Estudo de Vigas Contínuas:
MÉTODO DE CROSS
UNIVERSIDADE PAULISTA – CAMPUS BRASÍLIA CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: TEORIA DAS ESTRUTURAS PROFESSORA: NÍVEA ALBUQUERQUE
Estudo de Vigas Contínuas Hipóteses Preliminares Quando as cargas são todas verticais e não há deformações axiais, as reações das vigas contínuas são todas verticais. nulo
Sistema Estrutural Hiperestático
Equações da Estática não suficientes
n Reações = n Apoios GH = (n-2) Redundantes Excesso de reações
Deve-se criar uma nova equação
SOLUÇÃO: Criar relações entre o carregamento e a deformação. Método das Forças
Estudo de Vigas Contínuas Hipóteses Preliminares Quando as cargas são todas verticais e não há deformações axiais, as reações das vigas contínuas são todas verticais. nulo
Sistema Estrutural Hiperestático
Equações da Estática não suficientes
n Reações = n Apoios GH = (n-2) Redundantes Excesso de reações
Deve-se criar uma nova equação
SOLUÇÃO: Criar relações entre o carregamento e a deformação. Método das Forças
Eliminação do Apoio Central Viga hiperestática: Nº incógnitas incógnitas > Nº Eq. Estática (Fv=0 e M=0)
A terceira equação equação é montada a partir do seguinte modelo: Supõe-se a eliminação do apoio central; c entral; Calcula-se a deformação que a viga, agora isostática (estrutura primária: Quanto maior o número eliminação das redundantes), teria no pontodeemincógnitas, que o apoio existia; complexas tornam Supõe-se a aplicaçãomais de uma força dese baixo paraessas cima que anulasse a equações solução do sistema deformação no ponto em queocorre o apoio na vigaexige real;o uso dea reação cálculo que matricial. Determinada a força, define-se ocorre no apoio inicialmente eliminado, restando apenas duas outras reações, que podem ser determinadas pelas equações da estática.
Método de Cross (Método da Distribuição dos Momentos)
Introdução Processo iterativo para solução de estruturas hiperestáticas desenvolvido pelo Prof. Hardy Cross em 1932. Trata-se de um algoritmo que parte do conhecimento prévio dos momentos fletores em apoios engastados de vigas de um só vão. É aplicável a elementos rígidos que possuem continuidade e nós indeslocáveis.
Libera-se o giro no apoio engastado, transfomando-o em apoio articulado; Calcula-se o giro que a viga sofre no apoio. Determina-se o valor do momento fletor que causa a mesma rotação, de maneira que se reproduza a situação original, ou seja, giro igual a zero, cujo valor é correspondente a momento de engastamento perfeito devido ao carregamento.
Método de Cross Momentos de Engastamento Perfeito Bi-Engastado:
M A, B
M A M
q l2 12
P a b2 l
2
P a2 b
Engaste-Apoio:
M A
M A
q l2
2
M A
8
P a b
Em Balanço:
l b
M A
q l2 2
Pl
l2
MEP
Método de Cross E quando não há engaste? Há rotação nos apoios.
Condição de Continuidade da Viga:
Método de Cross Como os momentos de engastamento perfeito podem ser conhecidos, pode-se considerar os apoios internos das vigas contínuas como inicialmente engastados. Isso pressupõe que não há qualquer espécie de giro.
MEP
MEP
Na realidade, quando a viga está em equilíbrio, o giro existe, podendo ser horário ou anti horário.
Método de Cross Como o momento de engastamento de um lado do apoio é normalmente diferente do outro, pois os vãos e carregamentos são normalmente diferentes, significa que o nó considerado engastado não está equilibrado, resultando um momento desequilibrado positivo ou negativo.
