Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica
LABOA!OIO "# “Vibraciones en sistemas de 1 grado de libertad”
Alumno:
$on%alo
de
la
Cuadra& Profesora:
Dr& Dr&
Mar Marce cela la
Cruchaga& Ayudante: Felipe $on%ále%& Asignatura: !'pic 'picos os III III (
S'lidos& Carrera:
Mecánica& Grupo: )
Ingeni Ingenierí ería a
Civil Civil
Fecha
de
entrega:
#*+,-+#.&
Contenido #& esumen&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ) /& O01etivos de la e2periencia&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&) /&#
O01etivo general&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&)
/&/
O01etivos especí3cos&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&)
)& Marco te'rico 4#5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&)&#
6i0raci'n li0re sin amortiguamiento&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&-
)&/
6i0raci'n li0re con amortiguamiento&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&-
)&)
6i0raci'n 7or%ada&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&8
)&)&#
Sistema no amortiguado&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&8
)&)&/
Sistema amortiguado&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&8
-& Desarrollo&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& * -&#
9lanteamiento del pro0lema&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&*
-&/
6i0raci'n li0re sin amortiguamiento&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&*
-&)
6i0raci'n li0re con amortiguamiento&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&:
-&-
6i0raci'n 7or%ada&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&:
.& Análisis de resultados&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&#, 8& Conclusiones&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&#, *& Ap;ndice&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&## *&#
C'digos de programaci'n en MA!LAB&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&##
*&#&#
Soluci'n num;rica&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&##
*&#&/
6i0raci'n li0re sin amortiguamiento&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&##
*&#&)
6i0raci'n li0re amortiguada&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&#/
*&#&-
6i0raci'n 7or%ada&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&#-
:& Bi0liogra7ía&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
/
1. Resumen
seguido despu;s de un sistema con amortiguaci'n> ? luego se estudia el comportamiento un caso de vi0raci'n 7or%ada& 9ara ello> se ela0ora un programa computacional hecho en MA!LAB para o0tener las respuestas de posici'n ? velocidad en cada uno de los casos en estudio utili%ando tanto m;todos analíticos como el algoritmo num;rico de unge= @utta de cuarto orden& Los resultados demuestran ue el uso de programaci'n a?uda a la una me1or interpretaci'n de los grá3cos generados por el so7tare&
2. Obeti!os de la e"periencia 2.1 Obeti!o general •
2.2 Obeti!os espec#$cos •
• •
O0tener los grá3cos las soluciones de posici'n ? tiempo para los casos de vi0raci'n considerados& Usar herramientas de cálculo para resolver la ecuaci'n de movimiento& acer una comparaci'n> a partir de los resultados generados> entre el m;todo analítico ? el num;rico&
)
%. &arco te'rico (1) %.1 *ibraci'n libre sin amortiguamiento
La ecuaci'n de movimiento está dado por la resoluci'n de la segunda le? de "eton del sistema m x ´ + kx =0
Cu?a soluci'n su1eta a las condiciones iniciales es
(¿¿ n t )+
w w x´o wn
sin (¿¿ n t )
¿
x ( t )= x o cos ¿
Además w w
(¿¿ n t )+ x´o cos(¿ ¿ nt ) ¿ ´ x ( t )=− x o wn sin ¿
%.2 *ibraci'n libre con amortiguamiento
La ecuaci'n de movimiento está dado por m x´ + c ´ x + kx =0
9ara cualuier sistema amortiguado> la relaci'n de amortiguamiento ε se de3ne como la relaci'n de la constante de amortiguamiento a la constante de amortiguamiento crítico ε=
c 2 m wn
x ( t )=C 1 e + C 2 e
s2t
s 1,2=( −ε ± √ 1− ε ) wn 2
-
Donde C# ? C/ son constantes a determinar&
ε =0 conduce a las vi0raciones no
amortiguadas> por tanto suponemos valores no nulos de
ε ? se anali%a tres
casos& Caso # Sistema su0=amortiguado E
ε
#G&
√ ε −1 es negativa ? las raíces 2
s1
?
