PROPUESTA DE MODELO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN PARA EL ESTUDIO DE LOS ELEMENTOS TRANSITORIOS ELECTROMAGNÉTICOS EN LOS SISTEMAS DE POTENCIA

UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO ANZOATEGUI ESCUELA DE INGENIERIA Y CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD

PROPUESTA DE MODELO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN PARA EL ESTUDIO DE LOS ELEMENTOS TRANSITORIOS ELECTROMAGNÉTICOS EN LOS SISTEMAS DE POTENCIA

Realizado por:

BR. MARÍA DE LOS ANGELES TRIANA VILLAFRANCA Trabajo de grado presentado ante la Universidad de Oriente como requisito parcial para optar al Título de:

INGENIERO ELECTRICISTA Barcelona, Junio de 2015

UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO ANZOATEGUI ESCUELA DE INGENIERIA Y CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD

PROPUESTA DE MODELO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN PARA EL ESTUDIO DE LOS ELEMENTOS TRANSITORIOS ELECTROMAGNÉTICOS EN LOS SISTEMAS DE POTENCIA

 ___________________ Prof. Luis Suárez

Asesor Académico

Barcelona, Junio de 2015

UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO ANZOATEGUI ESCUELA DE INGENIERIA Y CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD

PROPUESTA DE MODELO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN PARA EL ESTUDIO DE LOS ELEMENTOS TRANSITORIOS ELECTROMAGNÉTICOS EN LOS SISTEMAS DE POTENCIA

 _______________________ Prof. Enrique Serrano Jurado Principal

 _______________________ Prof. Manuel Maza Jurado Principal

Barcelona, Junio de 2015

RESOLUCIÓN

De acuerdo al artículo 41 del reglamento de trabajo de grado de la Universidad de Oriente: “LOS TRABAJOS DE GRADO SON EXCLUSIVA PROPIEDAD DE LA UNIVERSIDAD DE ORIENTE Y SOLO PODRÁN SER UTILIZADOS A OTROS FINES, CON EL CONSENTIMIENTO DEL CONSEJO DE NÚCLEO RESPECTIVA,

QUIEN

DEBERÁ

PARTICIPARLO

UNIVERSITARIO, PARA SU AUTORIZACIÓN”

iv

AL

CONCEJO

DEDICATORIA

Con todo mi corazón a mis padres y a mi hermano donde quiera que este, y a Dios TODO PODEROSO. María de los Angeles Triana Villafranca

v

AGRADECIMIENTOS

 A Dios por darme cada día de mi vida, por ser mi guía y permitirme terminar esta fase de mi vida, aún y cuando no fue en el momento correspondiente, Gracias Padre Celestial por tan infinito amor.  A mi amada madre por ser mi apoyo y darme el empuje a terminar esta etapa, este triunfo también es suyo, que Dios me la Bendiga siempre.  A mí amado padre por su energía tan positiva en la vida ante las adversidades y su apoyo incondicional, Dios te brinde toda la salud.  A mi prima Danielis por el apoyo que me brindo y que fue incondicional cuando lo necesite, bendiciones para ella.  Al profesor Luis Suarez por su apoyo y por compartir su conocimiento.  Al igual que a todos los profesores como Serrano, Escalante; entre otros, q ue estuvieron a lo largo de la carrera.  A la Universidad de Oriente por ser durante años mi segundo hogar, en especial al Departamento de Electricidad por tanto apoyo y conocimiento, extendiendo este agradecimiento a todos los compañeros que en los pasillos, y aulas de clase tuve.  A GRUPO OPTIMA por su apoyo y grandes oportunidades, en especial al Ing. Domingo Naranjo por compartir su conocimiento y ser ese apoyo profesional que se necesita; mi padre profesional.

vi

Y por último pero principales en mi vida, a mi esposo y a mi hija, el motor y la fuerza de mi corazón, gracias por tanto apoyo mi esposo, este triunfo y esfuerzo también en parte es tuyo, gracias TE AMO. Y aun mas infinito TE AMO hija, por ser tu mi inspiración, gracias. Dios me los cuide siempre. María de los Angeles Triana Villafranca

vii

INDICE

RESOLUCIÓN ................................................................................................iv DEDICATORIA ............................................................................................... v  AGRADECIMIENTOS .....................................................................................vi INDICE .......................................................................................................... viii INDICE DE TABLAS ...................................................................................... xii INDICE DE FIGURAS ................................................................................... xiii RESUMEN .....................................................................................................xv INTRODUCCION .......................................................................................... xvi CAPITULO I .................................................................................................. 18 EL PROBLEMA ............................................................................................. 18 1.1 Planteamiento del problema ............................................................... 18 1.2 Objetivos ............................................................................................. 20 1.2.1 Objetivo general .......................................................................... 20 1.2.2 Objetivos específicos ................................................................... 20 1.3 Alcance ............................................................................................... 20 1.4 Justificacion ........................................................................................ 21 CAPITULO II ................................................................................................. 22 MARCO TEÓRICO ....................................................................................... 22 2.1 Línea de transmisión........................................................................... 22 2.2 Transitorios electromagnéticos ........................................................... 23 2.3 Circuitos eléctricos .............................................................................. 23 2.3.1 Parámetros en circuitos eléctricos ............................................... 24 2.3.2 Estudio de los circuitos mediante ecuaciones diferenciales ........ 28 2.3.3 Leyes de kirchhoff ....................................................................... 28 2.3.4 Reglas de los nodos .................................................................... 29

viii

2.3.5 Regla de las mallas ..................................................................... 29 2.4 Transformada de laplace como base para determinar los parámetros eléctricos................................................................................................... 30 2.4.1 Tipos de transformadas de laplace.............................................. 31 2.5 Ecuación del telegrafista ..................................................................... 32 2.6 Líneas de uniformes y no uniformes con parámetros independientes de la frecuencia ............................................................................................. 35 2.6.1 Ecuaciones para líneas uniforme ................................................ 35 2.6.2 Solución numérica de las ecuaciones de líneas uniformes ......... 38 2.6.3 Extensión al caso de líneas no uniformes ................................... 42 2.7 Sobretensiones ................................................................................... 46 2.7.1 Sobretensiones de maniobra ....................................................... 46 2.7.2 Sobretensiones temporales ......................................................... 46 2.8 Fallas en el sistema ............................................................................ 47 2.10 Resonancia ....................................................................................... 47 2.11 Ferroresonancia ................................................................................ 48 2.13 Descargas atmosféricas ................................................................... 49 2.13.1 Modelo electromagnético........................................................... 50 CAPITULO III ................................................................................................ 53 DESCRIPCIÓN DE LA SITUACIÓN ACTUAL .............................................. 53 3.1 Descripción de la situación actual acerca de los transistorios electromagnéticos de sistema de pontencia ............................................. 53 3.1.1 Causas que pueden originar fenómenos transitorios en los sistemas de potencia en la actualidad .................................................. 54 3.1.2 Tipos de sobretensiones.............................................................. 55 3.2 Breve descripción de los avances en el estudio del modelado de los transitorios electromagnéticos en la actualidad ........................................ 63 CAPITULO IV ................................................................................................ 65

ix

IDENTIFICACIÓN DE LOS ELEMENTOS Y LINEAMIENTOS DE LAS LINEAS DE TRANSMISIÓN PARA EL ANALISIS DE TRANSITORIOS ELECTROMAGÉTICOS................................................................................ 65 4.1 Identificación de los diferentes elementos que constituyen el sistema de transmisión para el análisis de transitorios electromagnéticos ............ 65 4.1.1 El modelado de los parámetros ................................................... 65 4.1.2 Aplicación de la transformada de laplace a parámetros eléctricos ............................................................................................................. 67 4.1.3 Impedancia Característica ........................................................... 69 4.2 Determinación de lineamientos de la energización de las líneas de transmisión del sistema ............................................................................ 71 4.2.1 Transitorios de maniobras simples .............................................. 71 4.2.2 Estudio de la energización de los transitorios en circuitos trifásicos ............................................................................................................. 81 CAPITULO V ................................................................................................. 85 MODELACIÓN DEPENDIENTE DE LA FRECUENCIA EN LINEAS DE TRANSMISIÓN PARA EL ANALISIS DE FENOMENOS TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE POTENCIA........................................................................... 85 5.1 Establecimiento de modelo dependiente de la frecuencia en líneas de transmisión para transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia 86 5.1.1 Modelado en los transformadores ............................................... 86 5.1.2 Modelación de compensadores ................................................... 91 5.1.3 Modelación de barras en subestaciones ..................................... 92 5.1.4 Modelación de equivalentes de red ............................................. 94 5.1.5 El modelo de dependiente de la frecuencia ................................. 94 5.1.6 Modelación de líneas de transmisión .......................................... 97 CAPÍTULO VI .............................................................................................. 134 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .............................................. 134 6.1 Conclusiones .................................................................................... 134 x

6.2 Recomendaciones ............................................................................ 136 BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................... 137 METADATOS PARA TRABAJOS DE GRADO, TESIS Y ASCENSO ......... 139

xi

INDICE DE TABLAS

Tabla 2.1. Magnitudes electromagnéticas y su sistema de Unidades. ........ 27 Tabla 3.1. Origen de transitorios eléctricos y sus rangos más comunes de frecuencia asociados. ................................................................................... 60

xii

INDICE DE FIGURAS

Figura 2.1. Curvas Características. .............................................................. 38 Figura 2.2. Malla de Discretización en los puntos intermedios de la línea ... 40 Figura 2.3. Malla de Discretización en los puntos de la Frontera. ................ 41 Figura 2.4.  Disposición geométrica de los conductores en las Torres de Transmisión. ................................................................................................. 52

Figura 3.1. Generación de sobretensiones .................................................. 55 Figura 3.2. Sobretensiones por descargas atmosféricas. Onda típica. ........ 57 Figura 3.3. Formas de onda típica energización condensadores. ................ 61 Figura 3.4. Sobretensiones de maniobra. Formas de Onda típica. .............. 61 Figura 4.1. Conexión de una fuente de voltaje sinusoidal a un circuito de serie RL......................................................................................................... 72

Figura 4.2. La forma de la corriente transitoria de un circuito inductivo depende de instante de cierre del interruptor................................................ 75

Figura 4.3. Fuente DC conectada a un circuito LC serie. ............................. 76 Figura 4.4. Circuito RC................................................................................. 79 Figura 4.5. Voltaje en el Capacitor del Circuito de la figura 4.4, después del cierre del interruptor. ..................................................................................... 80

Figura 5.1. Modelo simple para un transformador que se energizará sin carga. ............................................................................................................ 89

Figura 5.2. Modelo de circuitos con parámetros dependientes de la frecuencia ..................................................................................................... 96

Figura 5.3. Circuito equivalente π. Línea de transmisión . ............................ 99 Figura 5.4. Señal inyectada en el ejemplo de aplicación en doble rampa. . 121 Figura 5.5. Diagrama de Flujo del ejemplo................................................. 127

xiii

Figura 5.6. Ingreso de código fuente para la corrida del ejemplo aplicado, en la herramienta computacional OCTAVE (1) ................................................ 128

Figura 5.7. Ingreso de código fuente para la corrida del ejemplo aplicado, en la herramienta computacional OCTAVE (2) ................................................ 129

Figura 5.8. Ingreso de código fuente para la corrida del ejemplo aplicado, en la herramienta computacional OCTAVE (3) ................................................ 129

Figura 5.9. Resultados Obtenidos en la corrida, Impulso doble rampa lineal inicial ........................................................................................................... 130

Figura 5.10. Código fuente de la convolución, para corrida del transitorio en distintos puntos de la línea (1) .................................................................... 130

Figura 5.11. Código fuente de la convolución, para corrida del transitorio en distintos puntos de la línea (2) .................................................................... 131

Figura 5.12. Resultados obtenidos en distintos puntos de la línea. ........... 131 Figura 5.13. Resultados obtenidos por la referencia [11] (Trabajo de Doctorado, “Avance de simulación de Transitorios Electromagnéticos en Líneas de Transmisión). Para la comparación de los resultados

de las

Figuras 5.9 y 5.12 ....................................................................................... 132

xiv

RESUMEN

En este trabajo se presentan y se definen las causas y fenómenos que provocan a los transitorios electromagnéticos en un sistema de potencia con énfasis en las Líneas de Transmisión. El cual al iniciar este estudio se describe la situación actual de este efecto transitorio en las líneas de transmisión, se identifican los elementos que constituyen un sistema de transmisión y a partir de esto se determinaron los lineamientos de la energización de estas líneas, y así poder establecer un modelo matemático en donde se tome en cuenta la dependencia frecuencial, donde aplicando distintas herramientas matemáticas se reducen los pasos para el tratado matemático de estos modelos, y así facilitar el cálculo de los mismos, luego se sometió un ejemplo de aplicación bajo una herramienta computacional sencilla y se compararon los resultados obtenidos con los generados en herramientas computacionales avanzadas de electricidad..

xv

INTRODUCCION

En los sistemas de potencia, y en general en las líneas de transmisión, se presentan fenómenos transitorios tales como: sobre voltajes temporales, sobre voltajes por maniobra y sobre voltajes por descargas atmosféricas, aunque estos fenómenos tienen un tiempo de duración muy corto, pueden producir daños de gran consideración en los componentes del sistema. Los sistemas eléctricos de potencia se deben diseñar para soportar esfuerzos más severos que son sometidos durante su operación, estos esfuerzos generalmente se originan durante la ocurrencia de fenómenos transitorios en el sistema de potencia, los transitorios en el sistema de potencia se describen en la actualidad de dos maneras: (a)Transitorios con una interacción entre la energía magnética almacenada en los inductores y la energía eléctrica almacenada en capacitores.(b) Transitorios con una interacción entre la energía mecánica almacenada en las máquinas rotatorias y la energía eléctrica almacenada en el sistema eléctrico. La primera categoría comprende sistemas eléctricos, también denominados transitorios electromagnéticos, la segunda categoría también llamados transitorios electromecánicos. A los efectos del estudio que se realiza, se describe la situación de los transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia. La comprensión del comportamiento de estos fenómenos permite realizar la coordinación de aislamiento del sistema y determinar los tiempos requeridos para el ajuste de las protecciones de sus equipos. El estudio de

xvi

los modelos de línea permite entender el comportamiento de estos fenómenos por medio de modelos matemáticos que son suficientemente exactos para un rango específico de frecuencia.

xvii

CAPITULO I EL PROBLEMA

1.1 Planteamiento del problema Los sistemas de potencia en la actualidad son uno de los sistemas más complicados de ingeniería en cuanto a diseño, planificación, construcción y operación, los cuales juegan un papel importante en la construcción de modelos en líneas de transmisión, ya que deben ser lo suficientemente confiables para lograr suministrar energía eléctrica de una forma segura y constante hacia el usuario final. Durante la operación normal en los sistemas de potencia existe conexión y desconexión de cargas, existen fallas o pérdidas debiéndose tomar acciones de control, así mismo en las operaciones de cierre y apertura de circuitos por maniobras, fallas permanentes, fallas temporarias, descargas atmosféricas, son analizados en intervalos de tiempo que van desde microsegundos hasta milisegundos, entonces es aquí donde se habla de trans itorios electromag néticos . El tiempo de transitorios es corto, pero tiene importancia debido a que los componentes del sistema están sometidos a altos valores pico de voltaje y de corriente que sin la protección correcta pueden llegar a considerables daños. El fenómeno de transitorios electromagnéticos es la interacción instantánea de energías almacenadas en campos electromagnéticos luego de una perturbación del equilibrio, originándose variaciones instantáneas de corriente y/o tensión. Esto a menudo, es el principal responsable de la pérdida de materiales aislantes y equipamientos.

