Problema 2.15 Resuelva el problema 2.13 si la diferencia de altura entre el tanque de toma y el desarenador cambia a 48 m. Compare los resultados de los dos problemas. ¿Qué conclusión puede plantear? Problema 2.13 El sistema de toma de un acueducto municipal incluye una estación de bombeo que envía el agua hacia un tanque desarenador localizado en la cima de una colina. El caudal demandado por la población es de 460 l/s, el caudal es bombeado a través de la tubería de acero de 350 mm ( k s = 0.046 mm). La tubería tiene una longitud de 370 m y un coeficiente global de perdidas menores de 7.4. Calcule la potencia requerida en la bomba si su eficiencia es de 75%.
L
70 =3
m
48 m ..... 15 m
Desarenador d = 350 mm Linea de referencia
Tanque de toma Por el enunciado se trata de un calculo de potencia requerida, por la figura se desea saber la potencia que transmite una bomba al flujo para poder cumplir todo ese recorrido y al saber la eficiencia podemos determinar la bomba que vamos a adquirir según sus características. Datos del enunciado Diámetro (nominal): d = 350mm = 0.35m Longitud de la tubería: L = 370m Rugosidad absoluta: k s = 0.046mm = 0.000046m Coeficiente global de perdidas menores: ∑k m = 7.4 Caudal:
3
Q = 460 l = 0.46 m s s
Eficiencia de la bomba: η = 75% = 0.75 Datos de la figura Tomando como nivel de referencia el inicio de la tubería (tanque de toma). Altura potencial al comienzo de la tubería: z1 = 0 Altura potencial al final de la tubería: z 2 = 48m Datos adicionales Densidad del fluido (agua):
ρ = 1000 kg
m3
Viscosidad dinámica (de diseño de tuberías simples): µ
= 1.519 x10 −3 Pa
s
Temperatura del fluido (de diseño de tuberías simples): T = 5º C Solución Viscosidad cinemática:
υ=
2 µ 1.519 x10 −3 = = 1.519 x10 −6 m s ρ 1000
Área transversal de la tubería: A=
πd 2 4
=
π ( 0.35) 2 4
= 9.62 x10 −2 m 2
Velocidad media del flujo:
V =
Q 0.46 = = 4.78 m s A 9.62 x10 −2
Total de pérdidas menores (ecuación A2.1): ∑hm = ( ∑k m )
( 4.78) = 8.62m V2 = ( 7.4 ) 2g 2 x9.81 2
Numero de Reynolds: Re =
Vdρ
µ
=
4.78 x0.35 x1000 = 1443485.764 1.159 x10 −3
Rugosidad relativa:
ks 0.000046 = = 1.314 x10 −4 d 0.35 Factor de fricción (ecuación de Colebrook-White): k 1 2.51 = −2 log10 s + 3 . 7 d f Re f
2.51 = −2 log 10 0.000046 + 3.7( 0.35) (1443485.764 )
f
f = 0.0135396
Perdida por fricción (ecuación Darcy-Weisbach): L V2 370 ( 4.78) hf = f x = ( 0.0135396 ) x = 16.668m d 2g 0.35 2( 9.81) 2
Ecuación general de la conservación de la energía: 2
z1 +
2
P1 V1 P V + + H añadida − H extraida − h f 1−2 − ∑ hm = z 2 + 2 + 2 ρg 2 g ρg 2 g
Los puntos 1 y 2 están en las superficies libres de los tanques, entonces, las velocidades son despreciables y las presiones están a presión atmosférica. Ecuación de la conservación de la energía reducida:
z1 + H añadida − h f 1−2 − ∑ hm = z 2 Carga de bomba útil necesaria:
H añadida = H bomba = ( z 2 − z1 ) + h f 1−2 + ∑ hm H bomba = 48 +16.668 + 8.62 = 73.288m
Potencia de la bomba (ejemplo 1.2): P=
1
η
ρQgH =
1 x1000 x 0.46 x9.81x 73.288 = 440959.238W ≈ 441kW 0.75
Solución del problema 2.15
P = 441kW Comprobando con la hoja de cálculo de Excel Calculo de potencia: DATOS Características de la tubería d
0.35 m
L
370 m
Ks
RESULTADOS
4.6E-05 m Accesorios
Km
7.4 Características del fluido
1000 Kg/m3
A
0.0962 m2
V
4.7811 m/s
hm
8.6218 m
Re
1101646 -
Ks/d
1.31E-04 1.38E-02
0.00152 Pa.s
f*
1.5E-06 m2/s
f
Características del flujo 0.46 m3/s
Q
Características de la bomba
0.0138 -
hf
16.97 m
H
73.59 m
Potencia
442.76 kW
0.75 Características Topográficas
Z
48 m Gravedad 9.81 m/s2
g
( z 2 − z1 ) = 15m H bomba = 40.288m
P = 243kW
Conclusión
Para mayor diferencia de cotas, mayor será la potencia necesaria para que el sistema funcione.
Problema 2.3 Suponer los diámetros nominales comerciales de las tuberías se pueden suponer como los diámetros reales*. La base de diámetros es: 75, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500, 600 y 720 mm. A no ser que se especifique un fluido diferente, se debe trabajar con agua a 15 °C, con las siguientes características: p 999.1 kg/rn p 1.14x10-1 Pa.s v
1.141x101 m''-/s
Resuelva el Problema 2.1 si la longitud de la tubería aumenta a 650 m y el material se cambia a hierro galvanizado (k = 0.15 mm). El diámetro sigue siendo 200 mm.
