PROGRAM LINEAR
( 3 sks)
Materi per pertemuan : ( untuk mid semester)
Pertemuan
Materi
1
Pengenalan silabus
Kontrak belajar
Referensi
Penjelasan materi
1
PENDAHULUAN
A. Masalah Optimasi
B. Perumusan Masalah Nyata
2
PROGRAM LINEAR DENGAN METODE GRAFIK
Daerah layak
Garis senilai
Penyelesaian Optimum
3
B. Beberapa Kejadian Penyelesaian
Ada pilihan penyelesaian
Soal tidak layak
Penyelesaian tak terbatas
Program linear bulat
4-5
Program linear dengan metode simpleks
A. Teknik penyelesaian
Bentuk-bentuk soal program linear
Langkah-langkah simpleks
Pola maksimum baku
6
B. Perubah semu
C. Pola minimum
7
D.Kejadian soal tidak mempunyai penyelesaian optimum
E. Ada pilihan penyelesaian optimum
F. Masalah PL dengan perubah tak bersyarat
Materi per pertemuan : ( untuk akhir semester)
Pertemuan
Materi
8
Pembahasan hasil ujian mid semester
8
DUALITAS
A. Hubungan Dual
B. Soal-soal
9
DUALITAS
Dalil – dalil dualitas
Soal-soal
10
METODE TRANSPORTASI
Metode Stepping Stone
Metode MODI
11
METODE TRANSPORTASI
Metode Vogel's Approximation
Masalah tidak sama dengan kebutuhan
Masalah Degeneracy
Penggunaan PL
12
MASALAH PENUGASAN
Perumusan Masalah
Masalah Minimisasi
13
MASALAH PENUGASAN
Perumusan Maksimisasi
Masalah –masalah Penugasan Tambahan
14
ANALISIS SENSITIVITAS
Referensi wajib :
Pangestu Subagyo.1993." Dasar-dasar operatins Research".Yogyakarta:BPFE
Kontrak Belajar :
UTS 35 %
UAS 35 %
Kehadiran 10 %
Tugas 20%
Menggunakan aturan PAP sesuai di UAD
Catatan :
Tidak ikut UAS atau UTS nilai E
Tidak mengumpulkan tugas nilai E
Ujian kerjasama atau menyontek teman nilai E
PERTEMUAN I
PENDAHULUAN
Bagaimana posisi PL di bidang matematika ?
Di bidang matematika PL dapat dianggap sebagai contoh terapan dari materi matriks dan aljabar vector.
PL merupakan pengenalan model yang paling sederhana dalam bidang riset operasi yang banyak diperlukan dalam manajemen.
Mengapa PL itu diperlukan ?
Karena berdasarkan perkembangan yang pesat dari ilmu pengetahuan dan teknologi menuntut manusia untuk mempertimbangkan segala kemungkinan sebelum mengambil suatu keputusan dan tindakan-tindakan yang dapat dipertanggungjawabkan.
Pertimbangan itu tidak hanya berdasar naluri saja tetapi perlu menggunakan metode kuantitatif, teknik-teknik yang tepat agar tidak mendapatkan resiko yang besar. Untuk mengadakan perhitungan2 itulah diperlukan PL.
Dapat diterapkan dimana saja PL tersebut ?
PL dapat diterapkan di bidang social dan manajemen.
Apa saja yang diperlukan untuk menerapkan PL ?
Wawasan permasalahan
Perumusan masalah
Penyusunan model
Matematika yang diperlukan
Materi kelanjutan untuk PL itu apa ?
Riset Operasi (RO)
Arti riset operasi ?
RO adalah suatu metode ilmiah yang memungkinkan para manajer mengambil kepututsan mengenai kegiatan yang mereka tangani dengan dasar kuantitatif
Aplikasi metode, teknik-teknik dan peralatan-peralatan ilmiah dalam menghadapi masalah-masalah yang timbul didalam operasi perusahaan dengan tujuan ditemukannya pemecahan yang optimum masalah-masalah tersebut
A. MASALAH OPTIMASI
Dalam kehidupan manusia cenderung berpola prinsip ekonomi, yaitu dengan usaha yang sedikit mungkin manusia berkeinginan untuk mendapat atau memperoleh hasil sebanyak mungkin.
