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Cálculo integral
Trabajo colaborativo Fase 3 – Diseño y construcción
8niversidad 9acional (bierta y a Distancia :89(D; Cálculo integral )ayo de /#!'
<9T2D8CC<29 =a integración es una herra0ienta 0ate0ática funda0ental del cálculo> esta 6er0ite resolver 0uchas de las cuestiones en diferentes ciencias del saber hu0ano co0o la f?sica> la econo0?a> las ciencias sociales entre otras> 6or eso es necesario conocer los 0@todos de integración> en el 6resente docu0ento se 6resentan diferentes 0@todos de integración > co0o lo es el 0@todo de sustitución e integración 6or 6artes> co0o lo es en todo la 6ractica hace al 0aestro y 6ara 6oder dar solución a situaciones 6roble0as de las ciencias 0encionadas es necesario conocer el 0@todo de solución 0ate0ático Aue estas situaciones reAuieren En el 6resente trabajo colaborativo> se busca desarrollar !/ 6roble0as 6ro6uestos de la 5u?a de actividades Aue conte06lan los as6ectos 6rácticos de los 0@todos de integración
PRIMERA PARTE (PUNTO 1 AL 4) Evaluar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen:
EJERCICIO 1 ∞
∫ x
3 /
3
+$
dx
Solución ∞
b
3
∫ x + 9 dx = lim ∫ x 3+ 9 dx 2
√ 3
b→ ∞
2
√ 3
Tomamos la integral indefinida:
∫ x 3+ 9 dx =∫
3
2
∫ x 3+ 9 dx =∫ 2
( + ) 2
9
x 9
dx
1
1 ∗1 3
( ) 2
dx
x + 1 9
(6licando sustitución si06le 1 x u= → du= d x 3 3
∫ x 3+ 9 dx =∫ ( u 1+1 ) du 2
2
∫ (u 1+1 ) du=ta n− (u ) 1
2
x u= 3
Como
∫ x 3+ 9 dx =ta n− ( x3 ) 1
2
|
∞
∫ x 3+ 9 dx = lim ta n− ( x3 ) √ b3 1
2
b→ ∞
√ 3 ∞
∫ x 3+ 9 dx = lim ta n− ( b3 )−tan− 1
2
1
b→ ∞
√ 3 ∞
∫ x 3+ 9 dx = lim ta n− ( b3 )−tan− 1
2
1
b→ ∞
√ 3 ∞
( √ ) 3 3
( ) 1 √ 3
∫ x 3+ 9 dx = π 2 − π 6 = 3 π 6− π = 26π = π 3 2
√ 3
EJERCICIO 2
∞
∫ x +dx 2 x + 2 2
−∞
Solución
x
2
+ 2 x + 2=1 + ( x + 1 )2
dx 2
x + 2 x + 2
∞
=¿ ∫ −∞
∞
∫¿ −∞
dx 1 +( x + 1 )
2
1e le a6lica el 0@todo de sustitución en esta fase
∫ f ( u ) du u= ( x + 1 ) du= dx ¿
egla de integración Aue debe ser a6licada en esta fase ∞
= arctgu +C ∫ 1du +u 2
−∞
1ustitución de la ecuación uB:!; arctg ( u ) =arctg ( x +1 )
∞
= ∞ |arctg ( x + 1 ) + C ∫ x +dx 2 x + 2 −∞
−∞
2
1e reali*a la calculación de los l?0ites lim −∞ ( artan ( x + 1 ) ) = x
− π 2
π − π −( )= π 2 2
dx 2
x + 2 x + 2
=¿ π
∞
∫¿ −∞
Rpta: Esta
integral es convergente 6orAue su solución es finita"
2 u 1 16 u 1 32 u 1 x √ x − 4 dx = + + 7 0 5 0 3 0 4 2
∫ u du
EJERCICIO &
∫
dx
√ 25− x 2
Solución
¿∫
¿
¿
dx
√
2
x 5 1− 25
1 5
∫
1 5
∫
dx
√
2
x 1− 25 dx
√ −( ) x 5
1
2
1e le a6lica el 0@todo de sustitución en esta fase
∫ f ( u ) du u=
Hor tanto la ecuación Auedar?a
¿∫
du
√ 1−u 2
1eg4n las tablas de integración
¿∫
du
√ 1−u
−1 ( u ) + C sin = 2
x 1 y du= dx 5 5
e06la*ando
¿ sin−1 (u )+ C ¿ sin−1
()
x + C 5
Hor tanto
∫
dx
√ 25− x
−1 sin ¿ 2
( )+ x 5
C
EJERCICIO $
∫
! x
/
dx
−!