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 Al energizar una línea de transmisión, un transformador de potencia, bancos de reactores o capacitores y otros, se produce alternación del equilibrio del sistema. Siendo necesario estudiarlos para evaluar efectos en los componentes adyacentes del sistema eléctrico o en ellas mismas. También es necesario estudiar los efectos durante las maniobras de rutina y contingencias para determinar magnitudes de tensiones y corrientes que servirán para definir las características de interruptores, equipos, pararrayos, etc. Entre las consecuencias que esto ocasiona, al energizar o durante maniobras de rutina o por contingencias suelen producirse daños parciales o totales en equipamientos eléctricos. La rugosidad de modelos físico matemáticos del sistema eléctrico y uso de herramientas adecuadas son alguno de los factores decisivos para prever comportamientos en diferentes escenarios de estos transitorios. Entre las fallas que se presentan durante la identificación de este fenómeno son las siguientes: a) Sobretensiones inducidas por rayos, b) Fallas simétricas y asimétricas, c) Fallas en líneas de transmisión, d) oscilaciones torsionales, e) Transitorios ocasionados por maniobras. En vista de lo analizado anteriormente, resulta interesante el presente desarrollo de este proyecto ya que permite proponer de la amplia gama de modelos que se han venido desarrollando, el modelo más adecuado de líneas de transmisión para el estudio de los elementos transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia, por llegar a esto surge la siguiente pregunta: Cuáles son los elementos y lineamientos que pueden ser incluidos en un estudio de transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia como modelo en líneas de transmisión?

20

1.2 Objetivos 1.2.1 Objetivo general Proponer un modelo de líneas de transmisión para el estudio de los elementos transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia.

1.2.2 Objetivos específicos 1.

Describir la situación actual acerca de los transitorios electromagnéticos de sistema de potencia.

2.

Identificar los diferentes elementos que constituyen el sistema de transmisión para el análisis de transitorios electromagnéticos.

3.

Determinar lineamientos de la energización de las líneas de transmisión del sistema.

4.

Establecer el modelo dependiente de la frecuencia en líneas de transmisión para transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia.

1.3 Alcance El propósito de esta investigación es después de haber analizado los múltiples

trabajos

que

se

han

realizado

sobre

los

transitorios

electromagnéticos, bajo distintas herramientas matemáticas aplicadas a la electricidad, proponer de todos ellos un modelo (el más exacto) en líneas de transmisión para el estudio de los elementos transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia, lo que permitió el análisis de los transitorios electromagnéticos, que se producen con la conexión de los elementos de transmisión. En este trabajo se explican y analizan las causas para que

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existan transitorios electromagnéticos por distintas fallas y sus efectos. Se identifican los elementos de los transitorios electromagnéticos y en particular se explica lo que ocurre en la etapa de energización, donde cambia del estado inicial a un estado final donde es más susceptible el sistema de potencia.

1.4 Justificacion En los sistemas de potencia, específicamente en las líneas de transmisión se producen sobrevoltajes y sobrecorrientes al momento de su energización, causando daños en los equipos como transformadores, capacitores, reactores y en las mismas líneas, por lo que es necesario estudiar estos componentes durante su energización, para definir una correcta operación y evitar en lo posible la presencia de estos eventos nocivos para los equipos. El presente estudio se justifica debido a que se tiene la intención de describir la situación actual de los transitorios, de identificar los diferentes elementos y lineamientos que están presentes en este fenómeno y así poder proponer un modelo de líneas de transmisión con dependencia frecuencial para el estudio de los elementos transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia, el cual permitirá el análisis de sistemas de potencia en ese estado transitorio. Para hacer así de este tipo de modelos matemáticos un poco menos engorroso al disminuir un paso del mismo.

CAPITULO II MARCO TEÓRICO

2.1 Línea de transmisión Como en este proyecto se hará énfasis en los transitorios que ocurren en las líneas de transmisión es importante dar un repaso de estas. La línea de transmisión es una estructura que se utiliza para transportar la energía eficientemente de un punto a otro, son aquellos medios de transmisión con soporte físico, susceptibles de guiar ondas electromagnéticas en modo TEM ( modo transversal electromagnético). Uno modo TEM se caracteriza por el hecho de que tanto el campo eléctrico, como el campo magnético que forma la onda son perpendiculares a la dirección en que se propaga la energía, sin existir, por tanto componente de los campos en la dirección axial ( dirección en que se propaga la energía). Cuando el modo de propagación es TEM, se pueden definir, tensiones y corrientes, y el análisis electromagnético de la estructura (estudio de campos) o se hace imprescindible, siendo posible una representación circuital con parámetros distribuidos. En los puntos posteriores de este trabajo se extiende la explicación de los parámetros y lineamientos que interfieren en la línea de transmisión con un comportamiento ideal o desequilibrado, siendo este último escenario donde se nos presentan los transitorios electromagnéticos. Para esto es necesario tener claro, ¿Que son los transitorios electromagnéticos?

23

2.2 Transitorios electromagnéticos Se le puede definir como la respuesta instantánea a un sistema eléctrico debido un cambio repentino de su estado inicial a un estado diferente o final causado por maniobras dentro del sistema eléctrico, por fallas o por descargas atmosféricas sobre un elemento que conforma el sistema eléctrico. El periodo transitorio es sumamente corto, haciendo una comparación con el tiempo empleado en estado estacionario, el periodo transitorio electromagnético es insignificante, pero a la vez tiene un gran impacto en el sistema, debido a que en estos pequeños periodos los componentes del sistema son sometidas a grandes esfuerzos por corrientes y voltajes excesivos que pueden llegar a dañar permanentemente al equipo. En la actualidad el análisis de los transitorios electromagnéticos es un componente fundamental que se incluye en el estudio de los sistemas de potencia, en la operación, confiabilidad, planificación, calidad de suministro eléctrico, entre otros. En esta sección se estudiara sus causas y efectos con énfasis en los elementos de transmisión que son los más susceptibles al momento de realizar maniobras de energización y están más expuestos a descargas atmosféricas.

2.3 Circuitos eléctricos Un circuito eléctrico es el trayecto o ruta de una corriente eléctrica. El término se utiliza principalmente para definir un trayecto continuo compuesto por conductores y dispositivos conductores, que incluye una fuente de fuerza electromotriz que transporta la corriente por el circuito. Un circuito de este

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tipo se denomina circuito cerrado, y aquéllos en los que el trayecto no es continuo se denominan abiertos. Un cortocircuito es un circuito en el que se efectúa una conexión directa, sin resistencia, inductancia ni capacitancia apreciables, entre los terminales de la fuente de fuerza electromotriz.

2.3.1 Parámetros en circuitos eléctricos Los diferentes parámetros que están presentes en cada elemento del sistema eléctrico y se consideran para el estudio de transitorios electromagnéticos son: La Resistencia(R), Inductancia (L) y Capacitancia(C). Cada uno de estos parámetros está presente en cada elemento del sistema eléctrico en porcentajes diferentes. Por ejemplo para un transformador y para un motor la parte inductiva predomina; para un banco de capacitores predomina la parte capacitativa; en el caso de una carga lineal la parte resistiva predomina sobre las demás. Estos tres parámetros están distribuidos a lo largo del circuito. Los parámetros L y C se caracterizan por su capacidad de almacenar energía, La inductancia, L, en forma de campo magnético y la capacitancia, C, en forma de campo eléctrico. La energía almacenada es función de la corriente I y función del voltaje instantáneo V, respectivamente, que se puede expresar de la siguiente forma en las ecuaciones que a continuación se expresan: .

(2.1)

25

Siendo: E= energía (Joules). L= inductancia (Wb/A). I= Intensidad de corriente (Amp). (2.2)

E= energía (Joules) (J) C= capacitancia(C/V) Faradio (F) V= voltaje (V) Vatios El parámetro R, hace lo contrario de los dos anteriores, es disipador de energía. La tasa de disipación RI 2, en cualquier instante que se requiera en el estudio de transitorios electromagnéticos. Es importante tener en cuenta dos aspectos: a) para que haya variación de energía magnética se requiere que haya un cambio de corriente. b) para que haya variación de energía eléctrica se requiere un cambio de voltaje. Voltaje a través del capacitor está dado por: V=

(2.3)

V= voltaje Q= carga C’ = capacitor  Y su tasa de cambio viene dada por: =

= .L

(2.4.)

26

Para un cambio de voltaje puede ocurrir un flujo de corriente infinito. Esto no es factible. Consecuentemente el voltaje a través del capacitor, no puede cambiar instantáneamente. La redistribución de energía después de un cambio de estado del circuito toma un cierto tiempo, el proceso durante este intervalo está regido por el principio de conservación de la energía. La resistencia, la inductancia y la capacitancia influyen en la corriente y son parámetros fundamentales en el estudio de transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia. (Montalvo, 2010). En la tabla 2.1. Se puede ver que u y e, se miden en voltios aunque son magnitudes distintas. Es decir, que la e es capaz de generar corriente eléctrica (i), mientras que la u (tensión ó diferencia de potencial ó caída de tensión), se provoca al circular la i a través de una R por ejemplo. Una es causa, y la otra es efecto. Para la relación entre las magnitudes e, i y u, por lo antes dicho, tomaremos como sentido positivo de la última el que se opone al de las otras dos. En cuanto a las flechas indicadoras de u y de e (si se utilizan) se orientarán en el sentido del menos al más, ó sea el de los potenciales crecientes (ver figura). Si estas flechas aparecen en sentido contrario al comentado, las magnitudes se tomarán como negativas.

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Tabla 2.1. Magnitudes electromagnéticas y su sistema de Unidades. Magnitudes electromagnéticas Nombre Intensidad de Corriente Tensión u Fuerza Electromotriz Potencia Energía

Símbolo I

Unidades electromagnéticas (S. I.) Nombre Símbolo Amperio A

U E P W

Voltio Voltio Vatio Julio

V V W J

Flujo Fuerza Magnetomotriz Inducción magnética Resistencia

Φ F

Weber Amperio Vuelta

Wb Amp.vuelta

ß R

Tesla Ohmio

T(Wb/m) Ω (V/A)

Inductancia Carga Capacidad

L Q C

Herio Coulomb Faradio

H(Wb/A) C F(C/V)

La intensidad de corriente positiva, cuando se desplace desde los potenciales mayores a los menores (fuera de los elementos). La tensión positiva cuando sea superior al potencial de TIERRA. En la explicación anterior la e lleva las cargas del  –  al + en la fuente, o sea aumenta su potencial, posteriormente las envía hacia R, y al atravesarla pierden el potencial que tenían (pasan en R de + a - potencial) y vuelven a e, repitiéndose el ciclo. Por eso: La potencia y energía en un elemento, las tomaremos positivas cuando la reciben, y negativa cuando la generan. El flujo. Cuando la intensidad circula por un hilo ó arrollamiento (bobinado) tomaremos como flujo positivo, aquel cuyo sentido de giro siga la regla del sacacorchos con respecto a la intensidad. La pareja de signos (+, −) que se suele poner en los extremos de los elementos de los circuitos, indicará qué terminal está a más tensión que el otro, nunca que uno de ellos

28

está a potencial positivo y el otro a negativo. (Suele ponerse el signo + solamente).

2.3.2 Estudio de los circuitos mediante ecuaciones diferenciales Para el estudio de los circuitos se aplican ecuaciones integro-diferenciales de voltaje y corriente que caracterizan el comportamiento de mismo. Para circuitos lineales se utilizan ecuaciones lineales con coeficiente constante. Ejemplo un circuito en serie RLC controlado por una fuente de voltaje cuyas ecuaciones se determinan aplicando la Ley de Kirchhoff.

2.3.3 Leyes de kirchhoff Si un circuito tiene un número de derivaciones interconectadas, es necesario aplicar otras dos leyes para obtener el flujo de corriente que recorre las distintas derivaciones. Estas leyes, descubiertas por el físico alemán Gustav Robert Kirchhoff, son conocidas como las leyes de Kirchhoff. La primera, la ley de los nudos, enuncia que en cualquier unión en un circuito a través del cual fluye una corriente constante, la suma de las intensidades que llegan a un nudo es igual a la suma de las intensidades que salen del mismo. La segunda ley, la ley de las mallas afirma que, comenzando por cualquier punto de una red y siguiendo cualquier trayecto cerrado de vuelta al punto inicial, la suma neta de las fuerzas electromotrices halladas será igual a la suma neta de los productos de las resistencias halladas y de las intensidades que fluyen a través de ellas. Esta segunda ley es sencillamente una ampliación de la ley de Ohm.

29

2.3.4 Reglas de los nodos En todo nodo se cumple: n

 I 

i

0

(2.5)

i 1

“Las corrientes que entran a un nodo son iguales a las corrientes que salen”.

2.3.5 Regla de las mallas En toda malla se cumple:

  i. R  0    

(2.6)

“La sumatoria de las fuerzas electromotrices en una malla menos la sumatoria de las caídas de potencial en los resistores presentes es igual a cero”. Regla de signos: a.

Al pasar a través de una pila del terminal positivo al negativo se considera positivo la f.e.m.

b.

Al pasar a través de una pila del terminal negativo al positivo se considera negativa la f.e.m.

c.

Al pasar a través de un resistor de mayor a menor potencial se considerará la existencia de una caída.

30

d.

Al pasar a través de un resistor de menor a mayor potencial se considerará la existencia de una ganancia.

2.4 Transformada de laplace como base para determinar los parámetros eléctricos Para estudiar las diferentes metodologías de análisis de transitorios electromagnéticos, se define lo que es una transformada, es decir cómo van a cambiar de estado los circuitos eléctricos ante perturbaciones. Según U.V (2012) Es una herramienta que transforma un problema en el dominio del tiempo en un problema en el dominio de la frecuencia (el fusor convierte una señal sinusoidal en un número complejo). La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas de la inicialvalor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples del álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entre las aplicaciones de la transformada de Laplace, se tiene que se utiliza en: a.

Análisis del régimen transitorio en circuitos descritos por más de dos ecuaciones diferenciales.

b.

Análisis del régimen transitorio en circuitos sometidos a excitaciones distintas de simples saltos de nivel.

c.

Introducción del concepto de función de transferencia para analizar la respuesta en frecuencia de un circuito sometido a excitación sinusoidal.

31

d.

Relacionar el comportamiento de un circuito en el dominio del tiempo con su comportamiento en el dominio de la frecuencia.

e.

 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase.

f.

La transformada de Laplace de una función f  (t ) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F (s), definida por: (2.7) (2.8)

(2.9)

2.4.1 Tipos de transformadas de laplace Se pueden distinguir dos tipos de transformadas de Laplace: Bilateral y Unilateral.

2.4.1.1 Transformada de laplace bilateral Se define la transformada de Laplace Bilateral de una señal continúa x (t) como:

(2.10)

32

Donde s es una variable compleja. En sí, la transformada de Laplace bilateral de una señal continua es una función analítica en cierto dominio, que se denomina región de convergencia.