Banyak hal yang dicari nilai optimumnya misal :
1. pendapatan yang maksimum
2. ongkos yang minimum
3. hidup yang paling nyaman
4. minum obat yang paling sedikit
Apabila yang dioptimumkan ternyata bersifat kuantitatif maka masalah optimum menjadi masalah ekstrem yaitu : maksimum dan minimum.
Pada mata kuliah apa anda mengenal masalah ekstrem (maksimum dan minimum)?
Pada pembahasan ini yang dibahas adalah yang bersifat kuantitatif sehingga masalah optimum menjadi masalah ekstrem yang tidak lain maksimum dan minimum. Dari contoh di atas mana yang bersifat kunatitatif ?
Optimisasi dibagi menjadi tiga yaitu :
1. Optimisasi Fungsi tanpa kendala
2. Optimisasi Fungsi dengan kendala
3. Masalah Program Linear
Contoh Optimisasi tanpa kendala
Diketahui suatu fungsi y=x2-2x+2.
Pada mata kuliah apa soal ini saudara pelajari?
Fungsi di atas mencapai minimum di x=1 dengan nilai minimum y= 1-2.1+2=1
Produksi dua macam sepatu S dan M memberikan fungsi laba bulanan sebagai berikut :
L = -x2 – xy – 2y2 + 5x + 13y
Dengan L : laba
X : tingkat produksi S
Y : tingkat produksi M
Dicari nilai (X,Y) yang memaksimumkan L
Pada mata kuliah apa soal ini saudara pelajari?
Penyelesaian :
Dari syarat stasioner diperoleh titik stasioner P(1,3) dan delta sebesar 7, sehingga L mencapai ekstrem di (1,3).
Kesimpulan adalah supaya laba maksimum sebaiknya diproduksi 1 unit S dan 3 unit M per bulan.
2. Optimalisasi Fungsi dengan Kendala
Contoh :
Pagar kawat sepanjang 24 m akan digunakan untuk memagari kandang ayam berbentuk persegi panjang. Bagaimana ukuran kandang supaya luasnya maksimum?
Penyelesaian:
Misalkan p:panjang kandang
q:lebar kandang,
maka luasnya L=pq,sedang kelilingnya 2(p+q)=24
Soal menjadi:
mencari p dan q (tak negatif) yang memaksimumkan L=pq dengan syarat bahwa 2(p+q)=24
Soal ini disebut soal ekstrem (fungsi 2 perubah) dengan kendala berbentuk persamaan. Untuk penyelesaian contoh ini soal dapat diubah menjadi soal ekstrem fungsi 1 perubah tanpa kendala dengan cara mengeliminasikan salah satu perubahannya, misalnya q sbb :
Tulis q=12–p ,dan L=p(12-p) harus dimaksimumkan.
Didapat bahwa kandang harus dibuat dengan ukuran 6m kali 6m(berarti berbentuk bujursangkar).
Bentuk Masalah ekstrem dengan kendala dapat dibedakan menjadi dua yaitu :
1. Ekstrem dengan kendala berbentuk persamaan.
2. Ekstrem dengan kendala berbentuk pertidaksamaan.
Ekstrem dengan kendala berbentuk persamaan.
Mencari xj yang mengoptimumkan f=F(x1,x2,x3,…,xn) dengan kendala gi(x1,x2,x3,…,xn)=0, i=1,2,3,…,m.
Ekstrem dengan kendala berbentuk pertidaksamaan.
Mencari xj yang mengoptimumkan f=F(x1,x2,x3,…,xn) dengan kendala gi(x1,x2,x3,…,xn) [ ,=, ] 0, i=1,2,3,…,m.
3. Masalah Program Linear
Dari masalah ekstrem dengan kendala berbentuk pertidaksamaan di atas, jika f dan g semua linear sedang x juga harus memenuhi syarat tak negative (xj 0), j=1,2,3,…,n maka masalah ini dinamakan masalah program linear.