TERCERA PARTE (PUNTO ' AL 12)
Eisten otros 0@todos 6ara resolver integrales co0o integración 6or 6artes> integración 6or fracciones 6arciales> ta0bi@n 0@todos 6ara resolver integrales de funciones e6onenciales> logar?t0icas> trigono0@tricas e hi6erbólicas" esolver las siguientes integrales enunciando clara0ente la t@cnica o 6ro6iedad usada"
EJERCICIO '
∫ :+ x e /
x
; dx
9.
∫ ( 6 x
e ) dx
2 x
∫ udv =uv −∫ vdu ∫e
x
x
dx = e + c 2
u= 6 x du= 12 x x
x
dv = e dx v = e 2 x
−∫ e x 12x dx
2 x
−12 ∫ e x x dx
6 x e
6 x e
∫ e x dx x
x
∫
x
x
x
x e − e dx x e −e + c 2 x
6 x e
−12 ( x e x −e x ) + c
EJERCICIO 1
−2 dx ∫ 5 x x −4 2
Solución
∫ x5 x−−42 dx = x 5− x 4 − x −2 4 2
5 x 2
x − 4
2
2
∫ x −x 4 dx
dx =5
2
2
u= x − 4 du =2 xdx loque se representa como
∫ 1u du ∫ 1u du= 12 ∫ 1u du
∫ 1u es igual a log (u ) Sustituimos (u)
1 2 log ( x − 4 ) 2 Lo que es igual a:
5 2 log ( x − 4 ) 2
∫ x −2 4 dx =2 ∫ x −1 4 dx 2
1 2
x − 4
2
=
1 1 + 4 x + 8 4 x −8
du 2
∫ 4 x−+1 8 dx =1 / 4 ∫ x +1 2 dx u=( x −2 ) Donde decimosque du es igual a dx y sustituimos condu
∫ 1u du
∫ 1u es igual a log (u ) 1e 6rocede a sustituir (u) log ( x −2 )=¿ 1 1 log ( x −2 )− log ( x + 2 ) 4 4
−1
1 log ( x −2 ) + log ( x + 2 ) 2 2
−1
1 5 2 log ( x −2 ) + log ( x + 2 ) + log ( x −4 ) 2 2 2
2log (2 − x )+ 3log ( x + 2 ) + Constante
EJERCICIO 11
EJERCICIO 12
!
senh : / z & ;
∫
&
dz
3
z
Solución
∫
( ) dz=∫ senh (2 √ z) dz
senh 2 z
1 4
4
√ z 3 4
√ z3 4
(6licando sustitución si06le 1
2∗1 4 −1 1 u=2 √ z → du = ∗ z = 4 3 dz 4 2 √ z 4
∫ ∫ ∫
( ) dz=2∫ senh ( u ) du
senh 2 z
1 4
√ z 3 4
( ) dz=2cosh ( u) +C
senh 2 z
1 4
√ z 3 4
senh (2 z ) dz =2cosh ( 2 √ z ) + C 1 4
4
√ z 3 4
C29C=81<29E1
C29C=81
1e necesitan bases en algebra y trigono0etr?a> solidas> 6ara la resolución correcta de integrales> en algunos casos> 6ri0ero se a6lica estas disci6linas> antes de integrar una función" 1e debe tener sie06re en cuenta> los teore0as funda0entales del cálculo> 6ara la correcta solución de e6resiones Aue involucren integrales"