Comprobación de diseño DATOS d= 200mm Ks = 0.15 H = 37.2m ΣKm = 7.9 P = 999.1kg/m3 U = 1.14 x 10-3 Pa. S Z2 = 0 l = 290m r = 1.141 x 10-6 m2/s
EE ÷ 1 y 2 H1 – h t1-2 = H2 0
Z1 +
P1
γ
+
0 2 2 P V1 V - hf1-2 = Z1 + 2 + 2 γ 29 29
Z1 – hf1-2 = Z2 hf1-2 = Z1-Z2 = 37.2
hf1-2 = 37.2m Ks 0.15mm = = 7.5 x 10-4 d 200mm EE ÷ 1 y 2 H1 – hf1-2 - Σhm = H2
Σhm = H2
Z1 – hf1-2 -
hf1-2 + Σhm = Z1 – Z2
Σhm = (Z1 – Z2)- hf1-2 Σhm = Σhm =
V=
V=
2 2 gdhf 1−2 l
V2 29 ks 2.51 + log10
3.7 d
(
−2 2 9.81) 20010 −3 x37.2
d
l 2 gdhf
)
650
0.15 x10 −3 2.51x1.141x10 −6 x 650 + 3.7( 200) x10 −3 200 x10 −3 ( 219.81) 200 x10 −3 x37.2
log10
V = 3.443
Σhm = Σkm
(3.443) 2 V2 = 7.9 x = 4.773 2(2.81) 29
hf1-2 = (Z1 - Z2) -
Σhm
hf1-2 = 37.2 – 4.773 = 32.42 H
Ks/d
hfi
v
hm
hfi+1
(m)
(-)
(m)
(m/s)
(m)
(m)
37.20
7.50E-04
37.2000
3.4431
4.7734
32.4266
0
37.20
7.50E-04
32.4266
3.2111
4.1518
33.0482
0
37.20
7.50E-04
33.0482
3.2422
4.2327
32.9673
0
37.20
7.50E-04
32.9673
3.2382
4.2221
32.9779
0
37.20
7.50E-04
32.9779
3.2387
4.2235
32.9765
0
37.20
7.50E-04
32.9765
3.2386
4.2233
32.9767
1
V = 3.2387m/s
Prueba
Q (m3/s)
0.102
Q = AV =
πd 2
π ( 200 x10 −3 ) 2
= (3.2387) =
4
4
(3.2387)
Q = 0.102 m3/s
Problema 2.12 Resuelva el Problema 2.10 si el fluido es agua a 80 T con las siguientes características físicas: p= 971.8 kg/n¡'
u= 3.54x117 Pás v = 0.364x101 m'ls
Calculo del factor f por el método de newton_raphson Calculamos el x Xi =
1 fi
=
1 0.001
= 31.6455
Calculamos F(X)
4.6 x10 F(xi)= -2log10
−5
3.7 x0.2
+
2.51( x i ) Re fi
4.0 x10 −5 2.5 F(xi)= -2log10 3.7 x0.2 + 3025659.34 0.001
2.5 −5 F(xi)= -2log10 6.216 x10 + 95679 . 749
F(xi)= -2log10 6.216 x10
−5
+
−4 −5 2.6233 x10
F(xi)= -2log10 = 8.8393 x 10-5 F(xi)= 8.10713 Calculamos el F’(X)
2.51 R F’(x)= -2log10 KS 2.51 + x xi R 3.7 d =
−2 1m10
2.6233 x10 −5 6.29895 x10 −5
=
−2 1m10
( 0.4164)
=
= -2log10
2.51 95679.749 6.216 x10 −5 +8.295 x10 −7
−0.8529 = -8.1515 x 10-3 1m10
X
F(X)
F'(X)
Xi+1
X ≈ Xi+1 ?
31.6227766
8.1071396
-0.0081515
8.2972775 No
8.2972775
8.3217312
-0.0104360
8.3214786 No
8.3214786
8.3214787
-0.0104330
8.3214787 Sí
f
0.0144
Problema 2.21 En la Figura P2.21 se muestra el esquema de una planta de generación hidroeléctric a. Cuál debe ser el diámetro de una tubería en acero (k = 0.046 mm) si el caudal es 850 I/s y se espera generar 800 kW? La longitud total de la tubería, desde el embalse hasta la casa de máquinas, es de 1680 M. El coeficiente global de pérdidas menores causado por los accesorios localizados aguas arriba de la turbina es de 6.8. Dé el diámetro en milímetros.