2.4.1.2 Transformada de laplace unilateral Sea x (t) una señal continua. Sede fine la Transformada de Laplace Unilateral de x (t) como:

(2.11)

2.5 Ecuación del telegrafista Oliver Heaviside desarrolló un modelo matemático de línea de transmisión, conocido como ecuaciones del telégrafo, que describe la variación instantánea de la tensión y corriente eléctrica a lo largo de un conductor. La teoría fue desarrollada para las líneas de transmisión de comunicaciones, como los hilos telegráficos y los conductores de radiofrecuencia; sin embargo, también es aplicable en su totalidad al diseño de las líneas de transmisión de potencia. Las ecuaciones constan de dos ecuaciones diferenciales lineales en función de la distancia y el tiempo: una para V (x,t) y otra para I (x, t). El modelo demuestra que la energía eléctrica puede reflejarse en la línea, y que se podían formar patrones de onda conocidos. Las ecuaciones del telégrafo pueden entenderse como una simplificación de las ecuaciones de Maxwell. Para fines prácticos se asume que el conductor está compuesto por una serie de redes bipuerto

33

(cuadripolos ) elementales, representado cada cual un segmento infinitesimal de la línea de transmisión. Un segmento infinitesimal de línea de transmisión queda caracterizado por cuatro parámetros distribuidos, conocidos habitualmente como parámetros primarios de la línea de transmisión.



La inductancia distribuida (expresada en henrios por unidad de longitud) debido al campo magnético alrededor del conductor.



El comportamiento capacitivo distribuido, debido al campo eléctrico existente en el dieléctrico entre los conductores de la línea, se representa por un solo condensador en paralelo C, colocado entre “el conductor de ida” y el “conductor de retorno”. Este parámetro modela el proceso de almacenamiento energético en forma de campo eléctrico que se produce en la línea.



La resistencia distribuida, este modela la disipación de potencia debido a la no idealidad de los conductores (pérdidas óhmicas).



La conductancia distribuida, se representa por una conductancia en paralelo G, colocada entre “el conductor de ida” y “el conductor de retorno”. Este parámetro modela la disipación de potencia que se produce por la no idealidad del medio dieléctrico (pérdidas dieléctricas). Cuando los parámetros R y G son muy pequeños, sus efectos se

pueden ignorar, de manera que la línea de transmisión se puede considerar una estructura ideal y sin pérdidas. En este caso, el modelo depende sólo de los parámetros L y C, de los cuales obtenemos un par de ecuaciones diferenciales parciales, una de ellas para la tensión y otra para la corriente, a través de la línea, ambas en función de la posición o distancia x y del tiempo

t.

34

(2.12)

(2.13)

Cuando las pérdidas por disipación en los elementos R y G son despreciables, las ecuaciones diferenciales originales que describen el cuadripolo elemental pasan a tener la forma: (2.14)

(2.15)

Derivando la primera ecuación respecto de x y la segunda respecto de t, obtendremos, con ayuda de manipulación algebraica, un par de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas de sólo una incógnita: (2.16)

(2.17)

Nótese que las ecuaciones se parecen mucho a la ecuación de onda homogénea con términos adicionales en V e I y sus primeras derivadas. Estos términos adicionales en la ecuación son, físicamente, el efecto que

35

causa el decaimiento (atenuación) y distorsión de la señal en la distancia y el tiempo.

2.6 Líneas de uniformes y no uniformes con parámetros independientes de la frecuencia 2.6.1 Ecuaciones para líneas uniforme En una línea de transmisión con parámetros constantes, las relaciones entre voltajes y corrientes están dadas por las ecuaciones modificadas del telegrafista, las cuales se pueden agrupar matricialmente de la siguiente forma: (2.18)

Donde V e i son os voltajes y corrientes a largo de la línea y L, C, R y G son los parámetros eléctricos de esta. El parámetro G está en función de la conductividad del dieléctrico de la línea; sin embargo, como generalmente se procura que este sea muy buen aislante, usualmente G puede despreciarse. De aquí en adelante se supondrá que G=0. La ecuación 2.12 se puede representar de la siguiente forma: (2.19)

Donde:

36

U=

La expresión 2.18 y su equivalente 2.19 representan un sistema de ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) de primer orden. Los eigenvalores de la matriz A en 2.13 son: (2.20. a, b)

Las correspondientes matrices de eigenvectores izquierdos y derechos de A son:

(2.21. a, b)

Donde:

(2.22. c,d)

Debido a que λ 1 y λ2 son reales, y sobre todo a que A tiene un conjunto de eigenvectores, el sistema 2.18 es hiperbólico. Por lo tanto, la llamada curva característica de 2.19 proporciona un sistema de coordenadas alternativo al cartesiano x-t. De hecho las dos curvas características de 2.19 están definidas respectivamente por las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs): (2.23. a, b)

37

La figura 2.1 ilustra las dos familias de características obtenidas como soluciones de 2.23a y 2.24 para una línea con parámetros L y C constantes. Nótese que las pendientes de cada familia corresponden al inverso de las velocidades de propagación en la línea; un sentido positivo ( otra en sentido negativo

y la

.

 Ahora se pre multiplica a 2.1 por E L definida en 2.22.c obteniéndose:

(2.24)

 A lo largo de cualquiera de las curvas características definidas por 2.23.a se tiene: (2.25) De igual modo, a lo largo de las curvas características definidas por 2.23 b (2.26)  Aplicando 2.25 y 2.26 en 2.24 se tiene:

(2.27)

38

Figura 2.1. Curvas Características. 2.6.2 Solución numérica de las ecuaciones de líneas uniformes La expresión 2.27 representa un sistema de dos EDOs en el sistema de coordenadas definidas por 2.23a y 2.23b. Este nuevo sistema equivale al de EDPs de la expresión 2.18. Para la solución numérica de 2.27 considérese la malla de diferencias finitas definida por las siguientes aproximaciones discretas de 2.23a y 2. 23b: (2.28. a,b) En la práctica, según de tipo de transitorios a analizar, se conoce la frecuencia máxima significativa del fenómeno. Con esta y con el teorema del muestro, se determina un Δt adecuado. Con éste y de 2.235a y 2.23b se determina el valor para el Δx correspondiente. La figura 2.2 ilustra la malla de diferencias finitas basadas en coordenadas características para la solución de 2.23. En esta malla la versión discreta de 2.23 es:

39

(2.29)

 Ahora supóngase en la figura 2.2 los valores de “v”y de ï” son conocidos entre los puntos “Q” y “G”. Mediante la expresión 2.29 se puede extender estas soluciones al punto “L” de la siguiente forma: (2.30 a) (2.30 b) En estas expresiones, los subíndices L, Q y G denotan los valores específicos de las variables dependientes v e i en los puntos correspondientes de la figura 2.2. Las expresiones del tipo 2.30 a y 2.30 b permite extender las soluciones conocidas en una seria de puntos equidistantes a lo largo de la línea t = T del plano x-t a puntos correspondientes en la siguiente línea t=T+Δt, y así sucesivamente. Si se introducen las siguientes definiciones: (2. 31) Y (2.32)

40

Figura 2.2. Malla de Discretización en los puntos intermedios de la línea Las expresiones anteriores resultan en: (2.32 a) (2.32 b) Finalmente, se despeja los valores de “v” ë” ”i” en el punto “L” de la línea obteniéndose: (2.33) (2.33) En los extremos tanto inicial como final de la línea, se tiene solo a una expresión del tipo 2.32 a o 2.32 b pues en los puntos correspondientes solo incide una curva caracterizada. La otra ecuación necesaria para extender la solución, debe ser proporcionada por las condiciones de frontera. La figura 2.3 ilustra la malla de desratización para estos puntos.  A manera de ilustración, que en el extremo inicial de la línea se tiene una fuente ideal de voltaje. El valor de voltaje en el punto “H” de la figura 2.3

41

corresponde a la condición de frontera y es el voltaje de alimentación . Se adapta pues la ecuación 2. 32 b como sigue: (2.34) de aquí se despeja

: (2.35)

Para el extremo o frontera final, x=L se supone como ejemplo una carga resistiva pura cuya relación entre voltaje y corriente: (2.36)

 Ahora se adapta a la ecuación como sigue: (2.37)

Figura 2.3. Malla de Discretización en los puntos de la Frontera.

42

 A partir de 2.29 y 2.30 se pueden obtener los valores de voltaje en la frontera final: (2.38)

2.6.3 Extensión al caso de líneas no uniformes Para incorporar no uniformidades al análisis de línea de transmisión aquí se considera que los parámetros de estas varían con la longitud. En el caso de una línea aérea L, C y R estarán dados como funciones de la distancia:

(2.39. a) (2.39 b) (2.39 c) Donde

es la inductancia geométrica de la línea,

inductancia y al resistencia de tierra, respectivamente.

y y

inductancia y resistencia interna del conductor, respectivamente.

son la son la y

podrían también ser funciones de x; aunque para aplicaciones de potencia aunque para aplicaciones de potencia este usualmente no es el caso. En cuanto a la capacitancia de una línea área esta queda, representada por sus partes geométricas

.

43

En esta tesis se considera el caso de una línea área donde la no uniformidad es producida por la catenaria que forman sus conductores; por tanto: (2.40 a)

(2.40 b)

(2.41)

(2.42)

En estas expresiones h(x) es la altura del conductor, r es su radio, resistividad,

es la conductividad del terreno y la

es la frecuencia angular

especifica. Cabe mencionar que, en la representación de línea con parámetros independientes de la frecuencia, se asume un valor constante de frecuencia que sea representativo del fenómeno transitorio que se analiza. En este caso las velocidades e impedancias de la onda vienen dadas por: (2.43 a, b) (2.44)  Ahora las características positivas y negativas están dada por las expresiones siguientes:

44

(2.45 a, b) Notándose que para una línea no uniforme las características ya no son rectas y por tanto proporcionan una malla de coordenadas distorsionadas. Es posible, sin embargo aplicar el método de las características a una malla regular. Para esta malla el valor de

se

determina de modo similar que en el caso de la línea uniforme. El valor de se determina mediante la siguiente expresión:

Donde

representa la magnitud del menor valor posible

usualmente este corresponderá al inverso de la máxima velocidad de la luz. Considérese ahora el punto ”L” sobre la malla regular y que los valores de “V”e “ï” son conocidas en los puntos Q, B, G y quizás en otros mas uniformemente espaciados a lo largo de la recta t=T. por el punto “L”pasan dos características una de las familias positivas y otra de las familias negativas. La ecuación de la línea de transmisión a lo

largo de las

característica 1 es: (2.46) La aproximación discreta de esta expresión el segmento Q’ -L es:

(2.47)

45

Para poder implementar esta expresión nótese es necesario determinar la abscisa del punto Q’ donde la característica 1 cruza la recta de t=T. siendo

la distancia entre los puntos B y Q’, de esta se determina los

valores de

, mediante interpolaciones.

Para obtener la abscisa “x” del punto Q’ se resuelve iterativamente la siguiente ecuación, tomando en cuenta que

es función de

. (2.48)

Para el caso de línea no uniforme nótese también que

. Para la

característica 2, se tiene: (2.49) Esta expresión se discretiza dentro del segmento L-G’ del mismo modo que en el caso anterior, resultando:

(2.50) Donde

es la distancia entre el G ’y el punto B obtenido

resolviendo iterariamente la siguiente expresión que es la versión discreta. (2.51)

46

La expresión del tipo 2.50 y 2.51 permiten extender los valores de “V” e “ï”, conocidos en los puntos equidistantes de la líen t=T, a puntos con l as mismas coordenadas sobre la recta t=T+Δt. Subsecuentes extensiones a puntos sobre t=T+KΔt con K es igual a 2,3, se efectúa de la misma forma. Nótese que debido a que los parámetros solo tienen dependencia de la distancia y no del tiempo las características de desplazan en forma paralela en t, por tanto, los parámetros y las intersecciones de las características solo se calculan en t=T. por este motivo no es necesario recalcular valores tales como: Δx’, Δx’’, Z WQ’ , ZWG’, RQ’, y RG’

en subsiguientes extensiones a

t=T+2Δt, a t=T+3Δt, etc.

2.7 Sobretensiones 2.7.1 Sobretensiones de maniobra El Voltaje pico fase-tierra o fase-fase superior al voltaje picofase-tierra o fasefase máximo Un asignado a un Sistema de Potencia (SP). Es lo que se conoce como sobretensiones de maniobra.

2.7.2 Sobretensiones temporales Voltaje con frecuencia alrededor de la fundamental (± 2Hz) con valor pico máximo fase-tierra o fase-fase superior al voltaje pico fase-tierra o fase-fase máximo permitido para un Sistema de Potencia. Entre las causas que las originan, cambios de topología del sistema, rechazos de carga. Los cambios en el sistema generan puntos de operación diferentes, los cuales desencadenan la acción de los reguladores de tensión,

47

desde el inicio del evento y antes que la acción de los reguladores haga efecto en el voltaje y la frecuencia se generan sobretensiones que poco a poco se controlan de acuerdo con el tipo de evento. Entre los factores recomendados: Desde 1,4 p.u. hasta 2,5 p.u. cuando existen unidades de generación o motores

2.8 Fallas en el sistema Son los eventos más frecuentes, en general la falla monofásica es la más común y causa la elevación de las tensiones de las fases sanas de acuerdo con el grado de aterrizamiento del sistema. Entre los factores recomendados: Desde 1,4 p.u. para sistemas sólidamente aterrizados hasta 1,7p.u., para sistemas aislados.

2.9. Efecto Ferranti En líneas energizadas al vacío, el circuito que se genera crea corrientes capacitivas a través de la inductancia serie de la línea lo que genera una sobretensión en el extremo abierto con respecto a la tensión en el extremo donde la línea es energizada Entre los factores recomendados: Desde 1,5 p.u. en adelante para sistemas extensos.

2.10 Resonancia Se puede generar por:

48

a.

Resonancia entre cables de elevada capacitancia y reactores limitadores de corriente

b.

Resonancia que ocurre entre una inductancia lineal y la capacitancia de un sistema constituido por una línea levemente cargada.

c.

Ferroresonancia entre la reactancia de transformadores de potencial y la capacitancia entre devanados de un transformador de distribución

d.

Ferroresonancia en sistemas que contienen elementos saturables y filtros de armónicos.

2.11 Ferroresonancia Según ANSI/IEEE 100 1984. Fenómeno usualmente caracterizado por sobretensiones e irregulares formas de onda. Asociado con la excitación de una o más inductancias saturables a través de una capacitancia en serie. En núcleos de aire la inductancia es fija, en núcleos ferromagnéticos cambia dependiendo del voltaje aplicado. La capacitancia en serie es formada por la capacitancia de cables o conductores, equipos etc. El fenómeno es típico en sistemas aislados y los eventos de suiche o asimétricos (relacionados con la apertura de interruptores trifasicos de formamonopolar).

2.12 Los transitorios y su origen Los transitorios son manifestaciones de leyes físicas, independiente del control humano y se originan debido a cambios repentinos en la configuración de un circuito energizado, los cuales generalmente ocasionan sobrevoltajes transitorio de magnitudes impredecibles que a pesar de lo

49

breve de su duración, pueden ser peligrosos por las amplitudes que se producen y que pueden originar la ruptura o el periodo de aislamiento. Los sobrevoltajes transitorio son toda alteración de voltaje en función del tiempo entre un conductor de fase y tierra o entre dos conductores de fase, su magnitud es elevada y de naturaleza transitoria cuyo valor de cresta sobre pasa el valor de la tensión máxima de servicio (V n) o la tensión máxima para asilamiento (Vm) en un sistema eléctrico.

