω 20,05 Ω 8,09 Ω 8,60 Ω 201,11 Ω
RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARALELO (2da. Parte) Rxy1 20 16 24 30,00 29,88 Ω Rxy2
22 44 54
17 22 24
23 18 16
29,76 36,00 36,00
36,00 Ω
4. CÁLCULOS Y ERRORES. De los datos obtenidos podemos hallar los errores correspondientes a cada configuración: Primera configuración: 1. Encontramos para las diferentes resistencias su valor experimental con la relación:
Luego lo comparamos con su valor real hallando un error.
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R
Rx Rx Prom. R teórico % error RESISTENCIAS EN SERIE
R12 R23 R34 R45 R56 R67
74,00 86,59 36,00 48,00 18,57 18,00 22,00 18,10 8,18 8,00 8,15
80,30 Ω
90 Ω
10.77 %
42,00 Ω
47 Ω
10.64 %
18,29 Ω
22 Ω
16.86 %
20,05 Ω
22 Ω
8.86 %
8,09 Ω
10 Ω
19,1 %
8,60 Ω
10 Ω
14 %
9,05
2. Luego comparamos el valor obtenido experimentalmente de las resistencias en serie con el valor teórico (la suma):
R17 = 201,11 Ω Rteórico = 201 Ω % error = 0.05 % 3. Ahora hallamos la resistencia equivalente teórica en la segunda configuración:
Hallando Rxy1 =
= 33.22 Ω
Según el dato obtenido en la experiencia: Rxy1 = 29,88 Ω % error = 10.05 % 4. Para la ultima configuración hallamos su resistencia equivalente teórica:
Hallando Rxy2 = 40.96 Ω
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Según el dato obtenido en la práctica: Rxy2 = 36,00 Ω % error = 12,1 % 5. Para analizar la influencia de la f.e.m. y de la resistencia en este método tenemos que tener en cuenta que la ventaja principal del puente de Wheatstone es que la relación entre las resistencias es siempre la misma cuando no pasa corriente por el galvanómetro, con independencia del valor de la intensidad de corriente; lo que quiere decir no solo que este valor puede ser cualquiera, sino que puede variar durante la medición, sin influir para nada en el resultado. De aquí se deduce que, como fuentes de alimentación pueden emplearse pilas, de valor no necesariamente constante. Por lo tanto, la f.e.m. y la resistencia interna de la fuente no introducen errores en la medición de las resistencias ni producen efectos negativos a la hora de aplicar el método. 6. Cuanto más sensible sea el galvanómetro será capaz de detectar mejor pequeñas variaciones de corriente y por lo tanto permitirá un mejor ajuste de las resistencias para que la corriente sea cero. Asumiendo que la escala que se utiliza con el galvanómetro es uniforme, se puede expresar la sensibilidad de la manera siguiente:
Donde: α: es la desviación de la parte móvil X: es la magnitud medida
5. OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES.
Logramos cumplir con los objetivos del experimento ya que se determinaron los valores experimentales de todas las resistencias de carbón con las que se trabajaron.
En cuatro de las seis mediciones se obtuvieron porcentajes de error menores al 15%; con esto podemos decir que el puente de Wheatstone es una buena alternativa para determinar valores de resistencias con precisión.
También pudimos encontrar el error en la agrupación en serie con un error ínfimo, y de las agrupaciones en paralelo realizadas, aquí se puede confirmar con mayor seguridad que el puente de Wheatstone tiene una alta precisión. En estos arreglos están involucradas más resistencias y más operaciones matemáticas y agrupaciones de cables que pueden causar pérdidas; sin embargo, la propagación del error apenas supera al 10%.
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Durante todo el análisis de las resistencias de carbón, la temperatura permaneció constante. Este detalle es importante ya que este tipo de resistencias presentan comportamiento óhmico y alteran su valor a medida que la temperatura aumenta, por eso también es importante vigilar la potencia que se disipa al ambiente, ya que el calor puede alterar los valores de las resistencias patrón y de la resistencia de la que se desea su medida.
Hay que tener en cuenta los errores de apreciación al determinar las longitudes en el puente unifilar aparte de la tolerancia tanto en estos instrumentos como en el momento de realizar cálculos, principalmente en las agrupaciones en paralelo.
Y también tener en cuenta la aparición de fuerzas electromotrices de origen térmico en el galvanómetro y en todas las uniones entre diferentes metales que tienden a alterar las medidas en cierta proporción.
6. BIBLIOGRAFÍA
Sears, Zemansky; Young, Fredman Física Universitaria Vol. 2 Undécima edición, Año 2005 Págs. 859-862 Tipler Mosca Física para la ciencia y tecnología Vol. 2 Barcelona, Editorial Reverté, Cuarta edición. Págs. 789-803
Web:
http://www.sapiensman.com/electrotecnia/problemas11.htm http://www.labc.usb.ve/paginas/mgimenez/Lab_Circ_Electronicos_Guia_ Teorica/Cap9.pdf http://www.unicrom.com/Tut_puente_wheatestone.asp
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