Datos Q = 850 l/s, L = 1680 m Propiedad de la tubería: Ks = 0.046 mm., Km= 6.8 Propiedad del fluido
: v (20ºC) =1.007x10-6 m2/s,
Ecuación de la Energía entre 1 y 2 H1 - Hext −hf −hm = H2 126 = Hext +hf +hm..........(1)
Potencia extraída: P = gρQHext 8 X 105 = (9.81 )(996)(0.850)( Hext ) Hext = 96.326 m.
hm = 6.8
V2 2g
hm = 6.8
8Q 2 .......( 2) π 2 D3
(2) en (1):
ρ =996 kg/m3
Ecuación de Darcy-Weisbach despejamos el coeficiente de fricción: hf =126 − Hex − hm hf = 29.674 −6.8
hf = f =
8Q 2 .......(3) π 2 D3
8 fLQ 2 π 2 gD 5
hfπ 2 gD 5 .....( 4) 8LQ 2
(4) en la ecuación de Colebrook-White
ε 1 2.51 =−2log + f 3.7D Re f 1 hfπ2 gD 5 8 LQ
........(5)
Re =
4.6 x10 −5 2.51 =−2 log + 3 . 7 D 4 Q hfπgD 5 πvD 8 LQ 2
4Q πDv
7.730 x10 −6 0.738 L 5.706 x10 −7 L = − log + D 3.982 29.674 D 3 − 3.982 5 D 29.674 − D3 4.6 X 10 −5 1.255v 2 L Q 2L = − log 3.7 D + D hfgD πD 2 hfgD 0.738 L hfD 5
7.730 X 10 −6 5.706 x10 −7 = −log + D hfD 3
L
El diámetro correspondiente seria. 1.269 m Problema 2.30 La tubería de descarga del sistema de enfriamiento de una planta de generación termoeléctrica, mueve agua con una temperatura de 50 °C, con las siguientes características físicas:
La tubería tiene un diámetro de 450 mm, y el caudal es 630 L/s. En un tramo de 60 m, se mide una caída en la presión piezométrica de 6.2 m, y un coeficiente global de perdidas menores de 2,4. Calcule la rugosidad absoluta de la tubería. Datos: ht= 6.2m Q= 0.63 m3/s d= 450 mm Km= 2.4
Ecuación de la energía entre puntos 1 y 2
V=cte …(1) De los datos se obtiene: V=Q/A=3.961 m/s
Ecuacion de D-W
Calculando Re
En la ecuación de Colebrooke and White
Calculando y despejando Ks
Discusión: Los cálculos realizados para hallar en coeficiente de rugosidad absoluto (Ks), de la tubería, han sido simples como se puede observar, solo se hace uno de la ecuación de la energía en los puntos extremos del tramo que se menciona en el enunciado del problema. No es necesario hacer iteriaciones, puesto que con
las ecuaciones de Darcy-Weisbach y la de Colebrook-White, es posible calcular los coeficientes de perdidas menores y el pedido Ks.
Problema 3.3 A través de una tubería de acero (k, = 0.08 mm) del 50 mm de diámetro fluyen 83 Vs de queroseno con las siguientes características: p - 804 kg,/ m3 ti = 1.92x10` Pa.s. y
, - 2.388x10' m2/s.
Datos Tubería de acero = Q = 83L/s, querosene
Ks = 0.08mm d = 150mm = 0.15m - P = 804 kg/m2 - M = 1.92 x 10-3 Pa.s - V = 2.388 x 10-6 m2/s
f = ?? hf = ?? L = 1000m a) E.C.W. 1 f
0.08 2.51 + 3 . 7 . 1000 Re f
= -2log10
...(1) 1.851
CHW =
Re =
0.54
f
6.824 x | x V 14.09 0.009 0.081 0.081 ó hf = 1.851 d V Re C HW d 1.169
P.V .d . .... (x) 1.92 x 10 -3
Q = Δ.V. 83 π = (0.15)2. V 1000 4
En (x) Re 295020.212844 Flujo tubulento En (1) f = 1.84161474618 x 10-2 Λ b) Ecuación de Mosby
En (2) hf = 159.955530631m
... (2)
Ks 0.08mm = = 5.3333 x 10-4 = 0.00053333 d 150mm Re = 1.9639375 x 106 f = 1.45507872583 x 10-2 EDW hf = 109.070578047 c) Ec. Wood f = a + b Re-c f = 1.94196088468 x 10-2 EDW hf = 145.56655422
hf = f
l V2 d 29
Problema 3.25
Resuelva el problema 2.26 utilizando la metodología de Hazen Williams con un C HW de 120. Compare los resultados de los dos problemas. Problema 2.26 En una planta de tratamiento de agua para consumo es necesario diseñar una tubería corta que conecta el tanque flocuador con el tanque sedimentador. La diferencia de altura entre estos dos tanques es de 1.2 m y el caudal es de 137 l/s. La longitud total de la tubería es de 3.2 m y su coeficiente global de perdidas menores es de 2.8. ¿Cuál es el diámetro en hierro galvanizado (k s = 0.15 mm) que debe colocarse? Figura P.2.26 (pagina 138) Este es un problema de diseño de la tubería, entonces debemos calcular el diámetro de la tubería. Datos del enunciado Longitud de la tubería: L = 3.2m Rugosidad absoluta: k s = 0.15mm = 0.00015m Coeficiente global de perdidas menores: ∑k m = 2.8 Caudal:
3
Q = 137 L = 0.137 m s s
Datos de la figura De la figura deducimos que el flujo va del flocuador al sedimentador de placas. Tomando como nivel de referencia el final de la tubería (sedimentador).
