Problemas del capítulo 7 7-14 La corporación Electrocomp La corporación Electrocomp fabrica dos productos eléctricos: acondicionadores de aire y ventiladores de gran tamaño. El proceso de ensamblado para cada uno es similar en tanto que requieren una cierta cantidad de cableado y de perforación. Cada acondicionador de aire tarda 3 horas de cableado y 2 horas de perforación. Cada ventilador tiene que pasar por 2 horas de cableado y 1 hora de perforación. En el siguiente periodo de producción, están disponibles 240 horas de tiempo de cableado y hasta 140 horas de tiempo de perforación que se pueden utilizar. Cada aparato de acondicionador de aire vendido genera una utilidad de $25. Cada ventilador ensamblado se puede vender con una utilidad de $15. Formule y resuelva esta situación de la mezcla producción de PL para encontrar la mejor combinación de acondicionadores de aire y ventiladores que genera la mayor utilidad. Use el método gráfico de punto esquina. •
Variables:
X1= cantidad de acondicionadores de aire X2= cantidad de ventiladores •
Función Objetivo:
Maximizar: Z=25X1+15X2 Restricciones: 3X1+2X2 ≤ 240 2X1+X2
≤140
7-15 La gerencia de Electrocomp La gerencia de Electrocomp se da cuenta que olvidó incluir dos restricciones fundamentales (véase el problema 7-14). En particular, la gerencia decide que debería haber un número mínimo de equipos de acondi cionador de aire producidos con la finalidad de cumplir un contrato. Además, debido a un exceso de oferta de ventiladores en el periodo anterior, se debería poner un límite en el número total de ventiladores producidos.
a) Si Electrocomp decide que se deberían fabricar por lo menos 20 acondicionadores de aire, pero no más de 80 ventiladores, ¿cuál sería la solución óptima? ¿Cuánta holgura hay para cada una de las cuatro restricciones? b) Si Electrocomp decide que se deberían fabricar por lo menos 30 acondicionadores de aire, pero no más de 50 ventiladores, ¿cuál sería la solución óptima? ¿Cuánta holgura hay en cada una de las cuatro restricciones en la solución óptima? Problema (a) •
Variables:
X1= cantidad de acondicionadores de aire X2= cantidad de ventiladores •
Función Objetivo:
Maximizar: Z=25X1+15X2 Restricciones: 3X1+2X2 ≤ 240 2X1+X2 X1≥20 X2≤80
≤140
Problema (b) •
Variables:
X1= cantidad de acondicionadores de aire X2= cantidad de ventiladores •
Función Objetivo:
Maximizar: Z=25X1+15X2 Restricciones: 3X1+2X2 ≤ 240 2X1+X2 X1≥30 X2≤50
≤140
7-16 El candidato a la alcaldía en un pequeño pueblo El candidato a la alcaldía en un pequeño pueblo asignó $40,000 para propaganda de último minuto en los días anteriores a la elección. Se utilizarán dos tipos de anuncios: radio y televisión. Cada anuncio de radio cuesta $200 y llega a unas 3,000 personas. Cada anuncio de televisión cuesta $500 y llega a un estimado de 7,000 personas. En la planeación de la campaña de propaganda, la jefa de la campaña quiere llegar a tantas personas como sea posible, aunque ha establecido que se deben utilizar al menos 10 anuncios de cada tipo. Asimismo, el número de
anuncios de radio debe ser al menos tan grande como el número de anuncios de televisión. ¿Cuántos anuncios de cada tipo se deberían utilizar? ¿A cuántas personas llegarán? •
Variables
X1= cantidad de anuncios de radio. X2= Cantidad de anuncios de televisión. •
Función Objetivo:
Maximizar: Z= 3000X1+7000X2 Restricciones: 200X1+500X2 ≤ 40,000 X1 ≥ 10 X2 ≥ 10 X1-X2 ≥ 0
7-17 La corporación Outdoor Furniture La corporación Outdoor Furniture fabrica dos productos, bancos y mesas de picnic, para su uso en jardines y parques. La empresa cuenta con dos recursos principales: sus carpinteros (mano de obra) y el suministro de madera de secoya para fabricar muebles. Durante el siguiente ciclo de producción están disponibles 1,200 horas de mano de obra de acuerdo con el sindicato. La empresa también cuenta con un inventario de 3,500 pies de secoya de buena calidad. Cada banco que produce Outdoor Furniture requiere de 4 horas de mano de obra y de 10 pies de secoya, en tanto que cada mesa de picnic toma 6 horas de mano de obra y 35 pies de secoya. Los bancos terminados darán una utilidad de $9 cada uno; y las mesas una utilidad de $20 cada una. ¿Cuántos bancos y mesas deberían fabricar Outdoor Furniture para obtener la mayor utilidad posible? Utilice el método gráfico de la PL. •
Variables
X1= cantidad de bancos. X2= cantidad de mesas de picnic. •
Función Objetivo:
Maximizar:
Z= 9X1+ 20X2 Restricciones: 4X1+6X2 ≤ 1,200 10X1+35X2 ≤ 3,500
