Ejercicio 5 Función objetivo
Minimizar Z = 6X1 + 3X2 + 5X3
Sujeto a las restricciones:
3X1 + 2X2 + 3X3
≥ 185
2X1 + 4X2 + 4X3
≥ 380
4X1 + 3X2 + 4X3
≥ 195
X1, X2, X3
≥ 0
Se extiende el modelo: Z - 6X1 - 3X2 - 5X3 + 0S1 + 0S2 + 0S3 - MA1 - MA2 - MA3 = 0 3X1 + 2X2 + 3X3 – S1 + A1 = 185 2X1 + 4X2 + 4X3 – S2 + A2 = 380 4X1 + 3X2 + 4X3 – S3 + A3 = 195
SOLUCIÓN POR SIMPLEX ALGEBRAICO ITERACIÓN ECUACIÓN
0
X3
S1
S2
S3
A1
A2
A3
RHS
1
-6
-3
-5
0
0
0
-M
-M
-M
0
1
A1
0
3
2
3
-1
0
0
1
0
0
185
2
A2
0
2
4
4
0
-1
0
0
1
0
380
3
A3
0
4
3
4
0
0
-1
0
0
1
195
Z
X1
X2
X3
S1
S2
S3
A1
A2
A3
RHS
-M
-M
-M
0
0
0
760M
COCIENTE
Z
1
1
A1
0
3
2
3
-1
0
0
1
0
0
185
61,67
2
A2
0
2
4
4
0
-1
0
0
1
0
380
95
3
A3
0
4
3
4
0
0
-1
0
0
1
195
48,75
Z Z
9M-6 9M-3 11M-5
COCIENTE
0
0
X1
X2
1 -2M-1 3M/4+3/4
X3 S1
S2
S3
A1 A2
0
-M -M 7M/4-5/4
0
0
A3
RHS
COCIENTE
-11M/4+5/4 -11M/4+5/4 895M/4+975/4
1
A1 0
0
-0,25
0
-1
0
0,75
1
0
-0,75
38,75
52
2
A2 0
-2
1
0
0
-1
1
0
1
-1
185
185
3
X3 0
1
0,75
1
0
0
-0,25
0
0
0,25
48,75
-195
Z
X1
X2
X3
COCIENTE
ITERACIÓN ECUACIÓN 3
X2
Z
ITERACIÓN ECUACIÓN
2
X1
0
ITERACIÓN ECUACIÓN
1
Z
0
Z
1 -2M-1 4M/3+1/3
0
S1
S2 S3
4M/3-5/3 -M
0
A1
A2
A3
RHS
-7M/3+5/3
0
-M
400M/3+925/3
1
S3 0
0
-0,33
0
-1,33
0
1
1,33
0
-1
51,67
-155
2
A2 0
-2
1,33
0
1,33
-1
0
-1,33
1
0
133,33
100
3
X3 0
1
0,67
1
-0,33
0
0
0,33
0
0
61,67
92,5
ITERACIÓN ECUACIÓN
4
X1
X2
X3
S1
S2
S3
A1
A2
A3
RHS
-2M-1/2 2M-3/2 -M
0
-3M+3/2
0
-M
10M+277,5
COCIENTE
0
Z
1
-4M-3/2
0
1
S3
0
0,5
0
0,5
-1,5
0
1
1,5
0
-1
82,5
-55
2
A2
0
-4
0
-2
2
-1
0
-2
1
0
10
5
3
X2
0
1,5
1
1,5
-0,5
0
0
0,5
0
0
92,5
-185
Z
X1
X2
X3
S1
S2
S3
A1
A2
A3
RHS
COCIENTE
ITERACIÓN ECUACIÓN
5
Z
0
Z
1
-4,5
0
-2
0
-0,75
0
-M
-M+3/4
-M
285
1
S3
0
-2,5
0
-1
0
-0,75
1
0
0,75
-1
90
2
S1
0
-2
0
-1
1
-0,5
0
-1
0,5
0
5
3
X2
0
0,5
1
1
0
-0,25
0
0
0,25
0
95
FORMULACIÓN DUAL Función objetivo
Maximizar Z* = 185Y1 + 380Y2 + 195Y3
Sujeto a las restricciones:
3Y1 + 2Y2 + 4 Y3 ≤ 6 2Y1 + 4Y2 + 3Y3 ≤ 3 3Y1 + 4Y2 + 4Y3 ≤ 5 Y1, Y2, Y 3 ≥ 0
Se extiende el modelo: Z* - 185Y1 - 380Y2 - 195Y3 – 0S1 – 0S2 – 0S3 = 0 3Y1 + 2Y2 + 4Y3 + S1 = 6 2Y1 + 4Y2 + 3Y3 + S2 = 3 3Y1 + 4Y2 + 4Y3 + S3 = 5
SOLUCIÓN POR SIMPLEX ALGEBRAICO ITERACIÓN ECUACIÓN 0 Z 0 1 S1 2 S2
Z* 1 0 0
Y1 -185 3 2
Y2 -380 2 4
Y3 -195 4 3
S1 0 1 0
S2 0 0 1
S3 0 0 0
RHS COCIENTE 0 6 3 3 0,75
3
S3
0
3
4
4
0
0
1
ITERACIÓN ECUACIÓN 0 Z 1 S1 1 2 Y2 3 S3
Z* 1 0 0 0
Y1 5 2 0,5 1
Y2 0 0 1 0
Y3 90 2,5 0,75 1
S1 0 1 0 0
S2 95 -0,5 0,25 -1
S3 0 0 0 1
5
1,25
RHS COCIENTE 285 4,5 0,75 2
Análisis económico A partir de la tabla final del método algebraico usado para resolver el problema dual, se puede tomar el análisis del modelo mediante sus precios sombra. Solución Y1
0
Y2
0,75
Y3
0
X1
0
X2
95
X3
0
Por cada unidad que se aumente/disminuya en el consumo mínimo del recurso 1, la función objetivo no n o aumentará ni disminuirá. Por cada unidad que se aumente/disminuya en el consumo mínimo del recurso 2, la función objetivo aumentará/disminuirá en 0,75. Por cada unidad que se aumente/disminuya en el consumo mínimo del recurso 3, la función objetivo no n o aumentará ni disminuirá. Por cada unidad que se aumente/disminuya en la contribución del producto 1, la función objetivo no aumentará ni disminuirá. Por cada unidad que se aumente/disminuya en la contribución del producto 2, la función objetivo aumentará/disminuirá en 95. Por cada unidad que se aumente/disminuya en la contribución del producto 3, la función objetivo no aumentará ni disminuirá.