Altura potencial al comienzo de la tubería: z1 = 1.2m Altura potencial al final de la tubería: z 2 = 0 Datos adicionales Densidad del fluido (agua):
ρ = 999.1 kg
m3
Viscosidad dinámica (de diseño de tuberías simples): µ
= 1.14 x10 −3 Pa
s
Temperatura del fluido (de diseño de tuberías simples): T = 15º C Solución Utilizamos el programa de Diseño de tuberías con altas perdidas menores, y tenemos: Diámetro real: 0,01313 m Diámetro comercial: 0.02 m Resolviendo con Hazen-Williams aplicamos la formula 3.14, pagina 163:
d =
1.626 xL0.205 xQ 0.38 C HW
0.38
xh f
0.205
Como el problema indica que se trata de un proyecto nuevo entonces la tubería será nueva, su C HW = 130 según Anexo 1, pagina 184.
d =
(1.626)( 3.2 ) 0.205 ( 0.137 ) 0.38 (130) 0.38 (1.2) 0.205
= 0.147 m
Comparando ambos resultados vemos que el método de Hazen-Williams, sobredimensiono la tubería. Conclusión Como se ven los diámetros reales un problema de diseño resuelto con el método de Hazen-Williams tiende a sobredimensionar la tubería. Problema numero 3.28 Resuelva el ejemplo 3.6, si la tubería tiene un diámetro de 450 mm, y conserva el coeficiente global de perdidas menores de 16.4, y la longitud de 2800 m. Para la tubería se midieron las siguientes perdidas en altura piezométrica, en función del caudal. Q (m3/s) 0.7 0.68 0.61 0.54 0.47 0.44 0.39 0.35 0.31 0.26 Datos d = 450 mm m = 16.4
H1-H2 = ht (m) 127 120 97 76 58 51 40 32 25 18
L = 2800
V=cte …(1)
Ecuacion de D-W
Calculando Re
En la ecuación de Colebrooke and White
Resolver para Ks Ver Tabla 3.28 Q H1-H2 = ht (m3/ s) (m) 0.7 127 0.68 120 0.61 97 0.54 76 0.47 58 0.44 51 0.39 40 0.35 32 0.31 25 0.26 18
V (m/ s) 4.401 4.276 3.835 3.395 2.955 2.767 2.452 2.201 1.949 1.635
PromedioC-HW PromedioKs
hm (m) 16.192 15.280 12.296 9.636 7.300 6.398 5.026 4.048 3.176 2.234
hf (m) 110.808 104.720 84.704 66.364 50.700 44.602 34.974 27.952 21.824 15.766
C-HW (-) 117.585 117.764 118.463 119.639 120.424 120.815 122.114 123.688 125.214 125.176
Re 1,735,800.27 1,686,205.98 1,512,625.95 1,339,045.93 1,165,465.90 1,091,074.46 967,088.72 867,900.14 768,711.55 644,725.82
f 0.01804 0.01806 0.01816 0.01815 0.01831 0.01838 0.01834 0.0182 0.01811 0.0186
Ks (m) 0.000297 0.000299 0.000304 0.000301 0.000309 0.000313 0.000306 0.000292 0.00028 0.000312
121.088 0.301 mm
Discusión: Como se demostró en los resultados del anexo, no es posible realizar la calibración de una tubería simple, y menos de un sistema de tuberías, utilizando una ecuación cuyo coeficiente dependa de las condiciones hidráulicas. Cada condición hidráulica, es decir cada “Q” y cada “H”, arrojan un coeficiente que solo es aplicable y es resultado para ese mismo sistema, para sí misma, sin dar información acerca de lo que sucede para otros números de Reynolds. En la práctica, los sistemas de distribución de agua potable presentan variaciones
Ks (mm) 0.297 0.299 0.304 0.301 0.309 0.313 0.306 0.292 0.280 0.312
muy altas de las condiciones hidráulicas y el operador debe conocer el comportamiento de su red bajo cualquier condición, con el fin de tener una base ya trabajada, algo asi como un modelo hidráulico. Estas calibraciones deben llevarse a cabo, haciendo uso de las ecuaciones de Darcy-Weisbach y de Colebrook-White.
Problema 4.15 Resuelva el problema 4.13 si la tubería tiene una pendiente adversa al sentido del flujo de 2.5%. Problema 4.13 Una bomba va a ser instalada en una tubería horizontal. La presión atmosférica del sitio de instalación es de 89500 Pa. La bomba requiere una NPSH de 3.2 m de altura absoluta de agua cuando bombea un caudal de 165 l/s. La tubería horizontal tiene un diámetro de 250 mm de hierro galvanizado. Calcule a que distancia del embalse de entrada puede colocarse la bomba, de tal manera que esta no cavite. El embalse genera una altura de 2.7 m por encima del nivel de la tubería.