Secara umum masalah program liear dapat dirumuskan sebagai berikut :
Mencari x1,x2,x3,…,xn
Yang memaksimumkan (atau meminimumkan)
f= c1x1 +c2x2 + …..cnxn
dengan kendala :
a11x1+a12x2 + ….+a1n [ ,=, ]b1
a21x1+a22x2 + ….+a2n [ ,=, ]b2
a31x1+a32x2 + ….+a3n [ ,=, ]b3
.
am1x1+am2x2 + ….+amn [ ,=, ] bm
x1 0, x2 0, x3 0,…., xn 0
Perumusan di atas dapat diringkas menjadi :
Mencari xj , j=1,2,3,…,n
Yang memaksimumkan (meminimumkan) f= cj xj
Dengan kendala aij xj [ ,=, ] bi
xj 0
Contoh :
Mencari x dan y yang memenuhi :
x+y 8
3x-y 0
2x+y 2
x 0
y 0
dan memaksimumkan f(x,y)=50x + 100y
Latihan soal :
Apakah soal –soal berikut merupakan soal PL? jelaskan :
Tentukan x,y tak negative yang memenuhi 3x-y 0 ; x+y 5 dan meminimumkan f= 2xy – x + y
Tentukan x,y tak negative yang memenuhi 2x2-y 0 ; x+y 5 dan memaksimumkan f= – 4x + y
Tentukan x1, x2, x3 tak negative yang memenuhi x1+x2, 0 ; x1-x2 x1+x3 5 dan memaksimumkan f= x1+x2 x1+x3
Program linear
Pola umum yang dapat dimodelkan dengan program linear dapat digambarkan :
adanya pilihan kombinasi beberapa factor kegiatan
adanya sumber penunjang beserta batasnya
adanya fungsi sasaran yang harus dioptmumkan
relasi yang timbul antara factor-faktor berbentuk linear
Contoh :
Sekelompok tani transmigran mendapatkan 6ha tanah yang dapat ditanami padi, jagung dan palawija lain. Karena keterbatasan sumber daya petani harus menentukan berapa bagian yang harus ditanamin padi dan berapa yang harus ditanami jagung, sedang palawija lain ternyata tidak menguntungkan. Dalam satu masa tanam tenaga yang tersedia hanya 1590 jam/orang, pupuk juga terbatas, tak lebih dari 480 kg, sedangkan air dan sumber daya lainnya dianggap cukup tersedia. Diketahui pula bahwa untuk menghasilkan 1 kuintal jagung diperlukan 9 jam/orang tenaga dan 2 kg pupuk. Kondisi tanah memungkinkan menghasilkan 50 kuintal padi per hektar atau 20 kuintal jagung per hektar. Pendapatan petani dari 1 kuintal padi adalah Rp 32.000,- sedang dari 1 kuintal jagung Rp 20.000,- dan dianggap bahwa semua hasil tanamnya selalu habis terjual. Masalah bagi petani adalah bagaimanakah rencana (program) produksi yang memaksimumkan pendapatan total ? artinya berapa ha tanah ditanami padi dan berapa ditanami jagung ?
Tabel
Per kuintal
Sumber
Padi
jagung
Batas sumber
Satuan
Tanah
Tenaga
Pupuk
0,02
12
4
0,05
9
2
6
1590
480
Ha
Jam/orang
Kg
Pendapatan
32
20
Rp 1.000
Misalkan : x : banyaknya kuintal padi yang diproduksi
y : banyaknya jagung yang diproduksi
Kendala "banyaknya ha tanah yang digunakan untuk x kuintal padi dan banyaknya ha tanah yang digunakan untuk y kuintal jagung tidak melebihi 6 ha" ditulis : 0,02x + 0,05y 6.
Coba tulis untuk yang lain ?
Secara sederhana dapat ditulis :
Mencari x dan y yang memenuhi :
x 0 (1) (kendala tak negative)
y 0 (2) (kendala tak negative)
0,02x+0,05y 6 (3) (kendala utama)
4x + 3y 530 (4) (kendala utama)
2x + y 240 (5) (kendala utama)
Memaksimumkan : f= 32 x + 20 y (fungsi sasaran)
x dan y dinamakan perubah keputusan.
aij dinamakan koefisien teknis
bi dinamakan suku tetap
cj dinamakan koefisien ongkos
Contoh :
Perusahaan sepatu "IDEAL" membuat 2 macam sepatu. Macam pertama merk A dengan sol dan karet, dan macam kedua merk B dengan sol dan kulit. Untuk membuat sepatu-sepatu itu perusahaan memiliki 3 macam mesin. Mesin I khusus membuat sol dari karet, mesin II khusus membuat sol dari kulit dan mesin III membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merk A mula-mula dikerjakan di mesin I selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin II terus dikerjakan di mesin III selama 6 jam. Sedang sepatu merk B tidak diproses di mesin I, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin II selama 3 jam kemudian di mesin III selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari untuk mesin I=8 jam, mesin II=15 jam dan mesin III=30 jam. Sumbangan terhadap laba untuk setiap lusin sepatu merk A= Rp 30.000,- sedang merk B=Rp 50.000,-. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merk A dan merk B yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba.
