Probabilidad Binomial 1.- Supóngase que el 24 por ciento de cierta población tiene sangre tipo B. A partir de una muestra de 20 individuos extraída esa población, calcular la probabilidad: p = 0.24 n = 20. (Daniel, p. 112). a) Encontrar exactamente tres personas con sangre tipo b) Encontrar tres o más personas con esa característica c) Encontrar menos de tres d) Encontrar exactamente cinco 2.- En una población grande, el 16% de son zurdos. En una muestra aleatoria de 10 individuos, encontrar: a) La probabilidad de que haya exactamente dos zurdos. b) P(x 2) c) P(x < 2) d) P(1 x 4) 3.- La probabilidad de que una persona que padece migraña obtenga alivio con un fármaco específico es de 0.9. A tres enfermos de migraña, escogidos aleatoriamente, se les administra el fármaco. Calcular la probabilidad de que el número de enfermos que encuentren alivio sea de: (Daniel, pág. 114). a) Exactamente cero b) Exactamente uno c) Más de uno d) Dos o menos e) Dos o tres
f) Exactamente tres 4.- El departamento del trabajo de Alabama registra que el 20% de la fuerza de trabajo en Mobile está desempleada. Para una muestra de 14 trabajadores, calcule las siguientes probabilidades: Exactamente 3 están desempleados. Al menos 3 están desempleados. Al menos 1 está desempleado. 5.- Dada una variable binomial con una media de 20 y una varianza de 16, calcular n y p.Distribución de Poisson 2.- Supóngase que se sabe que en un período de varios años el número promedio de muertes por cierta enfermedad no contagiosa es de 10. Si el número de muertes por esa enfermedad sigue la distribución de Poisson, cuál es la probabilidad de que durante el año en curso: (Daniel, pág. 118) a) Exactamente siete personas mueran por esa enfermedad? b) Diez o más mueran por esa enfermedad? c) No haya muertes por esa enfermedad? 3.- 9.- Si 3% de los bulbos eléctricos fabricados por una empresa están defectuosos encontrar la probabilidad de que en una muestra de 100 bulbos a.- cero, b.-uno esten defectuosos. Distribución Normal Ejercicio de clases resuelto con Minitab 1.- En un estudio de dactilografía, una característica cuantitativa muy importante es el total de surcos en los 10 dedos de un individuo. Supóngase que el total de surcos en los
dedos de los individuos en una población tienen distribución aproximadamente normal con una media de 140 y una desviación estándar de 50. Calcular la probabilidad de que un individuo, elegido al azar de entre esa población, tenga un total de surcos en los dedos: (Daniel, pag. 133). a. De 200 a más. b. Menos de 100. c. Entre 100 y 200. d. Entre 200 y 250. e. En una población de 10.000 personas, ¿cuántos puede esperarse que tengan un total de 200 surcos o más? Sea = 140 y = 50, para calcular la probabilidad se debe transformar la variable x en z, es decir debemos estandarizar: a) P(x 200) = 1 – P(x < 200) = 1 – P(Z < 50 200 140 )= 1 – P(Z < 50 60 ) = 1 - P(Z < 1.2) = 1 - 0.8849 = 0.1151
b) P(x < 100) = P(Z < 50 100 140 ) = P(Z < -0.80) = 0.2119 c) P(100 < x < 200) = P(x < 200) – P(x < 100) = P(Z < 50 200 140 ) – P(Z < 50 100 140 ) P(100 < x < 200) = P(Z < 1.2) – P(Z < -0.80) = 0.8849 – 0.2119 = 0.6730 d) P(200 < x < 250) = P(x < 250) – P(x < 200) P(200 < x < 250) = P(Z < 50 250 140 ) – P(Z < 50 200 140 ) = P(Z < 2.2) – P(Z < 1.2)
= 0.9861 – 0.8849 = 0.1012 e) El número de surcos esperados se calcula como: np, donde n=10.000 y p=0.1151, por tanto, np = 10.000 x 0.1151 = 1151. Para calcular estas probabilidades con el MINITAB, por ejemplo P(x 200) = 1 – P(x < 200); seleccione de la barra de menú la opción: calc Probability Distributions Normal Cumulative Probability, aparecerá un cuadro de dialogo como el siguiente:En dicha pantalla seleccione la opción Cumulative Probability y luego indique los valores de: =140 (mean), =50 y x=200 (Input constant), opcionalmente puede indicar una constante para almacenamiento de la probabilidad (k1) y el resultado será el siguiente: Cumulative Distribution Function Normal with mean = 140,000 and standard deviation = 50,0000 x
P( X <= x )
200,0000
0,8849
Data Display K1
0,884930
K2
0,115070
Si almacenó la probabilidad P(x < 200) en k1 y calcula la diferencia k2=1-k1, la cual contiene el resultado de la probabilidad P(x 200). Para realizar estos cálculos utilice la opción calc calculator.Por defecto, el Minitab asigna los valores de =0 (mean), =1.0 (Standard Deviation), por lo cual deberá indicar el valor de z en vez de x.
El cálculo de la probabilidad P(200 < x < 250) se realiza como probabilidad de un intervalo, P(200 < x < 250) = P(x < 250) – P(x < 200). En el Minitab debe calcular las probabilidades del intervalo separadamente y almacenarlas en k2 y k1 respectivamente, luego, realice la diferencia k3=k2-k1 utilizando la calculadora de dicho software. Los resultados se presentan a continuación: MTB > let k3=k2-k1 MTB > print k1-k3 Data Display K1
0,884930
K2
0,986097
K3
0,101166
La constante k1 contiene la probabilidad P(x < 200), k2 es P(x < 250) y k3 es el resultado buscado.