2.13 Descargas atmosféricas Una descarga atmosférica consiste en una descarga eléctrica, en forma de rayo luminoso, desde una nube cargada eléctricamente hacia la tierra o entre nubes. Se puede definir como el rompimiento del aislamiento del aire entre dos superficies cargadas eléctricamente con polaridades opuestas. El proceso es terminado por una descarga que puede llevar corriente de hasta 200KA, pero promedio oscila en 27KA de acuerdo a estudios. Los parámetros que determinan la forma de onda de la corriente en una descarga atmosférica son de naturaleza aleatoria. Estudios realizados han determinado que la amplitud, el frente de onda (tiempo que tarda la onda en alcanzar el 90% de su valor pico), el tiempo de cola ( tiempo que tarda la onda en decaer al 50% del valor pico) y la pendiente responde a una función de distribución logarítmica normal cuyos parámetros para la primera descarga son los siguientes: Según CIGRE (Consell International Grands Reseaux Electrical ), la descarga de corriente más baja es de 3KA. La probabilidad de que una

50

descarga atmosférica presente una corriente de cresta igual o mayor de corriente (I) está dada por: (2.45)

Las descargas directas en línea de transmisión pueden producirse ya sea en el conductor de fase o en el cable de guarda, esto dependerá del grado de protección de la línea de trasmisión.

2.13.1 Modelo electromagnético Cuando una descarga atmosférica se aproxima a una línea de transmisión o a la tierra a una distancia r (denominada distancia de arqueo) la descarga puede hacer impacto ya sea en la línea de transmisión o en la tierra. La distancia de arqueo es una función de la carga y consecuentemente función de la magnitud de la corriente de la descarga. La ecuación 2.46 permite determinar la distancia de arqueo en función de la corriente. (2.46)

Dónde: r: es la distancia de arqueo en metros. I: es la corriente de la descarga en KA. En una línea de transmisión la descarga puede impactar en el cable de guarda, en el conductor de fase, en la torre o en las proximidades a esta.

51

El impacto o no de la descarga en el cable de guarda o el conductor de fase depende del grado de apantallamiento de la línea de transmisión. En el diseño del apantallamiento o blindaje de línea de transmisión se considera el ángulo de apantallamiento a, que es aquel ángulo que forma la perpendicular trazada desde el cable de guarda a tierra y la recta entre el cable de guarda y el conductor de fase superior. Mientras más pequeño es el ángulo mejor será el apantallamiento de la línea de transmisión. El método electro geométrico permite determinar, de forma aproximada, la máxima corriente que provoque una falla de apantallamiento. El método consiste en determinar mediante análisis geométrico la distancia de arqueo que pueda provocar una falla de apantallamiento, tomando en cuenta la disposición geométrica de los conductores en la torre de transmisión, figura 2.4, para lo cual se plantean las expresiones (2.44 y 2.45). Una vez conocida la distancia de arqueo máxima se determina la corriente máxima con la ecuación 2.47

(2.47)

Dónde: a: es la distancia horizontal entre el cable de guarda y el conductor de fase. h e y: son las alturas del cable de guarda y conductor de fase respectivamente.

52

r: es la distancia de arqueo. α: es la distancia de apantallamiento.

Figura 2.4. Disposición geométrica de los conductores en las Torres de Transmisión.

CAPITULO III DESCRIPCIÓN DE LA SITUACIÓN ACTUAL

3.1 Descripción de la situación actual acerca de los transistorios electromagnéticos de sistema de pontencia El Fenómeno de Transitorios Electromagnéticos es la interacción instantánea de energías almacenadas en campos eléctricos y magnéticos luego de una perturbación del equilibrio, originándose variaciones instantáneas de corriente y/o tensión. Este en la actualidad es a menudo el principal responsable de la pérdida de materiales aislantes y equipamientos.  Al energizar una línea de transmisión, un transformador de potencia, bancos de reactores o capacitores y otros, se produce alteración del equilibrio del sistema. Siendo necesario estudiarlas para evaluar efectos en las componentes adyacentes del sistema eléctrico o en ellas mismas. También es necesario estudiar los efectos durante maniobras de rutina y contingencias para determinar magnitudes de tensiones y corrientes que servirán para definir las características de interruptores, equipos, pararrayos, etc. El período de duración de un transitorio electromagnético es muy corto. La fracción de tiempo de operación de la mayoría de los sistemas eléctricos de potencia en condiciones transitorias es insignificante comparada con su tiempo de operación en estado estable. A pesar de lo anterior, los transitorios son de extrema importancia debido a que en estos breves períodos de tiempo los sistemas se ven sometidos a grandes

54

esfuerzos debido a la magnitud que adquieren los voltajes y corrientes en el sistema. Los transitorios eléctricos en el sistema de potencia originan cambios repentinos en las condiciones existentes en la red eléctrica, los cuales son ocasionados por fenómenos físicos tales como descargas atmosféricas, maniobras de operación normales (aperturas y cierres de operación) o bien condiciones anormales como por ejemplo fallas eléctricas. Por su naturaleza estos fenómenos son una combinación de efectos de ondas viajeras sobre líneas aéreas de transmisión, cables, generadores, transformadores y otros componentes de la red. Los transitorios electromagnéticos en los sistemas de potencia son de naturaleza oscilatoria.

3.1.1 Causas que pueden originar fenómenos transitorios en los sistemas de potencia en la actualidad Como se ha descrito en los anteriores capítulos los transitorios pueden originarse por sobretensiones o sobre corrientes. A continuación se describen ambas causas: La sobrecorriente es el resultado de fallas en el mismo y su estudio ayuda a determinar diversos aspectos técnicos, como la capacidad interruptiva de los interruptores, los esfuerzos mecánicos y térmicos, en máquinas, transformadores, cables. Una falla en el sistema de potencia también da lugar a fallas en sobretensiones en las fases no falladas. En cuanto a las sobretensiones  son determinantes en el diseño y la coordinación de aislamiento del sistema eléctrico de potencia. Estas sobretensiones pueden ser causadas por operaciones de maniobras,

55

descargas atmosféricas o bien sobretensiones originadas por condiciones especiales de operación de sistema de potencia, las cuales son por lo general de carácter temporal. Los transitorios más comunes son las sobretensiones. En la figura 3.1 se muestra la sobretensión que puede generarse y la causa que lo origine.

Figura 3.1. Generación de sobretensiones 3.1.2 Tipos de sobretensiones 3.1.2.1 Sobretensiones por descargas atmosféricas Voltaje pico fase-tierra o fase-fase superior al voltaje pico fase-tierra o fasefase máximo, de origen externo causado por impacto de un rayo sobre o alrededor de un punto del sistema.

56

3.1.2.1.1 Características

1.

De muy corta duración.

2.

Alto amortiguamiento.

3.1.2.1.1.1 Rayo Onda de impulso que aumenta rápidamente su valor máximo y luego, decrece lentamente comparado con la velocidad de subida.

3.1.2.1.1.1.1 Descripción de una onda de rayo Las principales sobretensiones que se generan a causa de impulsos de rayo se deben a cambios de medio (cambios de impedancia características que llevan a reflexiones y refracciones) que originan problemas tanto en el aislamiento externo como interno, siendo el último el más crítico. En la figura 3.2 se observan las líneas de sobretensiones por descargas atmosféricas.  Al momento del cálculo de la onda de rayo se debe tomar en cuenta el tiempo de frente, el tiempo de cola y amplitud máxima, la pendiente de subida es fundamental y debe ser considerada, así como las descargas subsecuentes. Con la ecuación 3.1 podemos determinar la tensión soportable de coordinación al impulso atmosférico. (3.1)

Donde: Ucw: Tensión soportable de coordinación al impulso atmosférico, kV

57

Upl:  Nivel de protección al impulso tipo rayo del descargador de

sobretensiones, kV  A:  Factor dado en la Tabla F.2 de la norma IEC 60071-2 que describe el

comportamiento de la línea ante las descargas eléctricas atmosféricas, kV n: Número de líneas conectadas a la subestación, (n-1) L:  Separación equivalente entre el descargador de sobretensiones más

cercano y el equipo en consideración L= a1+a2+a3+a4

Figura 3.2. Sobretensiones por descargas atmosféricas. Onda típica. 3.1.2.2 Las sobretensiones de maniobra Es un voltaje pico fase-tierra o fase-fase superior al voltaje pico fase-tierra o fase-fase máximo. Un asignado a un sistema de potencia (SP).

58

3.1.2.2.1 Características



Origen interno debido a operación errónea de equipo de maniobra o falla de aislamiento que genera cambios en la topología del SP.



De corta duración



De alto amortiguamiento Entre las causas que originan las sobretensiones de maniobra se

tienen:

3.1.2.2.1.1 Energización y re-energización Las cuales dependen de varios parámetros:



Potencia de cortocircuito del sistema en el punto de la maniobra



Punto en la onda de voltaje en que opera el interruptor



Grado de compensación de la línea de transmisión



Longitud de la línea de transmisión

 

Transposición



Parámetros de los modos de propagación (geometría de la línea)



Pérdidas en el conductor (atenuación de los modos de propagación)



Presencia de equipos de protección (descargadores de sobretensiones)



Grado de aterrizamiento del sistema (YD)



Tensión pre maniobra o prefalla



Valor de la resistencia de preinserción (si existe)



Tiempo de inserción del resistor



Disparidad de polos del interruptor (caso compensaciones )



Valor de la carga residual de la línea para el caso de recierre.

59

3.1.2.2.1.2 Maniobras de capacitores y reactores Durante el cierre de capacitores y reactores el fenómeno fundamental es el almacenamiento de energía. La apertura de estos equipos puede presentar altas sobretensiones sobre todo en los bancos de capacitores ante los retrasos entre polos debido a la carga almacenada en los capacitores. Tensiones de recuperación

3.1.2.2.1.3 Aplicación y despeje de fallas La eliminación de la falla genera sobretensiones que pueden exceder 1.7pu. Los factores que más influencian las sobretensiones originadas por aplicación de fallas son:



Naturaleza de la falla



Longitud de la línea



Grado de compensación de la línea



Localización de la falla

3.1.2.2.1.4 Rechazo de carga Las sobretensiones debido al rechazo de carga tienen generalmente dos etapas, la etapa transitoria correspondiente a los primeros ciclos luego de ocurrido el evento y la etapa estacionaria correspondiente a la evolución del sistema en estado estable luego del evento. Las sobretensiones de la etapa transitoria son menores a las sobretensiones por pre cierre de líneas, sin embargo las sobretensiones de la etapa estacionaria tienden a ser mayores.

60

3.1.2.2.1.5 Energización de transformadores La maniobra de energización de transformadores presenta condiciones particulares que pueden ocasionar valores de sobretensiones altos en los sistemas de potencia debido a la característica no lineal de estos equipos. Debido a la característica no lineal del núcleo se presentan transitorios electromagnéticos debido al flujo residual al momento de energizar el transformador en vacío y en algunas condiciones como eliminación de fallas, estos transitorios pueden generar altas corrientes que pueden llegar a generar altas sobretensiones cuando sus componentes armónicas afectan otros equipos de la subestación. En la tabla 3.1 que se muestra a continuación, se especifican las causas que pueden originar a los transitorios eléctricos en los sistemas de potencia y los rangos más comunes de frecuencia.

Tabla 3.1. Origen de transitorios eléctricos y sus rangos más comunes de frecuencia asociados. Origen de transformadores

Energización ferroresonancia Rechazo de carga Liberación de fallas Iniciación de fallas Energización de líneas Recierre de líneas Voltaje transitorio Fallas en líneas cortas Recierre múltiple de circuitos interruptores Descargas atmósféricas. Fallas en subestaciones Fallas en subestaciones aisladas de gas

Rango de Frecuencia 0.1 Hz -1 kHz 0.1 Hz – 3kHz 50/60 Hz-3 kHz 50/60 Hz-20 kHz 50/60 Hz-20 kHz 50/60 Hz-20 kHz 50/60 Hz-20 kHz 50/60 Hz-100 kHz 10kHz-1MHz 10 kHz-3MHz 100 kHZ- 50 MHz

61

Figura 3.3. Formas de onda típica energización condensadores.

Figura 3.4. Sobretensiones de maniobra. Formas de Onda típica.

62

Los transitorios electromagnéticos deben ser tomados en cuenta con la misma importancia del análisis estacionario. Pese a que el estado transitorio se produce en muy cortos periodos de tiempo, en comparación del estado estable, su incidencia sobre los equipos es mucho mayor debido a los altores valores de voltaje y corriente a los cuales esta sometidos, provocando grandes esfuerzos que en casos extremos pueden causar daños irreparables a los componentes del sistema eléctrico. Dependiendo el equipo puede afectar la planta de generación, subestaciones, líneas de transmisión e incluso dejar sin servicio eléctrico a todo el país. Es por ello necesario tener una idea clara de todos los eventos que ocurren durante los periodos transitorios para poder hacer correctivos en los manejos de los sistemas de potencia tanto en estado estable como transitorio. En la operación de un interruptor la corriente y el voltaje se desfasan debido al efecto capacitativo e inductivo de los diferentes elementos asociados al interruptor que provocan fenómenos transitorios llamados transitorios por maniobras a frecuencia industrial. Otro evento transitorio es la caída de un rayo en una línea de transmisión que produce una onda viajera, dependiendo de la impedancia de línea va a ser refractada o reflejada aumentando el valor de pico provocando también esfuerzos en los componentes del sistema. Es de considerar también la operación de apertura de un interruptor durante una falla con su posterior recierre. Si es una falla transitoria también causara sobrevoltajes y sobrecorrientes en los elementos que están asociados al interruptor. En la actualidad aún no se logran controlar los efectos transitorios en los sistemas de potencia, pero ya han avanzado los modelos para su

63

solución, ya que es uno de los causantes de las fallas eléctricas que presenta nuestro país. Paralelamente existen considerables números de herramientas computacionales que ayudan a validar todos estos modelos. Aunque todas estas herramientas (simuladores) tienen sus limitaciones, pues solo simulan de manera fraccionada.

3.2 Breve descripción de los avances en el estudio del modelado de los transitorios electromagnéticos en la actualidad El tema del modelado de los transitorios electromagnéticos ha cobrado bastante importancia en los últimos anos. Las referencias nombradas en la bibliografía de esta tesis son algunos de los ejemplos de los estudios de los más recientes sobre esta problemática. Como base importante de estos estudios Menemelis y Chun propusieron un modelo basado en diagramas de rebote para línea monofásica y sin pérdidas. Oufi, et.al. Desarrollaron un modelo en el dominio de la frecuencia en el cual se modela la línea monofásica no uniforme utilizando aproximaciones exponenciales. Otros autores desarrollaron un modelo basado en la discretización directa mediante diferencias finitas de las Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDPs) de la línea. Ya luego (J.C. Gutierrez) incorporó a los desarrollos de un modelo para incluir condición general en los extremos de las líneas, que es similar al método usado en el EMTP. También se han desarrollado un modelo de dependencia frecuencial para líneas y cables, basado en matrices idempotentes. Este método permite

64

representar la función de propagación de la línea como una matriz en coordenadas de fase en términos de los modos de propagación naturales de la línea. Recientemente, se desarrolló un modelo para el análisis de la línea dispersiva uniforme, el cual está basado en diferencias finitas y el método de las características. Como el trabajo de Ramirez Vázquez amner Israel “advance Models for electromagnetic Transiente Simulation on Power Transmission Lines” Trabajo de Doctorado [11] (ANEXO 2), que realiza un modelado de las líneas de transmisión con transitorios electromagnéticos con dependencia frecuencial, que será una de las bases de este trabajo buscando mejorar el procedimiento.