Contoh :
Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua macam kapsul obat flu yang diberi nama fluin dan fluon. Masing-masing memuat tiga unsure utama dengan kadar kandungannya tertera dalam tabel. Menurut dokter seseorang yang sakit flu biasa akan sembuh bila dalam tiga hari (secara diratakan) minimum menelan 12 grain aspirin, 74 gram bikarbonat dan 24 grain kodein. Bila harga fluin 200 rupiah dan fluon 300 rupiah per kapsul, bagaimana rencana pembelian seorang pasien flu supaya cukup untuk menyembuhkannya dan meminimumkan ongkos pembelian total.
Kandungan unsure (dalam grain)
Unsure
Perkapsul
fluin
Fluon
Aspirin
2
1
Bikarbonat
5
9
kodein
1
6
Tabel persiapan
Unsure
x
Y
Batas minimal
Fluin
Fluon
Aspirin
2
1
12
Bikarbonat
5
8
74
Kodein
1
6
24
Harga
200
300
Soal kelompok masing-masing kelompok 4 s/d 5 orang
Di kerjakan di buku jangan lupa tulis anggota kelompoknya
Masing-masing mengumpulkan tugas sendiri-sendiri
1. Sebuah pabrik yang menggunakan dua tanur (TB: tanur biasa, TT: tanur panas tinggi) untuk produksinya dinyatakan mencemari lingkungan lewat asapnya yang ternyata mengandung belerang oksida dan hidrokarbon melebihi ambang yang diperbolehkan. Pemilik menyusun tim peneliti yang bertugas mengatasinya.
Tabel penguarangan kadar pencemaran
Usaha
Saringan
Ganti BBM
TB
TT
TB
TT
Belerang oksida
Hidrokarbon
30
18
20
22
50
20
80
16
Tim mengusulkan adanya dua macam jalan keluar ialah : a) pemasangan saringan, dan b). penggantian BBM yang digunakan disertai dengan pengaturan banyaknya TB dan TT yang dikenal pencegahan di atas. Dari hasil penelitian diperoleh data pengurangan pencemaran terkait dengan keempat usaha di atas.
Pabrik tersebut tercatat membuat pencemaran dengan kelebihan 200 satuan belerang oksida dan 100 satuan hidrokarbon dari ambang yang diperbolehkan, maka penyusutan masing-masing paling tidak harus sama dengan angka kelebihan di atas. Diketahui bahwa dana untuk satu satuan usaha terkait dengan jenis tanur adalah sbb :
saringan
BBM
TB
6
10
TT
8
12
Disyaratkan pula bahwa jumlah satuan kedua macam usaha untuk TT tidak boleh lebih dari 20% dari seluruh usaha. Berapa satuan masing-masing usaha sebaiknya dilaksanakan sehingga semua kendala dipenuhi dan dengan biaya total minimum.
2. Alkohol dapat dihasilkan dari 3 macam buah-buahan,A,P dan V dan masing-masing dapat diolah dengan dua macam proses, misalnya A1: buah diolah menurut cara 1 dan A2 : buah A diolah dengan cara 2 dst. Berturut –turut A1,A2,P1,P2,V1 dan V2 dapat menghasilkan alcohol sebanyak : 3%, 2,5%,3,5%,4%,5% dan 4,5% dari berat buah sebelumnya. Kapasitas mesin adalah 1 ton buah-buahan per hari dan selaludipenuhi. Pemborong yang menyuplai buah A hanya mau melayani jika paling sedikit dapat masuk 400 kg per hari. Sebaliknya buah P dan V masing-masing hanya dapat diperoleh paling banyak 350 kg per hari. Program manakah yang harus dipilih supaya hasil alcohol per harinya maksimum? Rumuskan masalah di atas.
