2. Probleme pentru teorema împărţirii cu rest 1. Aflaţi cel mai număr natural de trei cifre care împărţit la 13 dă restul 9. Soluţie Scriem teorema împărţirii cu rest abc =13q+9, unde abc -9=13q cum abc minim găsim abc =100 2. Cîte numere de trei cifre împărţite la 21 dau restul 5? Soluţie ca şi înainte găsim cel mai mic număr cu proprietatea cerută este 110=21·5+5 iar cel mai mare este 992=47·21+5, deci sunt 47-4=43 numere cu proprietatea din enunţ. 3. Să se afle cel mai mic număr natural de trei cifre care împărţit la un număr format dimtr-o singură cifră să dea restul 8. Soluţie Notăm abc numărul cerut în enunţ. Avem abc =qt+8, 0≤8
abc -8=99. Cum abc minim, avem abc -8=99, de unde abc =107 4. Demonstraţi că prin împărţirea a două numere naturale distincte şi nenule la diferenţa lor se obţin câturi consecutive şi resturi egale. Soluţie Avem a=(a-b)q1+r1 (1) b=(a-b)q2+r2 (2) Cu 0≤r1, r2 (a-b)-(a-b)q1+(a-b)q2=r1-r2 <=> r1-r2=(a-b)(1-q1+q2) De aici 1-q1+q2=r1-r2 < 1(4) (am ţinut cont de (3) ). a-b Cum 1-q1+q2 ∈ N, din(4) avem 1-q1+q2= 0(5) de unde, q1=q2+1. Din (4) şi (5) avem r1-r2=0, de unde r1=r2. 5. Să se determine două numere naturale ştiind că unul din ele este cu 44 mai mare decât celălalt, iar câtul împărţirii sumei celor două numere la diferenţa lor este 46 şi restul 26 Soluţie Notăm x, x+44 cele două numere. Atunci avem 2x+44 =44*46+26, de unde, după efectuarea calculelor găsim x=1003. Numerele sunt 1003, respectiv 1047. 6. Împărţind numărul n la 68 se obţine restul 39. Ce rest se obţine când îl împărţim pe n la 17?
Soluţie Folosind teorema împărţirii cu rest obţinem pe n=68a+39=17*4a+2*17+5=17a+5, deci restul căutat va fi 5. 7.Să se afle restul împărţirii numărului N=182!+91 la 1991 Soluţie Mai întâi prin 182 ! notăm 182! = 1*2*3*...*180*181*182 Folosind teorema împărţirii cu rest obţinem scrierea lui N N=1*2*3*...*180*181*182+91=11*181a+91=1991a+91, de unde restul căutat va fi 91.