CAPITULO IV IDENTIFICACIÓN DE LOS ELEMENTOS Y LINEAMIENTOS DE LAS LINEAS DE TRANSMISIÓN PARA EL ANALISIS DE TRANSITORIOS ELECTROMAGÉTICOS

4.1 Identificación de los diferentes elementos que constituyen el sistema

de

transmisión

para

el

análisis

de

transitorios

electromagnéticos Los elementos que constituyen un sistema de transmisión para el análisis de transitorios electromagnéticos son los siguientes: Resistencia( R ). Inductancia (L) y Capacitancia ( C ) Cada uno de estos parámetros están presentes en cada elemento del sistema eléctrico, en porcentajes diferentes, por ejemplo para un transformador y para un motor la parte inductiva predomina. Para un banco de capacitores predomina la parte capacitiva.. En el caso de una carga lineal la parte resistiva predomina sobre las demás. Estas características funcionan en estado estable pero en estado transitorio las condiciones de cada circuito pueden cambiar, por ejemplo la capacitancia de un reactor puede ser la características que predomine sobre las demás.

4.1.1 El modelado de los parámetros En general la modelación considera que los tres parámetros están distribuidos a lo largo del circuito; en ocasiones se puede representar como parámetros “concentrados” sin afectar seriamente la precisión de los cálculos

66

los parámetros L y C se caracterizan por la capacidad de almacenar energía, la inductancia L en forma de campo magnético y la capacitancia C en forma de campo eléctrico. La energía almacenada es función de la corriente I y función del voltaje instantáneo V respectivamente, que se puede expresar de la siguiente forma en las ecuaciones 4.1 y 4.2 4.1.

4.2

El parámetro R hace el papel contrario a los anteriores, es disipador de energía. La taza de disipación será

en cualquier instante que se

realice el análisis. Cuando acurre un cambio repentino de estado, hay generalmente hay una distribución de energía que trae consigo nuevas condiciones al sistema eléctrico. Estos efectos se estudian en los transitorios electromagnéticos. Es muy importante que esta redistribución de energía no ocurra rápidamente por dos razones: 1.

para que haya variación de energía magnética se requiere un cambio recurrente. Pero en una inductancia al cambio de corriente se le opone una fuerza electromotriz de magnitud

un cambio instantáneo de

corriente por tanto requerirá un voltaje infinito para hacerlo, sin embargo las corrientes en circuitos inductivos no cambia abruptamente y

67

consecuentemente no habrá cambio abrupto de energía magnética almacenada 2.

Para que haya variación de energía eléctrica se refiere un cambio de voltaje. El voltaje a través del capacitador esta dado por

donde Q

es la carga y su tasa de cambio es 4.3

Para un cambio de voltaje instantáneo debe ocurrir un flujo de corriente infinito, esto no es factible; consecuentemente el voltaje a través del capacitor no puede cambiar instantáneamente. La distribución de energía después de un cambio de estado del circuito toma cierto tiempo. El proceso durante este intervalo está regido por el principio de conservación de energía. La resistencia, la inductancia y capacitancia influye en la corriente y son los parámetros fundamentales para entender los transitorios electromagnéticos.

4.1.2 Aplicación de la transformada de laplace a parámetros eléctricos  A las diferentes configuraciones y parámetros que se puedan encontrar en los circuitos eléctricos se les aplicará los teoremas de la transformada de Laplace. Entre los más frecuentes se muestran a continuación: Voltaje constante V:

LV=

68

Función rampa (usualmente rampa corriente) función que crece uniformemente con el tiempo: I (t) = I´(t) LI´(t) =

(4.4)

El exponente e t se estudia en la teoría de los circuitos eléctricos LI´(t) at=

Cabe recalcar que si s  a

(4.5)

dvB at B-st dt no converge no existen

restricciones para a, si es negativo la ecuación toma la forma: Leat=

(4.6)

Esto abre el camino para la construcción de las siguientes transformaciones.

La función sen wt =

Su transformada será L sen wt =

La función

cos wt =

(4.7)

69

Su transformada será

L cos wt =

(4.8)

Para una ecuación diferencial de n derivadas LF (n) = sn LF (t) – sn-1F (0) – sn-2F´ (0)

(4.9)

Para la integral de una función que varía en tiempo, en este caso la corriente que carga a un capacitor L [t- I(t)dt]

= q(s)

(4.10)

Donde Q(0) es la carga inicial del capacitador, es decir la integral de toda la corriente que ah entrado o ah salido del capacitador después del tiempo t=0. Estas son las principales aplicaciones de la transformada de Laplace para circuitos eléctricos que se van a utilizar en el análisis de cada uno de los elementos de transmisión

4.1.3 Impedancia Característica Existe otra aproximación, si se desea calcular una corriente transitoria mediante un voltaje e impedancia I=

(4.11)

70

El voltaje y la impedancia pueden ser funciones complejas por lo que se aplica un método operacional para resolver este tipo de problemas, primero se puede obtener la solución operacional I(s) I=

(4.12)

En esta expresión V(s) es la transformada del voltaje V y z(s) es lo que se llama impedancia Operacional. Si el circuito es excitado por una simple batería de voltaje V, entonces V(s) = V/s y considerando el estudio de la carga de un capacitor por medio de una resistencia estudiada anteriormente, aquí se va a asumir que inicialmente el capacitor está descargado, esto va a dar una solución operacional de la siguiente forma: t(s) =

(4.13)

Siendo para esta expresión z(s) = Ls +

Estos ejemplos indican que z(s) está formado por cada inductancia Ls y cada capacitancia

para el circuito. Las resistencias R no cambian.

La representación simbólica de las expresiones de inductancia y capacitancia para el análisis en corriente alterna son jwL y 1/jwC respectivamente. Por consiguiente para resolver el problema en estado transitorio con el uso de la impedancia operacional, se procede a resolver como un sistema en corriente alterna, aplicando en la rama bajo análisis un voltaje.

71

Existen

otras

ecuaciones

para

el

análisis

de

transitorios

electromagnéticos como la transformada de Fourier.

4.2 Determinación de lineamientos de la energización de las líneas de transmisión del sistema Los lineamientos de la energización de las líneas de transmisión se determinan mediante transitorios en maniobras simples y transitorios trifásicos.

4.2.1 Transitorios de maniobras simples Dentro de este estudio se determinan los efectos que produce el cierre de un interruptor. Para ello se utiliza la transformada de Laplace como método en el proceso de resolución de problemas de transitorios electromagnéticos.

4.2.1.1 Energización de un circuito RL El voltaje sinusoidal se conecta en serie a una resistencia y a una inductancia siendo la base de una operación monofásica más simple para un disyuntor de alto voltaje.

72

Figura 4.1. Conexión de una fuente de voltaje sinusoidal a un circuito de serie RL. El voltaje E de la fuente representa la fuerza electromotriz del generador sincrónico. En la inductancia L se compendia la inductancia sincrónica del generador, del transformador de potencia, la inductancia de las barras en una subestación, cables y líneas de transmisión. Las pérdidas resistivas del circuito son representadas mediante la resistencia R. Como se tiene solamente elementos lineales, la corriente que fluye a través del circuito después del cierre del interruptor, puede ser representada como la superposición de la corriente transitoria y la corriente en estado estable. La componente de corriente transitoria es determinada por la inductancia sin la influencia de la resistencia, formando la solución general de al ecuación diferencial homogénea de primer orden, donde la componente de corriente en estado estable es la solución particular de la ecuación diferencial no homogénea. En este último caso las oscilaciones transitorias son amortiguadas por la resistencia, mediante la disipación de energía.

73

 Aplicando la Ley de voltaje de Kirchhoff, se logra como resultado una ecuación diferencial no homogénea del circuito. Emax sin(wt+) = Ri + L

(4.14)

El interruptor puede cerrar el circuito en cualquier instante de tiempo con un ángulo de desfase entre el voltaje y la corriente que puede estar entre 0 y 2π radianes. La solución de la ecuación diferencial del circuito, se obtiene resolviendo la ecuación característica de diferencial no homogénea: R(t) + Lt = 0

(4.15)

El valor escalar  es el valor de la ecuación característica y es  = da como resultado la solución para la ecuación 4.16 Ih (t) = C1B  – (R/L)t Luego se sustituye de manera particular

(4.16) en la ecuación 4.13, la

expresión general de la corriente: Tp (t) = A sen(wt + ) + Bcos (wt +) Las constantes A y B pueden ser obtenidas mediante:

(4.17)

74

(4.18 y 4.19)

Esto da como resultado la ecuación particular de la corriente: Tp(t) =

(4.20)

La solución completa, la cual por principio de superposición es la suma de de la solución particular y general, siendo: i(t) = ih(t) + i p(t) =C1B-R /L(t)

(4.21)

El flujo magnético de la inductancia L antes de que cierre el interruptor es cero(0) y se mantiene inmediatamente después del cierre, por la Ley de Conservación del flujo, por ello al t=0, en el instante del cierre se tendrá: C1+

=0

(4.22)

Dando el valor de la constante C 1  obteniendo así la expresión completa de la corriente:

t(t)=

(t)[

+

]

.(4.23) La primera parte de esta ecuación es la componente DC que es el exponente y el amortiguamiento, la expresión entre corchetes es una

75

constante y su valor es determinado por el instante en el cual cierra el o un tiempo , la componente DC es

circuito. Para

cero(0) y la corriente inmediatamente está en el estado estable, es decir no existe oscilación transitoria. Cuando el interruptor cierra el circuito al 0 °, la corriente transitoria estará cerca de su amplitud máxima. Siendo la corriente asimétrica que puede duplicar el valor pico de la corriente simétrica dependiendo de la constante de tiempo L/R. si existe un cortocircuito en algún elemento y se cierra el interruptor, pueden aparecer esfuerzos en las barras o líneas asociadas el interruptor pudiendo incluso dañar estos elementos, por los elevados niveles de corriente que pueden aparecer. (Ver figura 4.2.)

Figura 4.2. La forma de la corriente transitoria de un circuito inductivo depende de instante de cierre del interruptor

76

4.2.1.2 Energización de un circuito LC Este tipo de conexión es también una simulación básica, que puede representar el cierre de bancos capacitores o una línea de alto voltaje. Existen dos componentes que almacenan energía. La inductancia y capacitancia. Cuando se cierra el interruptor ocurre una oscilación en el circuito, por el intercambio de energía entre dos elementos que almacenan energía a cierta frecuencia. Según la Ley de Voltajes de Kirchhoff, se aplica:

 t dt

( 4.24)

4.2.1.2.1 Caso para corriente directa mediante el cierre de un interruptor ideal

Figura 4.3. Fuente DC conectada a un circuito LC serie. Para resolver esta ecuación diferencial se aplica la transformada de Laplace, de la siguiente manera:

77

(4.25)

Donde: S es la variable compleja de LAPLACE.

Es importante destacar que las condiciones iníciales de t (0) =0 antes del cierre del interruptor y se mantiene por la Ley de la Conservación del Flujo después del instante del cierre del interruptor. Se considera el capacitor descargado inicialmente, por tanto, Vc(0)=0 y w 02 = 1/LC, quedando la ecuación, una vez aplicada la transformada de Laplace: t(s) = E

( 4.26)

En esta ecuación se presentan dos propiedades del circuito LC: a.

Al cerrar el interruptor al tiempo t =0 una corriente oscilatoria empieza a fluir a una frecuencia natural W0 =

b.

(4.27)

La impedancia característica de Z 0 =L/C1/2 junto al valor del voltaje de la fuente E determinan el valor de la fuente oscilatoria En el caso de que se considere el capacitor como una carga inicial, la

corriente de dominio de Laplace, será:

78

i(s) =[ E- Vc(0) ]

(4.28)

Para el voltaje del capacitor, la transformada será: V(s)=

- SLt(S) =

-[ E- Vc(0)

(4.29)

 Aplicando la transformada inversa queda: Vc(t) = E – [E- Vc(0)] cos Wot

(4.30)

4.2.1.3 Energización de un circuito RC Para una representación más práctica de las ecuaciones diferenciales con condiciones iníciales, se considera el circuito de la figura 4.4, la cual representa la energización de un capacitor C mediante una resistencia R. la corriente se puede expresar mediante la siguiente ecuación, utilizando la ley de voltajes de Kirchhoff: (4.31)

Para encontrar el voltaje a través del capacitor, la ecuación diferencial puede ser escrita de la siguiente forma: (4.32)

79

Sabiendo que: (4.33)

I

Figura 4.4. Circuito RC Resolviendo la ecuación por separación de variables: (4.34)

Integrando: (4.35)

Expresado de otra manera: (4.36)

80

Donde

A es la constante a ser evaluada desde las condiciones

iniciales en el circuito. Si C es precargado V1(0) con antes de que el interruptor sea cerrado, con t=0 resulta: (4.37)

La solución gráfica se muestra en la figura 4.5 indicando el capacitor conectado a la fuente, éste no absorbe instantáneamente el potencial de la fuente, haciendo que el valor pase por un transitorio que tiene forma exponencial.

Figura 4.5. Voltaje en el Capacitor del Circuito de la figura 4.4, después del cierre del interruptor. Un circuito que no está estimulado, disipa su energía almacenada; por lo tanto, su voltaje decaería exponencialmente si fuera cortocircuitada. Para el circuito de la figura 4.4 este término saldría de una simple ecuación:

81

(4.38)

El cual proporciona la solución: (4.39)

El término e -t/RC es la característica del circuito RC. En la primera parte de la ecuación 4.39, V representa el estado final cuando el capacitor es cargado al voltaje de la fuente. El segundo término es el verdadero valor transitorio que enlaza las condiciones iníciales con el estado final estable de manera continua. En base a las restricciones físicas del circuito, la forma de este transitorio depende esencialmente del circuito estudiado. La magnitud depende de la forma en la cual es almacenada la energía y llevada a cero.

4.2.2 Estudio de la energización de los transitorios en circuitos trifásicos Las anteriores reflexiones se han realizado para circuitos monofásicos, pero en sistemas de potencia en funcionamiento desde la generación, pasando por transmisión y terminando en distribución son circuitos trifásicos, cuyo análisis es mucho más complejo. Esta complicación viene de la proliferación de componentes o ramas introducidas por otras fases y también porque se considera el acoplamiento mutuo entre las fases. A continuación se presentan los dos métodos con los cuales se calculan transitorios en circuitos trifásicos.

82

4.2.2.1 Método de aproximación simple Los sistemas trifásicos pueden estar sólidamente puestos a tierra mediante el neutro, pueden estar aislados en tierra o pueden estar conectados a tierra mediante una impedancia. En un sistema donde el neutro está sólidamente puesto a tierra, las tres fases son virtualmente independientes como si fuesen tres circuitos monofásicos independientes. Esto quiere decir que si un interruptor se cierra, el voltaje o corriente transitorios se los puede analizar por métodos utilizados en circuitos monofásicos sin modificación alguna. Para sistemas que tienen el neutro aislado o están conectados mediante impedancia puesta a tierra, el análisis es diferente ya que el neutro está a un potencial diferente a cero. Si se energiza un elemento con los polos del interruptor conectado a diferente tiempo, provocará esfuerzos en la primera fase conectada y las demás fases tendrán un menor esfuerzo haciendo que exista un desequilibrio entre ellas, condición que originaría fenómenos transitorios.

