Propiedades de áreas planas y líneas
INTRODUCCIÓN.
Momento de inercia en áreas planas, es el tema que se trata a continuación, con ayuda de textos de ciencias e ilustraciones nos concentraremos en detallar la idea de la investigación.
Las causas de investigación son la práctica y el dominio de dicho tema para bien.
Nuestros obetivos son describir al lector en su mayoría universitario los conceptos y utilidades del momento de inercia, dando a conocer sus !órmulas principales y como poder utili"arlas en alg#n eercicio propuesto, describiremos por igual.
La inercia es la propiedad de la materia que hace que $sta resista a cualquier cambio en su movimiento, ya sea de dirección o de velocidad.
%sta propiedad se describe con precisión en la primera ley del movimiento del cientí!ico británico &saac Ne'ton, que dice lo siguiente( )un obeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un obeto en movimiento tiende a continuar movi$ndose en línea recta, a no ser que act#e sobre ellos una !uer"a externa*.
Por eemplo, los pasaeros de un automóvil que acelera, sienten contra la espalda la !uer"a del asiento, que vence su inercia y aumenta su velocidad. +uando $ste !rena, los pasaeros tienden a seguir movi$ndose y salen despedidos hacia delante.
i reali"a un giro, un paquete situado sobre el asiento se despla"ará lateralmente, porque la inercia del paquete hace que tienda a seguir movi$ndose en línea recta.
+ualquier cuerpo que gira alrededor de un ee presenta inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su ee de giro.
La inercia de un obeto a la rotación está determinada por su momento de inercia, que no es más que la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro.
%l momento de inercia desempe-a en la rotación un papel equivalente al de la masa en el movimiento lineal.
Por eemplo, si una catapulta lan"a una piedra peque-a y una grande, aplicando la misma !uer"a a cada una, la piedra peque-a se acelerará mucho más que la grande unos otros temas que ayudan a !ortalecer el concepto general.
Primer momento de líneas y áreas
%stas ecuaciones proporcionan los primeros momentos del area compuesta o pueden utili"arse para obtener las coordenadas y / de su centroide.
e debe tener cuidado de asignarle el signo apropiado al momento de cada area. los primeros momentos de areas, al igual que los momentos de las !uer"as, pueden ser positivos o negativos.
Por eemplo, un area cuyo centroide está locali"ado a la i"quierda del ee 0y0 tendra un primer momento negativo con respecto a dicho ee.
1demás al área de un aguero se le debe asignar un signo negativo.
Momentos de Inercia de áreas compuestas
2n área compuesta 1 que está constituida por varias áreas componentes 13, 14, 15... +omo la integral que representa el momento de inercia de 1 puede subdividirse en integrales evaluadas sobre 13, 14, 15..., el momento de inercia de 1 con respecto a un ee dado se obtiene sumando los momentos de áreas 13, 14, 15... con respecto al mismo ee.
+entroide iempre que la densidad de un cuerpo tenga el mismo valor en todos los puntos, la misma !igurará como !actor constante, de los numeradores y denominadores de las ecuaciones, y por tanto desparecerá.
Las expresiones de!inen entonces una propiedad del cuerpo puramente geom$trico, sin re!erencia alguna a sus propiedades !ísicas, cuando el cálculo se re!iera unicamente a una !igura geom$trica, se utili"ará el t$rmino centroide.
i una !igura geom$trica posee un centro de simetría, este punto es el centroide de la !igura.
+uando se hable de un cuerpo !ísico real, hablaremos de centro de masa. i la densidad de la misma en todos los puntos, las posiciones del centroide y el centro de masa coinciden, mientras que si la densidad varía de unos puntos a otros, aqullos no coincidarán, en general.
+entro de gravedad %s el punto de aplicación de la resultante de todas las !uer"as de gravedad que act#an sobre las distintas masas materiales de un cuerpo, de tal !orma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo.
%n otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las !uer"as que la gravedad eerce sobre los di!erentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo 6dicho punto no necesariamente corresponde a un punto material del cuerpo, ya que puede estar situado !uera de $l.
%n el caso de una es!era hueca, el +7 está situado en el centro de la es!era que, obviamente, no pertenece al cuerpo8.