7-18 El decano del Western College of Business El decano del Western College of Business debe planear la oferta de cursos de la escuela para el semestre de otoño. Las demandas de los estudiantes hacen que sea necesario ofrecer un mínimo de 30 cursos de licenciatura y 20 de posgrado durante el semestre. Los contratos de los profesores también dictan que se ofrezcan al menos 60 cursos en total. Cada curso de licenciatura impartido cuesta a la universidad un promedio de $2,500 en salarios de docentes, y cada curso de posgrado cuesta $3,000. ¿Cuántos cursos de licenciatura y posgrado se deberían impartir en otoño, de manera que los salarios totales del profesorado se reduzcan al mínimo? •
Variables:
X1= cantidad de cursos de licenciatura. X2= cantidad de cursos de posgrado. •
Función Objetivo:
Minimizar: Z= 2500X1+ 3000X2 •
Restricciones:
X1 ≥ 30
X2 ≥ 20 X1+ X2 ≥ 60
7-19 La corporación MSA Computer La corporación MSA Computer fabrica dos modelos de minicomputadoras, Alpha 4 y Beta 5. La empresa contrata a cinco técnicos, que trabajan 160 horas cada mes, en su línea de ensamble. La gerencia insiste en que se mantenga pleno empleo (es decir, las 160 horas de tiempo) para cada trabajador durante las operaciones del siguiente mes. Se requiere 20 horas de trabajo para ensamblar cada equipo Alpha 4 y 25 horas de trabajo para ensamblar cada modelo Beta 5. MSA desea producir al menos 10 Alfa 4 y por lo menos 15 Beta 5 durante el periodo de producción. Las Alfa 4 generan $1,200 de utilidad por unidad, y las Beta 5 producen $1,800 cada una. Determine el número más rentable de cada modelo de minicomputadora que se debe producir durante el próximo mes. •
Variables:
X1= cantidad de minicomputadoras ¨Alpha 4¨ X2= cantidad de minicomputadoras ¨Beta 5¨ •
Función Objetivo:
Maximizar: Z= 1200x1+ 1800 X2 •
Restricciones:
20X1+ 25X2 ≤ 800 X1 ≥10 X2 ≥15
7-20 El ganador de la lotería de Texas El ganador de la lotería de Texas ha decidido invertir $50,000 al año en el mercado de valores. Piensa adquirir acciones de una empresa petroquímica y de una compañía de servicios públicos. Aunque una meta a largo plazo es obtener el
mayor rendimiento posible, está considerando el riesgo que implica la compra de las acciones. Un índice de riesgo en una escala de 1-10 (donde 10 es el más riesgoso) se asigna a cada una de las dos acciones. El riesgo total del portafolios se encuentra al multiplicar el riesgo de cada una de las acciones por el dinero invertido en esa acción. La siguiente tabla proporciona un resumen de la rentabilidad y el riesgo:
El inversionista quiere maximizar el rendimiento sobre la inversión, pero el índice de riesgo promedio de la inversión no debería ser mayor a 6. ¿Cuánto debería invertir en cada acción? ¿Cuál es el riesgo promedio de esta inversión? ¿Cuál es el rendimiento estimado de esta inversión? •
Variables:
X1= Cantidad de dinero invertido en acciones de Petroquímica. X2= Cantidad de dinero invertido en acciones de Servicios Públicos. Función Objetivo: Maximizar: Z= 0.12X1 + 0.06X2 Restricciones: X1+ X2= 50000 9X1+4X2 ≤ 6(50000)
7-21 Con referencia a la situación de la lotería de Texas
Con referencia a la situación de la lotería de Texas del problema 7-20, supongamos que el inversionista ha cambiado su actitud respecto a la inversión y desea considerar más el riesgo de la inversión. Ahora el inversionista desea minimizar el riesgo de la inversión, siempre y cuando se genere al menos 8% de rendimiento. Formule esto como un problema de PL y encuentre la solución óptima. ¿Cuánto se debería invertir en cada acción? ¿Cuál es el riesgo promedio de esta inversión? ¿Cuál es el rendimiento estimado de esta inversión? •
Variables:
X1= Cantidad de dinero invertido en acciones de Petroquímica. X2= Cantidad de dinero invertido en acciones de Servicios Públicos. Función Objetivo: Minimizar: Z= 9X1 + 4X2 Restricciones: X1 +X2= 50000 0.12X1 +0.06X2 ≥ 4000
7-22 Resuelva el siguiente problema de PL utilizando el método gráfico del punto esquina. En la solución óptima, calcule la holgura para cada restricción:
7-23 Considere esta formulación de PL:
Muestre gráficamente la región factible y aplique el procedimiento de la recta de isocosto, para indicar qué punto esquina genera la solución óptima. ¿Cuál es el costo de esta solución? 7-24 La casa de bolsa Blank, Leibowitz and Weinberger La casa de bolsa Blank, Leibowitz and Weinberger analizó y recomendó dos acciones a un club de inversionistas de profesores de la universidad. Los profesores estaban interesados en factores tales como el crecimiento a corto plazo, el crecimiento intermedio y las tasas de dividendos. Los datos de cada acción son los siguientes:
Cada miembro del club tiene una meta de inversión de: 1. una ganancia de no menos de $720 a corto plazo, 2. una ganancia de al menos $5,000 en los siguientes tres años, y 3. un ingreso por dividendos de al menos $200 anuales. ¿Cuál es la inversión más pequeña que puede hacer un profesor para alcanzar estas tres metas? •
Variables:
X1= Cantidad de dinero invertido en acciones de Louisiana Gas. X2= Cantidad de dinero invertido en acciones de Trimex Insulation. Función Objetivo: Minimizar: Z= X1 + X2 Restricciones: 0.36X1 +0.24X2 ≥ 720 1.67X1 +1.50X2 ≥ 5000