L
2.7 m
2.5k 100k
Datos Características de la tubería de succión Diámetro:
d = 250mm = 0.25m Rugosidad absoluta (Anexo 1, pagina 140): k s = 0.15mm = 0.00015m
Características del flujo Caudal: 3
Q = 165 l = 0.165 m s s Características topográficas según la línea de referencia La línea de referencia pasa por el punto en donde comienza la tubería. L2 = ( 2.5k ) + (100k ) = 10006.25k 2 ⇒ L = 100.031k 2
k =
L 100.031
2
Altura inicial:
z1 = 2.7 m Altura final:
z 2 = 2.5k Características del fluido (Agua a 15 ºC) Densidad (Pagina 217):
ρ = 999.1 kg
m3
Viscosidad dinámica (Pagina 217):
µ =1.14 x10 −3 Pa ⋅ s Características del diseño Presión inicial (Presión atmosférica):
P1 = 89500 Pa Velocidad inicial (Superficie libre):
V1 = 0 Presión final: P2 = Psuccion
Velocidad final (Velocidad promedio en la tubería de succión):
V2 = V Características de la bomba Altura neta de succión positiva (Dato del fabricante):
NPSH = 3.2m Solución Viscosidad cinemática:
υ=
2 µ 1.14 x10 −3 = = 1.141x10 −6 m s ρ 999.1
Área de la tubería:
πd 2 π ( 0.25) = = 0.049m 2 4 4 2
A=
Velocidad: V =
Q 0.165 = = 3.367 m s A 0.049
Numero de Reynolds:
Re =
Vdρ
µ
=
( 3.367 )( 0.25)( 999.1)
Factor de fricción:
1.14 x10 −3
= 737712.654
k 2.51 = −2 Log 10 s + 3 . 7 d f Re f
2.51 ⇒ 1 = −2 Lod 10 0.00015 + ( )( ) 3 . 7 0 . 25 f 737712.654
1
f
f = 0.0179984
Perdida por fricción:
( 0.0179984 )( 3.367 ) L = 0.042 L LV 2 = ( 0.25)( 2)( 9.81) d 2g 2
hf = f
Coeficiente de pérdida menor (Entrada a la tubería): k m =1
Pérdida menor: V 2 (1)( 3.367 ) = = 0.578 ( 2)( 9.81) 2g 2
hm = k m
Presión de vapor del agua (Ejemplo 4.2, pagina 201): Pvapordelagua =1666.2 Pa
Presión de succión: NPSH =
Psuccion − Pvapordelagua
ρg
⇒ Psuccion = ( NPSH ) ρg + Pvapordelagua ⇒ ( 3.2 )( 999.1)( 9.81) +1666.2
Psuccion = 33029.947 Pa
Ecuación general de la conservación de la energía: 2
z1 +
2
P1 V1 P V + + H añadida − H extraida − h f 1− 2 − hm = z 2 + 2 + 2 ρg 2 g ρg 2 g
( 3.367 ) 89500 33029.947 − 0.042 L − 0.578 = 2.5k + + ( 999.1)( 9.81) ( 999.1)( 9.81) ( 2)( 9.81) 2
2.7 +
0.042 L + 2.5k = 7.306 L 0.042 L + 2.5 = 7.306 100 . 031
L = 109.057 m Calculo de NPSH (Hoja de Excel 4) DATOS Características de la tubería d
0.25 m
L
109.057 m
Ks
0.00015 m Accesorios
Km
1 Características del fluido
999.1 Kg/m3 0.00114 Pa.s
0.00000114 m2/s Características del flujo 0.165 m3/s
Q Otros g
9.81 m/s2
NPSH
3.5 m
Pa
89500 Pa
Pv
1666.2 Pa
RESULTADOS Re Ks/d
737138.684 0.0006000 -
f*
0.018
f
0.018
hfs
4.522 m
V
3.361 m/s
hms
0.576 m
hs
-0.212 m
El hs es la diferencia de cotas entre la superficie libre del embalse y la bomba, por el signo también se puede decir que hs es la distancia vertical de la bomba medida desde la superficie libre del embalse, que nos indica que la bomba esta 0.212 m por debajo de la superficie libre. Esto es si sumamos z 2 y 0.212 tenemos: L 109.057 z 2 + 0.212 = 2.5k + 0.212 = 2.5 + 0.212 = 2.5 + 0.212 = 2.856m 100.031 100.031 Y este valor es muy parecido a z1 .
Conclusión
La distancia L hallada es la máxima distancia a la que se puede colocar la bomba, ya que a mayor distancia se producirá cavitación.
Problema 4.28 Para realizar un estudio de fugas en tuberías de distribución de agua potable, es necesario implementar un montaje, en un laboratorio de hidráulica. Para realizar los experimentos necesarios, se cuenta con una bomba IHM 20H 6.6; la curva de esta, se puede ver en la figura P4.28. La altura topográfica que debe ser vencida por la bomba es de 1.5 m, la tubería tiene una longitud de 5 m, un diámetro de 100 mm, y es de PVC. Si el caudal es de 10 L/s. ¿Cuál es el coeficiente de perdidas menores? Datos Ht=1.5 m L = 5m d = 100 mm Ks = 1.5E-6 Qmax= 0.010 m3/s Km= ¿?
Ecuacion de la bomba
Caudal (m3/h) 10 28 23
Cabeza (m) 60 50 40 …(1) …(2) …(3)
Resolviendo sistema de ecuaciones: A = -0.39 B = 11.335 C = -14.341 Ecuacion de la bomba:
Q V (m3/ s) (m/ s) 0.008 1.01859164 0.009 1.14591559 0.010 1.27323954
Hm hf (m) (m) 14.250 0.04862713 14.239 0.06047306 14.228 0.07349522
hm Km (m) 12.702 240.193501 12.679 189.436261 12.654 153.148676
Discusión: A partir los cálculos realizados en la tabla, los valores obtenidos, para caudales aproximados al caudal de diseño de 10 L/s, de la cabeza de bomba (Hm), son demasiado altos en comparación a la altura topográfica a vender, y también los valores obtenidos para perdidas menores (hm) son muy altos, lo que no sucede con las perdidas por fricción, que deberían ser tener una mayor magnitud comparadas con las perdidas menores. Por estos resultados, los coeficientes globales de perdidas menores obtenidos son muy altos, por lo que llego a la conclusión de que este problema tiene un defecto, el cual puede deberse a la curva de la bomba, ya que claramente puedo observar que en la ecuación de la bomba, el termino independiente es el valor con mas jerarquía para la Cabeza de Bomba, es por eso que la cabeza de bomba sale tan alto, por ende las perdidas menores obtienen un valor elevado también. Puedo concluir que el fabricante ha proporcionado una curva de bomba, con defectos y errores.
Problema 5.23 En la red matriz del sistema de distribución de agua potable del sistema de agua de Pereira, Colombia, se tiene el sistema en paralelo mostrado en la Figura P.5.23. El caudal total que debe pasar por este es de 254.3 l/s y la presión en el nodo inicial es de 343 kPa. El material de ambas tuberías es asbesto-cemento. ¿Cuál es la presión en el nodo final? ¿Cuáles son los caudales por cada tubería?
d=250mm L=263m km=7.6 A 2
1
254.3 l/s
B d=300mm L=277m km=7.4 Datos Características de la tubería A Diámetro:
d A = 250mm = 0.25m Longitud:
L A = 263m Rugosidad absoluta (Anexo 1, pagina 140): k s = 0.03mm = 0.00003m
254.3 l/s
Coeficiente global de perdidas menores: ∑k mA = 7.6 Características de la tubería B Diámetro:
d B = 300mm = 0.3m Longitud:
LB = 277m Rugosidad absoluta (Anexo 1, pagina 140): k s = 0.03mm = 0.00003m
Coeficiente global de perdidas menores:
∑k mB = 7.4 Características del flujo Caudal total: 3
QT = 254.3 l = 0.2543 m s s Características topográficas según un plano de referencia El plano de referencia pasa por las bases de las tuberías. Altura inicial (Nodo 1):
z1 = 0 Altura final (Nodo 2):
z2 = 0 Características del fluido (Agua a 15 ºC) Densidad (Pagina 294):
ρ = 999.1 kg
m3
Viscosidad dinámica (Pagina 294):
µ =1.14 x10 −3 Pa ⋅ s Características del diseño Presión inicial (Nodo 1):
P1 = 343kPa = 343000 Pa Solución Viscosidad cinemática:
υ=
2 µ 1.14 x10 −3 = = 1.141x10 −6 m s ρ 999.1
Tubería A Comenzamos por resolver el recorrido de la tubería que va del nodo 1 al 2.
Distribuimos el caudal total (Formula 5.31, pagina 279) tenemos: 5
5 2 0 . 25 LA 263 m3 ( ) Q A = QT = 0 . 2543 = 0 . 1002 5 5 5 s n di 2 0.25 2 0.3 2 + ∑i=1 L 263 277 i
dA
2
Entonces ingresamos todos los datos que se tienen de la tubería A en la hoja de Excel modificada para el cálculo de la potencia. Esta hoja trabaja en función de la ecuación general de la conservación de la energía. 2
z1 +
2
P1 V1 P V + + H añadida − H extraida − h f 1−2 − ∑ hm = z 2 + 2 + 2 ρg 2 g ρg 2 g
Y obtenemos como resultado la altura añadida. 2
H añadida = z 2 +
2
P2 V2 P V + − z1 − 1 − 1 + H extraida + h f 1−2 + ∑ hm ρg 2 g ρg 2 g
z1 y z 2 son alturas potenciales de los nodos 1 y 2 respectivamente, que como indicamos anteriormente ambos son 0. Como se trata de una sola tubería la velocidad al inicio, durante todo su recorrido y al final será la misma, por eso da lo mismo suponer que las velocidades las ingresemos como 0 u otro cualquier valor ya que en la ecuación de la energía se anularan por ser iguales. 2
2
V1 V − 2 =0 2g 2g No existe ninguna turbina. H extraida = 0
La ecuación de la energía se redujo. H añadida =
P2 P − 1 + h f 1−2 + ∑ hm ρg ρg
En la hoja de cálculo también debemos ingresar la presión final (Nodo 2), pero como es un dato que nos piden y es obvio que no lo conocemos, lo incluiremos como parte del resultado. H añadida −
P2 P = − 1 + h f 1−2 + ∑ hm ρg ρg
Al hacer esto podemos ingresar el valor de la presión 2 como 0 y el resultado que nos dará la hoja de cálculo es el valor de la altura añadida que en realidad será la altura añadida menos la altura de presión 2. H añadida −
P2 = H añadida ρg
Y esto es concordante con nuestra suposición ya que el valor de la altura de presión 2 es cero porque supusimos que la presión 2 es 0. Entonces tenemos todos los valores para ingresarlos en la hoja de cálculo. Ver: Calculo de la potencia para tuberías simples – Problema 5.23.xls. Resuelto esto tenemos el valor de la altura añadida:
H añadida = −30.067 m
Igualamos a la suposición anterior y tenemos que: H añadida −
P2 = −30.067 m ρg
Pero si vemos la tubería A, no vemos indicios de ninguna bomba que aporte energía, por ende la altura añadida es 0, de esto queda: −
P2
ρg
= −30.067
Resolviendo, hallamos la presión en el nodo 2.
