Facultatea de Ştiinţe Aplicate Catedra de Fizică I
Prof. univ. dr. Gabriela Cone
Culegere de probleme de opticã cu rezolvãri
2010
I. Recapitularea ecuaţiilor lui Maxwell I.1. Într-un metal cu conductibilitatea σ, expresia vectorului E (E, 0, 0) a câmpului electromagnetic existent este E = E0 exp [iωt − γz ] şi reprezintă o soluţie a
ecuaţiilor lui Maxwell. La frecvenţe joase, γ = (1 − i )
σω . 2ε 0
a) Scrieţi expresia vectorului inducţie magnetică B . b) Care este unghiul dintre vectorii E şi B ? c) Care este raportul amplitudinilor vectorilor E şi B ? Soluţie:
a) Din ecuaţia lui Maxwell,
ux ∂B ∂ ∇× E = − , sau ∂t ∂x E
uy ∂ ∂y 0
uz ∂ ∂B =− , ∂z ∂t 0
rezultă că: ∂Bx =0 ∂t ∂By ∂t
=−
∂E = γE0 exp [iωt − γz ] , ∂z
∂Bz = 0, ∂t de unde,
Bx = 0 By = −
γ iγ ⎡ π⎤ E0 exp [iωt − γz ] = E0 exp [iωt − γz ] exp ⎢ −i ⎥ ω ω ⎣ 2⎦
Bz = 0 . b). E ⊥ B
2
c).
B E
=
γ ω
I.2. a Considerăm interfaţa a doi dielectrici cu permitivităţile dielectrice ε1 şi
respectiv ε 2 . Câmpul electric E1 face unghiul θ1 cu normala la interfaţă. Găsiţi valoarea unghiului θ 2 în mediul al doilea. b. Considerăm interfaţa a doi dielectrici cu permeabilităţile magnetice μ1 şi
respectiv μ 2 . Câmpul magnetic H 1 face unghiul θ1 cu normala la interfaţă. Găsiţi valoarea unghiului θ 2 În mediul al doilea.
Soluţie a. Componenta paralelă la interfaţă este continuă, adică
E 2 sin θ 2 = E1 sin θ1 , iar componenta D per perpendiculară pe interfaţă este continuă, adică
ε 2 E 2 cos θ 2 = ε1 E1 cos θ1 . Din cele două ecuaţii,
tgθ 2 =
ε2 tgθ1 . ε1
b. Asemănător,
H 2 sin θ 2 = H 1 sin θ1 şi
μ 2 H 2 cos θ 2 = μ1 H 1 cos θ1 ,
de unde
tgθ 2 =
μ2 tgθ1 . μ1
I.3. Într-o zonă din spaţiu intensitatea câmpului electric variază după legea:
3
E = E0 cos(ωt − βx )u y , 8
unde E0 = 5 ⋅10 −2 V/m, ω = 2π.10 rad/s. a) Calculaţi valoarea medie a densităţii curentului de deplasare în timp de o perioadă; b) Calculaţi tensiunea electromotoare indusă de acest câmp într-un cadru metalic de forma unui pătrat cu latura a = 50 cm, orientat ca în figura I.3. Se cunosc: ε 0 = 8,856 ⋅10 −12 F/m, μ 0 = 4π ⋅10 −7 H/m, iar β = ω ε 0μ 0 .
Fig. I.3 Soluţie a) Densitatea curentului de deplasare este, prin definiţie, jd =
∂E ∂D = −ε 0 ωE0 sin (ωt − βx )u y . = ε0 ∂t ∂t
Valoarea medie a curentului de deplasare într-o perioadă este nulă, deoarece: sin (ωt − βx ) =
T
T 1 1 sin (ωt − β x )dt = − cos(ωt − β x ) = 0 T T
∫ 0
ω = − [cos(2π − βx ) − cos(− βx )] = 0. 2π b) Tensiunea electromotoare indusă este, prin definiţie, exprimată astfel:
4
e=−
∫ E ⋅ dl =E0 cos ωt ⋅ a − E0 cos(ωt − βa ) ⋅ a =
contur
= E0 a[cos ωt − cos(ωt − βa )] = 25 ⋅ 10
−3
π⎞ 1 ⎛ ⋅ cos⎜ 2π ⋅ 108 t + ⎟(V ) 2 3⎠ ⎝
.
I.4. În planul z = 0 are loc un transport de sarcină electrică caracterizat prin
densitatea liniară de curent K = 3u x (A/m). Regiunea 1, cu permeabilitatea magnetică μ1 = 2μ 0 , este localizată în spaţiul z > 0, iar regiunea 2, cu permeabilitatea magnetică
μ 2 = μ 0 , este localizată în spaţiul z < 0. În regiunea 1, vectorul intensitate a câmpului magnetic are expresia H 1 = 2u x + 3u y − u z (A/m). Scrieţi expresia vectorului intensitate câmp magnetic H 2 , din regiunea 2. Soluţie Conform condiţiei la limită a componentei tangenţiale a vectorului intensitate câmp magnetic, t ⋅ ( H1 − H 2 ) = k ⋅ n0
Componenta tangenţială este cea din planul xOy. Dacă alegem axa Ox de-a lungul lui t , adică t = u x , atunci n0 = t × n = −u y şi 2 − H 2 x = 0 , iar dacă alegem axa Oy de-a lungul lui t , adică t = u y , atunci n0 = t × n = u x şi 3 − H 2 y = 3 . Deci, H 2 x = 2 şi H2 y = 0 . Din condiţia la limită a componentei normale la suprafaţa de separaţie a vectorului inducţie magnetică rezultă că n ⋅ ( B2 − B1 ) = 0 , adică μ1H1z = μ 2 H 2 z , de unde H2z =
μ1 H1z = −2 . μ2
Prin urmare, H 2 = 2u x − 2u z .
5
I.5. Un mediu dielectric mărginit de un conductor perfect, suprafaţa de separaţie
fiind planul x = 0, se află într-un câmp electric care, în dielectric (adică în domeniul x < 0), are intensitatea:
E d ( x, y, z, t ) = ⎣⎡ E0 cos ( ωt − βx cos θ − βz sin θ ) + E0′ cos ( ωt + βx cos θ − βz sin θ ) ⎦⎤ u y , unde, E 0 , E 0′ , ω şi β sunt constante. Găsiţi relaţia dintre E 0 şi E 0′ , astfel ca expresia E d să fie o soluţie a problemei. Soluţie În conductor, intensitatea câmpului electric este nulă, astfel că din condiţia la limită a componentei tangenţiale a vectorului E , rezultă Ed ,tang
x =0
= 0 , sau
E0 cos ( ωt − βz sin θ ) + E0′ cos ( ωt − βz sin θ ) = 0 ,
de unde E0 = − E0′ .
I.6. Considerăm suprafaţa de separaţie plană între un dielectric (z < 0) cu
ε 2 = 2ε 0 şi vid z > 0 . În planul de separaţie z = 0 , densitatea superficială de sarcină este ρ s = 0,2 C/m2. În vid, vectorul inducţie electrică are expresia D1 = 3xu x + 4 y 2u y + 3u z , iar în dielectric, vectorul intensitate câmp magnetic are expresia
H 2 = 2 u x + 5 y 3u y + 5 u z . Calculaţi expresiile vectorilor E1 , B1 , H 1 şi E 2 , D2 , B2 în planul de separaţie z = 0. Soluţie E1 =
D1 1 = ( 3 xu x + 4 y 2u y + 3u z ) ; ε0 ε0
6
E2,tang
Din, E2 y
z =0
= E1 y
z =0
=
z =0
z=0
,
adică
E2 x
z =0
= E1x
z =0
=
3x ε0
şi
4 y2 , iar din ε0
D2 z − D1z = ρs rezultă E2 z = E2 =
= E1,tang
ε0 ρ 3, 2 E1z + S = . Astfel, 2ε0 2ε0 2ε 0
1⎛ 3, 2 ⎞ 2 uz ⎟ . ⎜ 3 xu x + 4 y u y + ε0 ⎝ 2 ⎠
D2 = 2ε 0 E2 = 6 xu x + 8 y 2u y + 3u z . Din, H 2,tang
z =0
= H1,tang
iar din B2 z = B1z , rezultă H1z =
z =0
, adică H1x
μ0 H 2 z = 5 . Astfel, μ0
H1 = 2u x + 5 y 3u y + 5u z = H 2 , iar,
z =0
B1 = μ 0 ( 2u x + 5 y 3u y + 5u z ) = B2 .
7
= H2x
z =0
= 2 , H1 y
z =0
= H2y
z =0
= 5 y3 ,
II. Ecuaţia generală de propagare a undelor electromagnetice. Structura undei electromagnetice II.1. Un dipol electric emite unde electromagnetice sinusoidale de forma:
E (z , t ) = E 0 sin(β z − ωt )u x . Deduceţi: (a) direcţia de propagare, lungimea de undă, frecvenţa, viteza de propagare; (b) expresia vectorului B (z, t ) , a vectorului lui Poynting şi intensitatea undei; (c) presiunea radiaţiei pe o suprafaţă pe care undele sunt incidente normal şi sunt reflectate total. Soluţie (a) Oz ; λ =
2π ω ω ; ν= ; v = λν = ; 2π β β
(b) B =
u z × E E0 = sin(βz − ωt )u y ; v v
S =E×
B E 0 B0 sin 2 (βz − ωt )u z ; = μ0 μ0
I= S = p=
E0 B0 EB sin 2 ( βz − ωt ) u z = 0 0 ; 2μ0 μ0
2 I E 0 B0 = . v vμ 0
II.2. O undă electromagnetică cu frecvenţa de 180 MHz se propagă printr-un
mediu caracterizat prin parametrii μ r = 1 , ε r = 25 şi câmpului electric are expresia E = 37,7 exp [ −γz ] u x (V/m).
8
σ
= 2,5 ⋅ 10−3 Ω −1m −1 . Intensitatea
a). Calculaţi impedanţa mediului, constanta de atenuare, constanta de propagare, viteza de fază, adâncimea de pătrundere şi lungimea de undă. b) Deduceţi expresia vectorului intensitate câmp magnetic H şi a vectorului lui Poynting. Soluţie a). Calculăm mărimile, ω = 2πν = 1,131 ⋅ 109 rad/s;
ωε = ωε0 ε r = 0, 25 şi
σ = 0,01 . ωε
Observăm că mediul se comportă ca un dielectric bun. Impedanţa mediului este, η=
μ0 ε0
1 μr = 120π = 24πΩ εr 25
Constanta de atenuare α se calculează din γ 2 = iωμ ( σ + iωε ) = ( α + iβ ) , 2
de unde 2αβ = ωμσ , iar α =
μσ
1 = ση . Astfel, 2 εμ 2
1 α = ση = 0,03π = 0,094 m-1. 2 Constanta de undă, β = ω εμ = 18,85 rad/m. Astfel, constanta de propagare, γ = α + iβ = 0,094 + 18,85i . Viteza de fază este
vf =
ω = 6 ⋅ 107 m/s, β
adâncimea de pătrundere,
9
δ=
1 = 10,64 m, α
Lungimea de undă λ=
2π = 0,33 m. β
Expresia vectorului intensitate câmp electric devine E = 37,7 exp [ −0,094 z − i18,85 z ] u x (V/m). Propagarea având loc după direcţia Oz, vectorul intensitate cîmp magnetic este H=
uz × E = 0,5exp [ −0,094 z − i18,85 z ] u y (A/m). η
Vectorul lui Poynting are expresia S P = E × H = 18,85exp [ −0,188 z − i37,7 z ] u z (W/m2).
II.3. Un cuptor cu microunde care funcţionează la frecvenţa de 2,45 GHz este
utilizat pentru a dezgheţa alimente cu ε = (4 − i )ε 0 . Calculaţi de câte ori scade intensitatea intensitatea câmpului electric pe grosimea de 1 cm de aliment. Reluaţi calculul pentru ε = (45 − 15i )ε 0 . Soluţie β 0 = ω ε 0μ 0 =
iar
2 πν = 51,31 rad/m, c0
γ = ω (4 − i )ε 0μ 0 = β 0 4 − i = 103,41 − 12,73i ; θ = 14 o = arccos 0,97 ; Coeficientul de absorbţie, α = 12,73 m-1 şi Asemănător,
în
−2 E = e −αz = e −12,73⋅10 = 0,88 . E0
al
γ = ω (45 − 15i )ε 0μ 0 = β 0 45 − 15i = 348,84 − 56,61i ,
10
doilea
caz,
iar
−2 E = e −αz = e −56,61⋅10 = 0,57 . E0
II.4. O undă plană se propagă printr-un mediu în care ε r = 9 . Intensitatea
câmpului electric al undei are expresia:
(
)
(
)
E = 3 cos 10 7 πt + βx u y − 2 cos 10 7 πt + βx u z (V/m). Calculaţi: a) direcţia de propagare a undei; b) media temporală a vectorului lui Poynting al undei. Soluţie a) direcţia de propagare este n = −u x ; b) S =
E η
2
n , unde η =
η0 εr
= 40π , iar E = 32 + 2 2 = 13 .
Astfel, S = −0,05u x (W/m2).
II.5. O undă plană electromagnetică are vectorul intensitate câmp electric egal cu
⎛ 2π ⎞ ⎛V⎞ E ( y, t ) = 50cos ⎜ y − 2π ⋅106 t ⎟ u z ⎜ ⎟ , ⎝ 3 ⎠ ⎝m⎠ unde x şi t se măsoară în unităţi SI. Unda se propagă printr-o ferită, care este un izolator feromagnetic, care are permeabilitatea magnetică relativă μ r = 1000 şi permitivitatea electrică relativă ε r = 10 . a). Calculaţi direcţia de propagare a undei. b). Calculaţi lungimea de undă în metri. c). Calculaţi frecvenţa undei. d). Calculaţi viteza undei în m/s.
11
e). Scrieţi expresia vectorului inducţie magnetică al undei.
Soluţie a). Din faza undei βy − ωt = β ⋅ r − ωt rezultă că direcţia de propagare este sensul pozitiv al axei y. b). Din β =
2π 2π = , rezultă λ = 3 m. 3 λ
c). Din ν =
ω = 106 Hz. 2π
d). v =
c = 3 ⋅106 m/s. εrμr
e). Scriem legea inducţiei electromagnetice sub formă diferenţială,
∇× E = −
∂B , ∂t
ux
sau
∇× E = 0 0
uy ∂ ∂y 0
uz 0 =
∂Ez ∂B ux = − x ux , ∂y ∂t
Ez
de unde ∂Ez ∂B =− x ∂y ∂t şi
Bx = − ∫
∂Ez 100π ⎛ 2π 50 ⎞ ⎛ 2π ⎞ dt = ∫ sin ⎜ y − 2π ⋅106 t ⎟ dt = ⋅10−6 cos ⎜ x − 2π ⋅106 t ⎟ T. ∂y 3 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3
Deci, B ( y, t ) =
50 ⎛ 2π ⎞ cos ⎜ y − 2π ⋅106 t ⎟ u x (μT). 3 ⎝ 3 ⎠
II.6. Scrieţi expresiile intensităţii câmpului electric şi a inducţiei magnetice
pentru o undă electromagnetică plană care se propagă în vid unda fiind este liniar polarizată în planul x0y după o direcţia care face unghiul de 45º cu axa y şi propagarea
12
având loc după direcţia +z. Se cunosc amplitudinea vectorului intensitate câmp electric E0 şi pulsaţia ω . Soluţie Notăm cu α =
π unghiul făcut de direcţia vectorului E cu axa +y, astfel că 4
π π ⎞ E ⎛ Eπ 4 = E0 ⎜ sin u x + cos u y ⎟ exp ⎡⎣i ( ωt − kz ) ⎦⎤ = 0 ( u x + u y ) exp ⎣⎡i ( ωt − kz ) ⎦⎤ 4 4 2 ⎝ ⎠ şi Bπ 4 =
k ×E E E = 0 u z × ( u x + u y ) exp ⎣⎡i ( ωt − kz ) ⎦⎤ = 0 ( u y − u x ) exp ⎣⎡i ( ωt − kz ) ⎦⎤ ω c 2 c 2
. Dacă α = − E−π 4 = şi
π , făcut de direcţia vectorului E cu axa +y, 4
E0 ( u y − ux ) exp ⎡⎣i ( ωt − kz )⎦⎤ 2
B−π 4 = −
E0 ( ux + u y ) exp ⎡⎣i ( ωt − kz )⎤⎦ . c 2
II.7. O staţie de radio de pe suprafaţa Pământului emite unde electromagnetice
plane cosinusoidale cu puterea medie de 50 kW. Presupunând că emisia se face în mod egal în toate direcţiile deasupra Pământului (într-o emisferă), calculaţi amplitudinea intensităţii câmpului electric E0 şi amplitudinea inducţiei magnetice B0 a undei detectate la distanţa de 100 km de emiţător. T
Se ştie că:
1 1 cos 2 ωtdt = . ∫ 2 T0
13
Soluţie Emisia se face într-o emisferă de rază R = 105 m, astfel că modulul vectorului lui Poynting este egal cu
SP =
P = 7,96 ⋅10−7 W/m2. 2πR 2
Dar, SP =
E×B E2 = 0 , 2μ0c μ0
de unde E0 = 2μ 0cS P = 2, 45 ⋅10−2 V/m, iar
B0 =
E0 = 8,17 ⋅1011 T. c
II.8. O undă plană electromagnetică are intensitatea câmpului electric,
E ( z , t ) = E0 cos ( kz − ωt ) u x .
Calculaţi: a). inducţia câmpului magnetic B al undei; b). vectorul lui Poynting. Soluţie
a). Scriem legea inducţiei electromagnetice sub formă diferenţială, ∇× E = −
sau
∂B , ∂t
ux ∂ ∇× E = ∂x Ex
uy ∂ ∂y 0
uz ∂B ∂ ∂Ex = uy = − y uy , ∂z ∂z ∂t 0
de unde ∂B ∂Ex =− y ∂z ∂t
14
şi
By = − ∫
∂Ex Ek dt = ∫ E0 k sin ( kz − ωt ) dt = 0 cos ( kz − ωt ) = B0 cos ( kz − ωt ) . ∂z ω
Deci, B ( z , t ) = B0 cos ( kz − ωt ) u y ,
unde am notat cu B0 =
E0 k . ω
b). Vectorul lui Poynting are expresia S =
E × B E02 k = uz . μ0 ωμ 0
II.9. O undă plană cosinusoidală cu pulsaţia ω se propagă în direcţia axei Oz prin
aer. Intensitatea câmpului electric are amplitudinea de 100 V/m şi oscilează pe direcţia Ox. Scrieţi expresiile: a). vectorilor intensitate câmp electric şi intensitate câmp magnetic; b). vectorului lui Poynting; c). densităţii de energie electromagnetică. Soluţie
a). E ( z , t ) = 100cos ( ωt − kz ) u x (V/m) şi
H ( z, t ) =
ε0 100 uz × E = cos ( ωt − kz ) u y = 0, 265cos ( ωt − kz ) u y (A/m). 120π μ0
b). S P ( z , t ) = E × H = c). wem ( z , t ) =
1002 cos 2 ( ωt − kz ) u z = 26,53cos 2 ( ωt − kz ) u z (W/m2) 120π
1 ( ε0 E 2 + μ0 H 2 ) = ε0 E 2 = 88, 2 ⋅10−9 cos2 ( ωt − kz ) J/m3. 2
II.10. În straturile superioare ale atmosferei valoarea medie în timp a modulului
vectorului lui Poynting are valoarea S = 1,35 ⋅ 10 3 W/m2.
15
(a) Presupunând că radiaţia electromagnetică emisă de Soare este o undă plană sinusoidală, calculaţi modulele vectorilor E şi B ai undei. (b) Calculaţi media în timp a puterii totale radiate de Soare. Distanţa de la Soare la Pământ este egală cu 1,5.1011m. Soluţie
(a) E 0 =
2S cε 0
= 1,0084 ⋅ 10 3 V/m. B0 =
E0 = 3,36 ⋅ 10 −6 T. c
(b) P = S A = S 4πR 2 = 3,817 ⋅ 10 26 W.
II.11. Puterea radiaţiei solare ce cade pe suprafaţa Pământului este egală cu 1,35
kW/m2. Calculaţi modulele vectorilor intensitate câmp electric E şi inducţie magnetică B pentru unda electromagnetică emisă de Soare şi ajunsă pe Pământ. Soluţie
Calculul se poate face în două moduri, pornind de la vectorul lui Poynting sau de la densitatea de energie electromagnetică. a) Vectorul lui Poynting este egal cu SP =
E×B μ0
şi reprezintă energia care străbate în unitatea de timp unitatea de arie. Vectorii E şi B reprezintă valorile instantanee ale intensităţii cîmpului electric şi respectiv inducţiei câmpului magnetic ai undei într-un punct din spaţiu. Dacă aproximăm Soarele cu o sursă punctuală, aceasta radiază uniform în toate direcţiile. Distanţa dintre Soare şi Pământ fiind foarte mare, putem considera că undele care ajung pe Pământ sunt unde plane. În acest tip de unde, cei doi vectori sunt perpendiculari. Astfel,
16
E×B = EH = 1,35 ⋅103 W/m 2 , μ0
SP =
unde H =
B este vectorul intensitate câmp magnetic. μ0
În unda plană, între modulele celor doi vectori există relaţia ε0 E 2 = μ0 H 2 ,
de unde ε0 2 E = 1,35 ⋅103 W/m 2 , μ0
SP =
iar
E = 0,71 ⋅103 V/m. Prin urmare,
B = μ 0 H = ε0μ 0 E = 2,36 ⋅10−6 T. b). Densitatea de energie electromagnetică are expresia wem = ε 0 E 2 = μ 0 H 2 .
Energia care cade pe aria de 1 m2 din atmosfera pământească într-o secundă este egală cu energia conţinută iniţial într-un cilindru cu aria bazei de 1 m2 şi înălţimea egală cu 3 ⋅108 m. Toată această energie se propagă spre vârful cilindrului în decurs de 1 s. Prin urmare, densitatea de energie electromagnetică în apropierea suprafeţei Pământului este egală cu wem = ε 0 E 2 = μ 0 H 2 =
SP c
.
Astfel, E=
iar
B=
SP cε 0
= 0,71 ⋅103 V/m,
μ0 S P c
= 2,36 ⋅10−6 T.
17
II.12. O undă electromagnetică plană, polarizată liniar are vectorul intensitate
câmp electric ⎡ x ⎞⎤ ⎛ E ( x, t ) = E0 cos ⎢ π ⋅1015 ⎜ t − ⎟⎥ uz ⎝ 0,65c ⎠ ⎦ ⎣ şi se propagă prin sticlă. Calculaţi: a). frecvenţa undei; b). lungimea de undă; c). viteza undei. Soluţie
a). ν =
ω = 5 ⋅1014 Hz. 2π
b). k =
π 2π , de unde λ = 390 nm. 1015 = 0,65c λ
c). v =
ω = 1,95 ⋅108 m/s. k
II.13. O undă electromagnetică plană cu pulsaţia ω = 1,14 ⋅107 rad/s are vectorul
intensitate câmp electric orientat după direcţia z şi se propagă în direcţia y prin aer. a). Calculaţi amplitudinea vectorului inducţie magnetică dacă amplitudinea vectorului intensitate câmp electric este egală cu 600 V/m. b). Scrieţi expresiile vectorilor E ( r , t ) şi B ( r , t ) ştiind că la t = 0 ambii vectori sunt nuli în x = 0 . Soluţie
a). Deoarece direcţia de propagare este după direcţia y şi vectorul E ( r , t ) este orientat după z, rezultă că E ( r , t ) = E ( y , t ) u z = E0 exp ⎣⎡i ( ωt − βy ) ⎦⎤ u z .
18
Pentru a găsi relaţia între amplitudinile celor doi vectori utilizăm legea inducţiei electromagnetice, ∇× E = −
∂B , ∂t
ux de unde ∇ × E = 0
0
uy ∂ ∂y 0
uz 0 =
∂E ∂B ux = − x ux . ∂y ∂t
E
Dar, ∂E ∂B = −βE0 exp ⎣⎡i ( ωt − βy ) ⎦⎤ = − x , ∂y ∂t de unde Bx = ∫ βE0 exp ⎣⎡i ( ωt − βy ) ⎦⎤dt =
β E0 exp ⎣⎡i ( ωt − βy ) ⎦⎤ = iω
⎡ ⎛ π ⎞⎤ = −iB0 exp ⎣⎡i ( ωt − βy ) ⎦⎤ = B0 exp ⎢i ⎜ ωt − βy − ⎟ ⎥ . 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ Astfel, B0 =
βE0 E0 = = 2μT . ω c
b). E ( y, t ) = E0 exp ⎣⎡i ( ωt − βy ) ⎦⎤ u z = 600exp ⎡⎣i (1,14 ⋅107 t − 0,038 y ) ⎤⎦ u z , iar
⎡⎛ π ⎞⎤ ⎡⎛ π ⎞⎤ B ( y, t ) = B0 exp ⎢i ⎜ ωt − β y − ⎟ ⎥ u x = 2 ⋅10−6 exp ⎢i ⎜1,14 ⋅107 t − 0,038 y − ⎟ ⎥ u x 2 ⎠⎦ 2 ⎠⎦ ⎣⎝ ⎣⎝
unde β =
ω = 0,038m −1 . c
II.14. O staţie de radio de pe suprafaţa Pământului emite unde electromagnetice
plane cosinusoidale care se propagă prin aer în mod egal în toate direcţiile deasupra Pământului (într-o emisferă). La distanţa de 100 km de emiţător inducţia magnetică a undei electromagnetice are amplitudinea egală cu 2 ⋅10−11 T.
19
Calculaţi puterea staţiei de radio. Soluţie P = S 2πR 2 =
E2 B 2c 2πR 2 = 2πR 2 = 6 ⋅103 W. η μ
II.15. Intensitatea câmpului electric al unei unde plane care se propagă prin aer
are expresia E = 120cos ( 2π ⋅109 t − βy ) u z (V/m). Calculaţi: a). lungimea de undă şi vectorul de undă; b). vectorul intensitate a câmpului magnetic; c). intensitatea undei; (5 puncte) d). densitatea volumetrică de energie electromagnetică. Soluţie a). λ =
2πc = 0,3 m; ω
b). H =
2π ⎞ B uy × E 1 ⎛ y ux = = = cos ⎜ 2π ⋅109 t − μ0 π 0,3 ⎟⎠ cμ 0 ⎝ 2π ⎞ ⎛ y ux ; = 31,83 ⋅10−2 cos ⎜ 2π ⋅109 t − 0,3 ⎟⎠ ⎝
c). I = S =
E2 2π ⎞ ⎛ = 38, 2cos 2 ⎜ 2π ⋅109 t − y ⎟ W/m2; η 0,3 ⎝ ⎠
d). wem = ε0 E02 = 127, 44 ⋅10−9 J/m3.