0.04X1 + 0.08X2 ≥ 200 X1;X2 ≥ 0
7-25 Woofer Pet Foods Woofer Pet Foods elabora un alimento bajo en calorías para perros con condición de sobrepeso. Este producto está hecho con productos de carne y granos. Cada libra de carne cuesta $0.90, y cada libra de grano cuesta $0.60. Una libra de alimento para perro debe contener al menos 9 unidades de vitamina 1 y 10 unidades de vitamina 2. Una libra de carne de res contiene 10 unidades de vitamina 1 y 12 unidades de vitamina 2. Una libra de grano tiene 6 unidades de vitamina 1 y 9 unidades de vitamina 2. Formule este como un problema de PL para minimizar el costo del alimento para perro. ¿Cuántas libras de carne y de granos se deberían incluir en cada libra de alimento para perro? ¿Cuáles son el costo y el contenido de vitaminas del producto final? •
Variables:
X1= cantidad de libras de carne X2= cantidad de libras de grano •
Función Objetivo:
Minimizar : Z= 0.90 X1 + 0.60 X2 •
Restricciones:
X1 +X2=1
10X1+6X2 ≥9 12X1+9X2 ≥10
7-26 El rendimiento estacional de las aceitunas de un viñedo de Pireo,
El rendimiento estacional de las aceitunas de un viñedo de Pireo, Grecia, está muy influido por el proceso de la poda de las ramas. Si los olivos se podan cada dos se manas, la producción aumenta. Sin embargo, el proceso de poda requiere considerablemente más mano de obra que permitir que los olivos crezcan por sí mismos y den como resultado una aceituna de menor tamaño. También, permitiría que los olivos estén más cercanos. La producción de 1 barril de aceitunas mediante la poda requiere 5 horas de trabajo y un acre de terreno. La producción de 1 barril de aceitunas por el proceso normal requiere tan solo 2 horas de trabajo, pero 2 acres de terreno. Un oleicultor dispone de 250 horas de mano de obra y un total de 150 acres para el cultivo. Debido a la diferencia de tamaño, 1 barril de aceitunas producidas en los árboles podados se vende por $20, mientras que un barril de aceitunas regulares tiene un precio de mercado de $30. El oleicultor ha determinado que, debido a la incertidumbre de la demanda, se deben producir no más de 40 barriles de aceitunas de árboles podados. Use la PL gráfica para encontrar a) la utilidad máxima posible. b) la mejor combinación de barriles de aceitunas de árboles podados y no podados. c) el número de acres que el oleicultor debería dedicar a cada proceso de crecimiento. •
Variables:
X1= Barriles de aceitunas proceso de poda. X2= Barriles de aceitunas proceso normal (No podados). •
Función Objetivo:
Maximizar: Z= 20X1 +30X2 •
Restricciones:
5X1+2X2 ≤ 250 X1 + 2X2 ≤ 150 X1 ≤ 40 Programación Entera7-26
Programación Lineal Q/M 7-26
7-27 Considere las siguientes cuatro formulaciones de PL. Usando un método gráfico, determine a) b) c) d)
que formulación tiene más de una solución óptima. que formulación es no acotada. que formulación no tiene una solución factible. que formulación es correcta como está.
7-28 Grafique el siguiente problema de PL e indique el punto de solución óptima: a) ¿Cambiaría la solución óptima si la utilidad por unidad de X cambia a $4.50? b) ¿Qué sucede si la función de utilidad hubiera sido
7-29 Gráficamente analice el siguiente problema:
a) ¿Cuál es la solución óptima? b) Si la primera restricción se modifica como X + 3Y ≤ 8, ¿cambiarían la región factible o la solución óptima? 7-30 Examine la formulación de PL en el problema 7-29. La segunda restricción del problema indica: 6X + 4Y ≤ 24 horas (tiempo disponible en la máquina 2) Si la empresa decide que 36 horas de tiempo pueden estar disponibles en la máquina 2 (es decir, 12 horas adicionales) a un costo adicional de $10, ¿deberían agregar horas? 7-31 Considere el siguiente problema de PL:
a) ¿Cuál es la solución óptima para este problema? Resuélvalo gráficamente. b) Si se produjo un gran avance técnico que elevó la utilidad por unidad de X a $8, ¿afectaría esto la solución óptima? c) En vez de un aumento en el coeficiente de utilidad X a $ 8, suponga que la utilidad se sobreestimó y tan solo debería haber sido de $3. ¿Cambia esto la solución óptima? 7-32 Considere la formulación de PL dada en el problema 7.31. Si la segunda restricción se cambia de 2X + 3Y ≤ 240 a 2X ≤ 4Y ≤ 240, ¿qué efecto tendrá este cambio en la solución óptima? 7-33 El resultado de computadora que se presenta a continuación es para el problema 7.31. Úselo para contestar las siguientes preguntas. a) ¿Cuánto podría aumentar o disminuir la utilidad de X, sin necesidad de cambiar los valores de X y de Y en la solución óptima? b) Si el lado derecho de la restricción 1 se aumentara en 1 unidad, ¿cuánto aumentaría la utilidad? c) Si el lado derecho de la restricción 1 se aumentara en 10 unidades, ¿cuánto aumentaría la utilidad?