P2 = ( 30.067 ) ρg = ( 30.067 )( 999.1)( 9.81) = 294691.809 Pa
Tubería B Para la siguiente tubería que también va del nudo 1 a 2, tenemos que ingresar los valores que pide la hoja de cálculo modificada para la comprobación de diseño. Todos los valores excepto los de la velocidad están descritos, pero como indicamos anteriormente al resolver la ecuación de la conservación de la energía se anularan por tratarse de la misma tubería. Ver: Comprobación de diseño de tuberías simples – Problema 5.23.xls. Entonces el caudal que pasa por la tubería B es:
QB = 0.1535 m
3
s
Todo este proceso es el resultado de la primera iteración, entonces comprobaremos el caudal total hallado hasta ahora, que es la suma de todos los caudales calculados (Formula, pagina 279). n
QT = ∑ Qi = Q A + QB = 0.1002 + 0.1535 = 0.2537 m ∗
i =1
3
s
En teoría este caudal debería ser igual al caudal total indicado como dato inicial en el problema. ∗
QT = QT ⇒ 0.2543 ≈ 0.2537
Era de suponerse que no coincidirían ya que el caudal de A fue supuesto, pero si analizamos el resultado vemos que varia en un 0.24% y para ser la primera iteración es un error muy aceptable. Entonces los resultados son: Presión en el nudo 2:
P2 = 294691.809 Pa Caudal de la tubería A:
Q A = 0.1002 m
3
s
= 100.2 l
s
Caudal en la tubería B:
QB = 0.1535 m Conclusión
3
s
= 153.5 l
s
Vemos que todo el proceso da resultados aproximados, si se hubiese querido tener resultados mas precisos se aplicaba la corrección al caudal de la tubería A (Formula 5.32, pagina 279). Q Ak +1 = Q Ak
QT QT
∗
Y con este nuevo caudal de la tubería A procedíamos de la misma manera y comprobamos más iteraciones hasta que la diferencia de caudales totales satisfaga un error indicado. QT
∗
−QT ≤E
Problema 5.26 Resuelva el ejemplo 5.8 teniendo en cuenta que la nueva longitud de la tubería se aumenta a 185 m. En la planta de tratamiento de aguas residuales de Ubaté, la tubería de descarga al rio Suta, tiene un diámetro de 300 mm, está elaborada en hierro galvanizado (Ks=0.15 mm), tiene una longitud de 185 m, y un coeficiente de perdidas menores de 3.3. La altura en el nodo de entrada es de 2.7 m, y la del nodo de salida es de 0.5 m. Bajo estas condiciones, el caudal máximo que puede fluir por la tubería es de 138.5 L/s. Por razones de crecimiento de la industria lechera del municipio, el caudal total que debe ser tratado aumenta a 224.2 L/s. ¿Qué diámetro deberá tener una tubería paralela a la primera, si el material es PVC? ¿Cuál es la nueva presión en el nodo de salida? La longitud y el coeficiente global de perdidas menores de la nueva tubería son iguales a los de la tubería existente. La temperatura del agua es 14 °C. Datos d = 300 mm Ks = 0.15E-3 m L = 185 Km = 3.3 Qmax=138.5 L/s Q = 224.2 L/s d 2 =¿? Ks = 0.0015E-3 m P =¿? Q1 = Qd – Q2 Q1 = 224.2 – 138.5 Q1 = 85.7 L/s CARACTERÍSTICAS DE LAS TUBERÍAS
TUBERÍA 1
Tubería
1
2
L
m
185
185
D
m
0.3
0.3000
Ks
m
1.50E-06
1.50E-06
Km
-
Q
m³/s m²
3.3
3.3
0.137
0.087
0.045
0.045
hfi+1
hf
d
d
v
A
Q
hm
(m)
(in)
(m)
(m/s)
m2
(m3/s)
(m)
(m)
(SI/NO)
2.200
11.8
0.3000
2.337
0.071
0.165
0.918
1.282
No
1.282
11.8
0.3000
1.738
0.071
0.123
0.508
1.692
No
1.692
11.8
0.3000
2.024
0.071
0.143
0.689
1.511
No
1.511
11.8
0.3000
1.902
0.071
0.134
0.608
1.592
No
1.592
11.8
0.3000
1.957
0.071
0.138
0.644
1.556
No
1.556
11.8
0.3000
1.933
0.071
0.137
0.628
1.572
No
1.572
11.8
0.3000
1.943
0.071
0.137
0.635
1.565
No
1.565
11.8
0.3000
1.939
0.071
0.137
0.632
1.568
No
1.568
11.8
0.3000
1.941
0.071
0.137
0.634
1.566
No
1.566
11.8
0.3000
1.940
0.071
0.137
0.633
1.567
No
1.567
11.8
0.3000
1.940
0.071
0.137
0.633
1.567
No
1.567
11.8
0.3000
1.940
0.071
0.137
0.633
1.567
1.567
11.8
0.3000
1.940
0.071
0.137
0.633
1.567
No Sí
hm
hfi+1
(m)
(m)
(SI/NO)
0.725
1.475
No
Sí
0.918