+onceptos relacionados a centro de gravedad(
Por eemplo, si consideramos dos puntos materiales 1 y 9, cuyas masas respectivas valgan m3 y m4: además los suponemos rígidamente unidos por una varilla de masa despreciable, a !in de poder considerarlos como !ormando parte de un cuerpo sólido.
La gravedad eerce sobre dichos puntos sendas !uer"as paralelas m3g y m4g que admiten una resultante cuyo punto de aplicación recibe el nombre de centro de gravedad o centroide.
egundo momento de área
%l segundo momento de área, tambi$n denominado segundo momento de inercia o momento de inercia de área, es una propiedad geom$trica de la sección transversal de elementos estructurales.
;ísicamente el segundo momento de inercia está relacionado con las tensiones y de!ormaciones máximas que aparecen por !lexión en un elemento estructural y, por tanto, unto con las propiedades del material determina la resistencia máxima de un elemento estructural bao !lexión.
%l segundo momento de área es una magnitud cuyas dimensiones son longitud a la cuarta potencia 6que no debe ser con!undida con el concepto !ísico relacionado de inercia rotacional cuyas unidades son masa por longitud al cuadrado8.
teiner, teorema de los ees paralelos o simplemente teorema de teiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier ee, dado el momento de inercia del obeto sobre el ee paralelo que pasa a trav$s del centro de masa y de la distancia perpendicular 6r8 entre ees.
?ebe su nombre al geómetra sui"o del siglo & @aAob teiner.
Momento polar de inercia del area
%s una cantidad utili"ada para predecir habilidad para resistir la torsión del obeto, en los obetos 6o segmentos de los obetos8 con un invariante circular de sección transversal y sin de!ormaciones importantes o !uera del plano de de!ormaciones.
e utili"a para calcular el despla"amiento angular de un obeto sometido a un par.
%s análogo a la "ona de momento de inercia que caracteri"a la capacidad de un obeto para resistir la !lexión.
Momento polar de inercia no debe con!undirse con el momento de inercia, que caracteri"a a un obeto de la aceleración angular debido a la torsión.
%l & la unidad de momento polar de inercia, como el momento en la "ona de la inercia, es metro a la cuarta potencia 6BCm8.
Pasos para calcular el momento de inercia en areas compuestas 3. ?ividir el área compuesta en varias partes que sean simples
4. ?eterminar las áreas de las partes, designarlas por
.
5. ?eterminar las coordenadas del centro de masas de estas partes con respecto a los ees e /. / calcular el cdm !ormada por todas las áreas parciales anteriores.
de toda la !igura
C. +alcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la !igura.
D. +alcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ees de centro de masas 6que serán paralelos a x e y 8. ?esignar como( e para el área i >$sima.
E. +alcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ees x e y aplicando el teorema del ee paralelo, es decir, el teorema de teiner(
y
F. +alcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores(
e
%emplo de momento de inercia en !iguras compuestas
,
;riccion
e de!ine como !uer"a de ro"amiento o !uer"a de !ricción, a la !uer"a entre dos super!icies en contacto, a aquella que se opone al movimiento relativo entre
ambas super!icies de contacto 6!uer"a de !ricción dinámica8 o a la !uer"a que se opone al inicio del desli"amiento 6!uer"a de !ricción estática8.
e genera debido a las imper!ecciones, mayormente microscópicas, entre las super!icies en contacto.
%stas imper!ecciones hacen que la !uer"a perpendicular G entre ambas super!icies no lo sea per!ectamente, sino que !orme un ángulo H con la normal N 6el ángulo de ro"amiento8.
Por tanto, la !uer"a resultante se compone de la !uer"a normal N 6perpendicular a las super!icies en contacto8 y de la !uer"a de ro"amiento ;, paralela a las super!icies en contacto.
%emplo 3 de !riccion
obre una caa de 34II g de masa situado sobre en una mesa hori"ontal se aplica una !uer"a de 3D N en la dirección del plano. +alcula la !uer"a de ro"amiento 6!uer"a de !ricción8 si( a8 La caa adquiere una aceleración igual a 4,D mJs4. b8 La caa se mueve con velocidad constante.