s2
se e2presan
como s 1=( −ε + i √ 1− ε ) wn 2
s 2=( −ε −i √ 1− ε ) w n 2
H la soluci'n para 2 EtG es −ε w n t
x ( t )= X o e
X o =
√ xo
2
sin
2
( √ 1−ε
2
w n t + ϕ o
)
2
wn + x´o + 2 x o x´o ε wn
√ 1−ε w n 2
ϕ o= tan
−1
(
x´o + x o ε w n x o wn √ 1 −ε w n 2
)
( √ 1− ε
2
)
wn t + ϕ o +¿ √ 1− ε wn X o e
−ε w n t
2
x ´( t )=−εwn X o e
−ε wn t
cos
sin
( √ 1 −ε
2
1
? s
)
¿
Caso / Sistema críticamente amortiguado E Las raíces s
w n t + ϕ o
ε
#G&
se e2presan como
2
s 1= s2=−wn
Dando la siguiente soluci'n
[
]
−wn t
x ( t )= x o + ( x ´o + wn x o ) t e
.
x ´( t )=( x ´o + wn x o ) e
−w n [ x o +( x ´o + wn xo ) t ] e−w t
−w n t
n
Se ve ue el movimiento es aperi'dico> es decir> se reduce a cero para un tiempo in3nito& Caso ) Sistema so0re=amortiguado E
ε
J #G&
s 1=( −ε + √ ε −1 ) w n 2
s 2=( −ε −√ ε −1 ) wn 2
x o w n ( ε + √ ε −1 ) + x´o 2
C 1 =
2 wn
( √ ε
2
−1 )
− x o wn ( ε −√ ε −1 ) − x´o 2
C 2 =
2 wn
( √ ε −1 )
s1 t
x ( t )=C 1 e + C 2 e
2
s2t
x ´( t )= s1 C 1 e + s2 C 2 e s1 t
s2 t
Las ecuaciones muestran ue el movimiento es aperi'dico independientemente de las condiciones iniciales impuestas en el sistema& Como las raíces s# ? s/ son negativas> el movimiento se reduce e2ponencialmente con el tiempo&
8
%.% *ibraci'n for+ada %.%.1 ,istema no amortiguado
9ara nuestro caso> tenemos la siguiente ecuaci'n de movimiento& m x´ + c ´ x + kx = F o sin ( wf t )
Si 7+n # entonces la soluci'n es x ( t )=C 1 cos ( wn t ) + C 2 sin ( w n t ) +
q 2
wn − w f
x ´( t )=−C 1 w n sin ( wn t ) + C 2 wn cos ( wn t ) +
C 1 = xo ; C 2=
x´o wn
−
sin ( w f t )
2
q wf 2
2
w n −w f
cos
( w f t )
q wf ¿ w n 2
2
w n −w f
Si 7+n # entonces el sistema se encuentra en resonancia& x ( t )=
−q 2 wn
x ´( t )=
2
−q 2 wn
(wn∗t ∗cos ( w n t )− sin ( wn t ))
2 ( w ∗ w t − w ∗t ∗sin ( wn t ) −w n∗cos ( wn t )) cos ( ) n n n 2
%.%.2 ,istema amortiguado
La soluci'n particular para la ecuaci'n de movimiento está dada por x p ( t )=
x p´( t )=
2
q 2 n w f 2
4n
2
2
2
wf +( w n −w f )
sin
( w f t ) +
4n
2
2
2
2
2
2
2
2
w f +( wn − wf ) 2
q 2 n w f 4n
2
q ( wn − w f )
2
wf +( w n −w f )
cos
( wf t )−
cos
2
q w f ( wn − wf ) 2
4n
2
( w f t )
2
2
wf +( w n −w f )
sin
( w f t )
La respuesta total es x ( t )= x p ( t ) + x h (t )
*
-. esarrollo -.1 Planteamiento del problema
Ilustración 1 Problema de análisis.
I o r
2
; n =
c 2 M
( ) √ 2
a a K K = k 1+ k 2 + 2 ;wn = r r M
:
-.2 *ibraci'n libre sin amortiguamiento
Ilustración 2. Respuestas de posición y velocidad para una constante de rigidez de 1!! "azul#$ %!! "amarillo# y &!! "verde#.
-.% *ibraci'n libre con amortiguamiento
Ilustración & Respuestas de posición y velocidad para un sistema cr'ticamente amortiguado "azul#$ sobre(amortiguado "amarillo# y sub(amortiguado "cyan#.
