PRORAČUN PUKOTINA AB KONSTRUKCIJA
Proračun pukotina Proračun svake armiranobetonske armiranobetonske konstrukcije obi čno se sastoji od: - proračuna naponsko-deformacijskog naponsko-deformacijskog stanja i kontrole grani čne nosivosti - proračuna progiba (pomaka) i - proračuna širina pukotina u betonu (kontrole raspucavanja). raspucavanja). Među prethodno navedenim prora čunima, proračun širina pukotina zasigurno je najmanje pouzdan i vjerodostojan. vjerodostojan. Razlog ovoj konstataciji prvenstveno leži u činjenici da su pukotine u betonu direktna posljedica prekoračenja njegove male vla čne čvrstoće, koja je različita u pojedinim dijelovima konstrukcije i koja je u suštini nepoznata. Kod formiranja i razvoja pukotina lokalni lokalni efekti u betonu, betonu, koje je teško obuhvatiti, imaju odlu čujući utjecaj. Kontro Kontrola la rasp raspuca ucavan vanja ja beton betonaa danas danas se isklju isključivo obavlja s pomo ću pojednostavljenih inženjerskih postupaka, koji su uglavnom bazirani na eksperimentalnim ispitivanjima, bez odgovaraju će teorijske podloge. Ipak, oni su dovoljno pouzdani za prakti čne potrebe. Ovi se postupci odnose samo na slučajeve s jednostavnom geometrijom betonskih presjeka, armaturom i uvjetima opterećenja (naprezanja). Za složenije probleme oni su, nažalost, neupotrebljivi. neupotrebljivi. n čnom om stanju uporabe. Potrebno je dokazati da stanje Pukotine se proračunavaju prema grani č pukotina betonskih elemenata, uslijed najnepovoljnije najnepovoljnije kombinacije djelovanja u toku uporabe, zadovoljava kriterije trajnosti i funkcionalnosti funkcionalnosti konstrukcije.
Proračun prema EUROCODE-2 Potrebno je dokazati da je karakteristi čna širina pukotina (wk ) manja od granične vrijednosti dane propisima (w g).
w k ≤ w g
Pojam karakteristične širine pukotina uvodi se radi uzimanja u obzir stvarne neujedna čenosti širina pukotina, do koje dolazi zbog razli čitih lokalnih vlačnih čvrstoća betona, uvjeta prionjivosti betona i armature i sl. Ako nema posebnih zahtjeva za vodonepropusnost, propisuje armiranobetonske konstrukcije, a za prednapete sustave w g=0.2 mm.
se
w g=0.3
mm
za
Prema EC-2 karakteristi čna širina pukotina može se prognozirati prema izrazu:
w k = β s rm ε sm gdje je:
β srm
β=1.7 za naprezanje izazvano
-
εsm -
omjer karakteristične i srednje širine pukotine srednji razmak između dviju uzastopnih pukotina srednja deformacija armature
opterećenjem β=1.3 za naprezanje izazvano prinudnim deformacijama
Srednja deformacija armature odre đuje se po izrazu: 2 ⎛ σsr ⎞ ⎤ σs ⎡ ε sm = ⎢1 − β1β 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ Es ⎢ ⎝ σs ⎠ ⎥⎦ ⎣
gdje je:
β1 - koeficijent kojim se uvodi stupanj prianjanja između betona i armature (RA ili GA)
β1=1.0 za rebrastu armaturu β1=0.5 za glatku armaturu
β2 - koeficijent kojim se uvode reološke karakteristike betona tijekom vremena (kratkotrajno ili dugotrajno optere ćenje)
β2=1.0 za kratkotrajno opterećenje β2=0.5 za dugotrajno opterećenje σsr - naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pojave prve pukotine bh 2
σsr
M sr = f ct ,eff
6
N sr = f ct ,eff A c
moment pojave prve pukotina (za elemente izložene čistom savijanju) normalna sila pri pojavi prve pukotine (za elemente izložene čistom vlaku)
Srednji razmak pukotina definiran je sa:
s rm
= 50 + 0.25k 1k 2
φ (mm ) ρ r
φ - promjer šipke armature (mm) k 1 - koeficijent koji uzima u obzir prionjivost betona i čelika (RA ili GA) k1=0.8 za rebrastu armaturu k1=1.6 za glatku armaturu
k 2 - koeficijent kojim se uzima u obzir utjecaj raspodjele deformacija
h d
k2=0.5 savijanje niskog presjeka d 1
k2=1.0 centrični vlak
ε1 ε2
ρr =
k2= (ε1+ε2)/2ε2
A s1 A c ,eff
površina glavne vlačne armatura sudjelujuća vlačna površina presjeka
b
) d h ( 5 , 2
težište armature
Postupak prema Gergely-Lutzu Na osnovi velikog broja eksperimenata, Gergely i Lutz su predložili izraz za prognoziranje širine pukotina elemenata armiranih rebrastom armaturom. Maksimalna širina pukotina (koja je analogna kararteristi čnoj širini pukotina kod EC-2) određuje prema izrazima :
w max
• za centrični vlak w max
• za savijanje
= 11
= 14.5σs 3
h2 h1
Ad′ ⋅ 10 −6 (mm)
σs 3 Ad′ ⋅ 10 − 6
(mm)
Gdje je:
x
σs - naprezanja u armaturi na mjestu pukotine (N/mm2) A - sudjelujuća vlačna površina presjeka
.O.