4.2.2.2 Método de componentes simétricas Para el análisis de redes polifásicas se aplica el método desarrollado por C.L. Fortescue, que se basa en las coordenadas simétricas para volver un conjunto desbalanceado de n-fasores en n-1 sistemas polifásicos balanceados, en un sistema con diferente secuencia de fase en el cual todos los fasores son de igual magnitud de ángulo. Se tiene un conjunto de fasores, expresados de la manera siguiente:

83

Va= Va1 + Va2 + Va0 Vb=Vb1 + Vb2 +Vb0

(4.40)

Vc= Vc1 +Vc2 + Vc0 Donde Va, Vb y Vc son tres fasores que no están balanceados y Va 1, Vb1 y Vc 1, también Va 2, Vb2, Vc2 son dos grupos de fasores balanceados con un desfasamiento de 120 ° entre las componentes a, b, c. Las componentes del conjunto de fasores Va 0, Vb0 Vc0 son idénticas en amplitud y ángulo. Se tiene que:

= 1 120°

a=

(4.41)

La relación entre el conjunto de fasores (Va,Vb, Vc) y los fasores positivos y cero(o) es: Va

1 1 1

Va0

Vb =

1 a a 2 Va1

Vc

1 a2 a

(4.42)

Va2

. Expresando la ecuación anterior de otra manera: Vabc = AV012

(4.44)

El operador a rota a una cantidad fasorial de 120° y la relación inversa de la expresión 4.53 que puede también ser expresada de la siguiente manera:

84

(4.45)

De otra manera, también se expresa: V012 = A-1 Vabc

(4.46)

En la ecuación 4.46 cero (0) se refiere a la secuencia cero (0), 1 a la secuencia positiva y 2 a la secuencia negativa. El grupo de fasores de la secuencia positiva (Va1, Vb1 y Vc1) son los voltajes producidos por el generador sincrónico del sistema de potencia con secuencia de fases a-b-c. El grupo de fasores de secuencia negativa (V a2, V b2, Vc2) voltajes producidos con secuencia de fases a-b-c. Los fasores de secuencia cero (0) Va0, Vb0, Vc0 tiene desplazamiento cero de fase y son idénticos. El método puede ser aplicado en la resolución de fallas en sistemas trifásicos, tales como fallas fase-tierra, bifásicas, trifásicas, bifásicas a tierra, trifásicas a tierra.

CAPITULO V MODELACIÓN DEPENDIENTE DE LA FRECUENCIA EN LINEAS DE TRANSMISIÓN PARA EL ANALISIS DE FENOMENOS TRANSITORIOS EN SISTEMAS DE POTENCIA

Para el análisis de fenómenos transitorios se han dedicado muchos estudios en los cuales se han propuestos modelos que han permitido resolver problemas en el sistema eléctrico. Ya se han estudiado y analizado los diferentes elementos de un sistema de potencia, y las diferentes operaciones en maniobras, en fallas y descargas atmosféricas en los capítulos anteriores. En la búsqueda de lograr soluciones contundentes se pretende proponer un modelo dependiente de la frecuencia en líneas de transmisión para transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia, por tanto es necesario entender lo que significa un modelo en el entorno eléctrico. Un modelo es la representación del circuito en forma de resistencias, inductancias y capacitancias, que responden muy bien a lo que se quiere representar en la modelación. El sistema de potencia abarca un gran número de componentes. Es suficiente con representar los componentes con las inductancias o reactancias en función de la frecuencia, algunas veces también se representa los elementos mediante la resistencia. Igualmente la capacitancia de los elementos tiene un papel importante en la respuesta transitoria. Esto hace que el modelo para estado transitorio sea más complicado y para determinar la respuesta transitoria se requiere que la modelación sea evaluada de una forma sencilla mediante análisis computacional.

86

Es importante, tener en cuenta que la información de cada uno de los componentes se obtienen de diferentes fuentes: la reactancia inductiva proviene del fabricante, en el caso de la capacitancia esta debe ser tomada de la actividad de campo. En el modelado debe tomarse en cuenta donde ocurre la falla, o si el interruptor se abre o se cierra. En lo que respecta a las líneas de transmisión, se debe tener cuidado debido a que ellas están mayormente expuestas a fallas y descargas atmosféricas.

5.1 Establecimiento de modelo dependiente de la frecuencia en líneas de transmisión para transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia  Antes de indagar en la modelación de dependencia frecuencial y líneas de transmisión, se redactará un breve resumen de los otros modelados que existen en la actualidad, ya que como se ha dicho en los capítulos anteriores los transitorios electromagnéticos ocurren en diversos componentes del sistema de potencia.

5.1.1 Modelado en los transformadores Para realizar la modelación de los elementos de transmisión, se empezará con el estudio de transformadores, debido a que con excepción de las líneas de transmisión, son las más expuestos a transitorios electromagnéticos de todos los equipos del sistema de potencia. Un modelo completo para un transformador requiere que sea representada cada vuelta del devanado, incluyendo todos los acoplamientos mutuos, inductivos y capacitivos que se produzcan entre cada par de vueltas

87

del bobinado. Un modelo así requerirá de grandes computadoras para su desarrollo. Un modelo simple del transformador se aplica para la energización sin carga. Un modelo más detallado se aplica para la transferencia de sobrecargas repentinas ente debandados la precisión depende de la naturaleza de la sobrecarga repentina que se está transmitiendo. Los estudios de energización de los transformadores tienen como objetivo

principal

dar

mayor

flexibilidad

operativa

y

rapidez

al

restablecimiento de continuidad de servicio cuando se produce una desconexión. También la necesidad de verificar la posibilidad de energización de los transformadores por el lado de alto y bajo voltaje. Estos estudios se utilizan para la verificación de los siguientes puntos principales:



Existencia de ferroresonancia.



Efecto de voltajes sostenidos de alto valor, después de las maniobras de energización, que pueden provocar daños al equipo o hagan operar los relés de protección contra sobrevoltajes.



Existencia de voltajes transitorios elevados que hagan operar a los pararrayos, cuyos valores pueden sobrepasar la capacidad de operación.



Existencia de corrientes de fase a neutro con valores suficientemente elevados que puedan provocar la operación de protecciones de sobrecorrientes de los transformadores con la posterior apertura de estos luego de unos ciclos de operación.

88



Efecto de las sobretensiones sostenidas en el lado de bajo voltaje (tensiones dinámicas y de estado estacionario) que están sobre los límites dados, que pueden dañar los equipos.  A continuación se definen brevemente los siguientes tipos de

modelaciones en los transformadores:

5.1.1.1 Modelación de transformadores para energización La corriente de magnetización es el principal componente de la corriente total de un transformador sin carga. Está en cuadratura con el voltaje aplicado y posee armónicos debido a la saturación del núcleo; el segundo armónico es el más representativo. Para la modelación se adiciona un componente en fase con el voltaje, el cual reemplaza las corrientes de circulación del núcleo. El factor de potencia es bajo. Esto quiere decir que en estado estable el transformador puede ser representado por un circuito RL paralelo, donde la inductancia es la inductancia de magnetización y la resistencia se obtiene de las pérdidas de potencia. El modelo más simple para transitorios se muestra en la figura 5.1 este modelo no incluye la saturación, asume una distribución uniforme de Cg, y tiene las mismas pérdidas bajo condiciones transitorias como a frecuencia industrial, es decir en estado estable.

89

Figura 5.1. Modelo simple para un transformador que se energizará sin carga.

5.1.1.2 Modelación de transformadores con carga Este modelo puede ser utilizado cuando la línea termina en un transformador, donde el fenómeno de interés es la apertura de una falla, o el cierre de un circuito, puede ser también usado para estudiar el voltaje experimentado en un descargador por el fenómeno de una descarga atmosférica. Si el transformador está abierto en el lado secundario, la impedancia interna es mayor que la impedancia de la línea. En un modelo equivalente de un transformador monofásico de dos devanados, la saturación se representa en el lado primario, en la cual la resistencia Rf simula las pérdidas del núcleo, debido a histéresis y corrientes de Foucault, la inductancia no lineal Ln es la responsable de la corriente de magnetización. La capacitancia a tierra desde un bobinado es un poco difícil de comprender, se puede visualizar el bobinado de un elemento eléctricamente aislado y con un voltaje aplicado para establecer un campo eléctrico entre el bobinado y estructuras adyacentes que están puestas a tierra. Esta

90

capacitancia es muy importante cuando se aplica un voltaje repentino a los bobinados. Bajo esas condiciones, la corriente no puede fluir repentinamente por el bobinado debido a su inductancia. Con respecto a la capacitancia la corriente juega un papel importante ya que permite estabilizar y distribuir el voltaje inicial a lo largo del bobinado. Para modelar la inductancia solo se puede referir a los datos de placa del transformador, que también incluyen la potencia en MVA, los voltajes de los bobinados, las reactancias y resistencias en porcentaje y en por unidad,  junto con la corriente de excitación en por unidad. 5.1.1.2.1 Saturación del núcleo del transformador

El núcleo del transformador que es de material magnético, en presencia de un campo magnético alterno, trabaja en un ciclo de histéresis semejante al que se muestra en la figura 5.3, en donde para cada voltaje de suministro, corresponde una curva de histéresis diferente. Se pueden obtener algunas aproximaciones simples y útiles, para representar el efecto de histéresis del material empleado. Una aproximación más utilizada es conocida como la curva de magnetización o curva de saturación. Esta curva tiene como característica un lugar geométrico y dos vértices, se observa que la curva de magnetización puede ser analizada en dos regiones distintas: concatenaciones de flujo antes del valor

Фs

(“codo” de

la curva) y flujo después del “codo” de la curva. Cuando un transformador opera en la región superior al “codo” de la curva de magnetización, la corriente de excitación aumenta más rápidamente pudiendo sobrepasar la corriente nominal. Estas condiciones de las

91

concatenaciones de flujo de dan con las reactancias del núcleo con relación (Ф*1) de la región saturada, donde pequeñas variaciones de flujo (debido a la variación de voltaje) provocan grandes variaciones de la corriente de magnetización. El valor inicial de la corriente de magnetización depende principalmente del punto de la onda de voltaje empieza la energización, influenciado por la magnitud y la polaridad del magnetismo residual que está en el núcleo después de la última apertura, así como también por la saturación del núcleo y la impedancia total del sistema.

5.1.2 Modelación de compensadores En el sistema de transmisión pueden aparecer voltajes elevados durante maniobras que involucran reactores o capacitores, especialmente cuando ocurre el cierre del interruptor. Generalmente en este tipo de maniobras, el evento produce un almacenamiento de energía en las inductancias y capacitancias, provocando esfuerzos en cada uno de estos componentes.

5.1.2.1 ModelaciÓN DE BANCO DE CONDENSADORES Para la modelación de los bancos de capacitores toma en cuenta los distintos tipos de conexión de capacitores toma en cuenta los distintos tipos de conexión de capacitores que se pueden utilizar como compensadores en paralelo, para ello se necesita de las relaciones entre cada uno de los parámetros que están presentes en el modelo.

92

La relación entre la capacitancia y la susceptancia se puede definir como: (5.1)

Donde: Ccap=Capacitancia del Capacitor en µf Bcap= Susceptancia del Capacitor en µS. fnom= Frecuencia nominal de la red hz.

5.1.3 Modelación de barras en subestaciones Hay varios lugares en un sistema de transmisión donde los conductores no son descritos como líneas ni como cables, pero su impedancia representa un factor significante en la determinación de un voltaje o corriente transitorios. Un ejemplo son los conductores que conectan equipos dentro de una subestación, como es el caso de los transformadores, reactores, interruptores, seccionadores, y otros. Los conductores de fase y el retorno de tierra son importantes en el análisis. Los conductores más importantes para una modelación y simulación son las barras de una subestación, las cuales están a diferentes niveles de voltaje y en el sistema de transmisión representan los nodos de unión entre una rama y otra. Por esa razón, su influencia en el estudio de transitorios electromagnéticos debe ser tomada en cuenta para tener un modelo más detallado del sistema, cuando se hace el estudio de cortocircuitos y descargas atmosféricas.

93

Las estructuras concéntricas de las barras en las subestaciones, constituyen una contribución significativa a la capacitancia total de la subestación. Las características de las barras son a menudo afectadas por la proximidad del plano de tierra, es muy común encontrar barras que van en paralelo con paredes o estructuras de la subestación, que van a afectar a la capacitancia con respecto a tierra. También influye en la inductancia y la resistencia de la barra, por el campo magnético de las corrientes de la barra con el circuito adyacente. En condiciones de estado estable, la presencia de un material de acero, puede incrementar la inductancia porque ofrece una menor reluctancia que el aire. Las corrientes que se inducen en las estructuras adyacentes producen pérdidas las cuales son reflejadas a la barra como el incremento de resistencia efectiva. El plano conductivo adyacente, sea o no sea magnético, actuará como una barrera para el flujo, por lo menos un momento, por ello se reducirá la inductancia. Aquí el estudio de campos electromagnéticos es de gran importancia. En la realidad el estudio de transitorios en las barras no se le hace ya que los valores de inductancia y capacitancia son pequeños en comparación con los valores de los otros elementos que componen el sistema. Son más representativos en la energización banco-banco de capacitores donde tienen influencia sobre los resultados de estudios de transitorios electromagnéticos.

94

5.1.4 Modelación de equivalentes de red Para estudios transitorios por maniobras de energización, la fuente de voltaje se modela como una fuente de forma de onda ideal. Los generadores son representados como fuentes de voltaje cerca a la impedancia Thevenin. A menudo el equivalente se usa para simplificar la representación de la porción de la red de potencia que no se estudia, pero se la toma en cuenta para el estudio de transitorios electromagnéticos en la zona modelada a detalle. El equivalente se lo obtiene haciendo estudios de cortocircuito trifásicos y monofásicos en la barra donde se va colocar el equivalente de red, con el propósito de obtener las impedancias de secuencia positiva, negativa y cero, que junto con las potencias y las corrientes de cortocircuito son necesarias para la representación de la red externa. Para hacer el estudio de cortocircuitos solo se debe tomar en cuenta las ramas del circuito que se requiere simplificar, y las ramas en donde se quiera estudiar los transitorios se las debe dejar separadas para que no interfieran en el cálculo de impedancias y aportes de corriente, que van a ser diferentes si se considera todo el circuito.

5.1.5 El modelo de dependiente de la frecuencia Tratándose de que este modelo en estudio tiene que ver con la frecuencia, es importante destacar que en un fenómeno transitorio puede presentar frecuencias que varían desde 0 Hz a 50 MHz, si se presenta una frecuencia de 60 HZ, nos hace referencia entonces a fenómenos electromagnéticos. Para tener una idea del efecto de la frecuencia sobre estos fenómenos, su espectro se divide en cuatro partes:

95

I.

Frecuencia de 0 a 100 Hz. Que se refiere a cambios de carga y fenómenos transitorios debido a la saturación.

II.

Frecuencia de 100 Hz a 10 KHz, a transitorios por maniobras

III.

Frecuencia de 10 KHz a 1 MHz en transitorios por descargas atmosféricas

IV.

Frecuencia de 1 MHz a 50 MHz, en transitorios rápidos. En el caso de los parámetros dependientes de la frecuencia, si se

construyen modelos con R, C y L que generen oscilaciones por operaciones de maniobras y otras operaciones, el motivo principal es la penetración del flujo magnético a un conductor, considerando dos barras, la densidad de corriente es uniforme a través de la sección cuando circula una corriente directa, pero tiende a fluir en gran densidad alrededor del conductor cuando la corriente es alterna. Si la frecuencia es mayor, la corriente fluye por la superficie del conductor y en el interior de este casi no existe el flujo. En el caso de las barras, la resistencia aumenta y la inductancia disminuye. Resulta inapropiado utilizar valores de corriente continua para resistencias e inductancias en modelación de transitorios, tampoco a frecuencias de 60 Hz se mejora la modelación, lo que se debe hacer es modelar a frecuencia del transitorio, si es conocida. En algunos casos se reemplaza con una impedancia dependiente de la frecuencia, pero no existe un elemento que pueda caracterizar las propiedades de la impedancia dependiente de la frecuencia, por tanto es posible construir un circuito que se aproxime razonablemente a un número de frecuencias. Se pueden utilizar varios circuitos, lo que comprende un arreglo en paralelo con varias ramas de RL conectados en serie con una

96

inductancia; se seleccionan valores de resistencia e inductancia para especificar la impedancia dependiente de la frecuencia. La impedancia total del bloque se determina: (5.2)

Donde:  A2 + B2 

(5.3)

Con n número de ramas paralelas.