K
-.- *ibraci'n for+ada
Ilustración % )in amortiguación y *+ , 1!
Ilustración )in amortiguación y *+ , 2! "Resonancia#
#,
Ilustración - c , 2!! y *+ , 2!
Ilustración c ,1 2!! y *+ , 2!
/. An0lisis de resultados A partir del análisis de los grá3cos en los dos primeros casos se puede apreciar ue no e2iste una di7erencia entre la soluci'n analítica ? num;rica en la o0tenci'n de las respuestas para posici'n ? velocidad& Una e2plicaci'n a esto sería ue el m;todo de unge ( @utta presenta una ma?or esta0ilidad ? convergencia& Mientras ue la vi0raci'n 7or%ada surge di7erencias en las ilustraciones -> 8 ? *> mostrando ue la soluci'n num;rica se encuentra des7asada de la curva analítica& 9ara el primer caso> se puede o0servar ue mientras menor sea el coe3ciente de rigide% /> la amplitud aumenta ? la 7recuencia disminu?e> dando origen a una ma?or disipaci'n energ;tica& ##
especto al segundo caso> se aprecia ue la condici'n críticamente amortiguado Ec#/,,G alcan%a la posici'n de reposo con ma?or rapide% ue un sistema so0re=amortiguado& !am0i;n se puede ver> antes de los ,&/ segundos> ue la masa se despla%a a una distancia ma?or con un amortiguador con un coe3ciente c crítico& 9ara el caso tres> el momento aplicado al disco provoca grandes amplitudes cuando tiene el mismo sentido de giro ue la direcci'n de rotaci'n del disco> mientras ue el periodo de amplitudes 0a1as> el momento contrarresta el movimiento del disco& mientras ue en las ilustraciones 8 ? * se alcan%a la esta0ilidad a los ,&- ? ,&) segundo respectivamente&
. Conclusiones Se evalu' la respuesta en un sistema compuesto por una masa=disco= amortiguador con un grado de li0ertad para diversos casos de vi0raciones& Se identi3c' mediante grá3cos las diversas respuestas ue e2perimenta0an el sistema al variar el coe3ciente de amortiguaci'n ? las constantes de rigide% en los dos primeros casos&
#/
. Ap3ndice .1 C'digos de programaci'n en &A45A6 .1.1 ,oluci'n num3rica
9ara todos los casos anali%ados se ha implementado el algoritmo de unge ( @utta de cuarto orden para ecuaciones di7erenciales de orden superior 4/5& function [t,x,v] = rk_2(f,ta,tb,xo,vo,N) h = (tb-ta)/N; t = ta:h:tb; x = zeros(N!,!); "reserva #e#oria $ara n! e%e#entos &e% vector x v = zeros(N!,!); x(!) = xo; v(!) = vo; for i=!:N k!=h'v(i); %!=h'f(t(i),x(i),v(i)); k2=h'(v(i)%!/2); %2=h'f(t(i)h/2,x(i)k!/2,v(i)%!/2); k=h'(v(i)%2/2); %=h'f(t(i)h/2,x(i)k2/2,v(i)%2/2); k=h'(v(i)%); %=h'f(t(i)h,x(i)k,v(i)%);
x(i!)=x(i)(k!2'k22'kk)/*; v(i!)=v(i)(%!2'%22'%%)/*; en&
en&
.1.2 *ibraci'n libre sin amortiguamiento " +te# ! " ibracin %ibre no a#orti.ua&a #! = !0; #2 = #!; r = 0!; a = 02; +o = 0!; k! = 000; 12 = [!00 00 00]; c = 0; 3o = 0; xo = 00; vo = 2; 3 = #!#2+o/r42; n = c/(2'(#!#2+o/r42)); for 5 = !: k2 = 12(5); 6n = s7rt((k!k2'((a/r)42a/r))/(#!#2+o/r42)); f=8(t,x,v) -2'n'v-6n'6n'x3o/(r'3)'sin(6n't); " 9c &e #ovi#iento " ie#$o ta = 0; tb = 2;
#)
en&
N = 20; ho%& on " o%ucin nu#tica ho%& on x = xo'cos(6n't)vo/6n'sin(6n't); sub$%ot(2,!,!) $%ot(t,x,-) ho%& on v = vo'cos(6n't)-xo'6n'sin(6n't); sub$%ot(2,!,2) $%ot(t,v,-)
" ?eter#inacin $osicin
" ?eter#inacin ve%oci&a&
sub$%ot(2,!,!) .ri& on x%abe%(t) @%abe%(x); %e.en&(a$roxi#a&o,exacto) tit%e(Aosicin) .text(k2 = !00,Bo%or,b) .text(k2 = 00,Bo%or,@) .text(k2 = 00,Bo%or,.) sub$%ot(2,!,2) .ri& on x%abe%(t) @%abe%(x4(t)); %e.en&(a$roxi#a&o,exacto) tit%e(e%oci&a&) .text(k2 = !00,Bo%or,b) .text(k2 = 00,Bo%or,@) .text(k2 = 00,Bo%or,.)
.1.% *ibraci'n libre amortiguada " +te# 2 " ibracin %ibre a#orti.ua&a #! = !0; #2 = #!; r = 0!; a = 02; +o = 0!; k! = 000; k2 = !00; B = [!200 200 200]; 3o = 0; xo = 00; vo = 2; 3 = #!#2+o/r42; 6n = s7rt((k!k2'((a/r)42a/r))/(#!#2+o/r42));
#-
for 5 = !: c = B(5); n = c/(2'(#!#2+o/r42)); f=8(t,x,v) -2'n'v-6n'6n'x3o/(r'3)'sin(6n't); " 9cuacin &e #ovi#iento " Ce%acin &e a#orti.ua#iento e = c/(2'(#!#2+o/r42)'6n); " ie#$o ta = 0; tb = 2; N = 20; ho%& on " o%ucin nu#tica if e D ! " iste#a suba#orti.ua&o Eo = s7rt(xo42'6n42vo422'xo'vo'e'6n)/(s7rt(!-e42)'6n); AF+o = atan((xo'6n's7rt(!-e42))/(vo6n'xo'e)); ho%& on x = Eo'ex$(-e'6n't)'sin(s7rt(!-e42)'6n'tAF+o); sub$%ot(2,!,!) $%ot(t,x,-) ho%& on v = -Eo'e'6n'ex$(-e'6n't)'sin(s7rt(!-e42)'6n'tAF+o) Eo'ex$(-e'6n't)'s7rt(!-e42)'6n'cos(s7rt(!-e42)'6n'tAF+o); sub$%ot(2,!,2) $%ot(t,v,-) e%seif e == ! " iste#a cr>tica#ente a#orti.ua&o ho%& on x = (xo(vo6n'xo)'t)'ex$(-6n't); sub$%ot(2,!,!) $%ot(t,x,-) ho%& on v = (vo6n'xo)'ex$(-6n't)-(xo(vo6n'xo)'t)'6n'ex$(-6n't); sub$%ot(2,!,2) $%ot(t,v,-) e%se " iste#a sobrea#orti.ua&o s! = (-es7rt(e42-!))'6n; s2 = (-e-s7rt(e42-!))'6n; B! = (xo'6n'(es7rt(e42-!)vo))/(2'6n's7rt(e42-!)); B2 = (-xo'6n'(es7rt(e42-!)-vo))/(2'6n's7rt(e42-!)); ho%& on x = B!'ex$(s!'t)B2'ex$(s2't); sub$%ot(2,!,!) $%ot(t,x,-) ho%& on v = B!'s!'ex$(s!'t)B2's2'ex$(s2't); sub$%ot(2,!,2) $%ot(t,v,-) en& en&
#.