Solución +uestión a8 ?atos m K 34II g K 3.4 g ; K 3D N a K 4.D mJs4 ;G Gesolución i aplicamos las ecuaciones de la segunda ley de Ne'ton o principio !undamental de un cuerpo sobre un plano hori"ontal, obtenemos que(
2Kg ⋅ 2 . 5m/ F−FR=m⋅a ⇒FR=F−m⋅a ⇒FR=15N−1. s2⇒FR=12N +uestión b8 i tiene velocidad constante quiere decir que en este caso la aceleración de la caa es a K I mJs4, por tanto(
2Kg ⋅ 0m/s2⇒FR=1 5N F−FR=m⋅a ⇒FR=F−m⋅a ⇒FR=15N−1.
%emplo 4 de !riccion
Ejemplo. Con un tractor se desea mover la caja de la fgura. Diga cul es la m!nima tensión del ca"le #ue se re#uiere para lograrlo$ si los coefcientes de %ricción esttica & cin'tica entre la caja & la superfcie (ori)ontal son *.+ & *.,$
olucion
e trata de un problema de equilibrio el que el cuerpo está a punto de moverse: por eso la !ricción es la estática máxima, K I O sen 3D Q RDI K I K RDI Q sen 3D K I cos 3D Q I.C K I cos 3D Q I.C6RDI Q sen 3D8 K I 6cos 3D O I.C sen 3D8 K 5CI
K 5SC "
Fricción seca
;ricción en seco resiste el movimiento lateral relativo de dos super!icies sólidas en contacto. Los dos regímenes de !ricción seca son 0!ricción estática0 entre las super!icies que no se mueven, y la !ricción cin$tica entre super!icies móviles.
;ricción de +oulomb, el nombre de +harles>1ugustin de +oulomb, es un modelo aproximado para calcular la !uer"a de !ricción en seco. e rige por la ecuación(
donde •
•
•
es la !uer"a de !ricción eercida por cada super!icie en el otro. %s paralela a la super!icie, en una dirección opuesta a la !uer"a neta aplicada. es el coe!iciente de !ricción, que es una propiedad empírica de los materiales de contacto, es la !uer"a normal eercida por cada super!icie sobre la otra, dirigida perpendicular a la super!icie.
La !ricción de +oulomb puede tomar cualquier valor desde cero hasta, y la dirección de la !uer"a de !ricción contra una super!icie es opuesta a la super!icie de movimiento que experimentaría en la ausencia de !ricción.
%n este caso, en lugar de proporcionar una estimación de la !uer"a de !ricción real, la aproximación de +oulomb proporciona un valor umbral para esta !uer"a, por encima del cual comen"aría movimiento. %sta !uer"a máxima se conoce como tracción.
%ercicio de !riccion seca
Leyes de !riccion Leyes de !ricción 1montons T, exploraron por primera ve" por Leonardo da Uinci, pero nunca publicados, !ueron redescubiertas y registró por primera ve" en la prensa durante el siglo 3F.
Las 5 leyes de la !ricción son(
3 > La !uer"a de !ricción es directamente proporcional a la carga aplicada. 4 > La !uer"a de !ricción es independiente del área aparente de contacto. 5 > !ricción cin$tica es independiente de la velocidad de desli"amiento.
NV<1( 5 %stas leyes sólo se aplican a !ricción en seco, en el que la adición de un lubricante modi!ica signi!icativamente las propiedades tribológicas.
Amontons Primera Le !"p#icación
upongamos que la piedra tenía una masa mayor. La piedra sería entonces(
%ercer una mayor !uer"a en el camino, / Más de los átomos de la carretera y la piedra estaría en contacto.
Por lo tanto, cuando la piedra se mueve, se produce una mayor !uer"a de !ricción.
La ley se aplica a cualquier 1montons 4 super!icies, independientemente de su orientación.
$e%unda Le Amontons !"p#icación
WXu$ signi!ica esta ley es que si dos masas iguales hechos de material similar se duermen en la misma super!icie con di!erentes áreas de contacto, que requerirían la misma cantidad de !uer"a para comen"ar a moverse y despla"arse a una velocidad constante.
Para decirlo de otra manera( considerando 4 masas iguales, y el área de contacto en la situación 1 es mayor que en la situación 9.