Figura 5.2. Modelo de circuitos con parámetros dependientes de la frecuencia Se proponen también dos ecuaciones algebraicas no lineales se forman en cada punto de frecuencia:

97

F(w) = R(w) -

G(w) = X(w) -

(5.4)

(5.5)

Donde R(w) es la parte de la impedancia a ser fijada; X (w) es la diferencia entre al reactancia total y la parte serie wLmin. La resolución numérica de las anteriores ecuaciones ocurren cuando f(w) y y g(w) son iguales a cero(0), el valor que debe colocarse en Lmin es flexible, es decir no tiene límites conocidos. Por tanto se requiere que el ingeniero tenga experiencia en transitorios para hacerlo, es importante destacar que se debe escoger el valor más alto de la rama inductiva, que corresponde al valor más alto del rango de frecuencia de interés. Este modelo es más utilizado para modelar cables, con cada rama de impedancia constante de una sección tipo T en cascada, que se reemplaza por un bloque.

5.1.6 Modelación de líneas de transmisión En esta tesis nos enfocaremos en el modelo de las líneas de transmisión, para empezar con esta modelación debemos recordar los fenómenos que producen los transitorios electromagnéticos pueden ser causados por descargas atmosféricas, maniobras de energización y desconexión, o fallas en las líneas.

98

Los estudios de transitorios en líneas muestran los efectos de las ondas viajeras. Cuando alcanzan un transformador de potencia, existe una distribución de esfuerzos, los cuales no son uniformes pudiendo provocar una rotura del sistema de aislamiento. El fenómeno transitorio también se produce en sistemas de comunicación cuando las señales se transmiten por las líneas de transmisión. Como la línea de transmisión es una red con parámetros distribuidos, el análisis de los transitorios se realiza por medio de ecuaciones diferenciales con derivadas parciales. Para representar la línea se debe primero tomar en cuenta la aplicación para la cual va a servir el modelo, en este caso para el estudio de los transitorios electromagnéticos. El modelo puede resultar a menudo complicado de obtener porque dependerá de vario parámetros que están en función de la frecuencia.

5.1.6.1 Circuito equivalente π Una simple representación de la línea de transmisión, en la cual se considera solamente los terminales y una sola frecuencia, esto es para estado estable, es el modelo π como se lo indica en la figura 5.3.

99

Figura 5.3. Circuito equivalente π. Línea de transmisión . Las ecuaciones serán escritas mediante la determinación de los valores de los elementos serie y paralelo en el circuito π, para una mejor equivalencia entre el circuito y la línea verdadera. (5.6)

(5.7)

En las ecuaciones, los subíndices R y S se refieren a los voltajes terminales e envío y recepción, respectivamente, Zc es la impedancia característica de línea, y L1 y C1 son la inductancia y capacitancia total de la línea. La resistencia es eliminada. Para la línea real, la impedancia de circuito abierto a una frecuencia w puede ser determinada teniendo Ir=0 en las ecuaciones 5.6 y 5.7, entonces se tiene:

(5.8)

100

La impedancia de cortocircuito se la encuentra teniendo Vr=0, esto resulta:

(5.9)

Esta es una simple manera de encontrar la impedancia del circuito abierto y cortocircuito de los circuitos T y π, en términos de los Y y Z de los elementos de los circuitos. (5.10)

(5.11)

Para las ecuaciones 5.10 y 5.11, y las otras siguientes, se demuestra que para el circuito π se tiene: (5.12)

Con L1 y C1 que son la inductancia y capacitancia total de la línea, y si x es la longitud de la línea se tiene: (5.13)

101

Donde L y C son la inductancia y capacitancia por unidad de longitud de la línea. En esta expresión el error de frecuencia disminuye cuando la longitud de la línea se reduce. También se tiene que Z=wL y Y=wC, mientras más baja sea la frecuencia y más corta sea la longitud, el error será menor.

5.1.6.2 Propiedades de la onda viajera en líneas de transmisión El comportamiento de las ondas de voltaje y de corriente de las ecuaciones anteriores de las puede entender seleccionando varios puntos particulares en la onda (cruce por cero, punto máximo, punto mínimo, etc), junto con una posterior revisión para diferentes tiempos. El resultado se puede escribir mantenimiento el argumento de que V1 o t1 son constantes. Como puede ser en el punto A de V1= 0. WA = x – vt = cts

Significa que cuando t   incrementa,  x incrementa también, por ello Δx=vΔt y su punto particular A se mueve una distancia Δx. Es por ello que la función de voltaje V1 se dibuja como una función de x para valores consecutivos de tiempo, aparece para moverse en dirección positiva +x (línea punteada). Donde V1 y t1 se dice que son ondas viajeras frontales Vf y tf (u ondas incidentes). Igualmente, haciendo la revisión de V2 (o t2) y mantener a: (5.14)

102

Provoca que x  decrezca tanto como t se incremente, como ejemplo Δx=vΔt, lo cual significa que un punto particular (por ejemplo, el punto B) la onda aparece en dirección negativa (-x).  Aquí V2 y t2 se dicen que son ondas viajeras regresivas Vb y tb (u ondas reflejadas). En ambos casos v representa la velocidad de la onda de propagación de voltaje y de la corriente, o simplemente velocidad de propagación. El osciloscopio conectado al siguiente punto X2 mostrará la misma curva (línea punteada), pero con el retrato de tiempo de

,

donde l 12 es la distancia entre los puntos X1 y X2 el patrón de la onda regresiva para diferentes valores de tiempo. En cualquier momento de la línea, incluyendo puntos de continuidad, la corriente y voltaje instantáneo se pueden expresar como: (5.15)

(5.16)

Donde el par de la onda viajera de voltaje y corriente es conectada por la impedancia característica de la línea Zc. (5.17)

103

El signo negativo en la relación entre el voltaje y la corriente de la onda regresiva, tiene gran importancia y no depende del sistema de coordenadas que se está haciendo referencia, este signo indica el movimiento de la energía en la dirección x negativa. En este estado transitorio, tanto como en el estado estable, la potencia de una onda viajera frontal, puede ser expresada en término de contención de energía y velocidad de propagación de la onda. (5.18)

Donde Pf es la potencia de la onda viajera dada por Pf=vf*if .

5.1.6.3 Línea dispersiva En la parte anterior de esta tesis se vio el análisis de las líneas de transmisión de la onda viajera y sus propiedades, pero en esta tesis se le dará énfasis

a los transitorios electromagnéticos en las líneas de

transmisión con parámetros dependientes de la frecuencia, para llegar a un modelo matemático se partirá de adoptar las siguientes extensiones de las ecuaciones del telegrafista, (5.19 a)

(5.19 b)

104

Donde r´(t) es una función del tiempo denominada resistencia transitoria y g´(t) es otra función denominada conductancia transitoria. Dichos parámetros transitorios incluyen las dependencias frecuenciales de la línea. En el caso de las líneas aéreas g´(t) puede y suele despreciarse. La resistencia transitoria de la línea r´(t) se define como la caída de tensión por unidad de longitud que aparece en los conductores cuando se inyecta un escalón unitario de corriente u(t): (5.20)

De esta definición es claro que r’(t) debe cumplir con las siguientes propiedades: (5.20 a, b)

Siendo RCD la resistencia de la línea en corriente directa. 5.1.6.3.1 Resistencia transitoria

En el dominio de Laplace la primera ecuación del telegrafista tiene la siguiente forma: (5.21)

105

Donde LG es la inductancia geométrica o de línea ideal, Z T(s) es la impedancia debida al retorno por tierra, y Z C(s) es la impedancia del conductor. ZT(s) y Zc(s) están explicadas en el capítulo 2 como funciones de  j . Aquí se sustituye a “j ” por “s”. Los parámetros de la ecuación (5.21) pueden

ser

determinados

para

diferentes

frecuencias

utilizando

procedimientos como matrices complejas aplicadas en alta frecuencia

.

La transformada de Laplace es: (5.22)

De la comparación entre (5.21) y (5.22) se obtiene: (5.23) Se sigue pues que R´(s) es una función irracional, difícil de convertir al dominio del tiempo. Sin embargo, ésta se puede aproximar mediante una función racional como sigue: (5.24)

Nótese que la aproximación es no estrictamente propia, debido a que se cumplir con la propiedad (5.20 a). Considerando que R´(s) tiene polos simples se obtiene la siguiente expansión en fracciones parciales:

106

(5.25)

Donde N+1 es el orden del ajuste racional. Del teorema del valor final y de (5.24 b) y de (5.25) se sigue que ko=RCD. Al extraer el término que contiene a R CD, se tiene que la nueva función a ajustar es: (5.26)

Existen varios métodos para obtener parámetros k 1, k2, …,kN, k∞, p1, p2,…,pN, del ajuste racional

, en esta tesis se utiliza el método conocido

como “vector fitting”, el cual fue desarrollado por Semlyen y Gustavsen

.

En este método se permite ajustar respuestas medidas o calculadas en el dominio de la frecuencia usando aproximaciones racionales. Al aplicar este método es necesario realizar un proceso iterativo el cual, al inicio, se proporcionan polos de arranque; luego en cada iteración, éstos van siendo desplazados hasta su posición final en la que el error del ajusta cae dentro de una tolerancia previamente establecida. En el caso del modelado de líneas de transmisión, generalmente los polos finales son reales y algorítmicamente espaciados, lo cual permite una convergencia rápida del algoritmo “Vector Fitting”. La transformada de Laplace de (5.25) es: (5.27)

107

Donde

es la función Dirac, h(t) es la función escalón y

(5.28)

Considérese ahora el término de convolución en la ecuación (5.19 a).  Al sustituir en éste la expresión (5.27) se obtiene:

(5.29) Si se sustituye (5.29) en (5.19 a) resulta: (5.30)

Donde: (5.31)

Con el fin de eliminar la derivada parcial del término de convolución en (5.30), ahora se aplica la regla de Leibnitz para la diferenciación de una integral

. La justificación de esta regla se incluye en los anexos. Se aplica

entonces dicha regla: (5.32)

108

Donde h´(t) =

. Sustituyendo ahora (5.32) en (5.30) se tiene:

(5.33)

Donde: (5.34)

(5.35)

(5.36)

Las ecuaciones (5.33) y (3.19 b) constituyen un sistema de EDPS que representan a una línea de transmisión dispersiva. Estas ecuaciones se utilizan como base del modelo propuesto en esta tesis. Cabe mencionar que, dado que h´(t) es una suma de exponenciales, su convolución con i(t) puede resolverse de manera recursiva. 5.1.6.3.2 Tratamiento numérico de la convolución recursiva

Para el modelo de línea aquí propuesto

contiene los términos

exponenciales de la resistencia transitoria y su imagen en el dominio de Laplace es:

109

Donde: (5.37)

Conviene ahora introducir N variables auxiliares

i,

tales que:

(5.38)

Es decir: (5.39)

La ecuación (5.39) se puede rescribir como: (5.40)

La imagen en el dominio del tiempo de esta última expresión es: (5.41)

110

Donde , representa la imagen en el dominio del tiempo de

, para i=

1, 2, ….N.  Al aplicar la regla de Euler hacia atrás se tiene: (5.42)

Con

, denotando a

. La convolución total puede expresarse

así:

(5.43)

Esta última expresión es una convolución numérica de orden 0(Δt). Cabe mencionar que a partir de la expresión (5.41) es posible desarrollar convoluciones recursivas de órdenes superiores. Esta última ecuación es la que nos da un avance en el cálculo de las convoluciones, debido a que anteriormente se tenía que hacer un paso más, que era la derivación como se puede ver en el ANEXO 2.

111

5.3.6.3.3 Aplicación del método de las características al modelo de línea dispersiva

En el capítulo 2 se describió el Método de las características aplicado a una línea uniforme, el cual puede ser extendido al caso de línea dispersiva. Retomando la ecuación (5.33) y haciendo las siguientes consideraciones: (5.44)

(5.45)

(5.46)

,

(5.47)

Se puede efectuar la extensión de la siguiente forma: (5.48)

(5.49)

Las ecuaciones (5.45) y (5.46) proporcionan las curvas características en el plano x-t sobre las cuales se desarrolla la malla de Discretización que permite dar solución numérica a (5.48 y 5.49). Nótese que aquí es necesario

112

incluir en el método de las características el proceso descrito en la sección anterior para la actualización de los términos de las convoluciones

5.3.6.3.4 Cálculo de voltaje y corriente en los puntos interiores de la malla

 Al aplicar el procedimiento de Discretización utilizando en la sección anterior las ecuaciones (5.48 y 5.49) se obtiene: (5.50)

(5.51)

 Agrupando términos de voltajes y de corrientes se tiene: (5.52)

(5.53)

De igual forma se define: (5.54)

(5.55)

113

Nótese que

representan las convoluciones en los puntos “Q”

y “G”, respectivamente. Sumando (5.52) y (5.53) se puede determinar el valor de vL: (5.56)

Por otra parte restando (5.52) y (5.53) se obtiene: (5.57)

Dado que la convolución en el punto “L” para un tiempo dado está en función de la corriente en ese mismo instante, la convolución en ese punto se puede expresar de la siguiente forma: (5.58)

Sustituyendo la expresión (5.58) en la ecuación (5.57) se tiene: (5.59)

Donde: (5.60)

114

(5.61)

Despejando

de la expresión (5.59) se tiene:

(5.62)

Finalmente, las expresiones (5.56) y (5.62) extienden la solución de la línea de los puntos Q y G al punto L. 5.3.6.3.5 Cálculo de voltajes y corrientes en las fronteras

 Aplicando un procedimiento similar al que se describió en la sección anterior para los puntos intermedios de la línea, se obtienen las ecuaciones correspondientes a las fronteras; es decir, para x=0 y x=L. Para la frontera izquierda, en x=0, a manera de ejemplo se considera la aplicación de una fuente ideal de voltaje v H= f(t), luego se utiliza la ecuación (5.49)y finalmente se aplica el proceso de Discretización, obteniéndose: (5.63)

 Ahora se agrupan los términos de voltaje y corriente y se sustituyen las expresiones para Z 1 y Z2 dadas por (5.54 y 5.55): (5.64)

115

En este caso, la convolución en el punto “H” está función del valor de la corriente en ese mismo punto. (5.65)

La expresión (5.64) queda entonces de la siguiente forma: (5.66)

Donde Z1 está dado en la ecuación (5.61) y (5.67)

Finalmente, despejando el valor de la corriente en el punto “H” se tiene: (5.68)

Para la frontera derecha, en x=L, considérese el caso de que se conecta en ese extremo una carga resistiva. Se sigue un procedimiento similar al anterior. De la Discretización de (5.48) se tiene: (5.69)

116

 Agrupando términos (5.70)

Introduciendo la relación de carga: (5.71) Se obtiene: (5.72)

Donde; (5.72)

5.3.6.3.6 Aplicación (ejemplo)

Considérese una línea de 50 Km de longitud, la cual es alimentada con un impulso doble rampa lineal con tiempo de subida a valor máximo de 10µs, y tiempo de caída al 50% de dicho valor máximo de 90µs. la línea además se considera terminada con una carga igual a su impedancia transitoria, R= 400 Ω. Para los parámetros de la línea se consideraron los siguientes datos: altura promedio h=10 m, resistividad del terreno ᵖt=100Ω-m, conductor ASCR con radio r=2.54cm. La línea se considera uniforme con parámetros dependientes de la frecuencia.