h h 2
h 1
A=2bc/ns (mm2) – savijanje (vidjeti Crtež ) A=2d′s ns s d′ h1 h2
(mm2) -
čisti
vlak
- broj šipki armature u vlačnoj zoni - razmak šipki armature (mm) - udaljenost težišta prvog reda šipki od vlačnog ruba (mm) - udaljenost neutralne osi do vlačnog ruba (mm) - udaljenost neutralne osi do težišta vlačne armature (mm)
c ' d
c b
Kada se element armira glatkim čelikom, širinu pukotina treba povećati približno za 20%.
PRORAČUN PREMA DIN 1045-1 Prema DIN propisima iz 1998. god, karakteristi čna širina pukotina w k određuje se prema:
w k = s max (ε sm Odnosno:
σ s − 0. 4 w k = s max smax
εsm εcm αe
f ct,eff
σs
f ct ,eff eff ρ p
(1 + α
e
− ε cm )
⋅ eff ρ p ) ≥ s max 0.6
Es
σs Es
- maksimalni razmak izme đu dviju uzastopnih pukotina - srednja deformacija vlačne armature - srednja deformacija vlačnog ruba betona - odnos modula elastičnosti armature Es i srednje vrijednosti modula elasti čnosti Ecm betona u vlaku (αe=Es/ Ecm) - efektivna vlačna čvrstoća betona (može se uzeti srednja vlačna čvrstoća betona f ct) - naprezanje armature na mjestu pukotine
eff ρ p - efektivni koeficijent armiranja, koji se odre đuje prema:
ρ =
eff p
As
+ ξ12 A p A c,eff
As A p Ac,eff
ξ1
- površina vlačne armature - površina prednapete armature - sudjelujuća vlačna površina presjeka (kao kod EC-2) - koeficijent
Maksimalni razmak pukotina s max određuje se prema:
s max
=
ds 3.6 eff ρ p
≤
σs d s 3.6 f ct ,eff
PRIMJER Potrebno je izračunati širinu pukotina obostrano armirane betonske grede pravokutnog popre čnog presjeka, opterećene momentom savijanja. Geometrija presjeka, podaci o armaturi, svojstva materijala, opterećenje i ostali podaci vidljivi su na Crtežu.