%sto sólo signi!ica que, en la situación 1, la carga se distribuye por un área mayor que en la situación 9. in embargo, la carga aplicada sigue siendo el mismoY 1sí, para mover las dos masas, que requeriría la misma cantidad de !uer"a aplicada para superar la !ricción.
%ercicio de leyes de !riccion
+oe!iciente de ro"amiento %l coe!iciente de ro"amiento o coe!iciente de !ricción expresa la oposición al desli"amiento que o!recen las super!icies de dos cuerpos en contacto.
%s un coe!iciente adimensional. 2sualmente se representa con la letra griega Z 6mi8.
%l valor del coe!iciente de ro"amiento es característico de cada par de materiales en contacto: no es una propiedad intrínseca de un material.
?epende además de muchos !actores como la temperatura, el acabado de las super!icies, la velocidad relativa entre las super!icies, etc.
La naturale"a de este tipo de !uer"a está ligada a las interacciones de las partículas microscópicas de las dos super!icies implicadas.
Por eemplo, el hielo sobre una lámina de acero pulido tiene un coe!iciente bao: mientras que el caucho sobre el pavimento tiene un coe!iciente alto.
%l coe!iciente de !ricción puede tomar valores desde casi cero hasta mayores que la unidad.
1ngulo de !ricción
1l considerar el desli"amiento de un cuerpo sobre un plano inclinado, se observa que al variar la inclinación de dicho plano, el obeto inicia el movimiento al alcan"arse un ángulo de inclinación crítico.
%sto es debido a que al aumentar la inclinación, se reduce paulatinamente la componente perpendicular del peso, la !uer"a N, que es proporcional al coseno del ángulo de inclinación. &ndependientemente del peso del cuerpo, ya que a mayor peso, aumentan tanto la !uer"a que tira el obeto cuesta abao, como la !uer"a normal que genera el ro"amiento.
?e este modo, un coe!iciente de ro"amiento dado entre dos cuerpos equivale a un ángulo determinado, que se conoce como ángulo de ro"amiento.
Mediante este ángulo se puede calcular Ze, observando hasta qu$ ángulo de inclinación las dos super!icies pueden mantenerse estáticas entre sí(
%emplo de angulo de !riccion
%l experimento consiste en un plano inclinado al que se le puede variar el ángulo sobre el que se pone un bloque de madera. 1 medida que se varía, el ángulo va siendo registrado por un sistema de adquisición. %l bloque se ubica inicialmente en una "ona donde es detectado por un sensor photogate.
+uando el ángulo llega al punto crítico el bloque empie"a a moverse y dea de ser detectado por el sensor photogate.
%sta condición detiene la medición de tal !orma que el #ltimo ángulo registrado corresponde al ángulo crítico. La tangente de este ángulo corresponde al coe!iciente de !ricción estático. 1 continuación se presenta el desarrollo que permite llegar a esa conclusión(
%emplo de coe!iciente de !riccion
1nálisis en planos inclinados
2n plano inclinado es una porción de suelo que !orma un cierto ángulo con la hori"ontal sin llegar a ser vertical, es decir, siendo el ángulo I[ \ ] \ SI[. %l plano inclinado, una de las máquinas simples, permite reducir la !uer"a que es necesario reali"ar para elevar o descender un peso.
?escomposición del peso de un bloque en un plano inclinado %n componentes paralela y perpendicular al p lano
%X2&L&9G&V &maginemos un bloque como el mostrado en la !igura situado sobre un plano cuya inclinación puede modi!icarse a voluntad.
%n una posición cualquiera 6dada por el ángulo ]8, el peso 6P8 del bloque, que como sabemos es una magnitud vectorial 6vertical y hacia abao8, puede descomponerse en sus componentes = y U, paralela y perpendicular al plano inclinado respectivamente( = K P sen U K P cos
%emplos de análisis de planos inclinados
&nstituto tecnológico de la chontalpa
Materia( %stática
Pro!esor( ^lvaro Lá"aro =ernánde"
1lumno( 9raulio de @es#s 1lvarado robles
+arrera( &ngeniería petrolera
7rado( 4
7rupo )?*