117

De los parámetros de la línea obtenemos: L= (µ/2)ln(2h/r) Donde; µ=4π.10-7N/A2 h=10m r=0,0254m Sustituyendo tenemos: L= 1,33.10 -6H/m

Capacitancia 2πε/ln(2h/r) ε=8,85.10-12F h=10m r=0,0254m C=8,34.10-12F/m  Ahora nos vamos a la ecuación del telégrafo (Voltaje) (5.73)

118

Combinando con corriente, da: (5.74)

 A esta ecuación (5.74) la llamaremos “A”. Aplicando serie de Taylor aproximado de una función. (5.75)

Definiendo la derivada: (5.76)

Realizando la malla de Discretización (punto medio):

Términos para ecuación discretizada,

119

(5.78)

(5.79)

 Ahora sustituyendo en “A” para voltaje: (5.80)

 Agrupando factores comunes, nos queda: (5.81)

Despejando de la ecuación voltaje en línea de salida, nos queda finalmente: (5.82)

Dejando explicito los parámetros tmax= 90µs long= longitud de línea = 50 Km Se establece:

120

(5.83 a,b)

Se parte de la condición vista en capítulo II de ecuaciones para línea uniforme, para más adelante hacer la corrida en QOCTAVE (Linux) o

MATLAB (Windows) de la señal de entrada doble rampa. Entonces tenemos: (5.84)

Si fija una de las dos variables, que de acuerdo a la información suministrada por este ejemplo de aplicación sería Δx, la cual ya tenemos definida en (5.83 b). Por lo general el valor de la longitud de la línea es el dato que con mayor facilidad podremos obtener en una línea de transmisión. Pues bien, ahora se calcula la pendiente para obtener el tiempo final de caída de voltaje de la línea. Obteniendo:

Conociendo la pendiente, calculamos P 2  que sería el tiempo final de caída de la línea, donde p 2=x, teniendo:

Despejando “x”, nos queda:

121

Señal de entrada (inyectada) doble rampa.

Figura 5.4. Señal inyectada en el ejemplo de aplicación en doble rampa. Deduciendo de la ecuación doble rampa lo siguiente: tg

Planteando para el otro rango de tiempo donde comienza la caída de tensión, se parte de:

122

Despejando;

Planteando la función:

Luego se asume la malla de Discretización MxN, M divisiones de t (tiempo) y N de x (longitud), esto se puede ver más detallado en el diagrama de flujo. Ahora bien para verificar esta gráfica doble rampa y ver el comportamiento de la línea a lo largo de la trayectoria en el corto tiempo que ocurre el transitorio electromagnético en la línea, se genera en un programa sencillo como el MATLAB (en operador Windows) u OCTAVE (en operador LINUX). A continuación se describirá un poco esta herramienta computacional y se justificara su uso. 5.3.6.3.7 Herramienta computacional OCTAVE

Es un lenguaje de programación de alto nivel orientado al Cálculo Numérico. Proporciona una consola para resolver problemas lineales y no lineales con el ordenador y para desarrollar experimentos numéricos.

123

También en un principio fue un lenguaje de programación independiente, pero hoy en día tiene compatibilidad con Matlab, sus gráficas son de una calidad suficiente para los resultados buscados a partir de ecuaciones matemáticas. Hoy en día OCTAVE

no es la herramienta computacional más

avanzada pero tratándose de algo gratuito desarrollado por una comunidad de ingenieros, científicos y entusiastas se trata de una herramienta de altísima calidad. Para cálculos pequeños o corrobación de resultados es una herramienta completamente viable al igual que Matlab, ya que cuentan con el mismo lenguaje.  Además de lo anteriormente descrito otra característica a favor de esta herramienta computacional, es que se pueden encontrar gran variedad de tipos de función según lo que se resuelva: 1.

Funciones matemáticas elementales

2.

Funciones especiales.

3.

Funciones matriciales elementales

4.

Funciones matriciales especificas.

5.

Funciones para descomposición y/o factorización de matrices.

6.

Funciones para análisis estadístico de datos.

7.

Funciones para análisis de polinomios

8.

Funciones para integración de ecuaciones diferenciales ordinarias.

9.

Resolución de ecuaciones no-lineales y optimización.

10. Integración numérica. 11. Funciones para procesamiento de señal.

124

5.3.6.3.8 Aplicación del algoritmo del modelo matemático en el ejemplo de aplicación, bajo una herramienta computacional

Luego de ver las múltiples propiedades de la herramienta computacional procedimos a crear nuestro archivo en la misma, y hacer la corrida de la primera señal que es la doble rampa y a ciertos puntos a lo largo de la línea y en frontera, partiendo del siguiente diagrama de flujo:

125

126

127

Figura 5.5. Diagrama de Flujo del ejemplo.

128

 A partir de este diagrama de flujo ingresamos la codificación del mismo en la herramienta computacional (OCTAVE), como se muestra en las siguientes figuras.

Figura 5.6. Ingreso de código fuente para la corrida del ejemplo aplicado, en la herramienta computacional OCTAVE (1)

129

Figura 5.7. Ingreso de código fuente para la corrida del ejemplo aplicado, en la herramienta computacional OCTAVE (2)

Figura 5.8. Ingreso de código fuente para la corrida del ejemplo aplicado, en la herramienta computacional OCTAVE (3)

130

Figura 5.9. Resultados Obtenidos en la corrida, Impulso doble rampa lineal inicial Pues bien, ahora para analizar la línea en distintos puntos de la misma, agregamos a la corrida la convolución que se escribirá en una pestaña aparte llamada “convolución_14”, la cual la pestaña “prueba14” hace llamado de esta. Y hacemos la corrida a partir de la p estaña “prueba14”.

Figura 5.10. Código fuente de la convolución, para corrida del transitorio en distintos puntos de la línea (1)

131

Figura 5.11. Código fuente de la convolución, para corrida del transitorio en distintos puntos de la línea (2)

Figura 5.12. Resultados obtenidos en distintos puntos de la línea.

132

Figura 5.13. Resultados obtenidos por la referencia [11] (Trabajo de Doctorado, “Avance de simulación de Transitorios Electromagnéticos en Líneas de Transmisión). Para la comparación de los resultados de las Figuras 5.9 y 5.12 Como se puede observar en la figura 5.9 la señal doble rampa es generada casi perfectamente como la figura 5.4 que es echa mediante esquemas netamente matemáticos, corroborando así la eficiencia de los cálculos matemáticos propuestos. Al igual que podemos observar los resultados de la figura 5.13 donde el primer impulso generado es idéntico teniendo un Vmáx = 1 y un tiempo de caída en 190µs aproximadamente. Luego en la figura 5.12 podemos observar el comportamiento en distintas distancias de la línea, donde se observa claramente que el voltaje a caído en casi 35% a los 50 km debido al efecto del transitorio. Comparando

133

estos resultados con la grafica 5.13 que son los obtenidos por Amner Israel Ramírez Vazquez [11] en su tesis de doctorado, (puede verse en anexo 2) el cual a través de un modelo matemático un poco más largo al aquí propuesto, e introduciéndolo en la herramienta computacional EMTP ( ElectroMagnetic

Transients Program) podemos observar que son muy parecidos, obteniendo un voltaje en 50 Km de 0,68, igual al que ´se obtuvo en la gráfica 5.12. Todo esto nos hace positivo los resultados generados a través del modelo matemático acá planteado.

CAPÍTULO VI CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

6.1 Conclusiones El abordaje de la temática de transitorios electromagnéticos como la respuesta instantánea de un sistema eléctrico debido a cambios repentinos de su estado inicial a un estado final o diferente provocado por maniobras dentro del mismo sistema eléctrico, ya sea por fallas o descargas atmosféricas de cualquier elemento que conforma el mismo sistema, contribuye de manera especial a resolver problemas en los sistemas de potencia en líneas de transmisión, razón por la cual en el desarrollo de los objetivos se han investigado aspectos fundamentales acerca de los transitorios electromagnéticos que dejan clara su importancia dentro de la ingeniería eléctrica, por ello se concluye que: 1.

Al describir de los estudios de los transitorios electromagnéticos de sistema de potencia en líneas de transmisión, se estudiaron los principales parámetros que juegan papel importante en la resolución de los problemas y su análisis, por ello se describieron los elementos tales como: resistencia (R), inductancia (L) y capacitancia (C), presentes en cada uno de los elementos del sistema eléctrico de manera porcentual. Generalmente ellas actúan en estado estable, pero cuando se trata de transitorios electromagnéticos, las condiciones pueden variar, es decir, alguna de ellas puede predominar sobre la otra.

2.

Al describir la situación actual de los transitorios electromagnéticos de potencia, se pudo observar los previos modelos matemáticos

135

planteados para la solución de los mismos en líneas de transmisión con pasos más largos y un poco engorrosos. Donde se estudiaban a través de los diferentes métodos pero de manera separadas, es decir líneas de transmisión uniforme y líneas de transmisión con dependencia frecuencial. En este trabajo a través de una extensión de las mismas ecuaciones podemos analizar una línea uniforme con parámetros dependientes de la frecuencia. Además para poder llevar a cabo esta extensión se aplico el método de Leibnitz (Anexo 1), con el fin de eliminar el paso de derivación parcial que ya estaba planteado en modelo anteriores, como lo es el de la Referencia Bibliográfica (11), el cual fue parte comparativa fundamental en los resultados de este trabajo. 3.

El análisis análisis de los transitorios electromagnéticos no solo pueden generarse a través de herramientas muy modernas en el área de electricidad, sino que también a partir de modelo matemáticos podemos generar resultados en herramientas totalmente accesibles bajo un lenguaje conocido, como lo es el Octave, una herramienta idónea para este tipo de cálculos y procesos, dada su potencia, versatilidad y facilidad de adaptación a una amplia variedad de problemas.

4.

En cuanto a los métodos numéricos utilizados se puede decir que los métodos del telegrafista, de las características y de la convolución representan una herramienta bastante útil en el modelado de una línea de transmisión, pues además de permitir observar el comportamiento del voltaje y corrientes tanto de entrada como de salida de la línea, también permite determinar el comportamiento de la misma en puntos intermedios a lo largo de la línea de transmisión en estudio.

5.

Estos resultados fueron fueron validados con los obtenidos en EMTP en el modelo desarrollado en [11], los cuales fueron idénticos.

136

6.

El estudio de los transientes en Líneas de transmisión es importante ya que permite preveer comportamiento de la Línea a lo largo de su recorrido. Ayudando este tipo de estudios a la coordinación de protecciones de las mismas, y poder realizar un mejor diseño y coordinación en el sistema de aislamiento.

6.2 Recomendaciones



Incorporar al efecto corona al estudio del modelo línea no uniforme y con dispersión y con dependencia frecuencial.



Realizar la aplicación del modelo de señal de entrada y convolución de este trabajo en otras herramientas computacionales.



Realizar en trabajos futuros el estudio matemático de los transitorios electromagnéticos en circuitos doble terna, buscando propuestas matemáticas.

137

BIBLIOGRAFÍA

[1]Castellanos, F. (2009). Modelos de líneas de transmisión. Tesis no publicada. Universidad de Colombia. [2]Morales, A. A. (2009). “Simulación de transitorios electromecánicos en sistemas eléctricos de potencia mediante procesamiento paralelo”. Tesis no publicada. Universidad de Oriente. Venezuela [3]Serway, R. (2007). Física. Tomo II (Cuarta edición). Mc Graw-Hill: México. [4]VAN DER, L. (2001). Lou. Transients in Power Systems. Editorial John Willey and Sons. England. [5]J.R. Martí, “accurate modelling of frecuncyfrecuncy - dependentTransmission Lines in electromagnetic Transiente Simulations”, IEEE del Departamento de Sistemas, Vol. PAS -101, Enero 1982 [6]GREENWOOD, A. (1990). Electrical Transients in Power Systems. Segunda Edición. Ed.John Willey and Sons, INC, New York. [7]GRYBSBY, L. (1981). Electromagnetic Transients Program (EMTP). Editorial Bonneville Power Administration. Oregon. [8]SHENKMAN, A. (2005). Transient Analysis of electric Power Circuits Handbook. Editorial Springer. Netherlands.

138

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METADATOS PARA TRABAJOS DE GRADO, TESIS Y ASCENSO

PROPUESTA DE MODELO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN

TÍTULO

PARA

EL

ESTUDIO

TRANSITORIOS

DE

LOS

ELEMENTOS

ELECTROMAGNÉTICOS EN LOS

SISTEMAS DE POTENCIA

SUBTÍTULO

AUTOR (ES): APELLIDOS Y NOMBRES Triana V., María D. L. A.

CÓDIGO CULAC / E MAIL CVLAC: 15879024 E MAIL: [email protected] CVLAC: E MAIL:

PALABRAS O FRASES CLAVES: propuesta, modelo, línea, transmisión, estudio, electromagnétismo, sistema, potencia, propuesta de modelo, modelo de línea, linea de transmisión, estudio de elementos, elementos transitorios, elementos electromagnéticos, sistemas de potencia

METADATOS PARA TRABAJOS DE GRADO, TESIS Y ASCENSO

ÁREA

SUBÁREA

Escuela de Ingeniería y Ciencias

Ingeniería Eléctrica

 Aplicadas

RESUMEN (ABSTRACT): En este trabajo se presentan y se definen las causas y fenómenos que provocan a los transitorios electromagnéticos en un sistema de potencia con énfasis en las Líneas de Transmisión. El cual al iniciar este estudio se describe la situación actual de este efecto transitorio en las líneas de transmisión, se identifican los elementos que constituyen un sistema de transmisión y a partir de esto se determinaron los lineamientos de la energización de estas líneas, y así poder establecer un modelo matemático en donde se tome en cuenta la dependencia frecuencial, donde aplicando distintas herramientas matemáticas se reducen los pasos para el tratado matemático de estos modelos, y así facilitar el cálculo de los mismos, luego se sometió un ejemplo de aplicación bajo una herramienta computacional sencilla y se compararon los resultados obtenidos con los generados en herramientas computacionales avanzadas de electricidad..

METADATOS PARA TRABAJOS DE GRADO, TESIS Y ASCENSO

CONTRIBUIDORES: Apellidos Y Nombres

ROL / C DIGO CVLAC / E_MAIL ROL CA AS TU X JU CVLAC: E_MAIL E_MAIL ROL CA AS TU JU X CVLAC: E_MAIL E_MAIL ROL CA AS TU JU X CVLAC:

Suarez, Luis

Serrano, enrique

Maza, Manuel

E_MAIL E_MAIL ROL CVLAC: E_MAIL E_MAIL

FECHA DE DISCUSIÓN Y APROBACIÓN: 2015

06

22

AÑO

MES

DÍA

LENGUAJE: SPA

CA

AS

TU

JU

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ARCHIVO (S): NOMBRE DE ARCHIVO

TIPO MIME

TESIS.PROPUESTA DE MODELO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN PARA EL ESTUDIO DE LOS ELEMENTOS TRANSITORIOS ELECTROMAGNÉTICOS EN LOS SISTEMAS DE POTENCIA.doc

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CARACTERES EN LOS NOMBRES DE LOS ARCHIVOS: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.

ALCANCE ESPACIAL: TEMPORAL:

(OPCIONAL) (OPCIONAL)

TÍTULO O GRADO ASOCIADO CON EL TRABAJO: INGENIERO ELECTRICISTA NIVEL ASOCIADO CON EL TRABAJO: PREGRADO ÁREA DE ESTUDIO: DEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD INSTITUCIÓN: UNIVERSIDAD DE ORIENTE / NÚCLEO DE ANZOÁTEGUI

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