2. Susun model matematis untuk soal cerita di bawah.
Sebuah perusahaan akan membeli paling sedikit 8 buah mesin untuk perluasan pabriknya. Harga yang baru 15 juta per unit. Di luar juga dapat dibeli mesin bekas dengan umur 2 tahun, 3 tahun, dan 4 tahun yang harganya diukur dari harga baru akan susut 3 juta per tahunnya. Keempat jenis di atas, yang baru, umur 2 tahun, umur 3 tahun, umur 4 tahun mempunyai ukuran yang berbeda-beda, berturut-turut akan memekan tempat 3,4,5, dan 6 meter persegi per unitnya, sedang ongkos perawatannya berturut-turut 0,1,2, dan 4 juta pertahunnya. Bila tempat yang tersedia untuk semua semua mesin yang dibeli tersebut hanaya 35 meterpersegi dan ongkos perwatan total yang disedaiakan hanya 7 juta per tahun, berapa unit dari jenis-jenis mesin di atas sebaiknya dibeli supaya batas-batas kendala tidak melanggar dan uang pembelian total minimum ?
BAB II PROGRAM LINEAR DENGAN METODE GRAFIK
Di dalam pembahasan program linear dengan metode grafik lebih efektif apabila menggunakan contoh-contoh soal. Program linear yang penyelesaiannya dengan menggunakan grafik pada prakteknya jarang terjadi, karena dalam praktek untuk PL dengan dua variable jarang kita temukan. Namun PL dengan mempergunakan metode grafik akan mempermudah kita untuk memahami hal-hal yang ada pada PL.
Sebelum membahas bagaimana menyelesaikan PL dengan metode grafik, sebagai latihan selesaikan soal berikut ini :
Latihan :
Gambarlah grafik fungsi berikut :
2x + y = 10
3x – 4y = 20
4x + 3y = 12
4x + 3y 12
4x 12
3y 18
X – 2y 20
3X – 2y 50
Daerah fisibel terbatas
Kembali pada permasalahan Perusahaan sepatu"IDEAL" yang sudah dibahas pada bab sebelumnya, soal memiliki batasan-batasan :
(1) 2x 8
(2) 3y 15
(3) 6x + 5y 30
(4) x 0
(5) y 0
dan memaksimalkan f= 3x + 5y
Pertidaksamaan (1) sampai dengan (3) merupakan kendala utama dan Pertidaksamaan (4) dan (5) merupakan kendala tak negative. Dari masing –masing kendala di atas apabila digambarkan akan diperoleh suatu grafik dengan daerah yang tertutup seperti gambar berikut :
(3)
D C (2)
DF B
0 A (1) x
Gambar 2.1. Daerah fisibel
Dari grafik diperoleh suatu daerah fisibel (DF) yang merupakan daerah tertutup 0ABCD. Daerah fisibel adalah daerah yang memenuhi sebagai penyelesaian layak. Penyelesaian layak (pl) sendiri dimaksudkan suatu pasangan (x,y) yang memenuhi semua kendala yang ada. Sedangkan (x,y) nya sendiri dinamakan titik layak. Titik –titik yang ada pada daerah layak merupakan calon-calon "dia" sebagai titik optimum.
Untuk mencari berapa nilai optimum dan titik layak mana yang memberikan nilai optimum, langkah selanjutnya digambarkan grafik fungsi sasaran sebagai garis selidik. Penggambaran grafik fungsi sasaran pada soal sepatu"IDEAL" yang memiliki fungsi sasaran f=3x+5y dapat diambil f=10, 20 ataupun 30. Sehingga kita dapat menggambar fungsi 3x+5y=10, 3x+5y=20 dan 3x+5y=30. Di dalam pengambilan nilai f adalah sembarang. Dari ketiga persamaan tersebut masing-masing memiliki gradient yang sama yaitu : -3/5 artinya ketiga garis lurus itu letaknya saling sejajar.