1.282
No
Sí
0.508
1.692
No
0.143
Sí
0.689
1.511
No
0.071
0.134
Sí
0.608
1.592
No
1.957
0.071
0.138
Sí
0.644
1.556
No
0.3000
1.933
0.071
0.137
Sí
0.628
1.572
No
11.8
0.3000
1.943
0.071
0.137
Sí
0.635
1.565
No
1.565
11.8
0.3000
1.939
0.071
0.137
Sí
0.632
1.568
No
1.568
11.8
0.3000
1.941
0.071
0.137
Sí
0.634
1.566
1.566
11.8
0.3000
1.940
0.071
0.137
Sí
0.633
1.567
No No
hf
d
d
v
A
(m)
(in)
(m)
(m/s)
m2
Q
Q>=Qd
2.200
3.9
0.1000
1.132
0.008
0.009
No
2.200
5.9
0.1500
1.485
0.018
0.026
No
2.200
7.9
0.2000
1.795
0.031
0.056
No
2.200
9.8
0.2500
2.076
0.049
0.102
Sí
1.475
9.8
0.2500
1.667
0.049
0.082
No
2.200
11.8
0.3000
2.337
0.071
0.165
1.282
11.8
0.3000
1.738
0.071
0.123
1.692
11.8
0.3000
2.024
0.071
1.511
11.8
0.3000
1.902
1.592
11.8
0.3000
1.556
11.8
1.572
(m3/s) (SI/NO)
hfi+1
hf
d
d
v
A
Q
hm
(m)
(in)
(m)
(m/s)
m2
(m3/s)
(m)
(m)
(SI/NO)
1.505
11.8
0.3000
1.898
0.071
0.134
0.606
0.899
No
0.899
11.8
0.3000
1.430
0.071
0.101
0.344
1.161
No
1.161
11.8
0.3000
1.646
0.071
0.116
0.455
1.049
No
1.049
11.8
0.3000
1.557
0.071
0.110
0.408
1.097
No
1.097
11.8
0.3000
1.595
0.071
0.113
0.428
1.077
No
1.077
11.8
0.3000
1.579
0.071
0.112
0.419
1.085
No
1.085
11.8
0.3000
1.586
0.071
0.112
0.423
1.082
No
1.082
11.8
0.3000
1.583
0.071
0.112
0.421
1.083
No
1.083
11.8
0.3000
1.584
0.071
0.112
0.422
1.082
1.082
11.8
0.3000
1.584
0.071
0.112
0.422
1.083
No No
Q
(m3/s)
Re
v
f
f
hfi
hm
Hr
(m/s)
(-)
(-)
(m)
(m)
(m)
0.1121
406639
1.5859
0.0150
0.0136
1.0717
0.4230
1.4948
0.1121
406639
1.5859
0.0136
0.0137
1.0827
0.4230
1.5057
0.1121
406639
1.5859
0.0137
0.0137
1.0816
0.4230
1.5046
RESULTADOS D1
0.3000
Q1
0.1122 m3/s
D2
0.3000
Q2
0.1120 m3/s
Discusión: En el caso de ampliaciones a tuberías existentes, para las cuales es normal el uso de una nueva tubería en paralelo, es importante tener siempre en cuenta que la nueva tubería va a afectar las condiciones hidráulicas de operación de la tubería existente, de tal forma que el caudal por esta ultima disminuye una vez entre en operación el refuerzo. Esta afectación existe también en otros sistemas de tuberías, tales como las redes de distribución de agua potable, las redes contra incendios, y las redes de riego. Entenderla y calcularla permitiría detectar cual es la tubería que debe reforzarse en el sistema para tener mayor efecto hidráulico, buscando aumentar la capacidad del sistema existente. Problema 6.25 La red planteada en la figura, muestra el sistema primario del sistema de abastecimiento de agua potable de una ciudad hipotética. Los datos requeridos para el diseño son los siguientes: QD1= 360 L/s QD2=190 L/s Z1= 2640 msnm Z2=2635 msnm Z3=2610 msnm Los datos correspondientes a cada una de las tuberias que conforman la red abierta son: Tubo 1-U U-2 U-3
Longitud Material (m) 1350 Concreto 2450 Concreto 1710 Concreto
Ks (m) 0.0003 0.0003 0.0003
Km (m) 6.4 7.1 4.2
Tres alternativas son posibles para la bomba: - Bomba 1. Produce una altura piezométrica de 10 m, para un caudal de 360 L/s - Bomba 2. Produce una altura piezométrica de 50 m, para un caudal de 360 L/s. - No colocar bomba. CARACTERÍSTICAS DE LOS EMBALSES Embalse
1
LGH
m
QL
m3/s
2 40
3 35
10
0.36
0.19
CARACT. DE LAS UNIONES Uniones
1
Z inicial
m
QL
m3/s
38 0
CARACTERÍSTICAS DE LAS TUBERÍAS Tubería
1
2
3
L
m
1350
2450
1710
D
m
0.4572
0.1524
0.1524
Ks
m
1.50E-06
1.50E-06
1.50E-06
Km
-
6.4
7.1
4.2
Nodo Inicial -
E1
U1
U1
Nodo Final
-
U1
E2
E3
QD
m³/s
0
0.36
0.19
Resultados Tubería 1
0.152 m
Tubería 2
0.762 m
Tubería 3
0.305 m
Resultado final Tuberia 2
6 in 30 in
Tuberia 3
12 in
Tuberia 1
Discusión: Una vez finalizado el diseño de las tuberías del sistema, utilizando una bomba en particular, en necesario verificar que su localización no implique presiones en la succión inferiores a la NPSH requerido por el fabricante.