7-34 Los resultados por computadora que se muestran en la siguiente página son de un problema de mezcla de productos donde hay dos productos y tres
restricciones de recursos. Utilice tales resultados para ayudarle a responder las siguientes preguntas. Suponga que desea maximizar las utilidades en cada caso. a) ¿Cuántas unidades del producto 1 y del producto 2 se deberían producir? b) ¿Cuánto de cada uno de los tres recursos se está utilizando? ¿Cuánta holgura hay en cada restricción? ¿Cuáles restricciones son obligatorias, y cuáles no son obligatorias? c) ¿Cuáles son los precios duales para cada recurso? d) Si se pudiera obtener más de uno de los recursos, ¿cuál debería obtener? ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por esto? e) ¿Qué le pasaría a la utilidad sí, con los resultados originales, la gerencia decidiera elaborar una unidad más del producto 2?
7-35 Resuelva gráficamente el siguiente problema:
a) ¿Cuál es la solución óptima? b) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a 11 (en vez de 10) y resuelva el problema. ¿Cuánto aumenta la utilidad como consecuencia de esto? c) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a 6 (en vez de 10) y resuelva el problema. ¿Cuánto disminuyen las utilidades como resultado de esto? Examine la gráfica, ¿qué sucedería si el valor del lado derecho se reduce por debajo de 6?
d) Cambie el valor del lado derecho de la restricción 1 a 5 (en vez de 10) y resuelva el problema. ¿Cuánto disminuye la utilidad con respecto a la utilidad original como resultado de esto? e) Utilizando los resultados por computadora de esta página, ¿cuál es el precio dual de la restricción 1? ¿Cuál es su límite inferior? f) ¿Qué conclusiones se obtienen de estos resultados con respecto a los límites de los valores del lado derecho y al precio dual?
7-36 Serendipity* Serendipity* Los tres príncipes de Serendip hicieron un pequeño viaje. No podían llevar mucho peso; más de 300 libras los hicieron dudar. Planearon llevar pequeñas cantidades. Cuando regresaron a Ceilán descubrieron que sus provisiones estaban a punto de desaparecer cuando, para su alegría, el príncipe William encontró un montón de cocos en el suelo. “Cada uno aportará 60 rupias”, dijo el príncipe Richard con una sonrisa. Como casi se tropieza con una piel de león. “¡Cuidado!”, grito el príncipe Robert con alegría cuando observó más pieles de león debajo de un árbol. “Estas valen aún más: 300 rupias cada una. Si tan solo pudiéramos llevarlas todas a la playa”. Cada piel pesaba quince libras y cada coco cinco, pero cargaron todo y lo hicieron con ánimo. El barco para regresar a la isla era muy pequeño 15 pies cúbicos de capacidad de equipaje, eso era todo. Cada piel de león ocupó un pie cúbico mientras que ocho cocos ocupaban el mismo espacio. Con todo guardado se hicieron a la mar y en el trayecto calculaban lo que su nueva riqueza podría ser. “¡Eureka!”, gritó el príncipe Robert, “Nuestra riqueza es tan grande que
no hay otra forma de regresar en este estado. Cualquier otra piel o coco que pudiéramos haber traído ahora nos harían más pobres. Y ahora sé que voy a escribir, a mi amigo Horacio, en Inglaterra, porque seguramente tan solo él puede apreciar nuestro serendipity”. Formule y resuelva Serendipity con PL gráfica para calcular “cuál podría ser su nueva riqueza”. •
Variables:
X1= cantidad de cocos X2= cantidad de pieles de león •
Función Objetivo:
Z= 60 X1 + 300X2
8 cocos 1 piel 1coco
?
N coco= (1cocox 1piel)/8 cocos 0.125
•
Sujeta a Restricciones:
5X1 + 15X2 ≤ 300 0.125 X1 + X2≤ 15
7-37 A Inversiones Bhavika A Inversiones Bhavika, un grupo de asesores financieros y planeadores de jubilación, se le ha pedido que aconseje a uno de sus clientes cómo invertir $200,000. El cliente ha estipulado que el dinero se debe poner en cualquier fondo
de acciones o de mercado monetario, y que el rendimiento anual debería ser de al menos de $14,000. También se le han especificado otras condiciones relacionadas con el riesgo, y se desarrolló el siguiente programa lineal para ayudar con esta decisión de inversión.
En la parte inferior se muestran los resultados en QM para Windows. a) ¿Cuánto dinero se debería invertir en el fondo del mercado monetario y en el fondo de acciones? ¿Cuál es el riesgo total? b) ¿Cuál es el rendimiento total? ¿Qué tasa de rendimiento es esta? c) ¿Cambiaría la solución si la medida de riesgo de cada dólar en el fondo de acciones fuera de 14 en vez de 12? d) Por cada dólar adicional que está disponible, ¿cuál es el cambio en el riesgo? e) ¿Podría cambiar la solución si la cantidad que se deba invertir en el fondo del mercado monetario cambiara de $40,000 a $50,000?
7-38 Consulte el caso de Inversiones Bhavika (problema 7-37), una vez más. Se ha decidido que, en vez de minimizar el riesgo, el objetivo debería ser maximizar el rendimiento, haciendo una restricción a la cantidad del riesgo. El riesgo promedio no debería ser de más de 11 (con un riesgo total de 2,200,000 de los $200,000 invertidos). Se reformuló el programa lineal, y los resultados QM para Windows se muestran en la siguiente página. a) ¿Cuánto dinero se debería invertir en el fondo del mercado monetario y en el fondo de acciones? ¿Cuál es el rendimiento total? ¿Qué tasa de rendimiento es esta? b) ¿Cuál es el riesgo total? ¿Cuál es el riesgo promedio? c) ¿Cambiaría la solución, si el rendimiento por cada dólar en el fondo de acciones fuera de 0.09 en vez de 0.10? d) Por cada dólar adicional que está disponible, ¿cuál es la tasa de rendimiento marginal? e) ¿Cuál sería el cambio de la rentabilidad total, si la cantidad que se debe invertir en el fondo del mercado monetario cambiara de $40,000 a $50,000?
7-39 El rancho Feed ‘N Ship El rancho Feed ‘N Ship engorda ganado para los granjeros locales y lo envía a los mercados de carne en Kansas City y Omaha. Los propietarios del rancho intentan determinar las cantidades de alimento para el ganado a comprar, de manera que se satisfagan los estándares nutricionales mínimos y, al mismo tiempo, se reduzcan al mínimo los costos totales de alimentación. La mezcla de alimentos puede estar formada por tres granos que contienen los siguientes ingredientes por libra de alimento:
El costo por libra de las mezclas X, Y y Z es de $2, $4 y $2.50, respectivamente. El requerimiento mensual mínimo por vaca es de 4 libras del ingrediente A, 5 libras del ingrediente B, 1 libra de ingrediente C y 8 libras de ingrediente D. El rancho enfrenta una restricción adicional: tan solo puede obtener 500 libras mensuales de la mezcla Z del proveedor de alimento, independientemente de su necesidad. Como en general hay 100 vacas en el rancho Feed ‘N Ship en un momento dado, esto significa que no se pueden contar con más de 5 libras de la mezcla Z para su uso en la alimentación mensual de cada vaca. a) Formule esto como un problema de PL. b) Resuelva usando software de PL.
7-40 La corporación de Weinberger Electronics La corporación de Weinberger Electronics fabrica cuatro productos muy avanzados que vende a empresas aeroespaciales que tienen contratos con la NASA. Cada uno de los productos debe pasar por los siguientes departamentos
antes de que se envíen: cableado, perforación, ensamble e inspección. El requerimiento de tiempo en horas para cada unidad producida y su correspondiente valor de utilidad se resumen la siguiente tabla:
La producción mensual disponible en cada departamento y el requerimiento de producción mínima mensual para cumplir con los contratos son los siguientes:
El gerente de producción tiene la responsabilidad de especificar los niveles de producción de cada producto para el siguiente mes. Ayúdelo a formular (es decir, a establecer las restricciones y la función objetivo) el problema de Weinberger con PL.
7-41 Outdoor Inn, Outdoor Inn, un fabricante de equipo para campamento en el sur de Utah, está desarrollando un programa de producción para un tipo popular de tienda de campaña, la Doble Inn. Se han recibido 180 pedidos que se entregarán a finales
de este mes, 220 se entregarán a finales del próximo mes, y 240 que se entregarán al final del tercer mes. Esta tienda de campaña se puede fabricar a un costo de $120, y el número máximo de tiendas de campaña que se pueden fabricar en un mes es de 230. La compañía puede fabricar algunas tiendas de campaña extra en un mes y mantenerlas en el almacén hasta el mes siguiente. El costo por mantener estas en el inventario durante 1 mes se estima en $6 por tienda, por cada unidad dejada hasta final del mes. Formule este como un problema de PL para minimizar los costos y, al mismo tiempo, satisfacer la demanda y que no se exceda la capacidad de producción mensual. Resuélvalo utilizando cualquier software. (Sugerencia: Defina las variables que representan el número de tiendas de campaña que quedan a final de cada mes).
7-42 Outdoors Inn Outdoors Inn (véase el problema 7-41) amplió por un periodo más largo sus operaciones de elaborar tiendas de campaña. Aunque aún fabrica la tienda Double Inn, también está haciendo una tienda más grande, la Family Rolls, que tiene cuatro secciones interiores. La compañía puede producir hasta un total mensual combinado de 280 tiendas. La siguiente tabla muestra la demanda que debe cumplir y los costos de producción para los próximos 3 meses. Observe que los costos aumentarán en el mes 2. El costo por mantenimiento para tener una tienda de campaña en el inventario a fines de mes para su uso en el mes siguiente se estima en $6 por tienda Double Inn y $8 por tienda Family Rolls. Desarrolle un programa lineal para minimizar el costo total. Resuélvalo utilizando cualquier software.
7-43 La corporación Modem of America (CMA) es el mayor productor del mundo de dispositivos de comunicación por módem para microcomputadoras. CMA vendió 9,000 del modelo regular y 10,400 del modelo “inteligente” en este mes de septiembre. Su estado de resultados del mes se presenta en la siguiente tabla. Los costos presentados son típicos de meses anteriores y se espera que permanezcan en los mismos niveles en un futuro próximo. La empresa se enfrenta a varias restricciones conforme prepara su plan de producción de noviembre. En primer lugar, ha experimentado una gran demanda y no ha sido capaz de
mantener un inventario significativo en existencia. No se espera que cambie esta situación. En segundo lugar, la empresa está ubicada en un pequeño poblado de Iowa, donde no hay mano de obra adicional disponible. Sin embargo, los trabajadores se pueden alternar de la producción de un módem a otro. Para fabricar los 9,000 módem regulares en septiembre se requirieron 5,000 horas de mano de obra directa. Los 10,400 módem inteligentes absorbieron 10,400 horas de mano de obra directa.