f=10 f=20 f=30
Gambar 2.2. garis selidik
Apabila garis f selaku garis selidik digeser ke kanan maka diperoleh nilai f yang semakin besar
Dari gambar 2.2 dapat dilanjutkan dengan menggambarkan garis selidiknya, diperoleh Gambar 2.3 berikut ini :
(3)
D C (2)
DF B
0 A (1) x
Gambar 2.3. Daerah fifibel 0ABCD dan garis selidik
Setelah dilakukan penggeseran garis selidik ke kanan diperoleh nilai f yang terbesar (optimum) di titik C. Titik C adalah titik perpotongan garis (1) dan (2) dengan koordinat (x,y)= (5/6, 5). Dari titik (x,y)=(5/6,5) tersebut dimasukkan ke fungsi tujuan f= 3x+5y sehingga diperoleh 3(5/6)+5(5)=27 ½. Jadi dari soal perusahaan sepatu "IDEAL" diperoleh kesimpulan perusahaan harus memproduksi sepatu merk A sebanyak 5/6 lusin sepatu dan merk B 5 lusin sepatu yang akan menghasilkan laba maksimum sebesar 27 ½ x Rp 10.000,00= Rp 275.000,00.
Untuk mencari nilai optimum juga dapat dilakukan tanpa menggunakan garis selidik, yaitu dengan membandingkan nilai fungsi tujuan yang diperoleh setelah memasukkan titik-titik yang ada di daerah fisibel.
Kembali ke permasalahan perusahaan sepatu "IDEAL" pada gambar 2.2 diperoleh titik sudut- titik sudut 0(0,0), A(4,0), B(4, 5/6), C(5/6,5) dan D(0,5). Pada titik O(0,0) diperoleh nilai f=0,
Titik A(4,0)
X=4 , y=0 diperoleh f=3.4+0=12
Titik B(4,5/6) diperoleh f=18
Titik C(5/6,5) diperoleh f=27 ½
Titik D(0,5) diperoleh f=25
Dari ke lima hasil nilai f ,diperoleh nilai f maksimum= 27 ½ di (x,y)=(5/6,5).
Hal ini dapat disimpulkan bahwa perusahaan harus memproduksi sepatu merk A sebanyak 5/6 lusin sepatu dan merk B 5 lusin sepatu yang akan menghasilkan laba maksimum sebesar 27 ½ x Rp 10.000,00= Rp 275.000,00.
Dari permasalahan pada perusahaan sepatu"IDEAL" sebaiknya memproduksi sepatu merk A=5/6 lusin sepatu dan merk B=5 lusin sepatu setiap hari, dengan laba yang akan diperoleh sebesar Rp 275.000,-. Pada mesin kedua tidak ada waktu yang tersisa yaitu : 5.3=15, artinya waktu 15 jam habis terpakai, begitu juga mesin ke tiga, yaitu : 6.(5/6)+5.5= 30 , artinya 30 jam habis terpakai. Sedangkan untuk mesin pertama masih tersisa:8- (2.5/6)=6 2/6 jam.
Dari pembahasan di atas dapatlah ditarik suatu kesimpulan:
Metode grafik dipergunakan untuk menyelesaikan PL dengan dua variable.
Langkah yang dilakukan dengan menggambar masing-masing kendala utama dan kendala tak nol.
Dari gambar dapat diperoleh daerah fisibel atau tidak memperoleh daerah fisibel.
Apabila diperoleh daerah fisibel maka titik-titik yang ada di daerah fisibel itu merupakan calon yang memberikan nilai maksimum (nilai minimum).
Apabila tidak diperoleh daerah fisibel artinya fungsi tujuan tidak mempunyai nilai optimum.
Di dalam memperoleh nilai optimum dapat dilakukan dengan menggunakan (a). garis selidik dan (b). membandingkan beberapa alternative nilai-nilai yang dihasilkan oleh titik-titik yang ada pada daerah fisibel tersebut.
Pada penyelesaian PL dengan metode grafik, memang mudah dilakukan apabila variable hanya 2 buah. Akan tetapi hal ini cukup rumit apabila variable yang dihadapi 3 buah atau lebih.
Daerah fisibel tak terbatas
Suatu soal yang berbunyi :
Mencari x,y yang memenuhi :
x + y 12 (1)
5x + y 20 (2)
x + 6y 24 (3)
x 0 (4)
y 0 (5)
dan meminimumkan f=10x + 30y.
Soal di atas apabila digambar, maka akan diperoleh suatu daerah fisibel yang tidak terbatas (unbounded). Adapun gambarnya adalah sebagai berikut :
(2) P
A
(1)
B DF
(3)
C
D Q
Gambar 2.4. Daerah fisibel PABCDQ dan garis selidik
Daerah fisibel ditunjukkan pada daerah terbuka PABCDQ yang merupakan daerah layak yang tak terbatas.