II.16. O undă electromagnetică plană este caracterizată prin vectorul intensitate
câmp electric
20
E = E0 exp[− i 2,3[− 0,6 x + (0,8 − 0,6i ) y ] + iωt ]
Determinaţi ecuaţiile planelor de amplitudine constantă şi a planelor de fază constantă. Soluţie: Transcriem exponentul sub forma: − i 2,3[− 0,6 x + (0,8 − 0,6i ) y ] = −i 2,3(− 0,6 x + 0,8 y ) − 1,38 y . Deci exp[− i 2,3[− 0,6 x + (0,8 − 0,6i ) y ] + iωt ] = = exp[− i 2,3(− 0,6 x + 0,8 y ) + iωt ]exp[− 1,38 y ] iar
E = E0 exp[− 1,38 y ]exp[− i 2,3(− 0,6 x + 0,8 y ) + iωt ] .
Amplitudinea acestei unde este E0 exp[− 1,38 y ] , deci planele de amplitudine constantă sunt y = ct . Planele de fază constantă sunt − 0,6 x + 0,8 y = ct .
II.17. O undă electromagnetică plană, având frecvenţa de 10 GHz, se propagă în
vid după direcţia axei Oz şi are amplitudinea vectorului intensitate câmp electric
E x = 1 V/m . Calculaţi: a) viteza de fază, lungimea de undă şi constanta de propagare; b) impedanţa caracteristică a mediului; c) amplitudinea şi direcţia vetorului intensitate câmp magnetic; d) valorile mărimilor de la punctul a) dacă unda se propagă printr-un mediu fără pierderi, nelimitat, având ε r = 4 şi μ r = 1 . Soluţie: a) În vid, viteza de fază este v f = c =
21
1 = 3 ⋅108 m/s , ε 0μ 0
lungimea de undă este λ = iar constanta de propagare este β =
c = 3 ⋅10−2 m , ν
2π = 209, 43m −1 . λ
b) Impedanţa caracteristică a vidului are valoarea: η0 =
μ0 = 377Ω . ε0
c) Pentru unda progresivă, cea care se propagă în sensul pozitiv al axei Oz, relaţia între amplitudinile vectorilor este: Hy =
Ex = 2,65 ⋅10−3 A/m . η0
d) Intr-un mediu care are parametrii ε r = 4 şi μ r = 1 , viteza de fază este v f =
1 c = = 1,5 ⋅108 m/s , ε 0 ε r μ 0μ r εr μr
lungimea de undă este λ = iar constanta de propagare este β =
vf ν
= 1,5 ⋅ 10− 2 m ,
2π = 418,87 m −1 . λ
II.18. O sursă punctiformă de lumină cu o putere medie P0 = 103 W radiază
uniform şi izotrop în spaţiu. Determinaţi amplitudinile intensităţii câmpului electric şi inducţiei câmpului magnetic ale undei la distanţa r = 1 m faţă de sursă. Se cunosc c = 108 m/s şi μ 0 = 4π ⋅10−7 H/m . Soluţie: Vectorul lui Poynting are expresia: SP = E × H =
1 E×B . μ0
22
Sursa fiind punctiformă şi mediul uniform şi izotrop, frontul de undă este sferic, iar puterea medie care traversează sfera de rază r este: P = S P 4πr 2 . Deoarece E ⊥ B , iar E = cB , rezultă că SP =
E2 μ0c
.
Dar, r
1 E2 2 < E >= ∫ Emax sin 2 ωtdt = max T0 2 2
Deci, P=
2 Emax 4πr 2 , 2μ0c
de unde Emax = iar
Bmax =
Pμ0c = 240 V/m , 2π Emax = 8 ⋅10−7 T . c
II.19. O undă electromagnetică monocromatică care se propagă prin vid are
intensitatea câmpului electric descrisă de relaţia E ( r , t ) = E0 sin ( βy ) exp ⎡⎣i ( ωt − βz ) ⎤⎦ u x . Determinaţi: a) relaţia dintre β şi lungimea de undă în vid λ 0 ; b) expresia vectorului intensitate câmp magnetic, H ( r , t ) ; c) direcţia de propagare a energiei. Soluţie Expresia intensităţii câmpului electric al undei poate fi privită ca suma a două
23
unde plane, adică E (r ,t ) =
E0 ( exp [iβy ] − exp [ −iβy ]) exp ⎣⎡i ( ωt − βz )⎦⎤ ux . 2i
a).Aplicând relaţia 2
⎛ 2π ⎞ β + β + χ = ⎜ ⎟ , unde β x = 0 şi β y = β z = β , rezultă că ⎝ λ0 ⎠ 2 x
2 y
2 z
2
⎛ 2π ⎞ 2π 2β = ⎜ ⎟ , de unde β = . λ0 ⎝ λ0 ⎠ 2
b). Conform legii inducţiei electromagnetice,
unde
∇ × E = −μ 0
∂H , ∂t
ux ∂ ∇× E = ∂x Ex
uy ∂ ∂y 0
uz ∂ = ∂z 0
= −iβE0 sin βy exp ⎣⎡i ( ωt − β z ) ⎦⎤ u y − β E0 cos β y exp ⎣⎡i ( ωt − β z ) ⎦⎤ u z .
Astfel,
H (r ,t ) = − = iar
1 μ0
∫ ( ∇ × E )dt =
βE0 βE0 sin βy exp ⎣⎡i ( ωt − βz ) ⎦⎤ u y + cos βy exp ⎣⎡i ( ωt − βz ) ⎦⎤ u z , ωμ 0 iωμ0
Re {H ( r , t )} =
βE0 sin β y exp ⎣⎡i ( ωt − β z ) ⎦⎤ u y ωμ 0
c). Vectorul Poynting se scrie,
ux S = E × Re {H } = Ex 0
uy 0 Hy
uz 0 = Ex H yu z = 0
= E0 sin β y exp ⎡⎣i ( ωt − β z ) ⎤⎦ ⋅
E0β sin β y exp ⎡⎣i ( ωt − β z ) ⎤⎦ u z = ωμ 0
24
E02β 2 sin βy exp ⎣⎡ 2i ( ωt − βz ) ⎦⎤ u z . ωμ0
=
Energia se propagă de-a lungul direcţiei din planul 0z.
II.20. O undă plană electromagnetică, care se propagă prin aer, are vectorul
intensitate câmp electric egal cu
E ( z , t ) = E0 cos ( βz − ωt ) ( u x + u y ) . a). Calculaţi valoarea amplitudinii maxime a intensităţii câmpului electric. b). Scrieţi expresia vectorului inducţie magnetică al undei. c). Scrieţi expresia vectorului lui Poynting. d). Calculaţi densitatea de impuls a undei.
Soluţie a). Scriem că E ( z , t ) = Exu x + E y u y , unde Ex = E y = E0 cos ( βz − ωt ) , iar 2 2 2 2 Emax = Emax, x + Emax, y = 2 E0 ,
de unde Emax = E0 2 . b). Scriem legea inducţiei electromagnetice sub formă diferenţială, ∇× E = −
sau
adică
∂B , ∂t
ux ∂ ∇× E = ∂x Ex ∂E y ∂z
=
uy ∂ ∂y Ey
uz ∂E ∂B ∂ ∂E ∂B = − y ux + x u y = − x ux − y u y , ∂z ∂z ∂z ∂t ∂t 0
∂B ∂Ex ∂Bx =− y , şi ∂z ∂t ∂t
de unde Bx = ∫
∂E y ∂z
dt = − ∫ E0β sin ( βz − ωt ) dt = −
25
E0β cos ( βz − ωt ) = − B0 cos ( βz − ωt ) ω
şi
By = − ∫
cu B0 =
E0β . ω
∂Ex Eβ dt = ∫ E0β sin ( β z − ωt ) dt = 0 cos ( βz − ωt ) = B0 cos ( βz − ωt ) , ∂z ω
Astfel, B ( z , t ) = B0 cos ( βz − ωt ) ( −u x + u y ) . c). Vectorul lui Poynting, S=
E×B EB EB = 2 ( u x + u y ) × ( −u x + u y ) 0 0 cos 2 ( βz − ωt ) = 2 0 0 cos 2 ( βz − ωt ) u z . μ μ μ
d). Densitatea de impulsul electromagnetic este g em = εE × B = εμS = 2εE0 B0 cos 2 ( βz − ωt ) u z .
II.21. O undă electromagnetică se propagă printr-un mediu după o direcţie care
face unghiul θ cu axa 0z . Mediul are parametri ε şi μ . Intensitatea câmpului magnetic al undei are expresia
(
)
H = H 0 exp ⎡i 2π ⋅108 t − iπ x + 3 z ⎤ u y (A/m). ⎣ ⎦ Calculaţi: a. frecvenţa undei; b. lungimea de undă; c. viteza luminii în mediul respectiv; d. unghiul θ . Soluţie a. Comparând expresia din enunţ cu H = H 0 exp ⎡⎣i ( ωt − β ⋅ r ) ⎤⎦ u y ,
observăm că ω = 2πν = 2π ⋅108 rad, de unde ν = 108 Hz. b. Comparând cu aceeaşi expresie,
26
β ⋅ r = β x x + β y y + β z z = πx + 3πz , de unde β x = π , β y = 0 şi β z = 3π .
Deci, λ =
2π 2π = = 1 m. 2 β β x + β2y + β2z
c. v = νλ = 108 m/s. d. tgθ =
βx 1 π = , adică θ = radiani (figura II.21). βz 6 3
Fig. II.21
II.22. Într-un loc din spaţiu există un câmp electromagnetic a cărui intensitate a
câmpului electric are expresia
(
)
E = 10exp ⎡ 4πi 106 t − 10−2 z ⎤ u x (V/m) ⎣ ⎦ Calculaţi: a. frecvenţa, lungimea de undă şi viteza undei; b. permitivitatea relativă ε r , impedanţa mediului η şi intensitatea câmpului magnetic H . Permeabilitatea magnetică a mediului este μ 0 = 4π ⋅10−7 H/m. c. Calculaţi expresia vectorului lui Poynting. Soluţie a. Din expresia lui E , ω = 4π ⋅106 rad/s, astfel că frecvenţa undei este
27
ν=
ω = 2 ⋅106 Hz. 2π
La fel, β =
2π = 4π ⋅10−2 m-1, de unde lungimea de undă λ = 50 m. λ
Viteza, v =
ω = 108 m/s. β
b. Din v =
c c2 , rezultă ε r = 2 = 9 . v μr εrμr
Impedanţa mediului, η =
μ μ0 μ r = ⋅ = 40πΩ . ε ε0 εr
Din ecuaţia lui Faraday,
ux −μ 0
∂H = ∇× E = 0 ∂t Ex
uy 0 0
uz ∂ ∂E = x u y = −iE0β exp ⎡⎣i ( ωt − βz ) ⎤⎦ u y . ∂z ∂z 0
Astfel, ∂H Eβ = i 0 exp ⎡⎣i ( ωt − βz ) ⎤⎦ u y , ∂t μ0 iar după integrare, H=
E0β E exp ⎡⎣i ( ωt − βz ) ⎤⎦ u y = 0 exp ⎡⎣i ( ωt − βz ) ⎤⎦ u y . μ0ω η
Constanta de integrare am luat-o nulă deoarece ne interesează doar câmpurile variabile. Deci, H=
1 exp ⎡ 4πi 106 t − 10−2 z ⎤ u y . ⎣ ⎦ 4π
(
)
c. Vectorul lui Poynting, ux S P = E × H = Ex 0
uy 0 Hy
uz 2,5 0 = Ex H yu z = exp ⎡⎣ 2i ( ωt − βz ) ⎤⎦ u z (W/m2) π 0
28
II.23. O undă electromagnetică plană uniformă care se propagă prin vid are
vectorul intensitate câmp electric egal cu E = 94, 25exp ⎡⎣i ( ωt + 6 z ) ⎤⎦ u x (V/m). Calculaţi: a. viteza de propagare a undei; b. frecvenţa undei; c. lungimea de undă; d. intensitatea câmpului magnetic; e. densitatea medie de putere a undei. Soluţie a. Propagarea având loc în vid în sensul negativ al axei 0 z , viteza undei este v = −3 ⋅108 u z (m/s). b. Din expresia vectorului E , β=
ω = 6 rad/m, v
astfel că frecvenţa undei, ν =
ω βv 9 = = ⋅108 Hz. 2π 2π π
c. Lungimea de undă, λ =
2π = 1,047 m. β
d. Conform structurii undei electromagnetice plane, H=
uz × E = −0, 25exp ⎡⎣i 1,8 ⋅109 t + 6 z ⎤⎦ u y A/m, η
unde impedanţa vidului η =
(
)
μ0 = 377 Ω . ε0
e. Densitatea medie de putere este egală cu modulul vectorului lui Poynting, adică
(
)
S P = E × H = Ex H y = 11,78exp ⎡⎣ 2i 1,8 ⋅109 t + 6 z ⎤⎦ (W/m2).
29
II.24. O undă electromagnetică cu frecvenţa de 1,8 GHz se propagă printr-un
mediu cu permeabilitatea magnetică relativă μ r = 1,6 , permitivitatea electrică relativă ε r = 25 şi conductivitatea σ = 2,5Ω −1m -1 .Vectorul intensitate a câmpului electric are expresia E = 0,1exp [ −αz ] exp ⎡⎣i ( ωt − βz ) ⎤⎦ u x (V/m).
Determinaţi: a). coeficientul de atenuare α , constanta de propagare γ , impedanţa mediului, viteza de fază, adâncimea de pătrundere, lungimea de undă; b). expresia vectorului intensitate câmp magnetic; Soluţie a). Pulsaţia ω = 2πν = 3,6π ⋅109 = 11,31 ⋅109 rad/s; Constanta de propagare, γ = iωμ ( σ + iωε ) = iω şi 1 −
εr μr c
1−
iσ ⎡ π⎤ = 1 − i = 4 2 exp ⎢ −i ⎥ . Astfel, γ = 108,51 + i 261,97 m −1 . εω ⎣ 8⎦ Deci, α = 108,51m −1 şi β = 261,97 rad/m . Impedanţa, η =
μ μ 0μ r ⎡ π⎤ = = 80, 2exp ⎢i ⎥ ; ε ε0ε r 1 − i ⎣ 8⎦
Viteza de fază, v =
ω u z = 4,32 ⋅107 m/s; β
Lungimea de undă, λ =
2π = 0,024 m; β
Adâncimea de pătrundere, δ =
1 = 9, 22 ⋅10−3 m; α
Vectorul intensitate câmp electric devine
30
iσ , unde εω = 2,5 εω
(
)
E = 0,1exp [ −108,5 z ] exp ⎡⎣i 3,6π ⋅109 t − 261,97 z ⎤⎦ u x ;
Vectorul intensitate câmp magnetic va fi
H=
⎡ ⎛ π ⎞⎤ uz × E = 1, 25exp [ −108,5 z ] exp ⎢i ⎜ 3,6π ⋅109 t − 261,97 z − ⎟ ⎥ u y . η 8 ⎠⎦ ⎣ ⎝
31
III.
Starea
de
polarizare
a
undelor
electromagnetice III.1. Considerăm undele plane electromagnetice cu intensităţile câmpului
electric,
a) E (z ) = (3u x + 4u y )exp[iβz ] ;
( c) E (z ) = (3e
)
b) E (z ) = 4u x + 4e − i π 4 u y exp[− iβz ] ; −i π 2
)
u x + 4e i π 4 u y exp[iβz ] .
Stabiliţi starea de polarizare pentru fiecare undă.
Soluţie a) E x (z, t ) = 3 cos(βz + ωt ) ; E y (z, t ) = 4 cos(βz + ωt ) ; Δϕ = 0 , starea de polarizare este liniară după direcţia care face cu axa Ox unghiul definit de tgθ =
4 . 3
b) Stare de polarizare circular stânga. Amplitudinile egale. Centrul cercului nu este în originea axelor de coordonate. c). Stare de polarizare eliptică dreapta. Centrul elipsei nu este în originea axelor de coordonate.
III.2. Determinaţi starea de polarizare a undei electromagnetice a cărei intensitate
a câmpului electric are expresia
E = ( 3u x + i 4u y ) exp [ −0, 2 z − i 0,5 z ] (V/m)
Soluţie Scriem componnetele vectorului intensitate câmp electric sub forma
Ex ( z , t ) = 3exp [ −0, 2 z ] cos ( ωt − 0,5 z ) şi
E y ( z , t ) = −4exp [ −0, 2 z ] sin ( ωt − 0,5 z ) .
32
În planul z = 0 aceste componente devin 1 3 1
şi
4
Ex ( 0, t ) = cos ωt E y ( 0, t ) = − sin ωt .
Ridicăm la pătrat ultimele ecuaţii şi le adunăm membru cu membru, Ex2 ( 0, t ) 9
+
E y2 ( 0, t ) 16
=1.
Am obţinut ecuaţia unei elipse reprezentaă în figura III.2
Fig. III.2 Prin urmare, starea de polarizare a undei este eliptică. Pentru a determina sensul de rotaţie calculăm câteva valori ale lui E la momente de timp succesive. Astfel, dacă
ωt = 0 , E x ( 0,0 ) = 3 şi E y ( 0,0 ) = 0 ,
vectorul fiind orientat de-a lungul axei Ox, în sensul pozitiv. Dacă, ωt =
π , 2
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ Ex ⎜ 0, ⎟ = 0 şi E y ⎜ 0, ⎟ = −4 , ⎝ 2ω ⎠ ⎝ 2ω ⎠ vectorul fiind orientat de-a lungul axei Oy, în sensul negativ. Deci, vectorul E se roteşte în sensul orar, adică spre dreapta.
33
III.3. Scrieţi expresiile intensităţii câmpului electric şi a inducţiei magnetice
pentru o undă electromagnetică plană care se propagă în vid, unda fiind circular polarizată în planul x0y şi propagarea are loc după direcţia +z. Amplitudinea vectorului intensitate câmp electric este E0 şi pulsaţia ω .
Soluţie Pentru unda circular polarizată stânga în planul x0y care se propagă după direcţia +z,
⎛ ⎡ ⎛ π ⎞⎤ ⎞ E = E0 ⎜ exp ⎡⎣i ( ωt − kz ) ⎤⎦ u x + exp ⎢i ⎜ ωt − kz + ⎟ ⎥ u y ⎟ , 2 ⎠⎦ ⎠ ⎣ ⎝ ⎝ B=
iar
⎛ ⎡ ⎛ k × E E0 π ⎞⎤ ⎞ = u z × ⎜ exp ⎣⎡i ( ωt − kz ) ⎦⎤ u x + exp ⎢i ⎜ ωt − kz + ⎟ ⎥ u y ⎟ = ω c 2 ⎠⎦ ⎠ ⎣ ⎝ ⎝ =
⎡ ⎛ π ⎞⎤ ⎞ E0 ⎛ ⎜ exp ⎣⎡i ( ωt − kz ) ⎦⎤ u y − exp ⎢i ⎜ ωt − kz + ⎟ ⎥ u x ⎟ . 2 ⎠⎦ ⎠ c ⎝ ⎣ ⎝
Asemănător, pentru unda circular polarizată dreapta în planul x0y care se propagă după direcţia +z,
⎛ ⎡ ⎛ π ⎞⎤ ⎞ E = E0 ⎜ exp ⎡⎣i ( ωt − kz ) ⎤⎦ u x + exp ⎢i ⎜ ωt − kz − ⎟ ⎥ u y ⎟ 2 ⎠⎦ ⎠ ⎣ ⎝ ⎝ B=
şi
⎛ ⎡ ⎛ π ⎞⎤ ⎞ k × E E0 u z × ⎜ exp ⎣⎡i ( ωt − kz ) ⎦⎤ u x + exp ⎢i ⎜ ωt − kz − ⎟ ⎥ u y ⎟ = = c 2 ⎠⎦ ⎠ ω ⎣ ⎝ ⎝ =
⎡ ⎛ π ⎞⎤ ⎞ E0 ⎛ ⎜ exp ⎣⎡i ( ωt − kz ) ⎦⎤ u y − exp ⎢i ⎜ ωt − kz − ⎟ ⎥ u x ⎟ . c ⎝ 2 ⎠⎦ ⎠ ⎣ ⎝
III.4. Printr-un mediu dielectric cu parametrii μ r = 1 , ε r = 3 + i se propagă o
undă plană cu frecvenţa ω de-a lungul axei Oz. Unda este polarizată liniar de-a lungul axei Ox.
34
Scrieţi expresiile vectorilor E şi B ai undei. Vectorul E are amplitudinea E0 .
Soluţie: E = E0 exp ⎡⎣i ( ωt − β z ) ⎤⎦ u x
B = B0 exp ⎡⎣i ( ωt − βz ) ⎦⎤ u y ,
şi
1 deoarece B = n × E , unde n = u z . v Dar
β = ω εμ =
ω c
3+i =
ω ⎛ 3 1⎞ ω 2 ⎡ π⎤ + i ⎟⎟ = 2 ⎜⎜ exp ⎢i ⎥ c c 2⎠ ⎣ 12 ⎦ ⎝ 2
Atunci, ⎡ ⎛ 2ω z 2ωz π π ⎞⎤ cos + i sin ⎟⎟ ⎥ u x = E = E0 exp ⎢i ⎜⎜ ωt − c c 12 12 ⎠ ⎦⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎡⎛ ⎡ ω 2 π ⎤ π ⎞⎤ 2ωz = E0 exp ⎢ − sin z ⎥ exp ⎢i ⎜⎜ ωt − cos ⎟⎟ ⎥ u x c 12 ⎦ c 12 ⎠ ⎦⎥ ⎣ ⎣⎢ ⎝
B=
şi
unde v =
⎡ ⎛ ⎡ ω 2 π ⎤ π ⎞⎤ E0 2ωz exp ⎢ − sin z ⎥ exp ⎢i ⎜⎜ ωt − cos ⎟⎟ ⎥ u y v c c 12 ⎦ 12 ⎠ ⎦⎥ ⎣ ⎣⎢ ⎝ c 3+i
=
c ⎡ π⎤ exp ⎢ −i ⎥ , 2 ⎣ 12 ⎦
astfel că B=
⎡ ⎛ ⎡ ω 2 2 E0 2ω z π ⎤ π π ⎞⎤ exp ⎢ − sin z ⎥ exp ⎢i ⎜⎜ ωt − cos + ⎟⎟ ⎥ u y . c c c 12 ⎦ 12 12 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎣
III.5. Un fascicul de lumină care se propagă orizontal traversează un vas
paralelipipedic plin cu apă în care se află o suspensie coloidală de particule (figura III.5). Un observator priveşte printr-o prismă Nicol de-a lungul unei direcţii perpendiculare pe cea de propagare a fasciculului.
35
Fig. III.5 Determinaţi cu cât la sută este diminuată intensitatea luminii dacă prisma Nicol este rotită cu un unghi de 40 o în raport cu poziţia din care se observă valoarea maximă a intensităţii? Soluţie Notăm cu I d intensitatea fasciculului deviat cu 90 o faţă de direcţia de propagare a luminii incidente. Datorită împrăştierii luminii pe particulele din suspensia coloidală, acest fascicul este liniar polarizat. Notăm cu I d ,max intensitatea maximă a acestui fascicul când este văzut prin prisma Nicol. Dacă prisma este rotită cu unghiul cu unghiul θ faţă poziţia de maxim a intensităţii fasciculului, atunci intensitatea transmisă este dată de legea lui Malus, I = I d ,max cos 2 θ . Prin urmare, intensitatea fasciculului este redusă cu I d ,max − I = I d ,max (1 − cos 2 θ ) . În final, intensitatea luminii este redusă cu procentul de I d ,max − 1 = 1 − cos 2 40o = 0, 413 = 41,3% . I d ,max
36
III.6. Presupunem că vrem să rotim planul de polarizare al unui fascicul luminos
cu 90 o şi dorim ca intensitatea finală să nu scadă cu mai mult ca 50%. Calculaţi câţi polarizori trebuie să introduceţi. Soluţie Planul de polarizare al fasciculului final trebuie să fie rotit cu 90 o faţă de cel din fasciculul incident. Dacă introducem un polarizor suplimentar cu axa de trasmisie rotită la 45 o în raport cu a celuilalt (ceea ce înseamnă că fasciculul străbate doi polarizori, fiecare având axa de trasmisie orintată la 45 o ), intensitatea fasciculului transmis va fi I1 = I 0 cos 4 45o = 0, 25 I 0 . Dacă introducem doi polarizori suplimentari, cu axele de transmisie rotite la 30 o una în raport cu a celuilalt, I 2 = I 0 cos 6 45o = 0, 42 I 0 , iar dacă introducem trei polarizori suplimentari, fiecare având axa de trasmisie rotită la 22,5 o una în raport cu a celuilalt, I 3 = I 0 cos8 45o = 0,53I 0 , valoare acceptabilă. Astfel, sunt necesari, în total, patru polarizori.
III.7. Un fascicul de lumină naturală cu intensitatea I 0 este incident pe doi
polarizori cu axele de transmisie perpendiculare. a). Care este intensitatea luminii transmise? b). Care va fi intensitatea luminii transmise dacă între cei iniţiali se mai introduce un polarizor cu axa de transmisie orintată la 45 o în raport cu axele celorlalţi doi? Soluţie a). Lumina incidentă fiind nepolarizată, intensitatea fascuclului transmis este I1 =
I0 . 2
37
b). Prin introducerea a încă unul polarizor cu axa de transmisie orintată la 45 o , I 2 = I1 cos 2 45o ,
iar
I 3 = I 2 cos 2 45o = I1 cos 4 45o =
1 I 0 cos 4 45o = 0,125 I 0 . 2
III.8. O lamă de cuarţ cu grosimea de 0,54 mm este tăiată cu feţele paralel cu axa
optică. Calculaţi diferenţa de fază între razele ordinară şi extraordinară emergente din lamă dacă pe aceasta este incident normal un fascicul cu lungimea de undă de 546,1 nm. Se cunosc: nO = 1,544 şi nE = 1,553 . Soluţie Diferenţa de fază introdusă de lamă este Δϕ =
2πd ( nO − nE ) = 0,63 rad. λ
III.9. O lamă sfert de undă este introdusă între două prisme Nicol încrucişate (cu
axele de transmisie perpendiculare) şi rotită lent în jurul fasciculului de lumină utilizat ca axă de rotaţie. Calculaţi câte maxime şi minime ale luminii transmise se pot observa la o rotaţie cu 360 o a lamei. Soluţie Prismele Nicol sunt construite pentru a produce şi a analiza lumina liniar polarizată. Acestea sunt astfel construite încât anulează în fasciculul transmis una din razele refractate prin reflexie totală. Când două prisme Nicol sunt încrucişate, raza extraordinară transmisă de prima prismă devine rază ordinară pentru a doua prismă şi este reflectată total. Rezultatul este că nu există rază transmisă prin cele două prisme încrucişate.
38
Dacă se introduce o lamă sfert de undă între cele două prisme, unda liniar polarizată emergentă din prima prismă îşi va schimba starea de polarizare după traversarea lamei. Astfel, o undă cu amplitudinea A , liniar polarizată după o direcţie care face unghiul θ cu axa optică a lamei se poate descompune în două unde componente, E = A cos θ şi O = A sin θ . Aceste unde componente sunt defazate când ajung la a doua prismă, care are rol de analizor. Vor fi transmise prin analozor doar componentele extraordinare, adică E ′ = E sin θ = A cos θ sin θ
şi
E ′′ = O cos θ = A sin θ cos θ . Cele două unde, egale ca amplitudine, oscilează în acelaşi plan şi sunt defazate cu
π . Acestea interferă la ieşirea din analizor rezultând intensitatea 4 I = E ′2 + E ′′2 − 2 E ′E ′′ cos
π π⎞ ⎛ = 2 A2 sin 2 θ cos 2 θ ⎜1 − cos ⎟ . 4 4⎠ ⎝
În figura III.9 este reprezentată funcţia obţinută mai sus. Observăm că în intervalul de la 0 la 2π se obţin 4 maxime şi 4 minime.
Fig. III.9
III.10. Determinaţi care este efectul introducerii unei plăci semiundă cu axa
optică paralelă cu direcţia de polarizare a unui fascicul optic asupra stării de polarizare a fasciculului.
39
Soluţie Alegem axa optică de-a lungul axei Ox şi direcţia de propagare de-a lungul axei
Oz (fig. III.10). Suprafaţa pe care este incident fasculul luminos este planul xOy . Intensitatea câmpului electric al undei incidente are expresia, E0 = A cos ωt Dacă planul de polarizare al undei incidente face un unghi θ cu axa Ox , componentele Ex şi E y se pot scrie sub forma,
Fig. III.10 E0 x = A sin θ cos ωt şi
E0 y = A cos θ cos ωt . După propagarea prin lamă pe distanţa z , celşe două componente devin ⎛ z⎞ Ex = A sin θ cos ω ⎜ t − ⎟ ⎝ v1 ⎠
şi
⎛ z⎞ E y = A cos θ cos ω ⎜ t − ⎟ , ⎝ v2 ⎠
unde v1 şi v2 sunt vitezele celor două direcţii de oscilaţie perpendiculare ale vectorului E . Unda este incidentă normal pe faţa lamei. Diferenţa de fază dintre cele două componente emergente din lamă va fi, ϕ=
2π d ( n2 − n1 ) , λ
40
unde d ( n2 − n1 ) este diferenţa de drum a celor două unde prin lamă şi λ lungimea de undă în aer. Putem rescrie expresiile celor două componente sub forma Ex = E0 cos ( ωt − βz ) şi
E y = E1 cos ( ωt − βz − ϕ ) ,
unde E0 = A sin θ şi E1 = A cos θ , iar β =
ω . v1
Astfel, Ex = cos ( ωt − βz ) E0 şi
Ey E1
= cos ( ωt − βz − ϕ ) = cos ( ωt − β z ) cos ϕ − sin ( ωt − βz ) sin ϕ ,
de unde sin ( ωt − βz ) =
Ey 1 ⎛ Ex ⎜ cos ϕ − sin ϕ ⎝ E0 E1
⎞ ⎟. ⎠
Înlocuind în identitatea trigonometrică cos 2 ( ωt − βz ) + sin 2 ( ωt − βz ) = 1 , rezultă ecuaţia 2
2
Ex E y ⎛ E y ⎞ ⎛ Ex ⎞ cos ϕ = sin 2 ϕ . ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ −2 E E E E 0 1 ⎝ 1⎠ ⎝ 0⎠ În cazul lamei semiundă, ϕ = π , iar ecuaţia devine, Ey = −
E1 Ex , E0
adică direcţia de oscilaţie este înclinată cu unghiul 2θ , unde tgθ = direcţia iniţială de oscilaţie a vectorului E .
41
E1 în raport cu E0
III.11. Un fascicul luminos traversează două prisme Nicol (un polarizor şi un
analizor). Calculaţi procentul cu care se reduce intensitatea fasciculului luminos prin rotirea cu 10o a axei de transmisie a analizorului dacă iniţial axa sa de transmisie face cu cea a polarizorului un unghi de: a). 20o ; b). 70o . În fiecare caz unghiul dintre cele două axe de transmisie creşte prin rotirea analizorului. Soluţie a). Înainte de rotirea analizorului intensitatea transmisă prin acesta este egală cu I 20 = I 0 cos 2 20o , iar după rotirea cu 10o , aceasta este I 30 = I 0 cos 2 30o Prin urmare, reducerea procentuală a intensităţii fasciculului luminos este egală cu k=
I 20 − I 30 = 0,15 = 15% . I 20
b). Înainte de rotirea analizorului intensitatea transmisă prin acesta este egală cu I 70 = I 0 cos 2 70o , iar după rotirea cu 10o , aceasta este I 80 = I 0 cos 2 80o
Prin urmare, reducerea procentuală a intensităţii fasciculului luminos este egală cu k=
I 70 − I 80 = 0,742 = 74, 2% . I 70
42
III.12. În calea unui fascicul de lumină nepolarizată cu intensitatea de 1kW/m2 se
aşează doi polarizori identici, al doilea având axa de transmisie rotită cu un unghi de 50º faţă de cea a primului a) Calculaţi intensitatea luminii transmise prin cele două dispozitive. b) Ce se întâmplă dacă între cei doi polarizori se introduce un al treilea polarizor identic cu primii şi cu axa de transmisie rotită cu un unghi de 25º faţă de cea a primului polarizor? Soluţie Conform legii lui Malus, a) I trans =
1 I inc cos 2 50o = 207 W/m2; 2
b) I trans =
1 I inc cos 4 25o = 337,34 W/m2. 2
III.13. O undă circular polarizată dreapta, cu modulul vectorului intensitate câmp
electric E0 = 2 V/m, se propagă prin vid în direcţia pozitivă a axei Oz. Lungimea de undă este egală cu 6 cm. Scrieţi expresia vectorului intensitate câmp electric al undei. Soluţie Vectorul câmp electric al undei electromagnetice se află în planul xOy, perpendicular pe direcţia de propagare. Acesta are componentele pe axe cu amplitudinile egale şi defazate cu
π . Astfel, 2
π⎞ ⎛ E ( z , t ) = Au x cos ( ωt − kz ) + Au y cos ⎜ ωt − kz − ⎟ , 2⎠ ⎝
43
E02 = 2 A2
unde ω = kc =
A=
şi
E0 = 2 V/m, 2
k=
iar
2π π 2 -1 = ⋅10 m λ 3
şi
2πc = π ⋅1010 rad/s. Prin urmare, λ
π π π⎞ ⎛ ⎞ ⎛ E ( z , t ) = 2u x cos ⎜ π ⋅1010 t − ⋅102 z ⎟ + 2u y cos ⎜ π ⋅1010 t − ⋅102 z − ⎟ (V/m). 2⎠ 3 3 ⎝ ⎠ ⎝
III.14. Determinaţi starea de polarizare a undelor descrise de vectorii intensitate
câmp electric: a) E = 100e− i 300 x cos ωtu y + 100e − i 300 x cos ωtu z (V/m); b). E = 16ei π 4e − i100 z cos ωtu x − 9e − i π 4e − i100 z cos ωtu y (V/m); c). E = 3cos ( t − 0,5 y ) u x − 4sin ( t − 0,5 y ) u z (V/m).
Soluţie a).
În
x=0,
E = 100cos ωtu y + 100cos ωtu z ,
adică
E y = 100cos ωt
Ez = 100cos ωt . Unda este liniar polarizată după bisectoarea a întâia în planul yOz. b). Dacă 100 z = 2
π , Ex = 16cos ωt şi E y = −9sin ωt , care satisfac ecuaţia 4
2
⎛ Ex ⎞ ⎛ E y ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =1. ⎝ 16 ⎠ ⎝ 9 ⎠ Starea de polarizare este eliptică stânga. c). În planul y = 0 , Ex = 3cos t şi , care satisfac ecuaţia 2
2
⎛ Ex ⎞ ⎛ Ez ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1. ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ Starea de polarizare este eliptică dreapta.
44
şi
III.15. Determinaţi direcţia de propagare şi starea de polarizare a următoarelor
unde: a). E = Re {2iu y − 3u z } exp ⎣⎡i ( kx − ωt ) ⎦⎤ ; b). E = Re {u x − iu z } exp ⎣⎡i ( ky − ωt ) ⎤⎦ ; c). E = Re {u x + 3eiπ 6u y } exp ⎣⎡i ( kz − ωt ) ⎦⎤
Soluţie a). propagarea în direcţia x, stare de polarizare eliptică stânga; b) propagarea în direcţia y, stare de polarizare eliptică dreapta; c). propagarea în direcţia z, stare de polarizare eliptică stânga;
III.16. O undă electromagnetică plană uniformă este caracterizată prin vectorii:
[ ] B = [B0 xu x + B0 yu y + B0 z u z ]exp[− 2,3i (− 0,6 x + 0,8 y ) + iωt ] ,
E = u x + E0 y u y + (2 + 5i )u z exp[− 2,3i (− 0,6 x + 0,8 y ) + iωt ] ;
unde E0 y ,B0 x ,B0 y ,B0 z sunt independente de x, y, z. Determinaţi pentru μ = μ0 şi ε = ε 0 : a) componentele E0 y ,B0 x ,B0 y ,B0 z ; b) frecvenţa şi lungimea de undă; c) ecuaţia suprafeţei de fază constantă; d) starea de polarizare a undei. Soluţie: a) Pornind de la expresia vectorului E
(
)
E = E0 xu x + E0 y u y + E0 z u z exp[i (ωt − βn ⋅ r )] , unde
E0 x = 1 V/m şi
45
[
]
⎛ 2 5 ⎞ ⎟⎟ = 5,385 exp i 21,8o V/m E0 z = (2 + 5i ) = 29 ⎜⎜ +i 29 29 ⎠ ⎝
(
)
iar
βn = 2,3 − 0,6u x + 0,8u y
adică
β2 nx2 + n 2y = β2 , rezultă
(
)
β = 2,3 m-1 şi versorul direcţiei de propagare
n = −0,6u x + 0,8u y . Din condiţia de transversalitate a undei: n ⋅ E0 = 0 , adică − 0,6 E0 x + 0,8 E0 y = 0 , rezultă E0 y = 0,75V/m .
Din relaţia între vectorii E ,B ,n rezultă că B0 =
[
)(
(
] )
1 1 n × E0 = − 0,6u x + 0,8u y × u x + 0,75u y + 5,385 exp 21,8o i u z , v c
adică:
(
[
]
[
]
)
B0 = 10 −8 1,436 exp 21,8o i u x + 1,077 exp 21,8o i u y − 0,4166u z . b) λ =
c 2π = 2,73 m , ν = = 1,1 ⋅108 Hz . λ β
c) Ecuaţia suprafeţei de fază constantă este n ⋅ r = −0,6 x + 0,8 y = ct , care este o familie de plane paralele cu axa Oz. d) Eliptică.
III.17. Dacă un cristal de cuarţ este tăiat paralel cu axa optică apare avantajul
unei diferenţe maxime a vitezelor de propagare a undelor ordinară şi extraordinară dacă avem incidenţă normală pe cristal. Indicii de refracţie ai cuarţului cristalin pentru λ = 600 nm sunt nO = 1,544 şi nE = 1,533 .
Calculaţi grosimea cristalului pentru care se
introduce între cele două unde un defazaj de π/2. Soluţie: Dacă notăm cu e grosimea cristalului, numărul de lungimi de undă ale undei E conţinut în grosimea cristalului este egal cu
46
e en = E , λ E λ aer iar numărul de lungimi de undă ale undei O conţinute în grosimea cristalului este: e en = O . λ O λ aer La ieşirea din cristal diferenţa de fază între cele două unde va fi: ϕO − φ E =
2πe π ( nO − nE ) = λ aer 2
de unde e=
λ aer = 16,7 ⋅10−6 m . 4 ( nO − nE )
III.18. Descrieţi starea de polarizare a următoarei unde:
⎡ ⎛z ⎡ ⎛z 1 ⎞⎤ ⎞⎤ E = E0 sin ⎢ 2π ⎜ + νt ⎟ ⎥ u x + E0 sin ⎢ 2π ⎜ + νt − ⎟ ⎥ u y ; 8 ⎠⎦ ⎠⎦ ⎣ ⎝λ ⎣ ⎝λ Soluţie Componentele vectorului E sunt ⎡ ⎛z ⎞⎤ ⎛ 2πz ⎞ Ex = E0 sin ⎢ 2π ⎜ + νt ⎟ ⎥ = E0 sin ⎜ + 2πνt ⎟ ⎠⎦ ⎝ λ ⎠ ⎣ ⎝λ şi
⎡ ⎛z 1 ⎞⎤ E ⎛ 2πz ⎞ E ⎛ 2πz ⎞ E y = E0 cos ⎢ 2π ⎜ + νt − ⎟ ⎥ = 0 cos ⎜ + 2πνt ⎟ − 0 sin ⎜ + 2πνt ⎟ . 8 ⎠⎦ 2 2 ⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠ ⎣ ⎝λ Din cele două ecuaţii, ⎛ 2πz ⎞ E + Ey 2 ⎛ 2πz ⎞ E + 2πνt ⎟ = x . sin ⎜ + 2πνt ⎟ = x , iar cos ⎜ E0 ⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠ E0
Înlocuind în relaţia trigonometrică sin 2 α + cos 2 α = 1 rezultă ecuaţia 2 2 Ex E y 1 Ex2 E y + + = , 2 2 E0 E0 E02 2
47
care este ecuaţia unui cerc. Comparând cu ecuaţia cercului, sin 2 ϕ = astfel că ϕ =
1 1 , şi cos ϕ = − 2 2
3π . 4
Dacă notăm cu τ perioada, în figura III.18 sunt reprezentate direcţiile vectorului la diferite momente de timp de unde se vede că vectorul E se roteşte în sens invers trigonometric, deci spre dreapta. Starea de polarizare este circulară dreapta.
Fig. III.18 În tabelul de mai jos sunt trecute valorile componentelor vectorului E la momente de timp diferite, în z = 0 .
III.19. Descrieţi starea de polarizare a fiecăreia din următoarele unde
electromagnetice: a. E = u x E0 cos ( βz − ωt ) − u y E0 cos ( βz − ωt ) ;
⎛z ⎞ ⎛z ⎞ b. E = u x E0 sin 2π ⎜ − vt ⎟ − u y E0 sin 2π ⎜ − vt ⎟ ; ⎝λ ⎠ ⎝λ ⎠
48
π⎞ ⎛ c. E = u x E0 sin ( ωt − βz ) + u y E0 sin ⎜ ωt − βz − ⎟ ; 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ d. E = u x E0 cos ( ωt − βz ) + u y E0 cos ⎜ ωt − βz + ⎟ . 2⎠ ⎝ Soluţie Pornind de la ecuaţia elipsei de polarizare, 2 Ex2 E y 2 Ex E y + − cos ϕ = sin 2 ϕ , E02x E02y E0 x E0 y
aflată în planul Ex 0 E y şi notând cu θ unghiul făcut de axa elipsei de lungime 2 E0 x cu axa Ex , atunci abscisa unui punct de pe elipsă aflat la intersecţia cu axa de lungime 2 E0 x este egală cu Ex = E0 x cos θ . După înlocuirea acestei expresii în ecuaţia elipsei rezultă valoarea ordonatei aceluiaşi punct este egală cu E y = E0 y ( cos θ cos ϕ ± sin θ sin ϕ ) . Astfel, tgθ =
Ey Ex
=
E0 y cos ϕ E0 x m E0 y sin ϕ
.
a. Cele două componente au amplitudini egale, iar E y este defazat în urma lui
E x cu ϕ = π . Starea de polarizare este liniară după direcţia care face unghiul θ = arctg ( −1) =
3π rad cu axa x. 4
π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ b. E = u x E0 cos ⎜ βz − ωt − ⎟ + u y E0 cos ⎜ βz − ωt + ⎟ . Cele două componente au 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ amplitudini egale, iar E y este în urma lui E x cu ϕ = π . Starea de polarizare este liniară după direcţia care face unghiul θ = arctg ( −1) =
49
3π cu axa x. 4
π⎞ ⎛ c. E = u x E0 sin ( ωt − βz ) + u y E0 sin ⎜ ωt − βz − ⎟ = 4⎠ ⎝ π⎞ 3π ⎞ ⎛ ⎛ = u x E0 cos ⎜ ωt − βz − ⎟ + u y E0 cos ⎜ ωt − βz − ⎟ . 2⎠ 4 ⎠ ⎝ ⎝
E x este defazat înaintea lui E y cu
π . Amplitudinile sunt egale. Starea de 4
polarizare este circulară stânga, iar centrul cercului nu se află în originea axelor de coordonate. d. E y este defazat înaintea lui E x cu
π . Amplitudinile sunt egale. Starea de 2
polarizare este circulară stânga.
III.20. Cum trebuie să fie orientaţi un polarizor şi un analizor astfel ca
intensitatea luminii naturale incidente să se reducă la: a) 1/2; b) 1/4; c) 1/8 Soluţie Când un fascicul luminos nepolarizat este incident pe un polarizor (fig. III.20) prin acesta va trece numai o direcţie de oscilaţie a vectorului E , adică jumătate din intensitatea iniţială,
Fig. III.20
I polarizor =
I inc . 2
50
Apoi, dacă axa de transmisie a analizorului este rotită cu un unghi θ faţă de cea a polarizorului, conform legii lui Malus, I analizor = I polarizor cos 2 θ =
1 I inc cos 2 θ . 2
Astfel, a).
1 1 = cos 2 θ1 , de unde θ1 = 0 ; 2 2
b).
1 1 π = cos 2 θ2 , de unde θ2 = ; 4 4 2
c).
1 1 π = cos 2 θ3 , de unde θ3 = . 6 8 2
III.21. O serie de trei polarizori paraleli A, B şi C sunt aşezaţi între o sursă de
lumină naturală şi un observator. Primii doi polarizori A şi B sunt potriviţi astfel încât transmisia luminii prin aceştia să fie maximă. Al treilea polarizor C este aşezat astfel încât transmisia luminii prin cei trei polarizori să fie nulă. În final polarizorul B este rotit. Arătaţi cum variază intensitatea luminii transmise prin cei trei polarizori în funcţie de unghiul θ cu care este rotit polarizorul B. Soluţie Conform figurii III.21 EB = E A cos θ ,
Fig. III.21
51
iar
(
)
EC = EB cos 90o − θ = EB sin θ = E A sin θ cos θ . În final, I transmis =
1 I incident cos 2 θ sin 2 θ . 2
III.22. Un fascicul de lumină naturală cu intensitatea de 200 W/m2 este incident
normal pe un pachet de polarizori liniari ideali aşezaţi unul în faţa celuilalt astfel încât axa de transmisie a primului este verticală, iar a celui de al doilea este rotită la 30°, a celui de al treilea la 60°, iar a ultimului la 90°. Calculaţi intensitatea fasciculului emergent. Soluţie Fasciculul fiind natural, după primul polarizor,
I1 =
I inc , 2
iar după al doilea polarizor (fig. III.22),
I 2 = I 1 cos 2 30 o , după al treilea,
I 3 = I 2 cos 2 30 o şi după al patrulea,
I 4 = I 3 cos 2 30 o . În final,
I4 =
I inc cos 6 30 o = 42,2 W/m2. 2
52
Fig. III.22
III.23. Un polarizor ideal este rotit cu viteza unghiulară ω între o pereche de
polarizori identici cu primul încrucişaţi. Găsiţi cum depinde intensitatea fasciculului emergent de ω Soluţie
I emergent =
1 2 1 E01 sin 2 θ cos 2 θ = E012 (1 − cos 2θ)(1 + cos 2θ) = 2 8
⎡ ⎛1 1 1 1 ⎞⎤ = E012 1 − cos 2 2θ = E012 ⎢1 − ⎜ cos 4θ + ⎟⎥ = 8 8 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝2
(
=
)
1 2 I I E01 (1 − cos 4θ ) = incident (1 − cos 4θ ) = incident (1 − cos 4ωt ) , 16 8 8
unde θ = ωt . Observăm că unda emergentă este modulată cu pulsaţia 4ω .
53
IV. Reflexia şi refracţia luminii IV.1. Un fascicul de lumină trece din apă ( napă =
4 ) într-un material transparent. 3
Unghiul de incidenţă este egal cu 37º, iar unghiul de refracţie cu 25º. Calculaţi viteza luminii în materialul transparent. Soluţie Conform legii refracţiei, napă sin θ0 = n2 sin θ2 , de unde n2 = iar
c napă sin θ0 4sin 37 0 = = = 1,89 , v2 sin θ2 3sin 250
v2 = 1,58 ⋅108 m/s.
IV.2. Un fascicul de lumină nepolarizată este incident din vid pe o placă de sticlă
cu indicele de refracţie n. Direcţiile de propagare ale undei reflectate şi refractate sunt perpendiculare. Calculaţi valorile coeficienţilor de reflexie în cazul celor două stări de polarizare ( Ei ⋅ n = 0 şi H i ⋅ n = 0 ). Soluţie Din
θ0 + θ 2 =
π 2
rezultă
că
cos θ0 = sin θ2 .
Conform
sin θ0 = n sin θ2 , iar din cele două relaţii obţinem că tgθ0 = n . Coeficienţii de reflexie pentru cele două stări de polarizare sunt
54
legii
refracţiei,
R⊥ =
η2 cos θ0 − η1 cos θ2 cos θ0 − n cos θ2 cos θ0 − n sin θ0 1 − ntgθ0 1 − n 2 = = = = η2 cos θ0 + η1 cos θ2 cos θ0 + n cos θ2 cos θ0 + n sin θ0 1 + ntgθ0 1 + n 2
RΙΙ =
n cos θ0 − cos θ2 n cos θ0 − sin θ0 n − tgθ0 n − n = = = = 0. n cos θ0 + cos θ2 n cos θ0 + sin θ0 n + tgθ0 n + n
iar
IV.3. Un scafandru aflat sub apă priveşte Soarele după o direcţie care aparent
face cu verticala un unghi de 45º (figura IV.3). Calculaţi valoarea unghiului real făcut de razele solare cu orizontul. Indicele de refracţie al apei este napă =
4 . 3
Fig. IV.3 Soluţie Din legea refracţiei, naer sin θ0 = napă sin θ2 rezultă sin θ0 = 0,943 şi θ0 = 70,5o , iar unghiul făcut de razele solare cu orizontul este egal cu α =
π − θ0 = 19,5o . 2
IV.4. Un fascicul de lumină este incident pe suprafaţa unei plăcuţe de argint în
condiţiile din figura IV.4. Indicele de refracţie al argintului este egal cu n = 0, 2 + 3, 4i . Calculaţi coeficienţii de reflexie R⊥ şi R|| .
55
Fig. IV.4 Soluţie R⊥ = unde sin θ2 = R⊥ =
cos θ0 − n cos θ2 , cos θ0 + n cos θ2 n 2 − sin 2 θ0 sin θ0 , iar cos θ2 = 1 − sin 2 θ2 = , astfel că n n cos θ0 − n 2 − sin 2 θ0 cos θ0 + n 2 − sin 2 θ0
.
Calculăm, n 2 − sin 2 θ2 =
( 0, 2 + 3, 4i )
2
− sin 2 800 = −12, 49 + 1,36i =
= i 12,56 ( cos 60 − i sin 60 ) = i3,54e − i 3 = 0,192 + 3,53i 0
Astfel, R⊥ =
cos800 − ( 0,192 + 3,53i ) −0,018 − 3,53i = = −0,994e0,1i 0 cos80 + 0,192 + 3,53i 0,366 + 3,53i
RΙΙ =
2 2 2 n cos θ0 − cos θ2 n cos θ0 − n − sin θ0 = = n cos θ0 + cos θ2 n 2 cos θ0 + n 2 − sin 2 θ0
iar
( 0, 2 + 3, 4i ) cos800 − ( 0,192 + 3,53i ) = 0,945e2,11i . 2 ( 0, 2 + 3, 4i ) cos800 + 0,192 + 3,53i 2
=
56
IV.5. Care este grosimea minimă a unei plăcuţe de cuarţ care introduce un defazaj
de
π între unda ordinară şi cea extraordinară pentru un fascicul cu lungimea de undă în 4
vid egală cu 500 nm?. Se cunosc: nE = 1,54424 şi nO = 1,55335 . Soluţie
( nE − nO ) d min =
λ 500 λ = = 6860 nm. , de unde d min = 8 8 ( nO − nE ) 8 (1,55335 − 1,54424 )
IV.6. Determinaţi valoarea maximă a unghiului θ astfel încât raza de lumină
incidentă pe capătul fibrei optice de formă cilindrică din figură IV.6 să fie reflectată total pe pereţii fibrei. Indicele de refracţie al materialului fibrei este egal cu 1,36 iar în exterior este aer. Valoarea unghiului pe care o veţi calcula defineşte conul de acceptanţă al fibrei optice.
Fig. IV.6 Soluţie În A (figura IV.6a), conform legii refracţiei,
Fig. IV.6a
57
sin θ = n sin r , iar în B, unde are loc reflexia totală,
⎛π ⎞ n sin θc = n sin ⎜ − r ⎟ = 1 , 2 ⎝ ⎠ de unde cos r =
1 n2 − 1 şi sin r = . n n
Astfel,
θ = arcsin = n 2 − 1 = arcsin 0,9217 = 67,18o .
IV.7. Cineva ascunde un diamant pe fundul unui bazin de înot public (figura
IV.7). Pentru a camufla diamantul acesta aşează pe suprafaţa apei din bazin o plută circulară centrată pe verticala care trece prin diamant. Apa din bazin are o adâncime de 2 m.
Fig. IV.7 Calculaţi diametrul minim al plutei pentru care nu se poate vedea diamantul de pe marginea bazinului. Soluţie În punctele de la marginea plutei trebuie să apară reflexia totală (figura IV.7a), astfel că d = 2htgθc = 4,53 m, unde sin θc =
1 = 0,75 şi tgθc = 1,13 . n
58
Fig. IV.7a
IV.8. Un fascicul de lumină naturală este incident din aer pe o placă de sticlă
( n = 1, 5 ) sub un unghi de incidenţă de 56º ( tg56o =
3 ). Calculaţi gradul de polarizare al 2
luminii refractate. Soluţie Observăm că unghiul de incidenţă este chiar unghiul Brewster ( tg56o = Gradul de polarizare este 2
2
I t I ⊥t ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2η2 cos θ0 2η2 cos θ0 − i ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ t t i I − I ⊥ I I ⊥ ⎝ η1 cos θ0 + η2 cos θ2 ⎠ ⎝ η1 cos θ2 + η2 cos θ0 ⎠ = = = P= t 2 2 I t I ⊥t ⎛ I ⊥ + I ⊥t ⎞ ⎛ ⎞ 2 cos 2 cos η θ η θ 2 0 2 0 − + I i I ⊥i ⎝⎜ η1 cos θ0 + η2 cos θ2 ⎠⎟ ⎝⎜ η1 cos θ2 + η2 cos θ0 ⎟⎠
( η2 cos θ0 + η1 cos θ2 ) − ( η1 cos θ0 + η2 cos θ2 ) = 2 2 ( η2 cos θ0 + η1 cos θ2 ) + ( η1 cos θ0 + η2 cos θ2 ) 2
=
2
2
2
⎛ ⎞ η1 ⎞ ⎛ η1 , 2 2 2 2 2 ⎜1 + n ⎟ − ⎜ + n ⎟ 1 4 1 + n − n − n ( ) ( ) η η 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ = =⎝ = = 0,08 2 2 2 2 ⎛ ⎞ 1 + n 2 ) + 4n 2 (1 + n 2 ) + 4n 2 η1 ⎞ ⎛ η1 ( ⎜1 + n ⎟ + ⎜ + n ⎟ η2 ⎠ ⎝ η2 ⎝ ⎠ unde n = tgθ0 =
cos θ2 . cos θ0
59
3 = n ). 2
IV.9. Indicele de refracţie al sticlei de tip flint are valoarea 1,66 pentru lumina
violetă şi valoarea 1,62 pentru lumina roşie. Calculaţi dispersia unghiulară a luminii din domeniul vizibil care traversează o prismă din sticlă flint cu secţiunea un triunghi echilateral dacă unghiul de incidenţă este egal 50º. În figura IV.9 este desenată dispersia unghiulară definită ca unghiul dintre direcţiile de propagare ale razelor roşie şi violetă.
Fig. IV.9 Soluţie Unghiul A din vârful prismei este egal cu 60o , triunghiul fiind echilateral (figura IV.9a).
Fig. IV.9a Din legea refracţiei,
60
sin θ2 =
sin θ1 şi sin θ′2 = n sin θ1′ , iar θ2 + θ1′ = A . n
Deviaţia, δ = θ1 − θ2 + θ1′ − θ′2 . Pentru raza roşie, nr = 1,62 şi sin θ2 r =
sin 50o = 0, 472 , iar θ2 r = 28, 22o . 1,62
θ1′r = 60o − 28, 22o = 31,78o , iar sin θ′2 r = 1,62sin θ1′r = 0,85 şi θ′2 r = 58,55o . Deviaţia pentru raza roşie este δr = θ1 − θ2 r + θ′2 r − θ1′r = 48,55o . Pentru raza violetă, nv = 1,66 şi sin θ2 v =
sin 50o = 0, 461 , iar θ2 v = 27, 48o . 1,66
θ1′v = 60o − 27, 48o = 32,52o , iar sin θ′2 v = 1,66sin θ1′v = 0,892 şi θ′2 v = 63,17o .
Deviaţia pentru raza violetă este δv = θ1 − θ2 v + θ′2 v − θ1′v = 53,17o . Deviaţia totală este δv = δv − δr = 4,62o .
IV.10. Calculaţi unghiul Brewster pentru raza de lumină incidentă pe suprafaţa
unei lame de sticlă ( ns = 1,65 ) introdusă în apă ( napă = 1, 33 ).
Soluţie θ B = arctg
nst = 51,13o . napă
IV.11. Sticla are indicele de refracţie n = 1,5 . O undă plană electromagnetică cu
lungimea de undă în vizibil este incidentă normal din aer în sticlă. Calculaţi: a) permitivitatea dielectrică a sticlei; b) procentul puterilor reflectată şi respectiv transmisă pe suprafaţa aer-sticlă din puterea incidentă.
61
Soluţie a) ε = n 2 ε 0 = 2,25ε 0 ; b) La incidenţă normală, coeficientul de reflexie este R =
η − η0 1 − n = = −0,2 , η + η0 1 + n
2
iar factorul de reflexie, r = R = 0,04 = 4% . Factorul de transmisie, t = 1 − r = 0,96 = 96% .
IV.12. O prismă de sticlă cu secţiunea principală un triunghi dreptunghic isoscel
are indicele de refracţie n1 (figura IV.12). Mediul înconjurător are indicele de refracţie n2 . Reflexiile multiple din prismă sunt neglijabile. a) Calculaţi valoarea minimă a lui n1 astfel ca să nu existe o undă transmisă prin ipotenuza triunghiului secţiunii principale dacă n2 = 1 (aer) sau n2 = 1,33 (apă).
Fig. IV.12 b). Dacă lumina incidentă pe direcţia (1) are puterea medie pe unitatea de arie egală cu S0 , calculaţi puterea medie emergentă din prismă pe direcţia Se în funcţie de indicele de refracţie relativ n =
n1 , dacă n1 are o valoare mai mare decât valoarea n2
minimă pentru care nu există undă transmisă prin ipotenuza secţiunii principale a prismei.
62
Evaluaţi raportul
S0 pentru cele două valori minime ale lui n1 determinate la Se
punctul a). Soluţie a). Pentru ca prin ipotenuza secţiunii principale a prismei să nu iasă lumină trebuie ca unghiul de incidenţă θ1 pe aceasta să fie mai mare ca unghiul critic (figura IV.12a). Conform legii lui Snellius,
n1 sin θ1 = n2 sin θ2 , iar reflexia totală apare dacă sin θ2 ≥ 1 , sau
n1 sin θ1 ≥ 1 , adică pentru θ1 = 45o devine n2
n1 ≥ n2 2 .
Fig. IV.12a În aer, pentru n2 = 1 , n1,min = 2 = 1, 414 , iar în apă, pentru n2 = 1,33 , n1,min =
4 2 = 1,88 . 3
b). Coeficientul de reflexie pe faţa (1), la incidenţă normală, este egal cu R(1) =
n1 − n2 = R, n1 + n2
iar pe faţa (2),
63
R( 2) =
n2 − n1 = −R . n1 + n2
Prin urmare, factorul de reflexie este 2
2
r= R =
n1 − n2 n1 + n2
2
n1 −1 n2 = . n1 +1 n2
Pentru n1 ≥ n2 2 puterea transmisă este egală cu S( 2 ) = (1 − r ) S(1) , de unde 2
2
S( 2 ) S(1)
= (1 − r )
2
2 2 ⎤ ⎡ ⎛ n1 n ⎞ ⎤ ⎡⎢ 4 1 ⎥ ⎢ ⎜ −1 ⎟ ⎥ n n2 ⎥ ⎟ ⎥ =⎢ . = ⎢1 − ⎜ 2 2⎥ ⎢ ⎢ ⎜ n1 ⎥ ⎟ ⎛ ⎞ n ⎢ ⎜ n + 1 ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ 1 + 1⎟ ⎥ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ n2 ⎠ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎝ 2
În ambele cazuri de la punctul a), n1 ≥ n2 2 , astfel că S( 2 ) S(1)
2
⎡ ⎤ 4 2 ⎥ =⎢ = 0,943 . ⎢ 2 +1 ⎥ ⎣ ⎦
(
)
IV.13. O undă electromagnetică cu vectorul intensitate câmp magnetic
perpendicular pe planul de incidenţă este incidentă sub unghiul Brewster pe o prismă din sticlă cu unghiul din vârf θ . (figura IV.13).
Fig. IV.13 Calculaţi:
64
a). valoarea unghiului θ dacă indicele de refracţie al sticlei este n = 1, 45 ; b). raportul dintre puterea emergentă din prismă şi cea incidentă. Soluţie a). Din triunghiul din vârful secţiunii principale a prismei, ⎛π ⎞ θ + 2 ⎜ − θ2 ⎟ = π , ⎝2 ⎠ θB =
iar
π − θ2 , 2
astfel că θ = π − 2θ B . În cazul numeric considerat, tgθ B = 1, 45 , de unde θ B = 55,8o . Atunci, θ = 68, 4o , iar θ2 =
π − θ B = 34, 2o . 2
b). Coeficientul de reflexie este egal cu R⊥ =
η2 cos θ0 − η1 cos θ2 cos θ0 − n cos θ2 = = −0,3618 , η2 cos θ0 + η1 cos θ2 cos θ0 + n cos θ2
pe faţa de intrare şi − R⊥ = 0,3618 pe faţa de ieşire. Astfel puterea refractată pe fiecare suprafaţă va fi egală cu 2
R = 0,131 ,
iar cea transmisă este egală cu 2
1 − R = 0,869 .
Raportul dintre puterea transmisă pe cele două feţe şi puterea incidentă este egală cu
(1 − R )
2 2
= 0,755 = 75,5% .
65
IV.14. Un fascicul luminos este incident pe o prismă de sticlă ( n = 1, 42 ) cu
secţiunea principală un triunghi echilateral şi o traversează după o direcţie paralelă cu una din laturile triunghiului echilateral (figura IV.14). Calculaţi unghiul de deviaţie al fasciculului emergent din prismă faţă de direcţia fasciculului incident.
Fig. IV.14 Soluţie Din geometria figurii observăm că θ2 = 30o , astfel că din legea refracţiei,
sin θ0 = n sin θ2 , rezultă sin θ0 = 0,71 şi θ0 = 45, 25o . Datorită simetriei mersului razelor, fasciculul iese sub acelaşi unghi prin faţa cealaltă a triunghiului, astfel că deviaţia δ = 2α = 2 ( θ0 − 30o ) = 29,5o
IV.15. Reflexia totală este utilizată pentru a menţine un fascicul de lumină într-o
fibră optică din sticlă, cerinţă care stă la baza tehnologiei de fabricare a fibrelor optice. Un fascicul de lumină este incident din aer pe capătul unei fibre optice ( n2 = 1,31 ) în punctul A din figura IV.15. Calculaţi valoarea maximă a unghiului de incidenţă θ0 pentru ca fasciculul transmis să sufere reflexia totală în puctul B menţinându-se astfel în interiorul fibrei.
66
Fig. IV.15 Soluţie Conform legii refracţie, n1 sin θ0 = n2 sin θ2 , θ2 =
iar
π − θc , 2
astfel că cos θ2 = sin θc =
n1 , n2 2
iar
⎛n ⎞ n n sin θ0 = 2 sin θ2 = 2 1 − cos 2 θ2 = ⎜ 2 ⎟ − 1 = 0,716 = 0,846 , n1 n1 ⎝ n1 ⎠
iar
θ0 = 57,8o .
IV.16. Un fascicul luminos este incident pe o lamă de sticlă sub unghiul de
incidenţă de 60 o (figura IV.16). Indicele de refracţie al sticlei este egal cu 1,50, iar lama are grosimea de 3 mm. Calculaţi cu cât s-a deplasat fasciculul emergent din lamă faţă de direcţia de propagare a fasciculului incident.
67
Fig. IV.16 Soluţie Din legea refracţiei, n1 sin θ0 = n2 sin θ2 , de unde sin θ2 = iar AB =
1 şi θ2 = 35,3o 3
d , astfel că, cos θ2
x = ABsin ( θ0 − θ2 ) =
d sin ( θ0 − θ2 ) = 1,54 mm. cos θ2
IV.17. Dacă staţi pe marginea unui bazin de înot plin cu apă şi priviţi în sus spre
cer puteţi vedea lumea care vă înconjoară conţinută într-un con cu semiunghiul din vârf
θ . Indicele de refracţie al apei este egal cu 1,33. Calculaţi valoarea unghiului θ . Soluţie θ=
π 1 3 − θc , unde sin θc = = , iar θc = 48,6o . Astfel, θ = 41, 4o . 2 napă 4
IV.18. Când privim un obiect aflat pe fundul unei ape avem impresia că obiectul
pare mai mare decât este în realitate. de fapt, obiectul se vede mai aproape. Pentru a
68
demonstra acest lucru considerăm că privim un obiect aflat în apă la adâncimea d (figura IV.18). Indicele de refracţie al apei este egal cu 1,33.
Fig.IV.18 Calculaţi adâncimea în apă la care se observă obiectul aflat pe fundul apei. Soluţie În figură sunt desenate două raze de lumină ce pornesc de la obiectul aflat pe fundul apei. Una din raze se propagă vertical în sus, după o direcţie perpendiculară pe suprafaţa apei şi nu este deviată la traversarea acesteia. Cealaltă rază fiind înclinată, este refractată pe suprafaţa dintre apă şi aer modificându-şi direcţia de propagare. Observatorul are impresia că această a doua rază a pornit din punctul I şi vede peştele în acest punct. Din figură observăm că
iar
tgθ0 =
x , d
tgθ2 =
x . d′
Pentru unghiuri mici, tgθ sin θ θ ( rad ) , astfel că, din legea refracţie,
69
tgθ0 d ′ = tgθ2 d iar
d′ =
sin θ0 1 = , sin θ2 n
d 3d = . n 4
IV.19. Un vas conţine un strat de apă ( n3 = 1,33 ) de grosime d3 = 10 cm. La
suprafaţa apei pluteşte un strat de benzen ( n2 = 1,50 ) de grosime d 2 = 6 cm. O monedă se află în repaus pe fundul vasului. La ce adâncime vede un observator moneda dacă priveşte aproape perpendicular pe suprafaţa lichidului? Soluţie Conform rezultatului din problema IV.18, pentru cazul incidenţei normale, dacă observatorul s-ar afla în benzen ar vedea moneda la adâncimea, d 2′ =
n2 d3 , iar n3
observatorul aflat în aer vede moneda a adâncimea d 2′′ =
⎞ n1 n ⎛ n ( d 2 + d 2′ ) = 1 ⎜ d 2 + 2 d3 ⎟ = 11,5 cm. n2 n2 ⎝ n3 ⎠
IV.20. Reflexia totală pe o prismă cu secţiunea principală un triunghi dreptunghic
isoscel este utilitzată în prismele binoculare pentru a întoarce razele luminoase (figura IV.20). a). Calculaţi valoarea maximă a unghiului de incidenţă a fasciculului luminos pe una din catetele triunghiului dreptunghic astfel ca în punctul P să apară reflexia totală. Indicele de refracţie al sticlei prismei este egal cu 1,50. b). Cu cât va fi deviat fascicul incident la ieşirea din prismă prin punctul P dacă unghiul de incidenţă este egal cu 45o ?
70
Fig. IV.20 Soluţie a). În punctul P fasciclul luminos este incident pe ipotenuza triunghiului dreptunghic sub unghiul critic θc , adică sin θc =
1 2 = şi θc = 41,8o . n2 3
În triunghiul format în centrul prismei, 135o + θc + θ2 = 180o ,
de unde θ2 = 3, 2o .
Din legea refracţiei, sin θ0 = n2 sin θ2 , rezultă θ0 = 4,8o b). Din legea refracţie, sin θ0 = n2 sin θ2 , unde θ0 = 45o , rezultă că θ2 = 28,1o . În P fasciculul este incident sub unghiul θ3 = θ2 = 28,1o , astfel că din legea refracţiei în punctul P, n2 sin θ3 = sin θ4 , rezultă θ4 = 45o . Normala în P este paralelă cu fasciculul incident astfel că fascicul incident este deviat cu 45o .
71
IV.21. O undă electromagnetică plană liniar polarizată, care se propagă prin vid,
este incidentă pe suprafaţa unui conductor perfect (figura IV.21) sub unghiul de incidenţă de 45o . Vectorul intensitate câmp magnetic al undei incidente oscilează pe direcţia axei Ox şi are pe interfaţă amplitudinea egală cu 0,1 A/m. Pulsaţia undei este egală cu 600 Mrad/s. a). Scrieţi expresiile câmpurilor în undele incidentă, reflectată şi refractată. b). Calculaţi densitatea de putere medie în cele două medii.
Fig. IV.21 Soluţie a). Mediul al doilea fiind un conductor perfect, coeficientul de reflexie este egal cu unitatea. Constanta de propagare în vid este
γ1 = iω ε0μ0 = iβ = 2i m-1, iar impedanţa η1 = 120π Ω . Coeficientul de reflexie fiind egal cu unitatea şi unghiul de incidenţă cu 45o , expresiile vectorilor de câmp în unda incidentă şi reflecată sunt: H i = 0,1exp ⎡⎣ −i 2 ( y + z ) ⎤⎦ u x (A/m); Ei = −26,658 ( u y − u z ) exp ⎡⎣ −i 2 ( y + z ) ⎤⎦ (V/m);
72
H r = 0,1exp ⎡⎣ −i 2 ( y − z ) ⎤⎦ u x (A/m);
Ei = 26,658 ( u y + u z ) exp ⎡⎣ −i 2 ( y − z ) ⎤⎦ (V/m). Câmpul electromagnetic total din primul mediu este descris de vectorii H1 = H i + H r = 0, 2cos
(
E1 = Ei + Er = 53,32 ⎡cos ⎣
)
2 z exp ⎡⎣ −i 2 y ⎤⎦ u x (A/m);
(
)
2 z u z + i sin
(
)
2 z u y ⎤ exp ⎡⎣ −i 2 y ⎤⎦ (V/m). ⎦
Densitatea de curent de suprafaţă datorat componentei tangenţiale a vectorului intensitate câmp magnetic, în planul z = 0 , este egală cu J S = −0, 2exp ⎡⎣ −i 2 y ⎤⎦ u y (A/m), iar densitatea de sarcină electrică superficială datorată componnetei normale a vectorului inducţie electrică, în planul z = 0 , este egală cu ρS = −53,32ε0 exp ⎡⎣ −i 2 y ⎤⎦ = −471,5exp ⎡⎣ −i 2 y ⎦⎤ pC/m2. b). Fluxul de putere medie din unitatea de suprafaţă în vid este 1 S P = Re { E × H } = 5,33cos 2 2
(
)
2 z u y W/m2.
IV.22. Imaginaţi-vă că în timpul nopţii luminaţi cu o lanternă fundul unei piscine
pe care se află o monedă. Adâncimea bazinului este de 4,0 m, iar lanterna se află la distanţa de 1,2 m de suprafaţa apei şi lumina pătrunde în apă la 1,5 m de marginea bazinului, ca în figura IV.22. (napă = 1,33).
Fig. IV.22
73
Calculaţi: a) distanţa la care se află moneda de aceeaşi margine a bazinului; b). cu cât se ridică imaginea monezii în apă. Soluţie a). Distanţa x = l + Htgθ2 , unde
1 sin θ2 = sin θ0 , n
iar
tgθ0 =
5 . 4
Astfel,
sin θ0 =
1,5 = 0,78 , 1,92
iar
3 sin θ2 = ⋅ 0,78 = 0,585 . Astfel, tgθ2 = 0,72 şi x = 4,38 m. 4 b). Moneda se vede în prelungirea razei incidente (figura IV.22a) la înălţimea
h = H − dtgθ0 = 0, 4 m.
Fig. IV.22a
IV.23. O prismă polarizoare din spat de Islanda are forma unui paralelipiped
(figura IV.23) a cărui secţiune ABCD este normală pe axa optică. Planul lipiturii conţine axa optică notată cu AC. Cele două jumătăţi ale prismei sunt separate printr-o lamă cu feţe plane şi paralele formată dintr-o substanţă transparentă cu indicele de refracţie n = 1,540 sau din aer.
74
Fig. IV.23 Calculaţi: a) în cele două cazuri, câmpul unghiular maxim al polarizorului pentru razele normale pe axa optică, adică unghiul total pe care trebuie să-l facă cele două raze (de o parte şi de alta a normalei la faţa AB) pentru ca fasciculul să fie polarizat liniar. b) valoarea câmpului prismei care este simetric faţă de normala la faţa AB. c) raportul R =
L AD = al prismei dacă unda este incidentă normal pe faţa AB şi h AB
între cele două jumătăţi se află aer, iar indicii de refracţie principali ai spatului sunt nO = 1,65 , nE = 1, 48 . Soluţie: a) Unda ordinară are indicele de refracţie mai mare şi este eliminată prin reflexie totală în cazul în care cele două jumătăţi ale prismei sunt lipite între ele. Câmpul este limitat în partea de sus de unghiul de incidenţă θ0 corespunzător direcţiei AC a razei extraordinare refractată al cărei unghi de refracţie este unghiul α care defineşte forma prismei: tg α =
h 1 = , L R
iar în A, sin θ0 = nE sin α . În partea de jos câmpul este limitat de condiţia ca unghiul de refracţie θ2O al razei ordinare să fie egal cu π/2, adică unghiul de incidenţă θ0O să fie mai mare decât unghiul limită θOc al undei ordinare, dat de:
75
sin θOc =
n nO
Dar, θOc =
π − ( α + θ2O ) , de unde rezultă 2
cos ( α + θ2O ) =
n . nO
Astfel, unghiul de incidenţă care limitează câmpul în partea de jos este dat de sin θO = nO sin θ2O . Din ltimele relaţii rezultă că sin θO =
nE 1 + R2
şi
(n
2 O
− n 2 ) R 4 + ⎡⎣ nO2 − nE2 − 2n ( n + nE ) ⎤⎦ R 2 − ( n + nE ) = 0 . 2
În cazul numeric considerat, R =
L = 4,93 , θo = 17o10′ , α = 11o30′ . h
b) Deoarece câmpul trebuie să fie simetric faţă de normala la suprafaţa AB, trebuie ca αO = θ2O şi din (3) rezultă că cos 2α O =
n L = 0,975 şi αO = 11o , astfel că R = = 5,14 . h nO
Această prismă poartă numele lui Glazebrook. c) Condiţia ca raza ordinară să întâlnească faţa AB în planul figurii (figura IV.23a) după direcţia normală şi să fie reflectată total de faţa AC este dată de sin θ0 = n sin θ2 ,
π 1 − α − θ2 ≥ θOc , sin θOc = . 2 nO
Dar raza extraordinară poate să sufere şi ea reflexia totală şi câmpul unghiular este limitat în partea de sus de condiţia ca această rază să nu întâlnească nici ea faţa CD, adică
sin θ0 E = nE sin θ2 E ,
π 1 − α + θ2 ≤ θ Ec , sin θ Ec = . 2 nE
76
Fig. IV.23a Pentru ca acest câmp să fie simetric trebuie ca θ0 E = θ0O , adică
sin θo = nO sin θ2O = nE sin θ2 E Dar, θ2O + θ2 E = θ Ec − θOc = 5o11′ şi θ2 ≅ nO θ2O ≅ nE θ2 E , deoarece θ2O şi θ2 E sunt mici. Atunci, θ0 =
nE nO n n ( θ2O + θ2 E ) = E O ( θEc − θOc ) = 4o5′ nE + nO nE + nO
şi raportul
⎛ θ ⎞ R = ctg α = ctg ( θOc + θ2O ) = ctg ⎜ θOc + 0 ⎟ = 0,825 . nO ⎠ ⎝
Acest tip de polarizor poartă numele lui Glan. Este mai scurt decât cel al lui Glazebrook, dar pierderea de lumină în fasciculul transmis e mult mai mare deoarece factorul de reflexie este mai mare la interfaţa spat - aer, decât la cea spat - liant.
IV.24. Calculaţi distanţa cu care este deplasată direcţia de propagare a luminii
emergente faţă de direcţia undei incidente, la traversarea unei lame de sticlă ( nr = 1,5 ) cu feţe plan paralele şi cu grosimea d = 0,1m . Unda este incidentă pe lamă sub un unghi
θ0 = 70o . Soluţie
77
Direcţia de propagare este deplasată paralel cu ea însăşi datorită refracţiei la cele două suprafeţe de separaţie aer – sticlă. Din Δ ABC rezultă: AB =
d , unde θ2 este cos θ 2
unghiul de refracţie. Din Δ ADB rezultă: e = DB = AB sin (θ0 − θ 2 ) =
⎛ d sin (θ0 − θ2 ) sin θ 2 ⎞ ⎟. = d ⎜⎜ sin θ0 − cos θ0 cos θ2 cos θ 2 ⎟⎠ ⎝
Conform legii refracţiei sin i = nr sin r , iar
cos θ2 = 1 − sin 2 θ2 = 1 −
sin 2 θ0 1 = nr2 − sin 2 θ0 nr2 nr
Deci,
⎛ cos θ0 e = d sin θ0 ⎜1 − 2 ⎜ nr − sin 2 θ0 ⎝
⎞ ⎟ = 6,7 ⋅10−2 m. ⎟ ⎠
IV.25. O plăcuţă cu suprafeţele plan-paralele este formată din trei regiuni cu
suprafeţele plane şi paralele cu feţe le plăcuţei, egale în grosime şi având indicii de refracţie egali cu: n1 = 3 , n2 =
n1 n ; n3 = 2 , unde k este o constantă. Mediul înconjurător k k
are un indice de refracţie n0 = 2,5 . Calculaţi valoarea lui k dacă i = 30° este unghiul minim de incidenţă pe faţa superioară a plăcuţei pentru care se produce reflexia totală pe suprafaţa care separă regiunile 2 şi 3 din figura IV.25.
Fig. IV.25
78
Soluţie Conform figurii din enunţ n0 sin i = n3 sin k=
3 π π , sau n0 sin i = 2 sin , adică 2 2 k
3 = 1,177 . n0 sin i
IV.26. Un fascicul îngust de lumină este incident normal pe o prismă cu secţiunea
triunghiul dreptunghic ABC, ca în figura IV.26. Indicele de refracţie al materialului prismei este egal cu 2,1. Determinaţi direcţia fasciculului emergent prin latura BC.
Fig. IV.26 Soluţie Unghiul limită, la care apare reflexia totală pe interfaţa sticlă-aer (fig. IV.26a), este egal cu: l = arcsin
1 1 = arcsin = 28o 26′ . n 2,1
Din figura observăm că fasciculul luminos este reflectat total în punctele D şi E, astfel că fasciculul emergent este perpendicular pe latura BC.
Fig. IV.26a
79
IV.27. O undă plană uniformă electromagnetică este incidentă normal din apă
( napă =
4 ) pe un mediu dielectric cu indicele de refracţie n2 = 2 . 3 Calculaţi a câta parte din intensitate incidentă este transmisă şi a câta parte este
reflectată.
Soluţie: La incidenţă normală, 2
⎛ n −n ⎞ r = ⎜ 2 1 ⎟ = 0,04 , iar I refl = rI inc = 0,04 I inc ⎝ n2 + n1 ⎠ 2
şi
⎛ 2n1 ⎞ n2 t =⎜ ⎟ = 0,64 , iar I trans = tI inc = 0,96 I inc . n1 ⎝ n2 + n1 ⎠
IV.28. Lumina provenită de la Soare cade pe suprafaţa unui mediu transparent cu
indicele de refracţie n = 3 . Calculaţi: a) unghiul de incidenţă corespunzător unei radiaţii reflectate liniar polarizată; b). unghiul dintre raza reflectată şi cea refractată.
Soluţie a). tgθ B = n = 3 , deci θ B = 60° b). Unghiul Brewster este definit prin tgθ B = n
(naer = 1)
şi scriind legea
refracţiei sin θ B = n sin θ2 . Din cele două relaţii rezultă că: cos θ B = sin θ2 , adică
θ B + θ2 =
π . 2
80
IV.29. Un fascicul îngust de lumină roşie nepolarizată cu intensitatea I 0 este
incident în punctul A pe o picătură de apă ca în figura IV.29. Unghiul de incidenţă este egal cu 600 . În punctul A o parte din lumină este reflectată şi cealaltă parte trece în picătura de apă. Fasciculul refractat ajunge în B la suprafaţa picăturii unde din nou o parte este reflectată şi cealaltă parte refractată în aer.
Fig. IV.29 Fasciculul reflectat în B atinge suprafaţa picăturii în C unde din nou o parte se reflectă în apă şi cealaltă parte se refractă în aer. Indicele de refracţie al apei pentru lumina roşie este nr = 1,331 . a). Calculaţi intensitatea şi gradul de polarizare al luminii refractate în apă în punctul A, definit ca P =
I t − I t⊥ I t + I t⊥
.
b). Calculaţi intensitatea şi gradul de polarizare al luminii reflectate în apă în punctul B. c). Calculaţi intensitatea şi gradul de polarizare al luminii refractate în aer în punctul C d). Exprimaţi unghiul ϕ în funcţie de unghiul de incidenţă din A notat cu θ0 şi unghiul de refracţie θ2 din A. e). Calculaţi unghiul ϕ dacă θ0 = 60o . Refaceţi calculele pentru lumină albastră pentru care indicele de refracţie al apei este na = 1,343 .
81
f). Pentru o anumită valoare a indicelui de refracţie, care depinde de lungimea de undă a luminii, unghiul ϕ are o valoare maximă. Calculaţi unghiul de incidenţă θ0 în funcţie de indicele de refracţie ce corespunde valorii maxime a lui ϕ . g). Utilizaţi rezultatul de la punctul f) pentru a calcula valoarea lui θ0 corespunzătoare luminii roşii şi respectiv albastre pentru unghiul ϕ maxim, ca şi valoarea maximă a unghiului ϕ (utilizând rezultatul de la punctul d)).
Soluţie a). Lumina incidentă fiind nepolarizată, 0,5I 0 va fi polarizată paralel cu planul de incidenţă şi 0,5 I 0 va fi polarizată perpendicular pe planul de incidenţă. Din legea refracţiei,
naer sin θ0 = nr sin θ2 rezultă sin θ2 = 0,65 , iar θ2 = 40,6o . Factorul de reflexie pentru starea de polarizare cu vectorul intensitate câmp electric paralel cu planul de incidenţă este egal cu 2
⎛ n cos θ0 − cos θ2 ⎞ rΙΙ = ⎜ r ⎟ = 0,0043 , ⎝ nr cos θ0 + cos θ2 ⎠ iar cel pentru starea de polarizare cu vectorul intensitate câmp electric perpendicular pe planul de incidenţă, 2
⎛ cos θ0 − nr cos θ2 ⎞ r⊥ = ⎜ ⎟ = 0,114 . ⎝ cos θ0 + nr cos θ2 ⎠ Atunci,
I r = r ⋅ 0,5 I 0 = 0,00217 I 0 şi I t = 0,5 I 0 − 0,00217 I 0 = 0, 4978I 0 , iar
I r⊥ = r⊥ ⋅ 0,5I 0 = 0,05715 I 0 şi I t⊥ = 0,5I 0 − 0,05715I 0 = 0, 4429 I 0 . Gradul de polarizare al luminii transmise va fi
P=
I t − I t⊥ I t + I t⊥
=
0, 498 − 0, 443 = 0,0584 = 5,84% liniar polarizată. 0, 498 + 0, 443
Componenta paralelă este dominantă.
82
b). Radiaţia incidentă este compusă din 0, 443I 0 polarizată perpendicular pe planul de incidenţă şi 0, 498I 0 polarizată paralel cu planul de incidenţă. Unghiul de incidenţă θ′0 = 40,6o , iar cel de refracţie θ′2 = 60o . Acum n1 = 1,331 şi
n2 = 1 . Factorul de reflexie pentru starea de polarizare cu vectorul intensitate câmp electric paralel cu planul de incidenţă este egal cu 2
⎛ cos θ0 − nr cos θ2 ⎞ rΙΙ = ⎜ ⎟ = 0,0043 şi I r = 0,0043 × 0, 498I 0 = 0,00216 I 0 , ⎝ cos θ0 + nr cos θ2 ⎠ iar cel pentru starea de polarizare cu vectorul intensitate câmp electric perpendicular pe planul de incidenţă, 2
⎛ n cos θ0 − cos θ2 ⎞ r⊥ = ⎜ r ⎟ = 0,114 şi I r⊥ = 0,114 × 0, 443I 0 = 0,0506 I 0 . ⎝ nr cos θ0 + cos θ2 ⎠ Gradul de polarizare al luminii reflectate va fi
P=
I r − I r⊥ I r + I r⊥
=
0,00216 − 0,0506 = 0,918 = 91,8% liniar polarizată. 0,00216 + 0,0506
Componenta paralelă este dominantă. Gradul mare de polarizare al luminii reflectate se explică prin faptul că unghiul de incidenţă θ′0 = 40,6o este foarte apropiat de unghiul Brewster, θ B = arctg
1 = 36,92o . 1,331
c). Radiaţia incidentă este compusă din 0,0506 I 0 polarizată perpendicular pe planul de incidenţă şi 0,00216I 0 polarizată paralel cu planul de incidenţă. Unghiul de incidenţă θ′0 = 40,6o , iar cel de refracţie θ′2 = 60o . Acum n1 = 1,331 şi
n2 = 1 . Factorul de reflexie pentru starea de polarizare cu vectorul intensitate câmp electric paralel cu planul de incidenţă este egal cu 2
⎛ cos θ0 − nr cos θ2 ⎞ −6 rΙΙ = ⎜ ⎟ = 0,0043 şi I r = 0, 0043 × 0,00216 I 0 = 9,37 ⋅10 I 0 , n cos θ + cos θ 0 2 ⎠ r ⎝
83
iar cel pentru starea de polarizare cu vectorul intensitate câmp electric perpendicular pe planul de incidenţă, 2
⎛ n cos θ0 − cos θ2 ⎞ r⊥ = ⎜ r ⎟ = 0,114 şi I r⊥ = 0,114 × 0,0506 I 0 = 0,00578I 0 . ⎝ nr cos θ0 + cos θ2 ⎠ Componentele transmise sunt:
I t = 0,00216 I 0 − 0,00000937 I 0 = 0,00215I 0
şi
I t⊥ = 0,0506 I 0 − 0,00578 I 0 = 0,04482 I 0 Gradul de polarizare al luminii transmise va fi
P=
I r − I r⊥ I r + I r⊥
=
0,00215 − 0,04482 = 0,9085 = 90,85% liniar polarizată. 0,00215 + 0,04482
Componenta perpendiculară este dominantă. În concluzie, lumina emergentă în aer reprezintă 4,7% din cea incidentă (4,48% cea polarizată perpendicular şi 0,22% cea polarizată paralel cu planul de incidenţă). Lumina este polarizată 91% perpendicular pe planul de incidenţă. d). Din figură observăm că AOB = BOC = π − 2θ2 , de unde
AOC = 4θ2 . Asemănător, QOC = 4θ2 − θ0 , iar
POC = π − 4θ2 + θ0 şi
OCP = θ0 .
Deci, ϕ = π − POC − OCP = 4θ2 − 2θ0 . e). Pentru lumina roşie, nr = 1,331 , θ0 = 60o şi θ2 = 40,6o , iar
ϕr = 4θ2 − 2θ0 = 42, 4o .
Pentru lumina albastră, na = 1,343 , θ0 = 60o şi θ2 = 40,15o , iar
ϕr = 4θ2 − 2θ0 = 40,6o . f). Diferenţiem pe ϕ în raport cu θ0 , dϕ dθ dθ 2 1 = 4 2 − 2 , de unde = . dθ 0 dθ0 dθ0 2
84
Diferenţiem şi legea refracţiei, cos θ0dθ0 = n cos θ2dθ2 , de unde dθ 2 cos θ0 1 = = , dθ0 n cos θ2 2 adică
2 sin 2 θ0 1 cos 2 θ0 , cos θ2 = cos θ0 = 1 − sin 2 θ2 = 1 − = 1 − − n n2 n2 n2
şi
cos θ0 =
n2 − 1 3
g). Pentru lumina roşie, cos θ0 =
nr2 − 1 = 0,5 şi θ0 = 60o , iar θ2 = 40,3o . 3
Prin urmare, ϕr = 4θ2 − 2θ0 = 42, 4o .
Pentru lumina albastră, cos θ0 =
na2 − 1 = 0,51749 şi θ0 = 58,8o , iar θ2 = 39,6o . Prin urmare, 3
ϕa = 4θ2 − 2θ0 = 40,6o . Lărgimea unghiulară a curcubeului format este egală cu
42, 4o − 40,6o = 1,8o .
IV.30. O undă plană uniformă electromagnetică este incidentă normal din vid
( μ1 = μ 0 , ε1 = ε 0 ) pe un mediu dielectric cu ε 2 = 4ε 0 şi μ 2 = μ 0 . Calculaţi a câta parte din puterea incidentă este transmisă şi a câta parte este reflectată.
Soluţie Impedanţa mediului este
85
η2 =
μ2 1 = η0 ε2 2
iar coeficientul de reflexie, 1 η0 − η0 1 E R= 2 =− = r 1 3 Ei η0 + η0 2
şi cel de transmisie ⎛1 ⎞ 2 ⎜ η0 ⎟ 2 ⎠ 2 Et = = . T= ⎝ 1 η0 + η0 3 Ei 2
Vectorii lui Poynting pentru cele trei unde sunt
şi
Si = Ei × H i =
Ei2 n0 η0
S r = Er × H r =
Er2 1 Ei2 n1 = n1 η0 9 η0
St = Et × H t =
Et2 4 η E2 4 ε 2 Ei2 8 E2 n2 = ⋅ 0 ⋅ i n2 = n2 = ⋅ i n2 η2 9 η2 η0 9 ε 0 η0 9 η0
Rapoartele căutate sunt, Sr Si
=
St 8 1 , iar = . 9 Si 9
IV.31. Un fascicul de lumină este incident pe suprafaţa unui bloc de gheaţă
transparentă sub unghiul de 60º. Calculaţi unghiul dintre direcţiile fasciculelor reflectat şi cel refractat. napă = unghiul critic pe interfaţa gheaţă-aer.
86
4 şi 3
Soluţie Din
legea
refracţiei,
sin θ2 =
naer sin θ0 = 0,6495 napă
şi
θ2 = 40,5o ,
iar
α = π − ( θ0 + θ2 ) = 79,5o . sin θc =
naer = 0,75 şi θc = 48,6o . napă
IV.32. Un fascicul îngust de lumină este incident din aer pe suprafaţa unui lichid.
Unghiul de incidenţă este egal cu 30º, iar cel de refracţie cu 22º. Calculaţi unghiul critic pe interfaţa lichid-aer şi unghiul Brewster pe interfaţa aerlichid.
Soluţie Din legea refracţiei, nl = naer Din tgθB =
sin θ0 n = 1,33 şi sin θc = aer = 0,75 , iar θc = 48,6o . sin θ2 nl
nl = 1,33 , rezultă că θ B = 53o . naer
IV.33. Un fascicul de lumină este incident pe o placă de sticlă cu indicele de
refracţie 1,5. Calculaţi: a). unghiul Brewster; b). unghiul dintre razele reflectată şi refractată. Cum depinde valoarea de indicele de refracţie?
Soluţie a). θ B = arctgn = 56,3o ;
87
b).Din legea refracţiei, sin θ0 = n sin θ2 şi tgθ B = n rezultă α = π − θ0 − θ2 =
π , 2
indiferent de valoarea lui n.
IV.34. O undă electromagnetică plană este incidentă normal pe un conductor cu
ε = ε0 , μ = μ 0 . Între frecvenţa undei ω şi conductibilitatea σ a conductorului este o astfel de relaţie încât în interiorul conductorului curentul de conducţie este egal cu curentul de deplasare, în modul. Calculaţi coeficientul de reflexie al undei şi factorul de reflexie.
Soluţie Dacă E = E0 exp [iωt − γr ] ,
J d = ε0
∂E = ωε 0 E = σE , de unde σ = ωε0 . ∂t
Atunci,
iωμ iωμ 0 i η = = η0 = 0 1+ i = σ + iωε ωε0 (1 + i ) 1+ i 2
η= = unde η0 =
η0 2
η0 i ⎞ ⎛ 1 ⎡ π⎤ + 2⎜ exp ⎢i ⎥ ⎟= 2⎠ 1, 41 ⎣ 8⎦ ⎝ 2
μ0 . ε0
La incidenţă normală, η − η0 = R= η + η0 iar
⎡ π⎤ exp ⎢i ⎥ − 1, 41 ⎣ 8⎦ = 0, 242exp ⎡⎣52,7 o i ⎤⎦ , ⎡ π⎤ exp ⎢i ⎥ + 1, 41 ⎣ 8⎦
r = R = ( 0, 242 ) = 0,0586 = 5,86% . 2
2
88
IV.35. O undă luminoasă plană este incidentă normal pe faţa AB a unei prisme
din sticlă ca în figura IV.35. Indicele de refracţie al sticlei este egal cu 1,5.
Fig. IV.35 a). Calculaţi valoarea unghiului α pentru care unda este reflectată total pe suprafaţa AC. b). Care este domeniul de valori pentru unghiul α astfel încât să aibă loc reflexia totală?
Soluţie a). Reflexia totală are loc pe faţa AC (figura IV.35a) unde
n1 sin θc = 1 şi
sin θc =
1 = cos α c , n1
2 astfel că α c = arccos = 48, 2o . 3 b). α < α c = 48, 20 .
Fig. IV.35a
89
IV.36. O bară de sticlă cu secţiunea dreptunghiulară este curbată sub forma
arătată în figura IV.36. Conturul interior şi cel exterior au razele egale cu R şi respectiv
R + a . Indicele de refracţie al sticlei este egal cu 1,5 . Calculaţi valoarea maximă a dimensiunii a astfel încât lumina incidentă prin A să fie emergentă prin B.
Fig. IV.36
Soluţie Pentru ca lumina incidentă în A dă fie emergentă prin B (fig. IV.36a) este suficient ca unghiul de incidenţă θ0 să fie mai mare ca unghiul critic, adică sin θ0 ≥ sin θc , unde
sin θ0 =
R 1 şi sin θc = . R+a n
Astfel,
Fig. IV.36a
90
R 1 ≥ , R+a n
de unde a ≤ ( n − 1) R şi amax =
R . 2
IV.37. O rază de lumină este incidentă perpendicular pe faţa unei prisme din
sticlă ( n = 1,5 ) cu secţiunea un triunghi dreptunghic cu unghiul din vârf de 30º (figura IV.37). a). Arătaţi dacă este posibil ca raza de lumină să iasă prin baza triunghiului. Calculaţi unghiul de emergenţă.
Fig. IV.37 b). Calculaţi unghiul θ2 sub care iese raza de lumină din prismă prin punctul B. c). Repetaţi calculele de la punctul a) pentru o prismă scufundată în apă cu indicele de refracţie na = 1,33 .
Soluţie a). Unghiul de incidenţă pe prima faţă este nul astfel că raza trece ne deviată în mediul de sticlă. Unghiul de incidenţă în punctul A este egal cu 600. Scriem legea refracţiei în acest punct,
n sin 60o = sin θ1 ,
91
de unde sin θ1 = 1,3 , valoare care nu are soluţie pentru unghiul θ1 . În punctul A are loc reflexia totală. b). Din geometria figurii (suma unghiurilor într-un patrulater este egală cu 180º), unghiul de incidenţă în punctul B este egal cu 30º. Din legea refracţiei rezultă
n sin 30o = sin θ2 , de unde sin θ2 = 0,75 şi θ2 = 48,6o . c). Din legea refracţiei,
n sin 60o = na sin θ1′ , de unde sin θ1′ = 0,9767 şi θ1′ = 77,6o . Apar ambele fenomene de reflexie şi refracţie în punctul A.
IV.38. O undă monocromatică cu λ = 450 nm în vid este incidentă normal pe o
latură a unei prisme cu reflexie totală (prismă cu secţiunea un triunghi dreptunghic isoscel). Indicele de refracţie al materialului prismei este n = 1,6. Calculaţi la ce distanţă de latura mare a prismei, în aer, intensitatea câmpului electric al undei scade de e ori. Cum s-ar modifica rezultatul dacă se schimbă starea de polarizare a undei?
Soluţie Prisma cu reflexie totală are secţiunea un triunghi dreptunghic isoscel. În mediul 3 (vezi figura IV.38) intensitatea câmpului electric are expresia
E = E0 ( t ) exp [ik2 n2 ⋅ r ] u z , unde n2 = cos θ2u x + sin θ2u y . Din legea refracţiei, sin θ2 =
n sin θ0 = 1,6sin 45o = 1,13 , iar cos θ2 = 1 − sin 2 θ2 = −0, 28 = 0,53i . 1
92
Fig. IV.38 Astfel, ⎡ 2π ⎤ ⎡ 2π ⎤ E = E0 ( t ) exp ⎢ − ⋅ 0,53 x ⎥ exp ⎢i ⋅1,13 y ⎥ u z . ⎣ λ ⎦ ⎣ λ ⎦ Amplitudinea lui E scade de e ori dacă 2π ⋅ 0,53 x = 1 , λ
adică la distanţa,
x=
λ = 135 nm 2π× 0,53
Rezultatul nu depinde de direcţia de oscilaţie a lui E .
IV.39. Un fascicul de lumină nepolarizat cu lungimea de undă de 500 nm în aer
este incident pe o placă de sticlă. Unghiul de incidenţă este de 40º, iar indicele de refracţie al sticlei este egal cu 1,5. Calculaţi fracţiunea din puterea de 10 kW a fasciculului incident care va fi reflectat pe prima faţă a plăcii de sticlă.
Soluţie Conform legii refracţiei, sin θ0 = n sin θ2 , rezultă că sin θ2 =
sin 40o 0,642 = = 0, 4285 , adică θ2 = 25, 4o . 1,5 1,5
93
Deoarece lumina incidentă nu este polarizată vom presupune că intensitatea incidentă se repartizează în părţi egale pe cele două direcţii de oscilaţie paralelă şi perpendiculară pe planul de incidenţă. Coeficienţi de reflexie ai celor două componente sunt egali cu
n2 cos θ0 − cos θ2 ⎛ Er ⎞ η1 cos θ0 − η2 cos θ2 n1 = = 0,117 RΙΙ = ⎜ ⎟ = ⎝ Ei ⎠ΙΙ η1 cos θ0 + η2 cos θ2 n2 cos θ0 + cos θ2 n1 şi respectiv
n2 cos θ2 ⎛E ⎞ η cos θ0 − η1 cos θ2 n1 = = −0, 277 . R⊥ = ⎜ r ⎟ = 2 ⎝ Ei ⎠ ⊥ η2 cos θ1'0 + η1 cos θ2 cos θ0 + n2 cos θ2 n1 cos θ0 −
Astfel, r 2 = 0,013689 şi r⊥2 = 0,076729 . Fracţiunea din lumina incidentă care este reflectată este egală cu 0,5 ( 0,013689 + 0,076729 ) = 0,0455 = 4,55% .
IV.40. Un fascicul de lumină roşie ( λ = 650 nm ) este incident pe suprafaţa apei
dintr-un bazin de înot. a). Calculaţi lungimea de undă a luminii prin apă. Dacă înotaţi sub apă şi priviţi lumina refractată din aer în apă, ce culoare vedeţi? Indicele de refracţie al apei este egal cu 1,33. b). Arătaţi cu ajutorul relaţiilor lui Fresnel că, în absenţa absorbţiei, suma dintre puterea luminii reflectate şi a celei refractate este egală cu puterea luminii incidente. Calculaţi pentru cazul incidenţei normale.
Soluţie a). Frecvenţa luminii rămâne aceeaşi în orice mediu, adică
94
c v v λ = , de unde λ apă = λ aer = aer = 488 nm. λ aer λ apă c napă Privind lumina refractată din aer în apă vedem tot lumină roşie deoarece creierul reacţionează la frecvenţa luminii care rămâne aceeaşi. b). În cazul incidenţei normale,
Pr + Pt =
n1 n n n 2 2 2 2 Er + 2 Et = 1 r⊥2 Ei + 2 t⊥2 Ei = c c c c
2 2 2 2 Ei ⎡ ⎛ n1 − n2 ⎞ ⎛ 2n1 ⎞ ⎤ Ei ⎢ n1 ⎜ = ⎟ + n2 ⎜ ⎟ ⎥= c c ⎢ ⎝ n1 + n2 ⎠ ⎝ n1 + n2 ⎠ ⎥⎦ ⎣
⎡ n1 ( n1 + n2 )2 ⎤ n 2 = 1 Ei = Pt ⎢ 2 ⎥ ⎢⎣ ( n1 + n2 ) ⎥⎦ c
IV.41. Deduceţi legea refracţiei utilizând principiul lui Fermat conform căruia
lumina se propagă între două puncte P şi Q astfel încât intervalul de timp necesar propagării să fie minim. Soluţie Conform figurii IV.41, timpul necesar luminii să parcurgă distanţa de la P la Q este egal cu
Fig. IV.41
t=
d1 d 2 + , v1 v2
95
unde d1 = x 2 + a 2 şi d 2 =
(l − x )
2
+ b2 .
Astfel, t=
x2 + a2 + v1
(l − x ) v2
2
+ b2
.
Intervalul de timp este minim dacă − (l − x ) dt x = + =0 2 2 2 dx v1 x + a v2 ( l − x ) + b 2 adică
sin θ1 sin θ2 = , v2 v1
care este chiar legea refracţiei.
IV.42. Un fascicul de lumină monocromatică este incident sub unghiul α pe o
placă transparentă cu grosimea l = 9 mm, confecţionată dintr-un material cu indicele de refracţie n = 1,56 (figura IV.42). Calculaţi: a). valoarea maximă a unghiului α astfel ca fasciculul să poată ieşi din placă; b). valoarea corespunzătoare a unghiului βmax ; c). valoarea corespunzătoare a lui d max . d). Depind βmax şi d max de indicele de refracţie n ?
Fig. IV.42 Soluţie a). Din legea refracţiei pe faţa de intrare, sin α = n sin β şi de ieşire n sin β = 1
96
(raza iese paralel cu latura plăcii), rezultă că sin α = 1 , adică α max =
π . 2
b).Din geometria figurii, d= iar
l sin ( α − β ) , cos β
d max =
l cos β = l = 9 mm, indiferent de valoarea lui β . cos β
c). βmax şi d max nu depinde de indicele de refracţie n .
IV.43. O prismă de sticlă cu unghiul A = 60o are pentru radiaţia considerată
indicele de refracţie n = 1,52 . Pe faţa AB este incident un fascicul paralel şi monocromatic sub un unghi de incidenţă astfel încât deviaţia fasciculului emergent pe faţa AC să fie minimă. Fasciculul incident este polarizat liniar astfel încât oscilaţiile lui E au loc după o direcţie ce face un unghi de π/4 cu planul de incidenţă. Calculaţi: a) unghiul făcut de direcţia de oscilaţie a fasciculului emergent cu planul de incidenţă; b) cum trebuie modificat unghiul A al prismei şi cum trebuie polarizat fasciculul incident pentru ca să nu existe nici o pierdere la reflexiile de la intrarea şi ieşirea fascicului din prisma de sticlă; c) Considerăm că prisma este făcută din spat de Islanda şi că ea a fost construită cu multă atenţie, astfel încât secţiunea ABC este un triunghi echilateral, faţa BC fiind şlefuită şi exact plană. Axa optică a cristalului este paralelă cu secţiunea ABC. Arătaţi că un fascicul de lumină monocromatică polarizată liniar, incident normal pe faţa AB şi al cărui vector E oscilează după o direcţie ce face un unghi π/4 cu planul secţiunii ABC este reflectat total pe faţa BC, iar la ieşirea prin faţa AC este polarizat eliptic. Neglijând pierderile prin reflexie la intrarea şi la ieşirea din prismă, care sunt mici în apropierea incidenţei normale, arătaţi că oscilaţiile emergente, polarizate eliptic, depind
97
de înălţimea h a triunghiului echilateral ABC şi de cei doi indici de refracţie principali ai spatului de Islanda, nO = 1,65 , nE = 1, 48 . Soluţie: a) Din figura IV.43 observăm că: A D+ A A = sin şi D = 2θ0 − A , iar θ2 = = 30o . 2 2 2
n sin
Atunci, sin
D+ A = 0,76 şi 2
θ0 =
D+ A = 49o 28′ . 2
Din relaţiile lui Fresnel, E⊥t E⊥i 2 = tg α = cos θ − θ tg α = cos 2 ( θ0 − θ2 ) , ( ) t i 0 2 EΙΙt EΙΙi unde α i =
π . 4
Fig. IV.43 Atunci, tg αt = cos 2 ( θ0 − θ2 ) = cos 2 ( 49o 28′ − 30o ) = ( 0,94293) = 0,88912 , 2
iar αt = 41o39′ . b) Factorul de reflexie este nul pentru oscilaţiile din planul de incidenţă în cazul incidenţei brewsteriene. Va trebui să polarizăm fasciculul în aşa fel încât oscilaţiile lui E
98
să aibă loc după o direcţie normală pe planul de incidenţă astfel că tgθ B = n , adică θ B = 56o 40′ . Pentru ca incidenţa să fie brewsteriană trebuie ca A′ = 2θ′2 , unde sin θ′2 = cos θ B şi θ′2 = 90o − θ B = 33o 20′ , astfel că A′ = 66o 40′ , de unde rezultă că unghiul prismei trebuie modificat cu A′ − A = 6o 40′ . c) În punctul I (figura IV.43a) incidenţa are loc sub un unghi θ0 = 60o , adică sin θ0 = 0,866 şi este mai mare ca
1 1 = 0,675 şi = 0,606 . Astfel, apare reflexia nE nO
totală pentru toate direcţiile de oscilaţie.
Fig. IV.43b Propagarea undelor E şi O are loc după o direcţie normală pe axa optică, astfel că razele E şi O reflectate se confundă ca direcţie de propagare. Dar cele două raze fiind polarizate liniar după direcţii perpendiculare, se propagă cu viteze diferite. La ieşirea din lamă între cele două raze apare o diferenţă de fază ϕ=
2π πh h sin 30o ( nO − nE ) = 0,17 . λ λ
IV.44. Un fascicul luminos traversează două materiale cu parametrii indicaţi în
figura IV.44. Determinaţi unde atinge fasciculul ecranul.
99
Fig. IV.44 Soluţie Conform legii refracţiei (vezi figura alăturată),
nA sin 45o = nB sin θ B , de unde sin θ B =
1 2 2
şi θ B = 21o .
Asemănător, din nB sin θ B = nC sin θC , rezultă sin θC = nC sin θC = nD sin θ D rezultă sin θ D =
1 şi θ D = 45o 2
Din triunghiurile formate observăm că
100
1 3 2
, iar θC = 14o , iardin
a = 7tgθ B , b =
1 17tgθC şi c = 5tgθ D , 2
y = a + b + c = 6,5 cm. Am obţinut că lumina atinge ecranul la o distanţă egală cu 6,5 cm faţă de punctul de incidenţă pe primul mediu.
101
V. Dispersia şi absorbţia luminii V.1. Curba de dispersie (dependenţa indicelui de refracţie de lungimea de undă) a
sticlei poate fi reprezentată cu ajutorul ecuaţiei empirice a lui Cauchy, n = A+
B . λ 02
λ 0 este lungimea de undă în vid, iar A şi B sunt două constante. Calculaţi viteza de fază şi viteza de grup pentru λ 0 = 500 nm pentru o sticlă care are valorile constantelor egale cu A = 1, 40 şi B = 2,5 ⋅104 ( nm ) . 2
Soluţie Viteza de fază este egală cu vf =
c , n
iar viteza de grup, vg = v f − λ
dv f dλ
,
unde λ este lungimea de undă prin mediu (sticlă). În sticlă, n = A+
vf =
B = 1,5 . λ 02
c = 2 ⋅108 m/s. n
Pentru viteza de grup calculăm,
c = vg
c dv vf − λ f dλ
în care înlocuim n =
=
1 , v f λ dv f − ⋅ c c dλ
c λ0 = , astfel că vf λ
102
c = vg
Dar, λ
1 ⎛1⎞ d⎜ ⎟ 1 λ0 n − ⋅ ⎝ ⎠ n n ⎛ λ0 ⎞ d⎜ ⎟ ⎝ n ⎠
dn ⎞ ⎛ dλ −λ 2 ⎟ n⎜ n dn n ⎠ ⎝ n . = = = n−λ dλ dn dn λ d ⎛ dn ⎞ − λ 2 + −λ 2 ⎜− 2 ⎟ n n n n ⎠ 1 − λ0 ⎝ dn ⎞ ⎛ dλ −λ 2 ⎟ ⎜ n ⎠ ⎝ n
dn d ⎛ B⎞ 2B = ⎜ A + 2 ⎟ = − 3 , astfel că dλ dλ ⎝ λ ⎠ λ
dn B = −2 2 . dλ λ
În final, c B = n + 2 2 = 1, 7 , vg λ iar vg =
c . 1,7
V.2. Calculaţi vitezele de fază şi de grup ale undelor ordinară O şi extraordinară
E care se propagă prin cristalul de calcit după o direcţie perpendiculară pe axa optică. Utilizaţi, pentru lungimea de undă λ = 486,1 nm, din tabel. λ (nm)
nO
nE
486,133
1,66785
1,49076
404,656
1,68134
1,49694
Soluţie Viteza de grup este legată de viteza de fază prin relaţia lui Rayleigh, vg = v f − λ sau
dv f dλ
,
1 1 λ dn = − ⋅ , v g v f c dλ
103
unde
dn este variaţia indicelui de refracţie cu lungimea de undă. Această variaţie cu dλ
lungimea de undă a lui n o putem calcula din datele din tabel. Pentru aceasta utilizăm relaţia lui Cauchy, n = A+
B , λ2
unde A şi B sunt constante. Astfel, dn 2B =− 3 . dλ λ unde
B=
n1 − n2 . 1 1 − λ12 λ 22
Prin urmare, pentru unda ordinară, BO =
n1O − n2O = 7,1925 ⋅103 nm2, 1 1 − λ12 λ 22
iar pentru unda extraordinară, BE =
n1E − n2 E = 3, 295 ⋅103 nm2. 1 1 − λ12 λ 22
Atunci,
v fO =
c = 0,5995c , iar nO
vgO = 0,579c
şi
v fE =
c = 0,671c , iar nE
vgE = 0,659c .
V.3. Intensitatea câmpului electric a unei unde electromagnetice care se propagă
de-a lungul axei x are expresia E = E0 sin
πz cos ( βx − ωt ) u y . z0
a). Determinaţi starea de polarizare a unei.
104
b) Determinaţi expresia lui β . c). Determinaţi expresia vitezei de fază a undei. Soluţie a). Starea de polarizare este liniară de-a lungul direcţiei u y . b). Înlocuim în ecuaţia undei ∂2 Ey ∂x 2
+
∂2 Ey ∂y 2
+
∂2 Ey ∂z 2
−
2 1 ∂ Ey = 0, c 2 ∂t 2
adică ⎛ 2 π2 ω2 ⎞ πz ⎜ β − 2 + 2 ⎟ E0 sin cos ( βx − ωt ) = 0 , z0 c ⎠ z0 ⎝ de unde 2
⎛ cπ ⎞ ω β= 1− ⎜ ⎟ . c ⎝ ωz 0 ⎠ c). Viteza de fază, v=
ω = β
c ⎛ cπ ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝ ωz0 ⎠
2
.
V.4. Cu ajutorul relaţiei lui Rayleigh vg = v f − λ
dv f dλ
, să se determine viteza de
grup vg a undelor a căror viteză de fază v f ascultă de legile de variaţie cu lungimea de undă: a) v f = C (unde C este o constantă, pentru undele acustice în aer); b) v f = C λ −1 (pentru undele elastice transversale dintr-o bară); c) v f = Cλ1/2 (pentru undele de gravitaţie în apă la adâncimi mari); d) v f = C λ −1/2 (pentru undele în tuburi capilare);
105
e) v f = ( c 2 + C 2 λ 2 )
1/2
(pentru undele electromagnetice în ionosferă);
f). v f = A + Bλ (unde plane într-un mediu dispersiv).
Soluţie: a) b) c) d) e)
dv f dλ dv f dλ dv f dλ
dv f dλ dv f
f).
dλ
= 0 , vg = v f =− =
C C λ 1 C = = vf , vg = C λ − λ 2 2 2 λ 2 λ
=− =
dv f dλ
C C C C , vg = + λ 2 = 2 = 2v f 2 λ λ λ λ
C 2 λ
3
, vg =
C 2λ c 2 + C 2λ 2
C C 3C 3 +λ = = vf 3 λ 2 λ 2 2 λ
, vg = c 2 + C 2 λ 2 − λ
C 2λ c 2 + C 2λ 2
=
c2 c 2 + C 2λ 2
=
c2 . vf
= B ; vg = A + Bλ − Bλ = A = constantă . Nu există grup de unde.
V.5. Pentru undele electromagnetice care se propagă prin ionosferă cu frecvenţa
mai mare ca frecvenţa de tăiere, ν p = 20 MHz , relaţia de dispersie se scrie: ω2 = ω2p + c 2 k 2 , unde c este viteza luminii în vid şi k este numărul de undă. Calculaţi viteza de grup. Soluţie: Derivând relaţia de dispersie în raport cu β obţinem: 2ω
dω = 2c 2 k , dk
sau
106
ω dω ⋅ = v f ⋅ vg = c 2 . k dk
Astfel, viteza de fază are expresia: ω ω 1 = ω2p + c 2 k 2 = c 2 + 2p ≥ c , k k k 2
vf =
iar viteza de grup,
vg =
c2 c2k = = vf ω2p + c 2 k 2
c2 ω2 c 2 + 2p k
≤c.
V.6. Într-un gaz, constanta dielectrică depinde de pulsaţia undei conform relaţiei
empirice,
εr = 1 +
A , ω − ω2 2 0
unde A şi ω0 sunt constante ale gazului. Găsiţi expresia vitezei de grup a undei.
Soluţie c c ⎛ λ dn ⎞ n = ε r , iar vg = v f ⎜ 1 + ⋅ ⎟ , unde v f = = . n εr ⎝ n dλ ⎠ Astfel,
( )
−1 2 dn d ε r 1 ε dε dε = = ⋅ r 12 r = r . n 2 εr 2ε r εr
Deoarece v f = νλ şi dv f = νdλ + λdν = 0 , rezultă că
λ ω =− . dλ dω Astfel,
vg =
c εr
⎛ dε r ⎛ ω ⎞ ⎞ c ⎛ ω dε r ⎞ ⋅ ⎜1 + ⎜1 − ⎟. ⎜− ⎟⎟ = ε r ⎝ 2 ε r dω ⎠ ⎝ 2ε r ⎝ dω ⎠ ⎠
107
dε r 2 Aω = şi 2 dω ( ω − ω2 )2 0
În cazul nostru,
vg =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ω c ⎜ 2 Aω ⎟ c ⎜ Aω2 ⎟. ⋅ = − 1− 1 2 2 ε r ⎜ 2ε r ( ω02 − ω2 ) ⎟ ε r ⎜ ε r ( ω02 − ω2 ) ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
V.7. Pentru lungimile de undă din spectrul vizibil, indicele de refracţie al unui tip
de sticlă crown se poate exprima prin relaţia
n ( λ ) = 1,5255 +
4825nm 2 . λ2
a). Calculaţi indicele de refracţie al sticlei pentru lumina cu lungimile de undă de 400nm, 500nm şi 700nm. b). Calculaţi viteza de fază în sticlă pentru un puls luminos cu componentele frecvenţei centrate pe lungimea de undă λ 0 = 500 nm. c). Calculaţi viteza de grup în sticlă pentru un puls luminos cu componentele frecvenţei centrate pe lungimea de undă λ 0 = 500 nm.
Soluţie a). n400 = 1,5255 +
n500 = 1,5255 + n700 = 1,5255 +
4825nm 2
( 400 nm )
4825nm 2
( 500 nm )
2
4825nm 2
( 700 nm )
2
2
= 1,5557 ;
= 1,5448 ;
= 1,5553 .
b). Viteza de fază este v f =
c 3 ⋅108 = = 1,942 ⋅108 m/s. n500 1,5448
c). Viteza de grup a pulsului luminos este egal cu
108
vg = unde v f =
dv dω = v f − λ0 f dk k 0 dλ
λ0
c dn ⎛ c dn ⎞ = v f − λ0 ⎜ − 2 = vf ⎟ = v f + λ0 2 n dλ ⎝ n dλ ⎠
⎛ λ dn ⎞ ⎜⎜1 + 0 ⎟⎟ , d n λ λ 0 ⎠ ⎝
c . n
⎡ λ ⎛ dn ⎞ ⎤ Deci, vg = v f ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ = vf ⎣ n ⎝ dλ ⎠ ⎦ λ0 =500 nm
⎡ λ ⎛ 4825nm 2 ⎞ ⎤ = ⎢1 + ⎜ ⎟ ( −2 ) ⎥ 3 λ ⎠ ⎣ n⎝ ⎦ λ0 =500 nm
⎡ ⎤ 9650 nm 2 = 1,942 ⋅108 m/s ⎢1 − = 1,893 ⋅108 m/s . ⎥ 2 1,5448 500 nm )( ) ⎦⎥ ⎣⎢ (
V.8. Michelson a măsurat viteza luminii în bisulfatul de carbon utilizând metoda
oglinzii rotitoare. Indicele de refracţie al bisulfatului de carbon pentru lungimea de undă medie a spectrului vizibil este n = 1,64 , iar mărimea 1 +
λ dn ⋅ , în acelaşi domeniu, este n dλ
egală cu 0,93. Calculaţi raportul dintre viteza luminii în vid şi viteza luminii în bisulfatul de carbon, măsurat prin această metodă.
Soluţie: Metoda oglinzii rotitoare ne dă viteza de grup: ⎛ λ dn ⎞ vg = v ⎜ 1 + ⋅ ⎟ ⎝ n dλ ⎠
şi deoarece n =
c , obţinem că v
c n = = 1,76 . v g 1 + λ ⋅ dn n dλ
109
V.9. Un anumit tip de sticlă are coeficientul de absorbţie α = 0,05 mm-1. Calculaţi
procentul din intensitatea luminii care este transmisă printr-o placă cu grosimea de 4 mm. Soluţie Când o undă electromagnetică se propagă printr-o substanţă absorbantă, conform legii lui Beer, intensitatea sa scade cu distanţa după relaţia I = I 0 exp [ −αx ] , unde I este intensitatea undei după parcurgerea distanţei x prin substanţă, I 0 este intensiattea undei la intrarea în substanţa absorbantă, iar α coeficientul de absorbţie. Astfel, procentul din intensitatea luminii care este transmisă printr-o placă este I = exp [ −αx ] = 0,8187 = 81,87% . I0
V.10. Calculaţi viteza de propagare a unei unde electromagnetice monocromatică
plană printr-un strat omogen de ionosferă, ştiind că pulsaţia undei este ω = 8 ⋅107 rad/s , iar concenraţia de electroni liberi în acest strat este N = 106 electroni/cm3. Considerând că refraţia undelor în ionosferă are loc cu reflexie totală internă, calculaţi lungimea de undă minimă a undelor care se întorc pe Pământ dacă unghiul de incidentă pe suprafaţa limită a ionosferei este θ0 = 45o . Se va considera că electronul efectuează o mişcare oscilatorie doar sub acţiunea câmpului electric al undei. Soluţie: Ecuaţia de mişcare a electronului sub acţiunea câmpului electric al undei este: m
d2 x = eE0 sin ωt , dt 2
de unde x=−
eE0 sin ωt . mω2
110
Vectorul polarizaţie electrică a mediului are modulul: P = Nex = −
Ne 2 E0 sin ωt , mω2
iar vectorul inducţie electrică D = ε0 E0 sin ωt −
⎛ Ne 2 Ne 2 ⎞ sin ωt = E0 ⎜ ε0 − ⎟ sin ωt = ε0ε r E0 sin ωt , 2 mω mω2 ⎠ ⎝
de unde permitivitatea relativă va fi: εr = 1 −
Ne 2 , mε 0ω2
iar viteza de propagare a undei v=
c = εr
c Ne 2 1− mε 0ω2
.
Indicele de refracţie al ionosferei, n = εr = 1 −
Ne 2 . mε 0ω2
Din legea reflexiei totale rezultă: naer sin θ = n = 1 −
Ne 2 mε 0ω2
sau, pentru cazul limită: sin θ = 1 −
Ne 2 Ne 2λ 2min , = 1− 2 mε 0ωmax mε 0 4π2c 2
de unde rezultă: λ min =
2πc cos θ mε0 ≅ 23 m . e N
V.11. Într-un medium relaţia între viteza de grup şi cea de fază a unei unde
electromagnetice sunt legate prin relaţia
111
vg v f = c 2
unde c este viteza luminii în vid. Deduceţi dependenţa de pulsaţie a permitivităţii dielectrice a mediului, ε ( ω) .
Soluţie
Introducem relaţiile de edfiniţie ale celor două viteze, adică v f vg =
ω dω ⋅ = c2 , β dβ
sau ωdω = c 2β dβ ,
care după integrare devine ω2 = c 2β2 + A ,
unde A este constanta de integrare. Prin urmare, β=
ω2 − A , c
iar viteza de fază
vf =
ω = β
c A 1− 2 ω
=
c ε ( ω)
,
de unde ε ( ω) = 1 −
A . ω2
V.12. Un fascicul de lumină monocromatică traversează N = 5 plăci de sticlă
identice, suprapuse, fiecare având grosimea l = 0,50 cm. Coeficientul de reflexie al fiecărei suprafeţe al plăcilor este egal cu R = 0,050 . Raportul dintre intensitatea luminii transmise prin cele N plăci şi intensitatea luminii incidente este τ = 0,55 . Reflexiile secundare sunt neglijabile.
112
Calculaţi valoarea coeficientului de absorbţie al sticlei. Soluţie Prin fiecare suprafaţă este transmis un fasciculul cu intensitatea proporţională cu un factor (1 − R ) datorită reflexiei şi un factor exp [ −αl ] datorită absorbţiei. 2
Astfel, factorul de transmisie va fi τ = (1 − R )
2N
exp [ −αNl ] ,
de unde 1 (1 − R ) α= ln Nl τ
2N
= 0,034 cm-1.
V.13. Două plăci confecţionate din acelaşi material, au grosimile d1 = 3,8 mm şi
respectiv d 2 = 9,0 mm. Atunci când se aşează alternativ în faţa unui fascicul de lumină monocromatică, prima transmite o fracţiune t1 = 0,84 din fluxul luminos incident şi a doua o fracţiune t2 = 0,70 . Calculaţi coeficientul de absorbţie al materialului. Reflexiile secundare sunt neglijabile, iar incidenţa este normală. Soluţie Din t1 = (1 − R ) exp [ −αd1 ] 2
şi
t2 = (1 − R ) exp [ −αd 2 ] , 2
rezultă t1 t2 α= = 0,35 cm-1. d 2 − d1 ln
113
VI. Interferenţa luminii VI.1. Într-un experiment cu un dispozitiv de tip Young distanţa dintre fante este 2l = 0,32 mm. Un fascicul luminos cu lungimea de undă λ = 500 nm este incident pe
fante şi produce o figură cu franje de interferenţă. Calculaţi câte maxime de interferenţă se obţin în intervalul unghiular −45o < θ < 45o . Soluţie Pe ecran intensitatea luminoasă este maximă în punctele în care undele interferă constructiv, adică diferenţa de drum
δ = 2l sin θ = mλ , unde m = 0, ±1, ±2,K , unde λ este lungimea de undă. Pentru θ = 450 , valoarea maximă a ordinului de interferenţă este
m=
2l sin θ = 452,5 . λ
Prin simetrie, pentru unghiul θ = −450 , ordinul de interferenţă maxim are aceeaşi valoare. Pentru θ = 0 apare maximul de ordinul zero. Numărul total de maxime este egal cu
N = 452 + 452 + 1 = 905 .
VI.2. Într-un dispozitiv de tip Young distanţa dintre planul fantelor şi cel al
ecranului este egală cu 1,2 m. Franja luminoasă de ordinul al doilea ( m = 2 ) se află la distanţa de 4,5 cm de franja centrală. Distanţa dintre fante este egală cu 2l = 0,03 mm. Calculaţi lungimea de undă a radiaţiei. Soluţie h = 2i = 2
λD , 2l
114
de unde λ=
h 2l = 562,5 nm. 2D
VI.3. O pereche de fante înguste paralele se află la distanţa de 0,25 mm şi sunt
iluminate cu lumină verde ( λ = 546,1 nm). Figura de interferenţă se observă pe un ecran aflat la 1,2 m de planul fantelor. Calculaţi distanţa: a). de la maximul central la prima franjă luminoasă pe oricare parte a maximului central; b). de la prima la a doua franjă întunecoasă de pe oricare parte a maximului central la prima franjă luminoasă de pe cealaltă parte a maximului central. Soluţie a). Distanţa este egală cu o interfranjă, i=
λD = 2,62 mm. 2l
b). h =
i 2
+i =
3 2
i = 3,93 mm.
VI.4. Într-un experiment de tip Young (figura VI.4) distanţa dintre fante 2l = 0,10 mm iar distanţa dintre planul fantelor şi ecran este egală cu 1 m. Pe fante este
incident un fascicul cu lungimea de undă de 500 nm. a). Calculaţi diferenţa de fază dintre două unde care ajung în punctul P aflat pe ecran pe direcţia θ = 0,8o . b). Calculaţi diferenţa de fază dintre undele care ajung în punctul P aflat la distanţa h = 4 mm de axa de simetrie a dispozitivului.
115
c). Dacă diferenţa de fază dintre undele care interferă pe ecran este ϕ =
1 rad, 3
care este valoarea lui θ ? d) Dacă diferenţa de drum este δ =
λ , care este valoarea lui θ ? 4
Fig. VI.4
Soluţie a). Diferenţa de fază dintre cele două fronturi de undă este dată de relaţia
ϕ=
2π 2π δ= 2l sin θ . λ λ
Dacă θ = 0,8o , atunci sin θ = 0,014 şi ϕ = 17,5 rad. b). Unghiul θ fiind foarte mic, putem utiliza aproximaţia sin θ ≅ tgθ = diferenţa de fază devine: ϕ≅
2π h 2l . λ D
Dacă h = 4 mm, atunci ϕ = 5,03 rad. c). Pentru ϕ =
1 rad, avem relaţia 3
116
h . Astfel D
1 2π = 2l sin θ , 3 λ
de unde sin θ = 2,6529 ⋅10−4 şi θ = 0,0152o . d). Dacă δ = 2l sin θ = θ = arcsin
λ , atunci 4
λ = 0,0716o . 8l
VI.5. Într-o experienţă de tip Young, 2l = 1 cm, D = 1,2 m, λ = 500 nm.
Calculaţi: (a) Distanţa dintre două franje adiacente; (b) Distanţa dintre maximul de ordinul trei şi cel central. Soluţie (a) Interfranja, i =
λD = 6.10 −5 m; 2l
(b) d = 3i = 1,8.10 −5 m.
VI.6. Într-un dispozitiv de interferenţă de tip Young,
2l = 0,150 mm,
D = 120 cm, λ = 833 nm, iar h = 2,0 cm. a).Calculaţi diferenţa de drum pentru razele care ajung în punctul P (figura VI:6). b). Exprimaţi această diferenţă de drum în lungimi de undă. c). Stabiliţi dacă în punctul P se obţine un maxim, un minim sau o valoare intermediară a intensităţii luminii. d). Calculaţi distanţa de la a doua franjă întunecoasă de pe o parte a maximului central la prima franjă luminoasă de pe cealaltă parte a maximului central.
117
Fig. VI.6 Soluţie a). Diferenţa de drum δ = 2l sin θ , unde θ este foarte mic deoarece D >> h , astfel că sin θ ≅ tgθ ≅ b).
δ λ
h h . În final, δ ≅ 2l = 2,5 ⋅10−6 m. D D
3.
c). Deoarece diferenţa de drum este egală cu un număr întreg de lungimi de undă, în P se formează un maxim. d). Interfranja i =
λD 2 −2 = ⋅10 m, iar Δh = 2,5i = 1,67 ⋅10−2 m. 2l 3
VI.7. În figura VI.7, S este o sursă punctuală de lumină, O o oglindă plană şi E un
ecran.
Fig. VI.7
118
Ştiind că d = 1 mm, L = 1m şi sursa S emite lumină cu lungimea de undă λ = 500 nm, determinaţi ce intensitate se obţine în punctul A de pe ecranul E (SA este paralel cu oglinda O). Soluţie Conform figurii, putem considera că în A se întâlnesc undele emise de sursa S şi de imaginea sa S1 în oglinda O. Obţinem un dispozitiv de tip Young. Interfranja i = iar pe distanţa AA0 se formează N interfranje: N =
λL , 2d
d 2d 2 = = 4 . Deci, în A va fi un i λL
maxim.
VI.8. O lamă subţire de mică ( n = 1,58 ) este aşezată în calea uneia din undele ce
interferă în dispozitivul lui Young. Ca urmare maximul central ia locul maximului de ordinul şapte. Dacă λ = 5,5 ⋅10−5 cm să se calculeze grosimea lamei de mică. Soluţie: În absenţa lamei, d1 − d 2 = 7λ , iar în prezenţa lamei, d1 − d 2 + ( n − 1) e = 0 , de unde e=
7λ = 6,6 ⋅10−6 m. n −1
VI.9. Dacă perpendicular pe raza de lumină care provine de la una din fantele
dispozitivului Young, iluminat cu o radiaţie cu lungimea de undă λ = 500 nm, se introduce o lamă de grosime d = 6μ m se constată că locul franjei centrale este luat de a şasea franjă luminoasă. Calculaţi indicele de refracţie al lamei.
119
Soluţie Locul franjei centrale este luat de a şasea franjă luminoasă dacă diferenţa de drum optic care apare prin introducerea lamei în calea unuia din fascicule este egală cu d (n − 1) = 6λ , de unde indicele de refracţie al lamei n = 1 +
6λ = 1,5 . d
VI.10. Un dispozitiv Young plasat în aer este iluminat cu lumină monocromatică
şi determină pe ecran o figură de interferenţă cu interfranja de 4 mm. 4⎞ ⎛ Calculaţi valoarea interfranjei dacă sistemul se introduce în apă ⎜ n = ⎟ . 3⎠ ⎝ Soluţie Scriem expresiile interfranjei în aer, i0 = iar după împărţirea acestora rezultă că i =
λ0D λ λD şi în apă i = , unde λ = 0 , 2l 2l n
i0 = 3 mm. n
VI.11. Calculaţi grosimea minimă a unei lame cu indicele de refracţie n = 1,4 în
care are loc interferenţa destructivă prin reflexie a radiaţiei violete (λ = 400 nm) a unui fascicul de lumină albă, care este incidentă din aer. Soluţie Pentru ca să se obţină un minim de interferenţă în lamă trebuie ca diferenţa de drum δ = 2nd cos θ2 +
λ λ = ( 2m + 1) . Grosimea minimă se obţine pentru m = 1 şi la 2 2
incidenţă normală ( cos θ2 = 1 ), adică; d =
λ = 143 ⋅10 −9 m . 2n
120
VI.12. O pană de aer formată din două plăci de sticlă este iluminată de o sursă de
lumină difuză cu λ = 600nm . Franjele privite în lumina reflectată de plăci se află la 5 mm distanţă unele de altele. a) Să se calculeze unghiul dintre plăci; b) Ce se întâmplă cu franjele dacă pana se umple cu un lichid cu indicele de refracţie n? c) Ce se întâmplă dacă n are o valoare apropiată de indicele de refracţie al sticlei? Soluţie a) α =
λ = 3 ⋅10−4 rad 2d
b) Interfranja se reduce la
λ . n
c) Coeficientul de reflexie se micşorează şi franjele devin mai puţin nete. Vizibilitatea franjelor nu se modifică.
VI.13. Un fascicul de lumină albă este incident normal pe un strat de aer de
grosime d aflat între două lame de sticlă, ca în figura VI.13. Calculaţi care trebuie să fie grosimea cea mai mică a stratului de aer astfel ca doar lumina albastră ( λ = 400 nm) să fie reflectată puternic.
Fig. VI.13
121
Soluţie Plăcile de sticlă sunt foarte subţiri şi nu pot produce interferenţă. Prin urmare ne vom concentra pe stratul de aer. Diferenţa de fază între razele a şi b care se întâlnesc în c este egală cu (figura VI.13a)
Fig. VI.13a 4πdn2 cos θ2 + π . λ1n1
Δϕ =
Pentru o interferenţă constructivă trebuie ca Δϕ = 2mπ , unde m = 1, 2,K . În cazul incidenţei normale, θ2 = 0 şi ecuaţia se poate scrie sub forma λ1m = iar
λ2 =
4dn2 , ( 2m − 1) n1
n1 λ1 , n2
astfel că pentru m = 1 ,
λ 2 = 4d şi d =
λ2 = 100 nm, deoarece λ 2 = 400 nm. 4
VI.14. Un fascicul laser cu lungimea de undă λ = 632,8 nm este incident pe
două fante înguste, paralele, aflate la distanţa de 0,20 mm. Calculaţi distanţa dintre două
122
franje luminoase de interferenţă succesive obţinute pe un ecran situat la distanţa de 5 m de planul fantelor. Soluţie Pentru a obţine franje luminoase pe ecran trebuie ca diferenţa de drum pentru undele care trec prin cele două fante să difere cu un număr întreg de lungimi de undă. Dacă considerăm două franje luminoase succesive, de exemplu, cea cu ordinul m şi respectiv ordinul m + 1 , avem că Δh = hm+1 − hm =
λD λD λD ( m + 1) − m = = 15,8 ⋅10−3 m. 2l 2l 2l
VI.15. Un fascicul luminos cu lungimea de undă λ = 460 nm cade pe două fante
înguste, paralele, aflate la distanţa de 0,30 mm. Calculaţi distanţa necesară dintre planul fantelor şi un ecran plan astfel încât pe ecran distanţa dintre prima şi a doua franjă întunecată să fie egală cu 4,0 mm. Soluţie Poziţiile franjelor întunecate pe ecran în raport cu axa de simetrie a dispozitivului este dată de condiţia 1 ⎞ λD ⎛ , hmin = ⎜ m + ⎟ 2 ⎠ 2l ⎝
astfel că distanţa dintre prima şi a doua franjă întunecată este egală cu ⎛ 3 1 ⎞ λD λD . Δh = ⎜ − ⎟ = 2l ⎝ 2 2 ⎠ 2l Prin urmare, D=
2l ⋅ Δh = 2,61 m. λ
123
VI.16. Considerăm două surse coerente aşezate la distanţa L = 1mm una de alta
şi care emit lumină cu lungimea de undă λ = 632,8 nm. Calculaţi distanţa dintre franjele de interferenţă care se obţin pe un ecran cilindric având raza R = 1m , şi a cărui axă trece prin cele două surse. Soluţie Condiţia ca în punctul P (fig. VI.16) să se obţină un maxim de intensitate este ca: r1 − r2 = 2m
λ 2
unde r 2 + r22 1 = r1 − r2 = 1 r1 + r2 r1 + r2
2 2 ⎡ 2 ⎛ L⎞ L ⎞ ⎤ 2 Lz Lz ⎛ 2 = ⎢R + ⎜ z + ⎟ − R − ⎜ z − ⎟ ⎥ = 2⎠ 2 ⎠ ⎥⎦ 2 R R ⎝ ⎝ ⎢⎣
Fig. VI.16 Deci, Lzm = mλ , de unde R
zm = m
λR . L
Interfranja i = zm+1 − zm =
λR = 6,328 ⋅10−4 m . L
124
VI.17. Într-o experienţă de tip Lloyd (figura VI.17), o undă luminoasă ce provine
direct de la sursa S interferă cu unda reflectată de oglinda O. Franjele de interferenţă apar pe ecranul E, aflat la distanţa D = 100cm de sursa S. Interfranja are valoarea i = 0, 25mm pentru o anumită poziţie a sursei S. Îndepărtând sursa S de planul oglinzii cu h = 0,60mm interfranja scade de n = 1,5 ori. Calculaţi lungimea de undă a undelor emise de sursa S.
Fig. VI.17 Soluţie Cele două surse coerente sunt sursa S şi imaginea sa S’ în oglinda O. Când distanţa de la S la O este x, distanţa dintre surse devine 2x şi interfranja este i=
λD 2x
Dacă se îndepărtează sursa la x+h, i λD = n 2( x + h) Din cele două relaţii, λ=
2ih = 0,60μm . D ( n − 1)
125
VI.18. Considerăm trei surse monocromatice de lumină coerentă formate din trei
fante paralele aflate a distanţa l una de cealaltă (figura VI.18). Undele emise de cele trei surse au aceeaşi amplitudine E0 , aceeaşi pulsaţie ω şi o diferenţă de fază constantă
ϕ=
2π l sin θ . λ
Fig. VI.18 a). Calculaţi intensitatea câmpului electromagnetic în punctul P în raport cu intensitatea I 0 a primului maxim. b). Calculaţi raportul dintre intensităţile primului şi celui de al doilea maxim. Soluţie a). Scriem expresiile intensităţii câmpului electric în cele trei unde când au ajuns în P: E1 = E0 sin ωt , E2 = E0 sin ( ωt + ϕ ) şi
E3 = E0 sin ( ωt + 2ϕ ) ,
unde ϕ =
2π l sin θ . λ
Intensitatea câmpului electric rezultant în P va fi egală cu
126
E = E1 + E2 + E3 = E0 ⎣⎡sin ωt + sin ( ωt + ϕ ) + sin ( ωt + 2ϕ ) ⎦⎤ =
= 2 E0 cos ϕ sin ( ωt + ϕ ) + E0 sin ( ωt + ϕ ) = E0 (1 + 2cos ϕ ) sin ( ωt + ϕ ) . Intensitatea este proporţională cu media temporală a lui E 2 , adică I = kE02 (1 + 2cos ϕ ) sin 2 ( ωt + ϕ ) = k 2
E02 2 2 (1 + 2cos ϕ ) = I 0 (1 + 2cos ϕ ) , 2
deoarece sin 2 ( ωt + ϕ ) =
T
1 1 sin 2 ( ωt + ϕ ) dt = . ∫ 2 T0
Maximul I 0 al intensităţii se obţine pentru cos ϕ = 1 , adică I I= 0 9
2
⎡ ⎛ 2πl sin θ ⎞ ⎤ ⎟⎥ . ⎢1 + 2cos ⎜ λ ⎝ ⎠⎦ ⎣
b). Figura de interferenţă este reprezentată în figura VI.18a.
Fig. VI.18a Valoarea maximă a lui I se obţine din condiţia ca dI = 2 I 0 (1 + 2cos ϕ )( −2sin ϕ ) = 0 , dϕ adică pentru sin ϕ = 0 , sau ϕ = mπ . Astfel,
127
I1 = 9 I 0 , pentru m par şi I 2 = I 0 pentru m impar. Raportul cerut este
I1 = 9. I2
VI.19. Într-un dispozitiv de tip Young distanţa dintre planul fantelor şi cel al
ecranului este egală cu 1,2 m. Franja luminoasă de ordinul al doilea ( m = 2 ) se află la distanţa de 4,5 cm de franja centrală. Distanţa dintre fante este egală cu 2l = 0,03 mm. Calculaţi lungimea de undă a radiaţiei. Soluţie h = 2i = 2
λD , 2l
de unde λ=
h 2l = 562,5 nm. 2D
VI.20. O pereche de fante înguste paralele se află la distanţa de 0,25 mm şi sunt
iluminate cu lumină verde ( λ = 546,1 nm). Figura de interferenţă se observă pe un ecran aflat la 1,2 m de planul fantelor. Calculaţi distanţa: a). de la maximul central la prima franjă luminoasă pe oricare parte a maximului central; b). de la prima la a doua franjă întunecoasă de pe oricare parte a maximului central la prima franjă luminoasă de pe cealaltă parte a maximului central. Soluţie a). Distanţa este egală cu o interfranjă,
i=
λD = 2,62 mm. 2l
128
b). h =
i 3 + i = i = 3,93 mm. 2 2
VI.21. Într-un dispozitiv de tip Newton pentru obţinerea interferenţei, distanţa
dintre al treilea şi al doilea inel întunecos este egală cu 0,25 mm. Lentila a fost tăiată dintr-o sferă de sticlă cu raza R = 1m. Calculaţi lungimea de undă a radiaţiei folosite. Soluţie r3 − r2 = λR λ=
(
(r3 − r2 )2
(
R 3− 2
)
3 − 2 r3 − r2 = λR
)
2
(
)
3 − 2 , de unde
= 633 ⋅ 10 − 9 m .
VI.22. O undă luminoasă plană monocromatică cade normal pe un ecran cu două
fante aflate la distanţa d = 2,5 mm una de alta. Se observă un sistem de franje de interferenţă pe un ecran aflat la distanţa l = 100 cm în spatele ecranului cu fantele. Se introduce o lamă de sticlă de grosime h = 10μm în faţa uneia din fante. Calculaţi cu cât se vor deplasa franjele de interferenţă şi în ce sens. Soluţie Înainte de introducerea lamei, primul maxim se formează la distanţa i1 dacă i1d =λ. l
După introducerea lamei, primul maxim se formează la i1′ , dacă: i1′ d + h(n − 1) = λ , l
de unde Δi = i1 − i1′ =
h(n − 1)l = 2 mm. d
129
Deplasarea are loc spre maximul central.
VI.23. Calculaţi grosimea minimă a unei lame cu indicele de refracţie n = 1,4 în
care are loc interferenţa destructivă prin reflexie a radiaţiei violete ( λ = 400 nm) a unui fascicul de lumină albă, care este incidentă normal din aer. Soluţie Pentru ca să se obţină un minim de interferenţă în lamă trebuie ca diferenţa de drum δ = 2nd cos θ2 +
λ λ = ( 2m + 1) . 2 2
Grosimea minimă se obţine pentru m = 1 şi la incidenţă normală ( cos θ2 = 1 ), adică; d=
λ = 143 ⋅10 −9 m . 2n
VI.24. Un fascicul luminos plan cade normal pe un ecran cu două fante, aflate la
distanţa d = 2,5 mm una de alta. Se observă un sistem de franje de interferenţă pe un ecran aflat la distanţa l = 100 cm în spatele ecranului cu fante. Se introduce o lamă de sticlă (n = 1,5) de grosime h = 10 μm în faţa uneia din fante. Calculaţi cu cât se deplasează fiecare franjă de interferenţă prin introducerea lamei.
Soluţie În absenţa lamei, primul maxim se formează la i1 de maximul central dacă i1d = λ . Prin introducerea lamei se modifică diferenţa de drum cu h(n − 1) , astfel că l
130
primul
maxim
Δi = i1′ − i1 = −
se
formează
la
i1′ ,
încât
i1′d + h(n − 1) = λ . l
Rezultă
că:
h(n − 1)l = −2mm . d
VI.25. Dacă într-un experiment de interferenţă de tip Young se utilizează radiaţia
galbenă a sodiului cu λ = 589 nm, maximul de ordinul întâi se formează la 0,035 cm de maximul cenmtral. Dacă în acelaşi experiment se utilizează o altă sursă cu lungimea de undă necunoscută, primul maxim se formează la 0,032 cm de maximul central. Calculaţi lungimea de undă a radiaţiei emise de a doua sursă. Soluţie Distanţele la care se formează primul maxim faţă de maximul central, în cele două cazuri sunt, y1 =
λ D λ1D şi respectiv y2 = 2 . 2l 2l
Împărţind cele două relaţii rezultă λ 2 = λ1
y2 = 539 nm. y1
VI.26. Care trebuie să fie distanţa dintre fantele unui dispozitiv de tip Young
astfel ca distanţa dintre maximele de ordinul al doilea şi al treilea pe un ecran aflat la distanţa D = 1,5 m, să fie de 2 cm? Lungimea de undă a radiaţiei luminoase utilizate este egală cu λ = 550 nm. Discuţie. Soluţie Cele două maxime se pot afla pe ecran de aceeaşi parte a axei dispozitivului, sau pe cele două părţi.
131
Distanţele la care se formează al doilea şi al treilea maxim faţă de maximul central sunt y2 = 2
λD λD şi respectiv y3 = 3 . 2l 2l
Dacă maximele sunt de aceeaşi poarte a axei, Δy = y3 − y2 = iar
2l =
λD , 2l
λD = 0,041 mm. Δy
Dacă cele două maxime se află unul deasupra axei şi celălalt sub axă, Δy = y3 + y2 = 5 iar
2l =
λD 2l
5λD = 0, 205 mm. Δy
VI.27. Desigur aţi observat că după ploaie apar straturi subţiri colorate pe petele
de ulei ce plitesc pe apa rămasă pe stradă. Lumina albă de la Soare, incidentă pe petele de ulei, conţine toate culorile (radiaţii cu lungimi de undă diferite), dar sunt reflectate puternic doar unele din acestea, care diferă ca poziţie pe pata de ulei în funcţie de grosimea acesteia. Calculaţi grosimea minimă a petei de ulei ( n1 = 1, 40 ) care pluteşte pe un strat de apă ( n2 = 1,33 ) pentru ca radiaţia albastră ( λ = 470 nm) incidentă normal să sufere o interferenţă distructivă. Soluţie Pentru ca interferenţa să fie distructivă trebuie ca între raza reflectată pe apă şi cea reflectată pe stratul de ulei să apară un defazaj egal cel puţin cu π , adică o diferenţă de drum de λ . Astfel, 2n1d = λ , de unde d = 168 nm.
132
VI.28. Pentru a reduce reflexiile, lentilele optice ( n1 = 1, 40 ) ale camerelor de luat
vederi sunt acoperite cu un strat subţire de florură de magneziu ( n2 = 1,38 ). Calculaţi grosimea minimă a stratului de florură de magneziu pentru ca reflexia să fie minimă pentru lungimea de undă λ = 550 nm. Soluţie Pentru ca reflexia să fie minimă trebuie ca între raza reflectată pe suprafaţa aerMgF2 şi cea reflectată pe suprafaţa MgF2-sticlă să apară un defazaj egal cel puţin cu π , adică o diferenţă de drum de λ . Astfel, 2n2 d = λ , de unde d = 199 nm.
VI.29. Observarea figurii de interferenţă într-o pană optică subţire reprezintă o
tehnică de măsurare a grosimilor foarte mici. Considerăm că o foaie de plastic de grosime d între două lame subţiri de sticlă ca în figura VI.29. Lăţimea lamei de sticlă este w = 6,0 cm. Un fascicul luminos cu lungimea de undă λ = 550 nn este incident normal pe
lama de sticlă şi se observă o succesiune de franje luminoase şi întunecate. Distanţa dintre două franje întunecate alăturate este egală cu x = 0, 48 mm. Calculaţi grosimea foii de plastic.
Fig. VI.29 Soluţie Lăţimea penei de aer creşte cu
λ între două franje întunecate sussesive, astfel că 2
133
unghiul θ al penei are valoarea dată de tgθ =
λ d = , de unde d = 0,034 mm. w 2x
VI.30. Utilizând radiaţie luminoasă cu lungimea de undă λ = 580 nm se observă
într-un dispozitiv pentru obţinerea inelelor lui Newton că raza celui de al 16-lea inel întunecos este egală cu 8 mm (figura VI.30). Calculaţi raza de curbură a lentilei utilizate.
Fig. VI.30 Soluţie Din figura VI.30 observăm că R 2 = r 2 + ( R − d ) = r 2 + R 2 − 2 Rd + d 2 . 2
Ţinând seama că d 2 R=
r 2 , rezultă că
r2 = 6,90 m. 2d
VI.31. Două fante înguste paralele, aflate la distanţa de 0,10 mm sunt iluminate
cu radiaţie electromagnetică cu lungimea de undă de 550 nm. La distanţa de 2,2 m de planul fantelor este aşezat un ecran. Calculaţi distanţa dintre dintre maximele de ordinul întâi şi de ordinul al doilea formate pe ecran. Soluţie
134
Δy =
λD = 1,1 mm. 2l
VI.32. Calculaţi grosimea minimă a unei pelicule de apă cu săpun ( n = 1,33 )
aflată în aer care reflectă foarte slab lumina albastră ( λ1 = 480 nm) şi foarte puternic lumina roşie ( λ 2 = 640 nm) Soluţie Punem condiţia de minim de interferenţă pentru lumina albastră, 2nd = ( 2m1 + 1)
λ1 2
şi de maxim pentru lumina roşie,
2nd = m2λ 2 , de unde
( 2m1 + 1) adică
λ1 = m2λ 2 , 2
4m1 + 2 = 3m2 . Soluţia cea mai simplă a ecuaţiei este
m1 = 1 şi m2 = 3 . Atunci, d =
m2λ 2 = 540 nm. 2n
VI.33. În figura VI.33, un fir de nylon cu diametrul de 0,081mm este aşezat între
cele două plăci şi iluminat de sus cu lumină cu lungimea de undă de 550 nm. Lăţimea fiecărei plăci este este egală cu 4 cm. Calculaţi câte benzi întunecate se văd pe lăţimea plăcilor.
135
Fig. VI.33 Soluţie Între distanţele dintre plăci corespunzătoare la două benzi întunecate alăturate diferenţa este egală cu
λ . Astfel, dacă notăm cu w distanţa dintre două benzi întunecate 2
alăturate, λ 0,081 mm = . 2w 40 mm Numărul benzilor întunecate formate este egal cu N=
40 mm 2 ⋅ 0,081 mm = = 295 . w 5,5 ⋅10−4 mm
Observăm că numărul benzilor întunecate este independent de lăţimea plăcilor.
VI.34. Un fascicul luminos cu lungimea de undă de 610 nm este incident pe o
peliculă de apă cu săpun ( n = 1,33 ) sub unghiul de 45o . Calculaţi grosimea minimă a peliculei pentru care lumina reflectată are intensitatea maximă. Soluţie Din legea refracţiei,
n1 sin θ0 = n2 sin θ2 , rezultă sin θ2 =
3 2 = 0,52875 şi θ2 = 32,1o . 8
136
Lungimea drumului parcurs prin peliculă este 2d cos θ2 =
λ , 4n
de unde d = 68 nm.
VI.35. Deduceţi o relaţie generală aplicabilă deplasării verticale a maximului de
ordinul m pe ecranul unui dispozitiv de tip Young, ca rezultat al introducerii unei lame plan-paralel subţiri de sticlă, cu grosimea e şi indicele de refracţie n , direct pe una din fante. Soluţie Prin introducerea unei unei lame plan-paralel subţiri dintr-un material transparent, cu grosimea e şi indicele de refracţie n , direct ăn calea unuia dintre fascicule, se introduce o diferenţă de drum optic suplimentară între cele două fascicule egală cu δ s = ( n − 1) e . Ca rezultat, poziţia maximului de ordinul m în lipsa lamei se deplasează vertical pe ecran cu o distanţă Δy = m1i =
δ s λD ( n − 1) eD ⋅ = , λ 2l 2l
unde D este este distanţa de la planul fantelor la ecran, iar 2l este distanţa dintre fante.
VI.36. Lumina solară incidentă pe un ecran cu fante paralele înguste şi lungi,
aflate la distanţa de 0,20 mm formează o figură de interferenţă pe un ecran aflat la distanţa de 2 m în faţa planului fantelor. Calculaţi distanţa de pe ecran dintre maximul de ordinul întâi pentru radiaţia violetă ( λ v = 400 nm) şi maximul de ordinul al doilea pentru radiaţia roşie ( λ r = 600 nm) Soluţie
137
Distanţa de pe ecran este Δy = 2ir − iv = 2
λr D λr D D − = ( 2λ r − λ v ) = 8 mm. 2l 2l 2l
Am notat cu ir =
λr D λD interfranja pentru radiaţie roşie şi cu iv = v interfranja 2l 2l
pentru radiaţia violetă. VI.37. Avem un dispozitiv cu un ecran prevăzut cu trei fante înguste paralele.
Centrul celei de a doua fante se află la distanţa a sub centrul primeia, iar centrul celei de a treia fante se află la distanţa
5 a sub centrul primeia. Fantele sunt iluminate cu radiaţie 2
cu amplitudinea intensităţii câmpului electric egală cu E0 Deduceţi expresia intensităţii luminii într-un punct P aflat pe un ecran paralel cu planul fantelor. Dreapta care uneşte fantele cu punctul P face un unghi θ cu axa dispozitivului. Este îndeplinită condiţia ca a
D , unde D este distanţa dintre cele două
ecrane. Soluţie Alegem faza unelor care ajung de le prima fantă în punctul P
ϕ1 = 0 . Prin urmare, undele care ajung în punctul P de la fanta a doua au faza
ϕ2 = βa sin θ = ϕ , iar cele care ajung în punctul P de la fanta a treia au faza 5 5 ϕ3 = βa sin θ = ϕ . 2 2
Astfel, intensitatea câmpului electric în P va fi 5 5 i ϕ i ϕ⎞ ⎛ EP = E0 + E0eiϕ + E0e 2 = E0 ⎜1 + eiϕ + 2 ⎟ . ⎝ ⎠
Intensitatea luminii în punctul P este
138
5 5 − i ϕ ⎞⎛ i ϕ⎞ 2⎛ I P = kE * E = k E0 ⎜ 1 + e − iϕ + 2 ⎟⎜1 + eiϕ + 2 ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠
3 5 ⎞ 2⎛ = k E0 ⎜ 3 + 2cos ϕ + 2cos ϕ + 2cos ϕ ⎟ . 2 2 ⎠ ⎝
Pentru ϕ = 0 , I P ( 0 ) = 9k E0 , 2
astfel că putem scrie că IP =
I P ( 0) ⎛ 3 5 ⎞ ⎜ 3 + 2cos ϕ + 2cos ϕ + 2cos ϕ ⎟ . 9 ⎝ 2 2 ⎠
VI.38. O pană optică din aer este realizată cu ajutorul a două lame subţiri de sticlă
separate la unul din capete printr-o foaie de hârtie de grosime e = 7,618 ⋅10−5 m. Dispozitivul este iluminat perpendicular pe suprafaţa penei cu radiaţie cu lungimea de undă λ = 500 nm. Calculaţi câte granje luminoase se formează pe pana optică. Soluţie Defazajul de π datorită reflexiei apare doar pe suprafaţa de jos între aer şi sticlă. Interferenţa constructivă apare dacă (incidenţă normală) 1⎞ ⎛ 2ne = ⎜ m + ⎟ λ aer , 2⎠ ⎝
unde grosimea e variază între 0 şi 7,618 ⋅10−5 m. Prin urmare, m<
2ne 1 − = 304,3 . λ aer 2
Incluzând şi valoarea m = 0 , se formează 305 franje luminoase.
139
VI.39. Vrem să depunem un strat de fluorură de magneziu ( n f = 1,38 ) pe o
lentilă de sticlă cu indicele de refracţie egal cu 1,55 utilizată într-un microscop, pentru a creşte intensitatea luminii galbene ( λ aer = 550 nm) transmise, incidentă normal. Calculaţi grosimea minimă a stratului ce trebuie depus pe lentilă. Soluţie Unda refractată va traversa de două ori stratul depus şi există un defazaj suplimentar introdus de reflexie, astfel că 2n f e =
de unde e =
λ aer , 2
λ aer = 99,6 nm. 4n f
VI.40. O lentilă din sticlă ( ns = 1,55 ) pentru camera de luat vederi trebuie
acoperită cu un strat subţire de cryolit ( nc = 1,30 ) pentru a scădea reflexia la incidenţă normală a luminii verzi ( λ aer = 500 nm). Calculaţi grosimea minimă a stratului depus. Soluţie Deoarece fiecare reflexie are loc cu un defazaj de π , interferenţa distructivă se obţine dacă 1⎞ ⎛ 2nc e = ⎜ m + ⎟ λ aer , 2⎠ ⎝ de unde, pemtru m = 1 , e=
λ aer = 96, 2 nm 4nc
140
VI.41. O sursă punctiformă S de lumina monocromatică, având lungimea de undă
λ, se deplasează cu viteza constantă v paralel cu un ecran, situat la distanţa h, în care sunt practicate două fante înguste, la distanţa d ca în figura VI.41. Intensitatea luminoasă recepţinată de un observator A, aflat pe mediatoarea segmentului ce uneşte fantele, variază periodic cu frecvenţa f. Calculaţi viteza de deplasare a sursei.
Fig. VI.41 Soluţie Conform figurii VI.41a, când sursa se află în poziţia S1 , în A se formează maximul de ordinul 1, adică S1F1A -S1F2 A = λ , iar când sursa se află în poziţia S2 , în A se formează maximul de ordinul zero, adică S2 F1A -S2 F2 A = 0 . Deci, viteza sursei va fi egală cu v =
x = xf . T
Fig. VI.41a
141
Putem scrie că,
S1 F1 + F1 A - (S1 F2 + F2 A ) = λ , sau S1F1 -S1F2 = λ adică 2
2
⎛d ⎞ ⎛d ⎞ h + ⎜ + x⎟ − h2 + ⎜ − x⎟ = λ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ 2
de unde 2
2
x⎞ x⎞ ⎛ d ⎛ d + ⎟ − h 1+ ⎜ − ⎟ = λ. h 1+ ⎜ ⎝ 2h h ⎠ ⎝ 2h h ⎠
Deoarece x,d<
d x << 1 şi << 1 şi putem dezvolta în serie 2h h
radicalul oprindu-ne la primii termeni, adică 2 2 ⎡ 1⎛ d ⎡ 1⎛ d x⎞ ⎤ x⎞ ⎤ + ⎟ ⎥ − h ⎢1 + ⎜ − ⎟ ⎥ = λ, h ⎢1 + ⎜ ⎣⎢ 2 ⎝ 2h h ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ 2 ⎝ 2h h ⎠ ⎦⎥
de unde x = şi
v=
hλ d
hλf . d
VI. 42. Calculaţi valoarea aproximativă a raportului dintre intensitatea fiecăruia
dintre primele două maxime secundare şi intensitatea maximului central într-o figură de difracţie obţinută pe o fantă îngustă dreptunghiulară de lăţime b . Lumina cade perpendicular pe planul fantei. Soluţie Maximele secundare apar aproximativ la jumătate din distanţa dintre minimele adiacente, astfel că în relaţia
142
2
⎛ sin u ⎞ Iϕ = I0 ⎜ ⎟ , ⎝ u ⎠ u=
3 5 πb sin ϕ ia valorile u1 = π şi respectiv u2 = π . 2 2 λ Prin urmare, 2
2
2
2
I1 ⎛ sin u1 ⎞ ⎛ sin 3π 2 ⎞ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = 0,045 I 0 ⎝ u1 ⎠ ⎝ 3π 2 ⎠ şi respectiv, I 2 ⎛ sin u2 ⎞ ⎛ sin 5π 2 ⎞ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = 0,016 . I 0 ⎝ u 2 ⎠ ⎝ 5π 2 ⎠
143
VII. Difracţia luminii VII.1. Într-un experiment demonstrativ un laser cu He-Ne
( λ = 632,8 nm )
iluminează o fantă cu lăţimea de 0,12 mm. Figura de difracţie se observă pe un ecran aflat la 12 m distanţă de fantă. Calculaţi lăţimea maximului central (între minimele de ordinul întâi pe cele două părţi ale maximului central). Soluţie Pentru m = 1 , b sin ϕ = λ , de unde sin ϕ ≅ ϕ =
λ = 5, 27 ⋅10−3 rad. b
Lăţimea maximului central, Δy = 2 Dtgϕ ≅ 2 Dϕ = 0,126 m.
VII.2. Calculaţi raportul dintre intensitatea maximului de ordinul al treilea şi
intensitatea maximului central în cazul difracţiei pe o fantă îngustă. Soluţie Maximul de ordinul al treilei se obţine pentru u = luminii difractate de o fantă 2
⎛ sin u ⎞ Iϕ = I0 ⎜ ⎟ . ⎝ u ⎠ Astfel, 2
7 ⎞ ⎛ I ϕ ⎜ sin 2 π ⎟ ⎛ 2 ⎞ 2 =⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 0,0083 . I 0 ⎜ 7 π ⎟ ⎝ 7π ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
144
7π în expresia intensităţii 2
VII.3. Calculaţi valoarea aproximativă a raportului dintre intensitatea fiecăruia
dintre primele două maxime secundare şi intensitatea maximului central într-o figură de difracţie obţinută pe o fantă îngustă dreptunghiulară de lăţime b . Lumina cade perpendicular pe planul fantei. Soluţie Maximele secundare apar aproximativ la jumătate din distanţa dintre minimele adiacente, astfel că în relaţia 2
⎛ sin u ⎞ Iϕ = I0 ⎜ ⎟ , ⎝ u ⎠ u=
3 5 πb sin ϕ ia valorile u1 = π şi respectiv u2 = π . 2 2 λ
Prin urmare, 2
2
2
2
I1 ⎛ sin u1 ⎞ ⎛ sin 3π 2 ⎞ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = 0,045 I 0 ⎝ u1 ⎠ ⎝ 3π 2 ⎠ şi respectiv, I 2 ⎛ sin u2 ⎞ ⎛ sin 5π 2 ⎞ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = 0,016 . I 0 ⎝ u 2 ⎠ ⎝ 5π 2 ⎠
VII.4. Distanţa de la Pământ la Lună este egală cu r = 3,84 ⋅108 m. Care este
distanţa minimă dintre două obiecte aşezate pe Lună care se văd separat cu un telescop aflat pe Pământ, echipat cu o lentilă obiectiv cu diametrul de D = 60 cm? Se utilizează lumină cu lungimea de undă egală cu 550 nm. Soluţie Notăm cu x distanţa dintre obiecte. Această distanţă se vede de pe Pământ sub un unghi α egal cu
145
tgα ≅ α =
λ x = ϕmin = 1, 22 , r D
de unde x = 429 m.
VII.5. Se zvoneşte că avioanele de spionaj U-2, care zboară la o înălţime de 30
km, pot rezolva (vedea distinct) obiecte de înălţimea unui om (2 m). Calculaţi diametrul lentilei utilizate pentru lumină din spectrul vizibil (500 nm). Soluţie Din condiţia ca sin ϕ = 1, 22
x λ ≅ tgϕ = , D r
rezultă diametrul lentilei D = 9, 2 mm.
VII.6. O reţea de difracţie formează maximul de ordinul al doilea pentru radiaţia
emisă de laserul cu He-Ne ( λ = 632,8 nm) sub unghiul de 35,48º. Calculaţi constanta reţelei. Soluţie Din condiţia de maxim d sin ϕ = mλ , unde constanta reţelei, d = 2,18 ⋅10−6 m.
VII.7. O lampă cu mercur emite lumină verde cu lungimea de undă de 546,1 nm.
Calculaţi distanţa unghiulară dintre maximele de ordinul întâi şi respectiv al doilea obţinute cu o reţea de difracţie având constanta egală cu 6000 fante pe cm.
146
Soluţie Pentru maximul de ordinul întâi,
d sin ϕ1 = λ , iar pentru maximul de ordinul al doilea d sin ϕ2 = 2λ , de unde sin ϕ1 = 0,3277 şi ϕ1 = 19,1o , iar
sin ϕ2 = 0,6553 şi ϕ2 = 40,9o . Prin urmare, ϕ2 − ϕ1 = 21,8o .
VII.8. Rezolvarea dubletului galben al sodiului (liniile D ) cu lungimile de undă
λ1 = 588,995 nm şi respectiv λ 2 = 589,592 nm este foarte importantă pentru studiile de spectroscopie atomică. Calculaţi câte fante trebuie să aibă o reţea de difracţie pentru a rezolva aceste linii în ordinul întâi. Soluţie Conform criteriului lui Rayleigh, mN =
λ = 987 , Δλ
iar pentru m = 1 , rezultă N 1000 fante. Această valoare este uşor de realizat practic.
147
VII.9. Un fascicul de lumină monocromatică cu lungimea de undă λ = 450 nm,
care trece printr-o fantă îngustă cu lăţimea de b = 0,080 mm, formează o figură de difracţie pe un ecran aşezat la distanţa D = 1, 2 m în spatele planului fantei. Calculaţi distanţa pe ecran între maximul central şi primul minim al figurii de difracţie. Soluţie Din condiţia de obţinere a primului minim, sin ϕ1 =
λ b
rezultă y ≅ D sin ϕ1 = 6,8 mm.
VII.10. Păsările de pradă au o privire ageră. Ştiind că pupila unui vultur are
diametrul de D = 10 mm, calculaţi înălţimea la care poate zbura acesta astfel încât să vadă clar un şoarece cu lungimea de y = 7 cm. Consideraţi că λ = 550 nm (mijlocul spectrului vizibil, pentru care ochiul are sensibilitatea maximă). Soluţie Vulturul vede prada sub unghiul tgα ≅ α =
λ y = ϕmin = 1, 22 , r D
de unde r=
yD = 1000 m. 1, 22λ
VII.11. Unii sateliţi de supraveghere au camere de luat vederi cu lentile având
dia,etrul de 35 cm. Calculaţi rezoluţia unghiulară a unei astfel de camere pentru lungimea de undă de λ = 550 nm.
148
Calculaţi distanţa minimă dintre dintre obiectale de pe suprafaţa Pământului pe care reuşeşte camera să le rezolve dacă satelitul se află la înălţimea de 160 km. Soluţie Din ϕmin = 1, 22
λ = 1,6 ⋅10−6 rad, D
rezultă y = rϕmin = 0, 26 m.
VII.12. Conducând automobilul noaptea prin deşertul Mojave vedeţi în faţa
ochilor un drum foarte lung şi pustiu. Deodată observaţi în faţă un punct luminos care se apropie şi care, la un moment dat, se separă în două puncte luminoase. Ştiind că farurile de la maşină se află la distanţa de 1,6 m, iar pupilele dvs. au diametrul de 5 mm, calculaţi la ce distanţă se afla punctul luminos când s-a separat în două puncte luminoase. Soluţie Din ϕmin = 1, 22 rezultă r =
λ y = , D r
yD = 11,9 km. 1, 22λ
VII.13. Un ecran este plasat la 1,30 m de o reţea de difracţie iluminată cu lumină
cu lungimea de undă de 614 nm. Distanţa pe ecran între maximele de ordinele al doilea şi al treilea este de 1,0 cm. Calculaţi cîte linii pe cm are reţeaua. Soluţie Din condiţia de obţinere a maximelor de difracţie,
149
d sin ϕm = mλ , rezultă sin ϕm = m
λ . d
Poziţiile maximelor de difracţie pe ecran sunt definite de ym = D sin ϕm = m
λD , d
astfel că y3 − y2 = ( 3 − 2 )
Dλ , d
de unde constanta reţelei ste egală cu n=
1 y3 − y2 = = 125 linii/cm. d Dλ
VII.14. Pe o reţea de difracţie iluminată cu lumină având lungimea de undă de
520 nm se pot obţine pe o parte a maximului central doar trei maxime. Calculaţi numărul maxim de linii pe cm al reţelei de difracţie. Soluţie În condiţia de maxim, d sin ϕm = mλ , valoarea maximă a lui ϕm este
π . Astfel, 2
d = mλ = 1,56 ⋅10−6 m, iar n=
1 = 6410 linii/cm. d
150
VII.15. Lumina emisă de o lampă cu sodiu de laborator conţine radiaţiile cu
lungimea de undă λ1 = 589,5923 nm şi respectiv λ 2 = 588,9953 nm. Calculaţi distanţa dintre maximele de ordinul întâi ale acestor radiaţii în figura de difracţie obţinută cu o reţea de dufracţie cu 10 000 linii/cm la distanţa de 1 m de aceasta.
Soluţie Din condiţia de obţinere a maximelor de difracţie, d sin ϕm = mλ , pentru m = 1 , rezultă sin ϕ11 =
λ1 = 0,5889953 , d
adică
ϕ11 = 36,0857o ,
iar
sin ϕ12 =
şi
ϕ11 = 36,1281o .
λ2 = 0,5895923 d
Pe ecranul aflat la distanţa D , maximele sunt separate prin Δy = D ( tgϕ12 − tgϕ11 ) = 1,11 mm. Aici nu am mai putut aplica aproximaţia unghiurilor mici.
VII.16. O sursă punctuală de lumină monocromatică cu lungimea de undă λ =
500 nm se află la distanţa a = 6,75 de un paravan în care se află o apertură cu diametrul D1 = 4,5 mm. La distanţa b = a de primul paravan se află un al doilea paravan (figura VII.16). Cum se va modifica iluminarea din punctul B al celui de - al doilea paravan, aflat pe axa fasciculului dacă diametrul aperturii creşte la valoarea D2 = 5, 2 mm?
151
Fig. VII.16 Soluţie: Trebuie calculat numărul k de zone Fresnel ce pot fi construite pe aperturile cu D şi D1 din punctul B. Deci,
m1
abλ D = , a+b 2
D2 ( a + b ) D2 = =3. de unde m1 = 4abλ 2aλ
VII.17. O undă plană (λ = 600 nm) este incidentă pe un ecran pe care se găseşte o
diafragmă circulară. Un paravan se află la o distanţă b = 2 m în spatele diafragmei. Pentru ce diametru D al diafragmei va fi iluminarea maximă în punctul B aflat pe axa fasciculului luminos? Soluţie: Iluminarea în punctul B va fi maximă când în diafragmă se construieşte o singură zonă Fresnel a cărei rază este egală cu r = alim m →∞
abλ bλ = alim m = mbλ . →∞ b a+b 1+ a
Am considerat că distanţa a → ∞ deoarece unda incidentă este plană.
152
Deci, pentru m = 1 , D = 2r = 2 bλ = 21,9 ⋅10−4 m.
VII.18. Un fascicul de lumină cu lungimea de undă λ = 600 nm traversează o
fantă a unui ecran cu lăţimea de 0,8 mm. a). Calculaţi distanţa dintre planul fantei şi un ecran dacă primul minim din figura de difracţie care se formează pe acesta este aşezat la distanţa de 1 mm de maximul central. b). Calculaţi lăţimea maximului central. Soluţie a). Condiţia de obţinere a minimelor de intensitate este (figura VII.18)
sin θ = m
λ cu m = ±1, ±2, ±3,K b
Fig. VII.18
Deoarece θ este foarte mic putem face aproximaţia sin θ ≅ tg θ =
153
y . L
Astfel, ultimele două condiţii pot fi scrise sub forma primul minim, m = 1 , iar L =
y λ = m , de unde, pentru L b
by1 = 1,33 m. λm
b). Lăţimea maximului central este egală cu w = 2 y1 = 2 mm.
VII.19. Un fascicul de lumină monocromatic este incident pe un ecran cu o fantă
cu lăţimea de 0,8 mm. Pe un alt ecran aflat la distanţa de 0,8 m de primul se formează o figură de difracţie. Maximul de ordinul doi se formează la distanţa de 1,6 mm de maximul central. Calculaţi lungimea de undă a fasciculului de lumină. Soluţie Condiţia de minim de intensitate în figura de difracţie se scrie sin θ = m
λ cu m = ±1, ±2, ±3,K b
dar θ fiind mic sin θ ≅ tgθ = şi
y L
ym λ λL = m , de unde ym = m . L b b
Considerăm că al doilea maxim se află la mijlocul distanţei dintre al doilea minim şi al treilea minim, astfel că putem scrie că y2,max =
1 1 λL 5λL y2,min + y3,min ) = ( 2 + 3) = . ( b 2b 2 2
În final, λ=
2by2,max = 6, 4 ⋅10−7 m. 5L
154
VII.20. O fantă îngustă făcută într-un ecran opac, aflat în aer, este iluminată cu
un laser cu emisie în infraroşu cu lungimea de undă de 1152,2 nm şi se constată că centrul celei de a 10-a franje întunecate din figura de difracţie Fraunhofer se află pe direcţia care face un unghi de 6, 2o cu direcţia axei principale (care trece prin maximul central). a). Calculaţi lăţimea fantei. b). La ce unghi se va forma a 10-a franjă întunecată dacă întregul dispozitiv este scufundat în apă? Soluţie a). Minimele de intensitate din figura Fraunhofer apar pentru direcţiile care satisfac condiţia b sin ϕ = mλ , astfel că lăţimea fantei este egală cu b=
mλ = 106,7 ⋅10−6 m, sin ϕ
unde sin 6, 2o = 0,108 . b). Dacă experienţa se efectuează în apă, lungimea de undă devine λ apă = iar
λ aer 3 = ⋅1,1522 = 0,86415μ m, napă 4
ϕ = arcsin
mλ = 4,66o . nb
VII.21. O undă plană monocromatică ( λ = 5 ⋅10−5 cm) este incidentă pe o reţea de
difracţie cu 500 linii/mm. a) Determinaţi ordinul maxim k al spectrului care poate fi observat când razele sunt incidente normal pe reţea. b). Determinaţi acelaşi k dacă undele sunt incidente pe reţea sub un unghi θ0 = 30o .
155
Soluţie a) Valoarea maximă a lui k corespunde valorii sin θ = 1 , când k =
d = 4. λ
b) În acest caz apare diferenţa de drum, δ = d ( sin θ + sin θ0 ) = k λ , pentru maxim, de unde
şi
sin θ =
kλ − sin θ0 = 1 d
kmax =
d (1 + sin θ0 ) = 6 . λ
VII.22. Pe o reţea de difracţie având constanta de 200 linii/mm cade normal un
fascicul de lumină emis de un tub de descărcare cu hidrogen. Calculaţi unghiul minim făcut de direcţia fasciculului cu axa tubului spectrometrului pentru ca în câmpul vizual să se observe coincidenţa a două maxime de difracţie a liniilor H α ( λ α = 656,32 nm) şi H β ( λβ = 410, 2 nm).
Soluţie Din condiţia, sin θ =
kα λ α kβλβ = d d
Rezultă kα λ β 5 = = kβ λ α 8 Iar sin θ =
kα λ α = 0,65632 d
şi θ = 41o .
156
VII.23. O lentilă cu distanţa focală f = 40 cm formează o figură de difracţie
Fraunhofer a unei fante cu lăţimea b = 0,03 cm (figura VII.27). Calculaţi distanţa de la prima bandă întunecată şi de la următoarea franjă luminoasă până la axa lentilei, dacă λ = 6 ⋅10−7 m. Lentila este aşezată aproape de fantă.
Fig. VII.27 Soluţie: În figura de difracţie dată de o singură fantă unghiurile de difracţie corespunzătoare intensităţii nule sunt date de b sin θ = k λ , k = 1, 2, 3... Prima franjă întunecată apare pentru k = 1, adică sin θ =
λ = 2 ⋅10−3 sau θ ≅ 2 ⋅10−3 rad. b
Dacă distanţa primei franje întunecate faţă de axă este x, atunci θ≅
x rad, f
de unde x = 0,8 mm. Unghiul de difracţie corespunzător primei franje luminoase pe una din părţile laterale ale franjei centrale este dat aproximativ de 3 b sin θ1 = λ , 2 de unde θ1 ≅
3λ = 3 ⋅10−3 rad, 2b
157
iar
x1 ≅ θ1 f = 1, 20 mm.
VII.24. Găsiţi condiţia ce trebuie îndeplinită ca maximul central al unei figuri de
difracţie printr-o reţea de difrecţie să conţină exact treisprezece franje (maxime şi minime). Soluţie: Pentru ca maximul central al figurii de difracţie printr-o reţea de difracţie să conţină 13 franje trebuie ca unghiul sub care apare al şaptelea minim printr-o fantă să fie egal cu unghiul de difracţie pentru care apare primul minim al figurii de difracţie în reţea. În expresia intensităţii, 2
2
⎛ sin u ⎞ ⎛ sin N Δ ⎞ I = I0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , ⎝ u ⎠ ⎝ sin Δ ⎠ unde u =
π π b sin θ , iar Δ = d sin θ , cu b lăţimea unei fante şi d distanţa dintre două λ λ
fante, trebuie ca 1⎞ ⎛ Δ = ⎜6 + ⎟π , 2⎠ ⎝ adică
π 13π 13λ d sin θ = , sau sin θ = . λ 2 2d
Pentru aceeaşi valoare a lui θ trebuie să apară primul minim de difracţie în reţea, adică u = π , sau
λ π b sin θ = π , de unde sin θ = . λ b
Condiţia cerută va fi ca 13 λ λ d 13 ⋅ = sau = . 2 d b b 2
158
VII.25. Lumina galbenă a sodiului este incidentă normal pe o reţea de difracţie
plană cu 10000 linii/inch (2,54cm). Calculaţi distanţa unghiulară între liniile D1 şi D2 din spectrul de ordinul întâi obsevat cu un telescop. Distanţa focală a obiectivului şi ocularului telescopului sunt f ob = 24 cm şi f oc = 2 cm. Lungimile de undă ale celor două raze cunt λ1 = 589 nm şi λ2 = 589,6 nm. Se ştie că mărirea unghiulară a telescopului este egală cu Δθ1 f = − 0b . Δθ f oc Soluţie: Constanta reţelei este d =
2,54 ⋅10−2 = 2,54 ⋅10−6 m. Pentru ordinul întâi de 4 10
difracţie, condiţia de maxim se scrie:
d sin θ = λ . Calculăm variaţia unghiului θ cu lungimea de undă, dθ 1 1 106 -1 m , = ≅ = dλ d cos θ d 2,54 deoarece θ este foarte mic. Atunci, Δθ =
6 ⋅10−10 = 2,36 ⋅10−4 rad. −6 2,54 ⋅10
Din mărirea unghiulară a telescopului, Δθ1 f = − 0b , Δθ f oc rezultă că distanţa unghiulară între liniile D1 şi D2 din spectrul de ordinul întâi obsevat este Δθ1 = −2,83 ⋅10−3 rad ≅ −0,16o .
159
VII.26. Calculaţi dispersia unghiulară a spectrului vizibil de ordinul întâi produs
de o reţea de difracţie plană care are 15000 linii/inch (2,54 cm) dacă se trimite lumină albă sub incidenţă normală pe reţea. Lungimea de undă din spectrul vizibil este cuprinsă între 400 nm şi 700 nm. Verificaţi faptul că violetul în ordinul trei se suprapune peste roşu în ordinul doi. Soluţie Constanta reţelei va fi d =
2,54 = 1,69 ⋅10−4 cm. 15000
Unghiul de difracţie pentru violet în ordinul întâi este sin θv =
λv = 0, 237 , adică θv = 13o14′ , d
iar pentru roşu în ordinul întâi, sin θr =
λr = 0, 414 şi θr = 24o30′ . d
Lărgimea unghilară a spectrului vizibil de ordinul întâi este 10o50′ . Unghiul de difracţie de ordinul trei în violet este dat de: sin θv =
3 ⋅ 4 ⋅10−7 12 ⋅10−7 = , d d
iar unghiul de difracţie de ordinul doi în roşu este dat de: sin θr =
2 ⋅ 7 ⋅10−7 14 ⋅10−7 = . d d
Se observă că sin θr > sin θv , indiferent de valoarea lui d. Astfel, ordinul trei în violet acoperă ordinul doi în roşu.
VII.27. Lumina emisă de o lampă de sodiu de laborator conţine două linii
galbene cu lungimile de undă de 589,5923 nm şi respectiv 588,9953 nm. La ce distanţă se formează spectrul de difracţie de ordinul întâi al acestor linii pe o reţea de difracţie cu 10000 linii pe cm, pe un ecran la distanţa de 1 m de planul reţelei?
160
Soluţie Condiţia d sin θ = mλ cu m = 1 determină poziţia unghiulară a maximului de ordinul întâi. Dacă reţeaua are 10 000 linii pe cm, rezultă că distanţa dintre două fante alăturate este egală cu d = 10−4 cm. În cazul de faţă aproximaţia unghiurilor mici nu este aplicabilă deoarece poziţiile maximelor de ordinul întâi pentru lungimea de undă λ1 = 588,9953 nm este definită de unghiul θ1 = arcsin
λ1 = 36,0857o d
iar pentru lungimea de undă λ 2 = 589,5923 nm de unghiul θ2 = arcsin
λ2 = 36,1281o , d
care nu pot fi considerate foarte mici. Pe ecranul aflat la distanţa D , cele două maxime de ordinul întâi sunt separate prin distanţa Δy = D ( tgθ2 − tgθ1 ) = 1,11 mm.
VII.28. Găsiţi dimensiunea optimă a aperturii unui "pin hole" în funcţie de
lungimea de undă la care o sursă punctuală va apare pe ecran ca un cerc cu diametrul minim, dacă distanţa dintre sursă şi planul aperturii este mult mai mare ca distanţa d de la apertură la ecran. Soluţie: Razele care sunt incidente pe apertură venind de la o sursă punctuală sunt aproape paralele (vezi VII.28). În absenţa difracţiei, dimensiunea spotului luminos este egală cu AB = 2r. În prezenţa difracţiei, dimensiunea spotului va creşte la DC. Distanţa OC este determinată de unghiul ϕ care dă direcţia primului minim (inel întunecos). În direcţia unghiului ϕ se va observa un minim dacă pe apertura de rază r se pot construi un număr par de zone Fresnel.
161
În C se obţine primul minim dacă OC = r + AC = r + dtgϕ . Dacă asimilăm cu un dispozitiv de tip Young, pentru primul minim δ = 2r sin ϕ ≅ 2rtgϕ =
λ λ , de unde sin ϕ ≅ tgϕ = . 2 4r
Fig. VII.28 Deci, OC =
dλ +r 4r
Minimul lui OC se obţine pentru d ( OC ) 1 dλ = 0 , sau − 2 + 1 = 0 de unde rezultă r = λd . dr 2 4r
VII.29. O diafragmă cu o deschidere circulară a cărei rază poate varia în decursul
experienţei este aşezată între o sursă luminoasă punctuală şi un ecran. Distanţele de la diafragmă la sursă şi la ecran sunt a = 100 cm şi b = 125 cm. Să se calculeze lungimea de undă a radiaţiei emise de sursă ştiind că centrul imaginii este luminos pe o rază r1 = 1,00 mm, iar iluminarea maximă următoare apare întrun inel de rază r2 = 1, 29 mm. Soluţie Raza inelului a k-lea este egală cu
162
rk = k
ab λ. a+b
Pentru k = 1, adică r1 =
ab λ, a+b
iar pentru k = 3, adică r2 = 3
ab λ, a+b
de unde
(r λ=
2 2
− r12 ) ( a + b ) 2ab
= 0,60μ m.
163
Cuprins Pag. I
Recapitularea ecuaţiilor lui Maxwell
2
II
Ecuaţia generală de propagare a undelor electromagnetice. Structura undei
8
electromagnetice III
Starea de polarizare a undelor electromagnetice
32
IV
Reflexia şi refracţia luminii
54
V
Dispersia şi absorbţia luminii
102
VI
Interferenţa luminii
114
VII Difracţia luminii
144
164