Entiéndase como: A-1 = matriz inversa de los coeficientes de las restricciones del problema dual A-1S = matriz de costos asociada a las variables no básicas que se extrae de la solución de la fase 1 para iniciar la fase 2 del método simplex Pc = precio sombra asociado a la utilidad de los jugos, es decir, al vector c Pb = precio sombra asociado a la capacidad de las componentes, es decir, dec ir, al vector b B1 = vector de coeficientes de la función objetivo del problema dual asociado a las variables básicas de la solución del problema dual B2 = vector de coeficientes de la función objetivo del problema dual a asociado a las variables no básicas de la solución del problema dual Por lo anterior, se tiene que:
= − ≥ 0 = − ≥ 0
Con esto se tiene que los límites para las contribuciones de los productos y el consumo mínimo de los recursos, es: LIMITES ≥ c1 ≥ 1,5 ≥ ≥ 0 c2 ≤ 12 ≤ 5 ≥ c3 ≥ ≥ 3 b1
b2
b3
≤
190
≥ ≥
370 260 0
≤
285
≥
La contribución del producto 1 debe ser superior a 1,5 para mantener la solución óptima inicial, suponiendo los demás parámetros constantes. La contribución del producto 2 debe ser superior a 0 e inferior a 5 para mantener la solución óptima inicial, suponiendo los demás parámetros constantes. La contribución del producto 3 debe ser superior a 3 para mantener la solución óptima inicial, suponiendo los demás parámetros constantes. El consumo mínimo del recurso 1 debe ser inferior a 190 para mantener la solución óptima inicial, suponiendo los demás parámetros constantes. El consumo mínimo del recurso 2 debe ser superior a 370 para mantener la solución óptima inicial, suponiendo los demás parámetros constantes. El consumo mínimo del recurso 3 debe ser inferior a 285 para mantener la solución óptima inicial, suponiendo los demás parámetros constantes.
Los parámetros y valor de la función objetivo optimo corresponde a:
Solución inicial C. tecnológicos Costos de la función objetivo Inversa de C. tecnológicos D. recursos 2 -1 0 3 0 0 0 0,25 0 185 4 0 0 -1 0,5 0 380 3 0 -1 0 0,75 -1 195
Cambio en el vector de disponibilidad de recursos Se identifica el vector de disponibilidad de recursos,
185 = (380 ) 195
Z 285
y se aplica un
185 ′ cambio correspondiente de = (370), el cual se encuentra dentro de los límites 195
de variación para la cantidad mínima de consumo del recurso 2 (b 2), con lo que los parámetros y valor de la función objetivo optimo corresponde a:
Cambio en el vector de disponibilidad de recursos Costos de la función objetivo Inversa de C. tecnológicos 3 0 0 0 0,25 0 -1 0,5 0 0 0,75 -1
D. recursos 185 370 195
Z 277,5
Cambio en los coeficientes tecnológicos
2 1 0 = (34 00 10 ) 2 1 0 = (4,53 0 0 01)
Se identifica la matriz de coeficientes tecnológicos, un cambio correspondiente de
y se aplica
, con lo que los parámetros y
valor de la función objetivo optimo corresponde a:
Cambio en los coeficientes tecnológicos C. tecnológicos Costos de la función objetivo Inversa de C. tecnológicos D. recursos 2 -1 0 3 0 0 0 0,22 0 185 4,5 0 0 -1 0,44 0 380 3 0 -1 0 0,67 -1 195
Z 253,33
Cambio al adicionar una nueva variable Se agrega una variable X4 con utilidad de 1,5 y parámetros de 1, 2,3 para las tres restricciones respectivamente. Aplicando operación entre matrices, para evaluar la introducción de la nueva variable, la tabla final corresp ondiente a los valores óptimos es la siguientes.
Cambio al adicionar una nueva variable Parámetros X4 1,5 1 2 3
Z X2 S1 S3
Z 1 0 0 0
X1 -4,5 0,5 -2 -2,5
X2 0 1 0 0
X3 -2 1 -1 -1
X4 -1,5 -0,75 0,5 -0,25
S1 0 0 1 0
S2 -1 -0,25 -0,5 -0,75
S3 0 0 0 1
RHS 285 95 5 90
Como el objetivo de la función primal es minimizar y no quedan valores positivos para el primer renglón, se entiende que la solución inicial permanece.