En tercer lugar, CMA está experimentando un problema que afecta el modelo de módem inteligente: su proveedor de componentes tan solo puede garantizar 8,000 microprocesadores para entrega en noviembre. Cada módem inteligente requiere uno de estos microprocesadores de fabricación especial. No hay proveedores alternos disponibles con poca antelación. CMA quiere planear la combinación óptima de los dos modelos de módem para producir en noviembre, con la finalidad de maximizar sus utilidades. a) Usando datos de septiembre, formule el problema a) de CMA como un programa lineal.
b) Resuelva gráficamente el problema. c) Analice las implicaciones de su solución recomendada. 7-44 Trabajando con químicos del Virginia Tech y de la George Washington Universities, el contratista paisajista Kenneth Golding mezcló su propio fertilizante, llamado “Golding-Grow”, el cual consiste en cuatro compuestos químicos: C-30, C92, D-21 y E-11. A continuación se indica el costo por libra de cada compuesto:
Las especificaciones del Golding-Grow son las siguientes: 1. E-11 debe constituir al menos el 15% de la mezcla; 2. C-92 y C-30 en conjunto deben constituir al menos el 45% de la mezcla; 3. D-21 y C-92 en conjunto pueden constituir no más del 30% de la mezcla; y 4. Golding-Grow se empaqueta y se vende en bolsas de 50 libras. a) Formule un problema de programación lineal para determinar qué mezcla de los cuatro productos químicos permitirá a Golding minimizar el costo de una bolsa de 50 libras del fertilizante. b) Resuélvalo usando una computadora para encontrar la mejor solución. 7-45 Raptor Fuels produce tres tipos de gasolina: regular, premium y súper. Todas ellas se producen al mezclar dos tipos de petróleo, crudo A y crudo B. Los dos tipos de crudo contienen ingredientes específicos que ayudan a determinar el octanaje de la gasolina. Los ingredientes importantes y los costos están contenidos en la siguiente tabla:
Con la finalidad de alcanzar el octanaje deseado, al menos 41% de la gasolina regular debería ser del ingrediente 1; al menos 44% de la gasolina premium debe ser del ingrediente 1, y por lo menos 48% de la gasolina súper debe ser del ingrediente 1. Debido a compromisos contractuales vigentes, Raptor Fuels tiene que producir al menos 20,000 galones de regular, al menos 15,000 galones de Premium y al menos 10,000 galones de súper. Formule un programa lineal que se
podría utilizar para determinar la cantidad de crudo A y de crudo B, que se debería utilizar en cada una de las gasolinas, para satisfacer la demanda con el costo mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo? ¿Qué cantidad de crudo A y de crudo B se utiliza 2en cada galón de los diferentes tipos de gasolina?
Problemas del capítulo 8 8-1 (Problema de producción) Winkler Furniture (Problema de producción) Winkler Furniture fabrica dos tipos diferentes de vitrinas para porcelana: un modelo Francés Provincial y un modelo Danés Moderno. Cada vitrina producida debe pasar por tres departamentos: carpintería, pintura y terminado. La tabla que sigue contiene toda la información relevante respecto a tiempos de producción por vitrina y capacidades de producción diarias para cada operación, al igual que el ingreso neto por unidad producida. La empresa tiene un contrato con un distribuidor de Indiana para producir un mínimo de 300 de cada tipo de vitrina por semana (o 60 vitrinas por día). El dueño Bob Winkler quiere determinar una mezcla de productos que maximice su ingreso diario.
a) Formule como un problema de PL. b) Resuelva con un software de PL o una hoja de cálculo.
X1 =número de Francés provincial gabinetes producidos cada día. X2 = número de Danés moderno gabinetes producidos cada día. Maximizar= $28X1 + $25X2 Sujeto a 3X1 + 2X2 ≤ 360 horas (departamento de carpintería) 1.5 X1 + 1X2 ≤ 200 horas (departamento de pinturas)3/4 X1 + 3/4 X2 ≤ 125 horas (departamento de acabado) X1 ≥ 60 Unidades (contrato requerido) X2 ≥ 60 Unidades (contrato requerido) X1, X2 ≥ 0
X1= Produce 60 números de francés provincial X2= Produce 90 números de Danés moderno Ingresos= $3,930 8-2 (Problema de decisión de inversión) La agencia de correduría Heinlein and Krampf (Problema de decisión de inversión) La agencia de correduría Heinlein and Krampf acaba de recibir instrucciones de uno de sus clientes para invertir $250,000 de su dinero obtenido recientemente con la venta de tierras en Ohio. El cliente tiene mucha confianza en la casa de inversiones, pero también tiene sus propias ideas acerca de la distribución de los fondos a invertir. En particular pide que la agencia seleccione las acciones y los bonos que consideren bien clasificados, aunque dentro de los siguientes lineamientos: a) Los bonos municipales deberían constituir al menos 20% de la inversión. b) Por lo menos 40% de los fondos deben colocarse en una combinación de empresas electrónicas, empresas aeroespaciales y fabricantes de medicamentos. c) No más de 50% de la cantidad invertida en bonos municipales tiene que colocarse en acciones de clínicas privadas de alto riesgo y alto rendimiento. Sujeta a estas restricciones, la meta del cliente es maximizar el rendimiento sobre la inversión proyectado. Los analistas en Heinlein and Krampf, conscientes de dichos lineamientos, preparan una lista de acciones y bonos de alta calidad, así como de sus correspondientes tasas de rendimiento:
a) Formule este problema de selección de portafolios usando PL.
b) Resuelva el problema.
X1= Dólares invertidos en los bonos municipales de Los Ángeles. X2 = Dólares invertidos en Thompson Electronics, INC. X3 = Dólares invertidos en United Aerospace Corp. X4 = Dólares invertidos en Palmer Drugs X5 = Dólares invertidos en Happy Days Nursing Homes Maximizar= 0.053X1 + 0.068X2 + 0.049X3 + 0.084X4 + 0.118X5 Sujeto a X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≤ $250,000 (fondos) 0.8X1 - 0.2X2 - 0.2X3 - 0.2X4 - 0.2X5 ≥ 0 (bonos) -0.4X1 + 0.6X2 + 0.6X3 + 0.6X4 - 0.4X5 ≥ 0 (combinación de electronics, aerospace y drugs) -0.5X1 + X5 ≤ 0 X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0
8-3 (Problema de programación del trabajo en un restaurante) El famoso restaurante Y. S. Chang está abierto las 24 horas. Los meseros y los ayudantes se reportan a trabajar a las 3 A.M., 7 A.M., 11 A.M., 3 P.M., 7 P.M. u 11 P.M., y cada uno cumple con un turno de 8 horas. La siguiente tabla muestra el número mínimo de trabajadores necesarios durante los seis periodos en que se divide el día. El problema de programación de Chang consiste en determinar cuántos meseros y ayudantes deben reportarse a trabajar al inicio de cada periodo, con la finalidad de minimizar el personal total requerido para un día de operaciones. (Sugerencia: Sea Xi igual al número de meseros y ayudantes que comienzan a trabajar en el periodo i, donde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Minimizar= X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 Xi= número de trabajadores reportados al comienzo del trabajo en el periodo i. X1 + X2 ≥ 12 X2 + X3 ≥ 16 X3 + X4 ≥ 9 X4 + X5 ≥ 11 X5 + X6 ≥ 4 X1 + X6 ≥ 3 Todas las variables ≥0
La solución informática es contratar a 30 trabajadores: 16 empiezan a las 7 A.M. 9 empiezan a las 3 P.M. 2 empiezan a las 7 P.M. 3 empiezan a las 11 P.M. Una alternativa óptima es 3 empiezan a las 3 A.M. 9 empiezan a las 7 A.M. 7 empiezan a las 11 A.M. 2 empiezan a las 3 P.M. 9 empiezan a las 7 P.M. 0 empiezan a las 11 P.M 8-4 (Problema de mezcla de alimento para animales) El establo Battery Park (Problema de mezcla de alimento para animales) El establo Battery Park alimenta y alberga a los caballos que jalan los carruajes, que llevan a turistas por las calles del área histórica del muelle en Charleston. El dueño del establo, un ex entrenador de caballos de carreras, reconoce la necesidad de tener una dieta nutritiva para los caballos bajo su cuidado. Al mismo tiempo, desea que el costo diario general del alimento sea mínimo. Las mezclas de alimento disponibles para la dieta de los caballos son un producto de avena, un grano enriquecido y un producto mineral. Cada una de las mezclas contiene cierta cantidad de cinco ingredientes que se necesitan diariamente para mantener saludable al caballo promedio. La tabla con el número de este problema muestra los requerimientos mínimos, las unidades de cada ingrediente por libra de mezcla de alimento y los costos de las tres mezclas. Además, el dueño del establo sabe que un caballo sobrealimentado es un mal trabajador. En consecuencia, determina que 6 libras de alimento por día es lo más
que cualquier caballo necesita para funcionar bien. Formule este problema y obtenga la mezcla diaria óptima de los tres alimentos.
X1= número de libras de producto de avena por caballo cada día. X2= número de libras de grano enriquecido por caballo cada día. X3= número de libras de producto mineral por caballo cada día. Minimizar costo= 0.09X1 + 0.14X2 + 0.17X3 2X1 + 3X2 + 1X3 ≥ 6 (ingredientes A) 0.5X1 + 1X2 + 0.5X3 ≥ 2 (ingredientes B) 3X1 + 5X2 + 6X3 ≥ 9 (ingredientes C) 1X1 + 1.5X2 + 2X3 ≥ 8 (ingredientes D) 0.5X1 + 0.5X2 + 1.5X3 ≥ 5 (ingredientes E) X1 + X2 + X3 ≤ 6 (máximo comida por día) Todas las variables ≥ 0
X1=1.3333 X2=0 X3=3.3333 Valor optimo= 0.687 8-5 La corporación Kleenglass fabrica una lavadora de platos que tiene un poder de limpieza excelente. Esta lavadora usa menos agua que la mayoría de la
competencia y es muy silenciosa. Las órdenes se reciben de varias tiendas para entregar al final de cada uno de los tres meses siguientes, como se indica a continuación:
Debido a la capacidad limitada, tan solo se puede fabricar 200 lavavajillas cada mes en horario regular y el costo es de $300 cada una. Sin embargo, es posible fabricar otras 15 unidades con horas extra, pero el costo sube a $325 cada una. Además, si hay algunas lavadoras producidas que no se vendieron ese mes, hay un costo de $20 por almacenarlas para el siguiente mes. Utilice programación lineal para determinar cuántas unidades fabricar cada mes en horario regular y en tiempo extra, con la finalidad de minimizar el costo total cubriendo al mismo tiempo las demandas.