M
Para equilibrar o nó deve-se distribuir a diferença M entre os tramos adjacentes, de maneira que resulte o momento do tramo esquerdo igual ao do direito, a menos dos sinais. Convenção de Sinais: Lado Esquerdo (-); Lado Direito (+)
Método de Cross Princípio Importante: “O elemento mais rígido sempre absorve mais esforços.” 1
1
2
2
Coeficiente de Rigidez A rigidez de um elemento é proporcional à quantidade de esgastamento e inversamente proporcional ao comprimento. Usa-se uma redução de 25% na rigidez do tramo que apresenta uma articulação e um engaste K
E I l
K 0,75
E I l
Método de Cross Fator de Distribuição O FD dos momentos de uma barras com relação ao nó é dado pela razão entre a rigidez da barra e o somatório de cada parcela dos tramos que convergem para o nó. Cada barra tem sempre dois FD. A soma desses fatores entre barras adjacentes a um nó é igual a 1. FD
K
K adj
Nota: FD nos apoios extremos:
Fator de Propagação
FD=1 FD=1 FD=0
O FP dos momentos de uma extremidade à outra é dado pela razão entre o momento que surge no nó oposto ao que sofreu o giro pelo momento na extremidade que sofre o giro. FP
1 2
Método de Cross Procedimento de Cálculo Segue o passo-a-passo da aplicação do método, dada a viga abaixo:
Tramo 1
Tramo 2
Método de Cross Procedimento de Cálculo Cálculo do coeficiente de rigidez de cada tramo: Tramo 1:
Tramo 2:
FDBA
FD
FDBC
FD
Método de Cross Procedimento de Cálculo Tomando-se os MEPs e os FDs, distribui-se a diferença em cada tramo (momento desequilibrado) proporcionalmente à rigidez de cada tramo. FDBA
FDBA
FDBC
FDBC
Esse procedimento significa, fisicamente, liberar o nó inicialmente
Método de Cross Procedimento de Cálculo Soma-se algebricamente (considerando os sinais) os valores dos momentos de cada lado do apoio. Esses valores deverão ser iguais e com sinais contrários, de tal forma que a sua soma resulte zero, condição de equilíbrio. FDBA
FDBA FDBA
FDBC
FDBC FDBC
Método de Cross Procedimento de Cálculo De posse do momento no apoio interno, determinam-se as reações de apoio, usando as equações da estática. Para isso, considera-se cada tramo como independente, calculando-se inicialmente as reações sem levar em conta o momento no apoio.
Método de Cross Procedimento de Cálculo
O momento no apoio interno alivia as reações dos apoios extremos e sobrecarrega as do
Método de Cross Procedimento de Cálculo Após esse procedimento, tem-se automaticamente determinadas as forças cortantes nos apoios para o traçado dos diagramas.
Método de Cross
Método de Cross Procedimento de Cálculo Quando a viga contínua apresenta mais de dois tramos, a liberação dos nós é feita para um nó de cada vez, mantendo os demais perfeitamente engastados. O nó, depois de equilibrado, volta a ser imobilizado. O momento distribuído para cada lado do nó é propagado para os nós vizinhos, que permaneceram engastados.
Método de Cross Procedimento de Cálculo O momento propagado provoca alteração no valor do momento desequilibrado, sendo algebricamente somado a este.
Processo de propagação:
Método de Cross Exemplo Numérico Obter o Diagrama de Momentos Fletores e o Diagrama de Esforços Cortantes da viga contínua abaixo, usando o Método de Cross:
Método de Cross Exemplo Numérico 1) Cálculo do coeficientes de rigidez de cada tramo:
Método de Cross Exemplo Numérico 2) Cálculo dos fatores de distribuição:
Considera-se: E x I = 1
Método de Cross Exemplo Numérico 3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito: Tramo 1
Método de Cross Exemplo Numérico 3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito: Tramo 2
Método de Cross Exemplo Numérico 3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito: Tramo 3
Método de Cross Exemplo Numérico 4) Distribuição dos momentos desequilibrados:
OBS Para melhorar a precisão, foram alteradas as unidades
Método de Cross Exemplo Numérico 5) Transmissão dos momentos equilibrantes aos nós adjacentes:
Exemplo Numérico 6) Somatório dos momentos nos nós equilibrados:
OBS As iterações continuam até que, em cada nó, a diferença entre os valores absolutos dos momentos do lado esquerdo e direito seja desprezível ( 5% de diferença)
Exemplo Numérico 7) Somatório das reações considerando vãos isostáticos independentes:
momentos nos apoios reações isostáticas efeitos dos momentos das vigas contínuas
Exemplo Numérico 8) Somatório das reações considerando o efeito dos momentos negativos nos apoios centrais:
Método de Cross Exemplo Numérico 9) Traçado do DEC:
