Probleme Tipice Pentru Bacalaureat1.1

Probleme tipice pentru bacalaureat

[Alegeţi data]

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





Cuprins Probleme tipice din variantele pentru bacalaureat 2009 ......................................................................................... 3

x)=n ..................................................................................................... 3 1.Şiruri definite ca solu ţie a unei ecua ţii f ( x Exerciţiul 1. (Sub.III.Var.9.1) .............................................................................................................................. 3 Exerciţiul 2. (Sub.III.Var.14.1) ............................................................................................................................. 3 Exerciţiul 3. (Sub.III.Var.15.1) ............................................................................................................................. 3 Exerciţiul 4.(Sub.III.Var23.1)............................................................................................................................... 3 Exerciţiul 5.(Sub.III.Var90.1)............................................................................................................................... 5.(Sub.III.Var90.1)............................................................................................................................... 3 Exerciţiul 6.(Sub.III.Var98.1................................................................................................................................ 6.(Sub.III.Var98.1 ................................................................................................................................ 4 Rezolvare exerciţiul 1. (Sub.III.Var.9.1) ............................................................................................................. 5 Rezolvare exerciţiul 2. (Sub.III.Var.14.1) ........................................................................................................... 6 Rezolvare exerciţiul 3. (Sub.III.Var.15.1) ........................................................................................................... 7 Rezolvare exerciţiul 4.(Sub.III.Var23.1) .............................................................................................................. 8 Rezolvare exerciţiul 5.(Sub.III.Var23.1) .............................................................................................................. 9 Rezolvare exerciţiul exerciţiul 6.(Sub.III.Var98.1)............................................................................................................ 6.(Sub.III.Var98.1) ............................................................................................................ 10 Exerciţiul 6.(Sub.III.Var98.1.............................................................................................................................. 6.(Sub.III.Var98.1 .............................................................................................................................. 10 Test de autoevaluare ........................................................................................................................................... 11 Subiectul I ......................................................................................................................................................... 11 Subiectul II ........................................................................................................................................................ 11 Subiectul III ....................................................................................................................................................... 11





Probleme tipice din variantele variantele pentru bacalaureat 2009 1.Şiruri definite ca soluţ soluţie a unei ecuaţ ecuaţii ii f f ( x)= )=n n Exerciţiul 1. (Sub.III.Var.9.1) Exerciţ Se consider ă funcţia f : R→R, f ( x x)= x-sin x. a) Să se arate c ă f este crescătoare. b) Admitem că pentru fiecare n N ecuaţia f ( x x)=n are solu ţie unică xn. Să se arate că şirul ( x xn)n

N*

este

nemărginit. c)

Să se calculeze lim

xn

n

unde ( x xn) este definit la b). b).

n

Exerciţiul 2. (Sub.III.Var.14.1 Exerciţ (Sub.III.Var.14.1)) Pentru n N*, n≥3, se consider ă funcţia f n: R→R, f n( x x)=sin ( x x) şi se notează cu xn abscisa punctului de inflexiune n

din intervalul

0;

2

, al graficului funcţiei f n . n( n 1) sin n

a) Să se arate c ă f ''( x)

n 1

b) Să se arate c ă sin xn c)

n

,n

2

x n sin n x, n

*

N

,n

3 şi x

R

3.

Să se calculeze lim f n ( xn ). n

Exerciţiul 3. (Sub.III.Var.15.1 Exerciţ (Sub.III.Var.15.1)) Pentru n N*, n≥3, se consider ă funcţia f n: [0; )→R, f n( x x)= x -nx+1. n

a) Să se arate c ă f n este strict descresc ătoare pe [0;1] şi strict cresc ătoar toare e pe pe [1; [1; ). b) Să se arate c ă ecuaţia f n( x x)=0, x x>0 are exact două rădăcini an (0;1) şi bn (1; ) c) Să se calculeze lim a unde (an) este definit definit la b). b). n

n

Exerciţiul 4.(Sub.III.Var23.1 Exerciţ 4.(Sub.III.Var23.1)) 3

Se consider ă funcţia f : R→R, f ( x x)= x +x+1 . a) Să se arate c ă, pentru orice b) Să se arate c ă lim nx n

c)

, ecuaţia

f( x ) 3

1 n 3

, n

N

1, unde nx este soluţia ecuaţiei f( x) 3

Să se determine lim n( xn n

are solu ţie unic ă

1 n 1

1), unde xn este soluţia ecuaţiei f (x )

3

, n

R

N.

1 n 1

,n

N.

Exerciţiul 5.(Sub.III.Var90 5.(Sub.III.Var90.1) .1) Se consider ă funcţiile f n : (0; )→R,

+ln x, n N.

a) Să se arate asimptotele graficului func ţiei f 1 . b) Să se demonstreze c ă funcţiile gn : (0; )→R, g n ( x)

f n ( x)

fn

1 x

sunt convexe.

n xn)=2 admite soluţia unică xn. Să se arate c ă şirul ( x xn)n c) Admitem că ecuaţia f n( x

N*

este convergent la 2.





Exerciţiul 6.(Sub.III.Var98.1 ) Pentru fiecare n N, n≥ 2 se defineşte funcţia f n : [0; )→R, f n( x x)= x -nx-1. n

a) Să se arate c ă, pentru orice

, n≥ 2, 2, funcţia f n este convexă.

b) Să se arate c ă, pentru orice

x)=0 admite solu ţie unică. , n≥ 2, 2, ecuaţia f n ( x

c)

Să se calculeze lim x unde xn este solu ţia unică a ecuaţiei f n ( x x)=0. n

n





Exerciţiul 1. (Sub.III.Var.9.1) Se consider ă funcţia f : R→R, f ( x x)= x-sin x. a) Să se arate că f este crescătoare. b) Admitem că pentru fiecare n N ecuaţia f ( x x)=n are solu ţie unic ă xn. Să se arate c ă şirul ( x xn)n c)

Să se calculeze lim n

N*

este nemărginit.

xn n

unde ( x b). xn) este definit la b).

Rezolvare exerciţ exerciţiul 1. (Sub.III.Var.9.1) a) Calculăm derivata funcţiei : f ’( x x)=1-cos x ≥0 , deci f este crescătoare pe R.

sin xn

b) Din ipotez ă rezultă că xn

1 sin nx 1 | n

Dar ,

Din sin xn

n

Comentariu [N1]:

n.

n 1 sin nx n 1 n obţinem: lim si sin xn

n 1 şi n-1

n

n

lim( n 1) n

.

c) Conform punctului b) n 1

n

n 1 n

deci lim n

lim n

xn n

n

xn

, deci şirul

Comentariu [N2]: Criteriul majorării.

este nemărginit.

lim

lim

Pentru studierea monotoniei unei funcţii calculăm derivata funcţiei. Pe intervalul pe care derivata este pozitivă funcţia este strict crescătoare; Pe intervalul pe care derivata este negativafuncţia este strict descrescătoare.

xn n

1.

lim

n

si sin xn

n 1 n

n 1 n |: n

1 li lim n

xn n

1

n 1

xn

n 1

n

n

n

. Deci: Comentariu [N3]: Trecerea la limită î n inegalităţi Lema ,, cleştelui”





Exerciţiul 2. (Sub.III.Var.14.1) Pentru n N*, n≥3, se consider ă funcţia f n: R→R, f n( x x)=sin ( x x) şi se notează cu xn n

0;

abscisa punctului de inflexiune din intervalul

n( n 1) sin n

a) Să se arate c ă f ''( x)

n 1

b) Să se arate c ă sin xn

n

,n

2

, al graficului funcţiei f n .

2

x n sin n x, n

*

N

,n

3 şi x

R

3.

Să se calculeze lim f n ( xn ).

c)

Rezolvare exerciţ exerciţiul 2. (Sub.III.Var.14.1) a)

'

f f

( x)

nsin n

( x)

( nsin

n "

n

n sin

n 1

n(n

b)

n sin

2

n sin

n

2

n sin

n

2

f

" n

( xn )

2

x [(n x (n

1

n 2

2

n

n 1

n sin

sin

2

x(

sin x )

x] sin

x)

n 1

n( n

2

x] 1) 1) sin

n

2

n

n

n 1

lim

n

n 1

n

lim

n

n

n 1 n

1n

n

n

1

2

n

lim n

1

1 n

1

n 2

1

e2

n 1

sin xn n 1

(sin xn )n n 1

n

x.

Abscisele punctelor de inflexiune anulează derivata a doua.

f( xn )

rezultă

n

n 1

n

Comentariu [N6]:

sin 2 xn

0

1

lim 1

2

n sin

x

obţinem

2

lim (sin nx)

n sin

sin x) 2

(fg)’=f’g+fg’ 2 2 sin x+cos x=1

x (cos x ) "

2

x n sin x n 1

n

n sin

1)(1

n-1

Comentariu [N5]:

'

1) cos x

0;

lim f( nx)

xcos x)

2

x [(n

Din sin xn

n

(u )’=nu ·u’ (sinx)’=cosx

x cos x cos x

0, xn

n(n 1) sin

c)

n 1

n

Comentariu [N4]:

xcos x

x ' cos x

1) sin n

1

1 e

2

n n







Exerciţiul 3. (Sub.III.Var.15.1) Pentru n N*, n≥3, se consider ă funcţia f n: [0; )→R, f n( x x)= x -nx+1. n

a) Să se arate c ă f n este strict descresc ătoare pe [0;1] şi strict crescătoar toare e pe pe [1; [1; ).

x)=0, x x>0 are exact două rădăcini b) Să se arate c ă ecuaţia f n( x an (0;1) şi bn (1; ) c) Să se calculeze lim a unde (an) este definit definit la b). b). n

n

Rezolvare exerciţ exerciţiul 3. (Sub.III.Var.15.1)

f

a)

x

' n

( x)

n x

n 1

n (x

n

n 1

pentru pentru x [0;1 [0;1))

1)

0

pent pentru ru x

(1; )

f

1 n

f

(x)

1 n

(x )

ătoare 0 ,deci ,deci este este strict strict descre descresc scătoare 0 ,dec ,decii este este stri strict ct cres cresccătoare

b) f n este func ţie continua (fiind funcţie polinomial ă) , strict descrescătoare pe [0;1] şi f n(0)· f n(1)<0, deci f n

are o rădăcină în (0;1); f n este func ţie continua (f iind funcţie polinomial ă) , strict crescătoare pe [1; ) şi f n(1)<0, '

lim f ( x) n

n

deci f n are o rădăcină în (1; ).

f c)

Din f n(0)=1>0 şi

n

2

2

n

n

deoarece n

n

n

3

2 n

1

2

n

1 0

n

1

1

2

2

n

3

n

3

1

2 n

Comentariu [N7]: n Dacă 01, atunci x >1

n

1

Comentariu [N8]: Dacă o funcţie este contină pe intervalul [a;b] şi f(a)f(b)<0 atunci ecuaţia f(x)=0 are cel puţin o rădăcină î n intervalul respectiv; dacă î n plus este şi strict monotonă rădăcina este unică





Exerciţiul 4.(Sub.III.Var23.1) 3

Se consider ă funcţia f : R→R, f ( x x)= x +x+1 . a) Să se arate c ă, pentru orice

, ecuaţia

f( x ) 3

1 n 3

, n

) b) Să se arate c ă lim nx 1, unde nx este soluţia ecuaţiei f( x n

c)

Să se determine lim n( xn

N

3

1), unde xn este soluţia ecuaţiei f (x )

are solu ţie unică

1 n 1

3

, n

R

N.

1

,n

N.

Rezolvare exerciţ exerciţiul 4.(Sub.III.Var23.1) 2

a) f ’ ( x x)=3 x

+1>0, x

lim f ( x)

R , deci funcţia f este strict crescătoare, deci injectivă.

, lim f( x)

x

-

f ’( x) ’( x

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

f ( x x)

-

+

Func ţia f este bijectivă şi ecuaţia f ( x x)= y va avea soluţie reală unică

În particular pentru y 3

3

x x n

n

c)

1.

n 3

,n

1 n 1

x

n

(l -1)(l 2

1

R.

N avem soluţie unică pe care o vom nota cu

n

Trecând la limită limită l

1

y

lim xn . Avem

1 3

Func iile strict monotone monotone sunt injective injective

şi f continuă, deci f este şi surjectiv ă

x

x

b) Notăm cu l

Comentariu [N9]:

2

x

l 1)

n

x

n

1

1 n 1

0.

0, cu singura soluţie luţie reală

xn .





Exerciţiul 5.(Sub.III.Var90.1) 5.(Sub.III.Var90.1) n

Se consider ă funcţiile f n : (0; )→R, fn ( x)

ln x , n N*.

x

a) Să se arate asimptotele graficului func ţiei f 1 . b) Să se demonstreze c ă funcţiile gn : (0; )→R, g n ( x)

f n ( x)

fn

1 x

sunt convexe.

xn)=2 admite soluţia unică xn. Să se arate c ă şirul c) Admitem că ecuaţia f n( x n

( x xn)n

este convergent la 2.

N*

Rezolvare exerciţ exerciţiul 5.(Sub.III.Var23.1)

a) Calculăm limitele: lim f1 ( x)

lim ( x ln x)

0

n

n

x 0

lim f1 ( x)

nu există asimptotă orizontală.

lim ( x ln x)

x

x

f1 ( x)

m

lim

n

lim ( f1 ( x ) mx )

x

x

lim

x ln x

lim

x

x

x'

ln x x

x

1 lim x x 1 1

x ln x '

x

lim x

x

deci x=0 este asimptotă verticală.

ln 0

x 0

1

lim ln x

x

b)

g n ( x) n

x

f n ( x) x

n

nx n

"

n (n 1)x

gn ( x)

n

1

nx

n 1

n 2

1

1

ln x

x

x

n

x

n (n 1)x

n 2

ln x ln x

'

g n ( x)

1

fn

x

n

ln

x n

1

ln x ln x

x n

x

n

x .

; 0pentru orice x

Deci funcţiile gn sunt convexe.

h ( )

n

l

2n

R;

funcţia nu are nici asimptot ă oblică





Exerciţiul 6.(Sub.III.Var98.1 ) n Pentru fiecare n N, n≥ 2 se defineşte funcţia f n : [0; )→R, f n( x x)= x -nx-1.

a) Să se arate c ă, pentru orice

, n≥ 2, 2, funcţia f n

b) Să se arate c ă, pentru orice

, n≥ 2, x)=0 admite solu ţie unică pe int 2, ecuaţia f n ( x inter erva valu lull (1; (1;

c)

este convexă.

Să se calculeze lim x unde xn este solu ţia unică a ecuaţiei f n ( x x)=0. n

n

Rezolvare exerciţiul 6.(Sub.III.Var98.1) 6.(Sub.III.Var98.1 ) a)

fn' ( x)

nxn

1

n; fn" ( x) " n

C um x 0

f ( x)

n( n 1) 1) xn

2

0, deci f es e s te convexă.

b) Avem

nxn

fn' ( x)

1

n; pentru x 1, fn' ( x)

0,

deci f n este strict crescăt crescătoa injectivă. oare re pe (1; (1; ), deci injectivă. f (1)

2n

n 0, nf (2)

n

2 n 1 0pentru n 3

,.

(1; ) exi exist stă ă şi est estee unic cum f este continuă continuă pe (1; (1; 2) astfel încâ t f n ( xn )

xn

c)

0

Avem:

fn (1)

n

1< xn Din 1

li

x

n

2

nn

0, fn ( n)

n

1

0, pentru n

n. n

1 li

nx n

1

1

x

n

2

li

n

1 1

2

n

(n

1) 2

1

3,

)





Test de autoevaluare Subiectul I 1. Calculaţi

1 (1 i )

1 4

(1 i)

4

.

2. Rezolvaţi î n R inecuaţia |x+8| ≤3x-1. 3. Rezolvaţi î n R ecuaţia log4(x+12) ·logx2=1.

sin 2arcs 2arcsin in 4. Calculaţi sin

3 5

5. Fie A={1;2;3;4;5;6}. C âte funcţii bijective f:A →A au proprietatea f(1) 2? 6. Fie ABC un triunghi, cu AB=AC=10cm.Determinaţi lungimea î nălţimii imii BD (D AC) AC)

Subiectul II 1. Fie matricele A

1

a

b

1

0 1

A, X

a) Rezolvaţi ecuaţia BX

, unde a, b, c

R.

M2 (R) .

M 2 ( R) astfel încât C

b) Determinaţi matricea C c)

1 c

şi B

2

B

2

B

2

... B n , (n

*

N

)

2

Determinaţi tripletele (a;b;c), ştiind că (A+B) =A +2AB+B .

2. Fie polinomul

f

4

3

aX

bX bX

1

C[

X], ] , a 0.

a) Determinaţi rădăcinile lui f, dac ă a=-1 şi b=0; b) Calculaţi suma p ătratelor rădăcinilor polinomului f. c)

2

Determinaţi a şi b, astfel î nc ncât (X-1) să dividă pe f.

Subiectul III 1. Pentru fiecare n

*

N

,consideră ,considerăm funcţia f n : [0; )

R,

fn ( x)

x

n

x

n

x

e .

a) Arătaţi că f n este strict cresc ătoare şi calculaţi lim f n ( x) . x

b) Demonstraţi că e c)

n 1

2n 1, n

Calculaţi lim un şi lim n

2. Se consider ă irul ( I )

n

un n

*

N . Arătaţi că f n (x)=0 are soluţie unic ă un [n;n+1] .

.

, cu termenul general I

1

1

1

n

x

x e dx

n N*

Probleme Tipice Pentru Bacalaureat1.1

Recommend Documents