5 = d 2
As2
x
neutralna os
m c 5 0 5 5 = = h d
M
As1 = 8.04 cm2 As2 = 4.02 cm2 RA 400/500 Es = 205000.0 N/mm2 C 25/30 Ec = 30500.0 N/mm2 n = Es/ Ec = 6.7
M = 85.0 kNm As1
5 = d 1
b=30 cm
4 φ 16 2 φ 16
(i) Prorač un prema EUROCODE-2 [5] Za beton zadane klase, tlačna čvrstoća iznosi f cc = 25 N/mm2, a vlačna čvrstoća f ct = 2.6 N/mm2. Položaj neutralne osi: S = 0 ix
b
x2 2
+ [nA s 2 (x − d 2 )] − [nA s1 (d − x )] = 0 ⇒
z =d−
Naprezanje vlačne armature: Srednja deformacija vlačne armature:
x
12.4
= 50 −
3
M
σs =
A s1z
=
f ct bh 2
M sr =
σ sr =
3
6 M sr A s1 z
=
= 45.9 cm
8500 8.04 ⋅ 45.9
=
x = 12.4 cm
= 23.0 kN/cm2
0.26 ⋅ 30 ⋅ 55 2 6
3932.5 8.04 ⋅ 45.9
= 3932.5 kNcm
= 10.6 kN/cm 2
β1 = 1.0; ε sm Srednji razmak pukotina:
β 2 = 0.5 2 2 ⎛ σ sr ⎞ ⎤ 23.0 ⎡ σ s ⎡⎢ ⎛ 10.6 ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ = 1 − β1β 2 ⎜⎜ = ⎢1 − 1 ⋅ 0.5⎜ ⎟ ⎥ = 0.001 Es ⎢ ⎝ 23.0 ⎠ ⎥⎦ ⎝ σ s ⎠ ⎥⎦ 20500 ⎢⎣ ⎣
A c ,eff
= 2.5 b (h − d ) = 2.5 ⋅ 30(55 − 50) = 375 cm 2
ρ r =
A s1
k 1 s rm
A c ,eff
= 0.8;
=
8.04 375.0 k 2
= 50 + 0.25k 1 k 2
= 0.021 = 0.5 φ 16 = 50 + 0.25 ⋅ 0.8 ⋅ 0.5 = 126 mm ρ r 0.021
Srednja širina pukotina:
wm
= ε sm s sm = 0.001 ⋅ 126 = 0.13 mm w k = 1.7 w m
Karakteristična širina pukotina:
= 1.7 ⋅ 0.13 = 0.21 mm
(ii) Prorač un prema Gergely-Lutz
4 , 2 1 = x
h1=37.6 cm h2=42.6 cm d’=5.0 cm c=5.0 cm σs=23.0kN/cm2=230N/mm2
neutralna os
5 5 h
2
1
h
A=
c
' d
2 bc na
=
2 ⋅ 30 ⋅ 5 4
= 75 cm 2 = 7500 mm 2
c b=30
w max
Maksimalna (karakteristična) širina pukotina:
= 11
h2 h1
σs 3
Ad′ ⋅ 10 −6
= 11 ⋅
426 376
⋅ 230 ⋅ 3
7500 ⋅ 50 ⋅ 10 −6
= 0.21 mm
(iii) Prorač u n prema DIN 1045-1
σs =
M A s1z
A c,eff
=
8500 8.04 ⋅ 45.9
= 23.0 kN/cm2
= 2.5 b (h − d ) = 2.5 ⋅ 30(55 − 50) = 375 cm 2 s max
eff ρ p =
=
As A c,eff
ds 3.6 eff ρ p
=
8.09
σs − 0.4 w k = s max
=
1 .6 3.6 ⋅ 0.021
= 21.2 cm <
σsd s 3.6 f ct ,eff
=
23.0 ⋅ 1.6 3.6 ⋅ 0.26
= 0.021
375 f ct ,eff
eff ρ p
(1 + α
⋅ eff ρ p ) = 10.3
Es
w k = 0.009 cm ≥ s max 0.6
e
σs Es
= 21.2 ⋅ 0.6
23.0 − 0.4
23.0 20500
0.26
(1 + 6.7 ⋅ 0.021) 0.021 20500
= 0.014 cm
= 39.3 cm
(iv) Usporedba rezultata Karakteristična širina pukotina (mm)
Srednji razmak pukotina (mm)
Maksimalni razmak pukotina (mm)
EUROCODE –2
0.21
126
-
Gergely-Lutz, ACI
0.21*
-
-
PBAB
0.24
130
-
DIN 1045-1
0.14
-
212
* maksimalna širina pukotina
Iz tablice je vidljivo da svi razmatrani postupci, osim onog prema DIN-1045-1, daju podjednake širine pukotina. Postupak prema DIN-1045-1 daje znatno manju širinu pukotina, pa njegovu prakti čnu primjenu treba razmotriti.
Eksperiment
Razvoj (položaj) pukotina
F
Razmak pukotina s=12mm
- RA 400/500
s=12mm
- GA 500/560
(RA 400/500) - 8
(RA 400/500) - 10
(RA 400/500) - 12
Razvoj (položaj) pukotina
F
F
Razmak pukotina s=12mm
- RA 400/500
s=12mm
- GA 500/560
(RA 400/500) - 8
(RA 400/500) - 10
(RA 400/500) - 12