Garis selidik dapat dilukiskan pada gambar 2.4 dengan mengambil f=0 dan f=10. Garis selidik memiliki gardien -1/3 dan garis selidik semakin di geser ke kiri akan memberikan nilai f yang semakin kecil. Sehingga untuk mencari nilai f yang minimum pada soal di atas diperoleh (x,y)=… yang member nilai minimum sebesar f=…..
Coba selesaikan dengan cara II ???
Kendala berlebih (redundant)
Mencari x,y tak negatip yang memenuhi :
4x + 2y 4 (1)
2x + 6y 12 (2)
2x + 6y 24 (3)
x+ y 8 (4)
2x + y 10 (5)
2x + y 2 (6)
x 0 (7)
y 0 (8)
dan meminimumkan f= 100 – 40x – 15y
Gambarlah grafik di atas !!!
Dari gambar yang saudara lakukan apakah diperoleh daerah fisibel ?
Daerah fisibel yang diperoleh terbatas atau tidak ?
Kendala mana yang menjadi batas dari daerah fisibel ?
Kendala yang mana yang tidak menjadi batas daerah fisibel ?
Dari gambar grafik, diperoleh daerah fisibel yang tak terbatas (unbounded) yang dibatasi oleh 6 kendala, yaitu : ……… Sedangkan kendala … dan … tidak menjadi batas daerah fisibel. Walaupun dua kendala ini tidak sebagai batas, dua kendala ini telah terwakili oleh kendala yang lain. Artinya syarat dua kendala itu otomatis terpenuhi apabila kendala – kendala yang lain juga terpenuhi. Dua kendala ini dinamakan berlebih (redundant).
Merosot (degenerate)
Mencari x,y tak negatip yang memenuhi :
3x + y 6 (1)
4x + 3y 12 (2)
x + 4y 4 (3)
5x+ 10y 42 (4)
x 0 (5)
y 0 (6)
dan meminimumkan f= 40x + 5y
Kendala berbentuk Persamaan
Tentukan x,y,z yang memaksimumkan f= 30x + 20y + 5z dengan kendala :
2x+ 2y + z 40 (1)
3y + 4z 10 (2)
x + 3y + 3z = 30 (3)
5z 50 (4)
x 0 (5)
y 0 (6)
z 0 (7)
Dapatkah saudara menggambarkan grafiknya ?
Karena di dalam kendala terdapat satu persamaan yaitu persamaan (3) sehingga dapat dilakukan eliminasi, x=-3y – 3z. ke persamaan –persamaan yang lain sehingga diperoleh :
2(-3y – 3z)+ 2y + z 40 (1)
3y + 4z 10 (2)
5z 50 (3)
-3y – 3z 0 (4)
y 0 (5)
z 0 (6)
dan memaksimumkan f= 30(-3y – 3z) + 20y + 5z
dapat disederhanakan menjadi :
-4y – 2z 40 (1)
3y + 4z 10 (2)
5z 50 (3)
-3y – 3z 0 (4)
y 0 (5)
z 0 (6)
dan memaksimumkan f= -70y – 85z
Coba gambar grafiknya ???
Berapa x,y dan z yang memberikan nilai f maksimum ?
Berapa nilai maksimumnya ?
Latihan Soal
1. Carilah x, y yang memenuhi :
2x + y 12
5x + 8y 74
x + 6y 24
x 0
y 0
dan meminimalkan f=200x + 300y
Dari latihan soal (1) diperoleh daerah fisibel yang tak terbatas (unbounded)
SOLUSI
Solusi adalah jawaban akhir dari suatu masalah
DAERAH FISIBEL
Adalah penyelesaian yang tidak melanggar batasan-batasan yang ada.
NO FEASIBLE SOLUTION
Tidak ada daerah fisibel, artinya tidak memungkinkan ada daerah yang fisibel.
OPTIMAL SOLUTION
Daerah fisibel yang mempunyai nilai tujuan (maksimum/minimum)
MULTIPLE OPTIMAL SOLUTION
Apabila mempunyai alternative optimal dalam suatu masalah.