sub$%ot(2,!,!) .ri& on x%abe%(t) @%abe%(x); %e.en&(a$roxi#a&o,exacto) tit%e(Aosicin) .text(c = !200,Bo%or,b) .text(c = 200,Bo%or,@) .text(c = 200,Bo%or,c) sub$%ot(2,!,2) .ri& on x%abe%(t) @%abe%(x4(t)); %e.en&(a$roxi#a&o,exacto) tit%e(e%oci&a&) .text(c = !200,Bo%or,b) .text(c = 200,Bo%or,@) .text(c = 200,Bo%or,c)
.1.- *ibraci'n for+ada " +te# a #! = !0; #2 = #!; r = 0!; a = 02; +o = 0!; k! = 000; k2 = !00; c = 0; 3o = !00; xo = 00; vo = 2; 6f = !0; 3 = #!#2+o/r42; 6n = s7rt((k!k2'((a/r)42a/r))/(#!#2+o/r42)); 7 = 3o/(r'3); n = c/(2'(#!#2+o/r42)); f=8(t,x,v) -2'n'v-6n'6n'x7'sin(6f't); " 9cuacin &e #ovi#iento " Ce%acin &e a#orti.ua#iento e = c/(2'(#!#2+o/r42)'6n); " ie#$o ta = 0; tb = 2; N = 20; ho%& on " o%ucin nu#
#8
" Aara c = 0 @ 6f = !0 B! = xo; B2 = vo/6n-(7'6f/6n)/(6n42-6f42); ho%& on x = B!'cos(6n't)B2'sin(6n't)7/(6n426f42)'sin(6f't); sub$%ot(2,!,!) $%ot(t,x,-) ho%& on v = -B!'6n'sin(6n't)B2'6n'cos(6n't)7'6f/(6n426f42)'cos(6f't); sub$%ot(2,!,2) $%ot(t,v,-) " Aara c = 0 @ 6f = 20 " Cesonancia ho%& on x = -7/(2'6n42)'(6n't'cos(6n't)-sin(6n't)); sub$%ot(2,!,!) $%ot(t,x,-) ho%& on v = -7/(2'6n42)'(6n'cos(6n't)-6n42't'sin(6n't)-6n'cos(6n't)); sub$%ot(2,!,2) $%ot(t,v,-) " Aara c = 200 @ 6f = 20 Eo = s7rt(xo42'6n42vo422'xo'vo'e'6n)/(s7rt(!-e42)'6n); AF+o = atan(xo'6n's7rt(!-e42))/(vo6n'xo'e); ho%& on xh = Eo'ex$(-e'6n't)'sin(s7rt(!-e42)'6n'tAF+o); x$ = 7'2'n'6f'sin(6f't)/('n42'6f42(6n42-6f42))7'(6n426f42)'cos(6f't) /('n42'6f42(6n42-6f42)); x = xhx$; sub$%ot(2,!,!) $%ot(t,x,-) ho%& on vh = -Eo'e'6n'ex$(-e'6n't)'sin(s7rt(!-e42)'6n'tAF+o) Eo'ex$(-e'6n't)'s7rt(!-e42)'6n'cos(s7rt(!-e42)'6n'tAF+o); v$ = 7'2'n'6f42'cos(6f't)/('n42'6f42(6n42-6f42))- 7'6f'(6n42-6f42)'sin(6f't)/('n42'6f42(6n42-6f42)); v = vh v$; sub$%ot(2,!,2) $%ot(t,v,-) " Aara c = !200 @ 6f = 20 ho%& on xh = (xo(vo6n'xo)'t)'ex$(-6n't); x$ = 7'2'n'6f'sin(6f't)/('n42'6f42(6n42-6f42))7'(6n426f42)'cos(6f't) /('n42'6f42(6n42-6f42)); x = xhx$; sub$%ot(2,!,!) $%ot(t,x,-) ho%& on vh = (vo6n'xo)'ex$(-6n't)-(xo(vo6n'xo)'t)'6n'ex$(-6n't); v$ = 7'2'n'6f42'cos(6f't)/('n42'6f42(6n42-6f42))-
#*
7'6f'(6n42-6f42)'sin(6f't)/('n42'6f42(6n42-6f42)); v = vh v$; sub$%ot(2,!,2) $%ot(t,v,-) sub$%ot(2,!,!) .ri& on x%abe%(t) @%abe%(x); %e.en&(a$roxi#a&o,exacto) tit%e(Aosicin) sub$%ot(2,!,2) .ri& on x%abe%(t) @%abe%(x4(t)); %e.en&(a$roxi#a&o,exacto) tit%e(e%oci&a&)
7. 6ibliograf#a
4# S& S& AO> 6i0raciones mecánicas> M;2ico 9 /,#/& 5 4/ 4
#:
