Republica Bolivariana de Venezuela La Universidad del Zulia Facultad de Ingeniería División de Postgrado Programa: Gerencia de Mantenimiento. Asignatura: Investigación de Operaciones.
PROGRAMACIÓN LINEAL.
Realizado por: Badell T., Jorge E. CI: 17.683.694
Maracaibo, 12 de Marzo del 2012.
1. Juan debe trabajar cuando menos 20 horas a la semana para complementar sus ingresos, y al mismo tiempo asistir a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas al menudeo: en la tienda 1 puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas le pagan el mismo sueldo por hora. En consecuencia, Juan quiere basar su decisión acerca de cuantas horas trabajar en cada tienda en un criterio distinto: el factor de tensión en el trabajo. Con base en las entrevistas con otros empleados, Juan estima en una escala de 1 a 10, los factores de tensión son 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Como la tensión aumenta cada hora, supone que la tensión total al final de la semana es proporcional a la cantidad de horas que trabaja en las tiendas. ¿Cuántas horas debería trabajar Juan en cada tienda? X1: número de horas a la semana a trabajar en la tienda 1. X2: número de horas a la semana a trabajar en la tienda 2. Z = 8 X 1 + 6 X 2 → Minimizar
① ② ③ ④
X 1 + X 2 ≥ 20 5 ≤ X 1 ≤ 12 6 ≤ X 2 ≤ 10
Restricciones
X 1, X 2 ≥ 0
Grafica 1
•
Vértices de la zona factible:
− Intersección ① con ③ ⇒ X 2 = 10 ; X 1 + (10) = 20 ⇒ X 1 = 10
Z (10;10) =8(10) +6(10) =140 ←FACTIBLE
8 X 1 + 6 X 2 = 140 X 1 = 0 ⇒ X 2 = 20 X 2 = 0 ⇒ X 1 =17,5
− Intersección ① con ② ⇒ X 1 = 12 ; (12) + X 2 = 20 ⇒ X 2 = 8
Z (12;8) = 8(12) + 6(8) = 144
− Intersección ② con ③ ⇒ X 1 = 12 ; X 2 = 10 Z (12;10) = 8(12) + 6(10) = 156 140 < 144 < 156
Juan Deberá trabajar 10 horas a la semana en cada tienda para que la tensión producida por ambos trabajos sea mínima. 2. OilCo construye una refinería para elaborar cuatro productos: diesel, gasolina, lubricantes y combustible para aviones. Las demandas (en barriles/día) de esos productos son 14.000, 30.000, 10.000 y 8.000, respectivamente. Irán y Dubai tienen un contrato para enviar crudo a OilCo. Debido a las cuotas de producción que especifica la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo) la nueva refinería puede recibir al menos 40% de su crudo de Irán, y el resto de Dubai. OilCo pronostica que estas cuotas de demanda y de crudo permanecerán estables durante los 10 años siguientes. Las distintas especificaciones de los dos crudos determinan dos porciones distintas de productos: un barril de crudo de Irán rinde 0,2 barril de diesel, 0,25 barril de gasolina, 0,1 barril de lubricante y 0,15 barril de combustible para avión. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0,1, 0,6, 0,15 y 0,1, respectivamente. OilCo necesita determinar la capacidad mínima de la refinería, en barriles de crudo por día. Porciones de productos Diesel
Gasolina
Lubricantes
Irán Dubai
0,2 0,1
0,25 0,6
0,1 0,15
Combustible para Aviones 0,15 0,1
Demanda
14.000
30.000
10.000
8.000
OilCo
X1: cantidad de barriles al día recibidos de Irán. X2: cantidad de barriles al día recibidos de Dubai. Capacidad → Z = X 1 + X 2 → Minimizar. ① − 0,6 X 1 + 0,4 X 2 ≤ 0 ② 0,2 X 1 + 0,1X 2 ≥14.000
Particiones 40% 60%
③ ④ ⑤ ⑥
0,25 X 1 + 0,6 X 2 ≥ 30.000 0,1X 1 + 0,15 X 2 ≥10.000 0,15 X 1 + 0,1X 2 ≥ 8.000 X 1, X 2 ≥ 0
① − 0,6 X 1 + 0,4 X 2 ≤ 0 ⇒ X 2 =
Restricciones
3 X1 2
② 0,2 X 1 + 0,1X 2 ≥14.000 X 1 = 0 ⇒ X 2 = 140.000 X 2 = 0 ⇒ X 1 = 70.000
③ 0,25 X 1 + 0,6 X 2 ≥ 30.000 X 1 = 0 ⇒ X 2 = 50.000 X 2 = 0 ⇒ X 1 = 120.000
④ 0,1X 1 + 0,15 X 2 ≥10.000 X 1 = 0 ⇒ X 2 = 66.670 X 2 = 0 ⇒ X 1 = 100.000
⑤ 0,15 X 1 + 0,1X 2 ≥ 8.000 X 1 = 0 ⇒ X 2 = 80.000 X 2 = 0 ⇒ X 1 = 53.330
Grafica 2
•
Vértices de la zona factible:
− Intersección ① con ② ⇒ X 1 = 40.000 ; X 2 = 60.000
Z ( 40.000;60.000) = 40.000 + 60.000 = 100.000
− Intersección ④ con ② ⇒ X 1 = 55.000 ; X 2 = 30.000
Z (55.000;30.000) = 55.000 +30.000 =85.000 →FACTIBLE
X 1 + X 2 = 85.000 X 1 = 0 ⇒ X 2 = 85.000 X 2 = 0 ⇒ X 1 = 85.000
− Intersección ③ con ④ ⇒ X 1 = 66.667 ; X 2 = 22.222
Z (66.667;22.222) = 66.667 + 22.222 = 88.889
85.000 < 88.889 < 100.000
La capacidad mínima de la refinería OilCo es de 85.000 barriles de crudo por día. 55.000 barriles al día recibidos de Irán y 30.000 barriles al día recibidos de Dubai. 3. Ahorros S.A. desea invertir una suma que genere un rendimiento anual mínimo de $10.000. dispone de dos grupos accionarios: acciones selectas y alta tecnología, con un rendimiento anual promedio de 10% y 25%, respectivamente. Aunque las acciones de alta tecnología dan más rendimiento, son más arriesgadas, y Ahorros desea limitar la cantidad invertida en ellas a un máximo de 60% del total. ¿Cuál es la cantidad mínima que debe invertir Ahorros en cada grupo de acciones para alcanzar la meta de la inversión?
Ahorros S.A.
Acciones Selectas
Alta Tecnología
Rendimiento Anual Mínimo
10%
25%
$10.000
40%
60%
Grupos Accionarios
Rendimiento Anual Promedio Distribución de la Inversión
X1: cantidad de dinero invertido en acciones selectas. X2: cantidad de dinero invertido en alta tecnología. Z = X 1 + X 2 → Minimizar.
① 0,1X 1 + 0,25 X 2 ≥10.000 ② 0,6 X 1 − 0,4 X 2 ≥ 0 ③ X 1, X 2 ≥ 0 ① 0,1X 1 + 0,25 X 2 ≥10.000 X 1 = 0 ⇒ X 2 = 40.000
X 2 = 0 ⇒ X 1 = 100.000
Restricciones
② 0,6 X 1 − 0,4 X 2 ≥ 0 ⇒ X 2 ≥
3 X1 2
Grafica 3
•
Vértices de la zona factible:
− Intersección ① con ② ⇒ X 1 = 21.052 ; X 2 = 31.578
Z (21.052;31.578) = ( 21.052) +(31.578) = 52.630 →FACTIBLE
X 1 + X 2 = 52.630 X 1 = 0 ⇒ X 2 = 52.630 X 2 = 0 ⇒ X 1 = 52.630
Ahorros S.A. deberá invertir un total de $52.630 para alcanzar la meta de la inversión. $21.052 en acciones selectas y $31.578 en alta tecnología.
4. La Apex Television Company debe decidir el número de televisores de 27 y 20 pulgadas producidos en una de sus fábricas. La investigación del mercado indica ventas de a lo mas de 40 televisores de 27 pulgadas y 10 de 20 pulgadas cada mes. El número máximo de horas-hombre disponibles es 500 por mes. Un televisor de 27 pulgadas requiere 20 horas-hombre y uno de 20 pulgadas, 10. Cada televisor de 27 pulgadas produce una ganancia de $120 y cada uno de 20 pulgadas produce $80 de ganancia. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todos los televisores producidos si el número no excede el máximo indicado por el estudio de mercado.
a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método grafico para resolver el modelo.
Productos
Apex Television Company
TV 27”
TV 20”
Horas-Hombre por producto
20
10
Ganancia
$120
$80
Horas-Hombre disponibles por mes
X1: número de televisores de 27 pulgadas producidos por mes. X2: número de televisores de 20 pulgadas producidos por mes. Z = 120 X 1 + 80 X 2 → Maximizar
① ② ③ ④
20 X 1 + 10 X 2 ≤ 500 X 1 ≤ 40 X 2 ≤ 10
Restricciones
X 1, X 2 ≥ 0
① 20 X 1 + 10 X 2 ≤ 500 X 1 = 0 ⇒ X 2 = 50 X 2 = 0 ⇒ X 1 = 25
Grafica 4
500
•
Vértices de la zona factible:
− Intersección ① con ③ ⇒ X 2 = 10 ; 20 X 1 + 10(10) = 500 ⇒ X 1 = 20
Z ( 20;10) =120( 20) +80(10) = 3200 120 X 1 +80 X 2 = 3200 X 1 = 0 ⇒X 2 = 40 X 2 = 0 ⇒X 1 = 26,67
Para no exceder lo estipulado por el estudio del mercado se producirán 20 televisores de 27 pulgadas y 10 televisores de 20 pulgadas.