8-6 Eddie Kelly está en la competencia para la reelección como alcalde de un pequeño condado de Alabama. Jessica Martínez, la jefa de campaña de Kelly durante esta elección, está planeando la campaña de marketing y sabe que existe una competencia cerrada. Martínez seleccionó cuatro formas de propaganda: spots de televisión, anuncios de radio, carteles espectaculares e inserciones en periódicos. Los costos, la audiencia expuesta por tipo de medio y el número máximo de cada uno se muestran en la siguiente tabla:
Además, Martínez decidió que debería haber al menos seis anuncios en TV o radio, o alguna combinación de estos. La cantidad gastada en espectaculares y periódicos juntos no debe exceder la cantidad gastada en TV. Aunque la recolección de fondos continúa, el presupuesto mensual para propaganda se estableció en $15,000. ¿Cuántos anuncios de cada tipo debería colocar para maximizar el número de personas expuestas? T= número de anuncios de TV R= número de anuncios de radio. B= número de anuncios por cartelera. N= número de anuncios por comercio. Maximizar total de anuncios= 30,000T + 22,000R + 24,000B + 8,000N Sujeto a: 800T + 400R + 500B + 100N ≤ 15,000 T ≤ 10 R ≤ 10 B ≤ 10 N ≤ 10 T+R≥6 500B + 100N ≤ 800T T, R, B, N ≥ 0
8-7 (Problema de selección de medios) El directo de publicidad de Diversey Paint and Supply, una cadena de cuatro tiendas en el lado norte de Chicago, considera la posibilidad de dos medios de comunicación. Un plan es una serie de anuncios de media página en el Chicago Tribune dominical y la otra es tiempo de comerciales en la televisión de Chicago. Las tiendas están expandiendo sus líneas de herramientas “hágalo usted mismo” y el director de publicidad está interesado en un nivel de exposición de, al menos, 40% dentro de los vecindarios de la ciudad, y 60% en las áreas suburbanas de noroeste. El horario de televisión en consideración tiene una tasa de exposición de 5% por spot en los hogares de la ciudad y de 3% en los suburbios del noroeste. El periódico dominical tiene tasas correspondientes de exposición de 4% y 3% por anuncio. El costo de media página en el Tribune es de $925; un spot de televisión cuesta $2,000. Diversey Paint quiere seleccionar la estrategia de publicidad de menor costo que satisfaga los niveles de exposición deseados. a) Formule con programación lineal. b) Resuelva el problema. X1= número de anuncios colocados en periódicos. X2= número de spots puestos en TV. Minimizar costo= $925X1 + $2000X2 Sujeto a: 0.04X1 + 0.05X2 ≥ 0.40 0.03X1 + 0.03X2 ≥ 0.60 X1, X2 ≥ 0
X1= comprar 20 anuncios de periódico domingo. X2= comprar 0 anuncios de televisión. El costo es= $18,500 8-8 (Problema de renta de automóviles) Sundown Rent-aCar (Problema de renta de automóviles) Sundown Rent-aCar, una agencia grande de renta de automóviles que opera en el medio oeste, está preparando su estrategia de arrendamiento para los siguientes seis meses. Sundown renta autos de un fabricante de vehículos y, luego, los renta al público por día. En la siguiente tabla se da un pronóstico de demanda para los automóviles de Sundown en los próximos seis meses:
Los autos pueden rentarse al fabricante por tres, cuatro o cinco meses. Se rentan el primer día del mes y se regresan el último día. Cada seis meses Sundown notifica al fabricante el número de automóviles que necesitará durante los siguientes seis meses. El fabricante ha estipulado que al menos 50% de los autos rentados durante los seis meses deben tener un contrato por cinco meses. El costo mensual de cada uno de los tres tipos de renta es de $420 por tres meses, $400 por cuatro meses y $370 por cinco meses. Actualmente, Sundown tiene 390 autos. El contrato sobre 120 autos expira al final de marzo. El contrato sobre otros 140 expira al final de abril y el contrato sobre el resto expira al final de mayo. Utilice PL para determinar cuántos automóviles deberían rentarse cada mes y con qué tipo de contrato, para minimizar el costo de renta para los seis meses. ¿Cuántos vehículos quedarían la final de agosto? Xij= número de nuevos contratos de arrendamiento en el mes de i-j.
Minimizar costo = 1260X13 + 1260X23 + 1260X33 + 1260X43 + 840X53 + 420X63 + 1600X14 + 1600X24 + 1600X34 + 1200X44 + 800X54 + 400X64 + 1850X15 + 1850X25 + 1480X35 + 1110X45 + 740X55 + 370X65 Sujeto a: X13 + X14 + X15 ≥ 420 - 390 X13 + X14 + X15 + X23 + X24 + X25 ≥ 400 - 270 X13 + X14 + X15 + X23 + X24 + X25 + X33 + X34 + X35 ≥ 430 - 130 X14 + X15 + X23 + X24 + X25 + X33 + X34 + X35 + X43 + X44 + X45 ≥ 460 X15 + X24 + X25 + X33 + X34 + X35 + X43 + X44 + X45 + X53 + X54 + X55 ≥ 470 X25 + X34 + X35 + X43 + X44 + X45 + X53 + X54 + X55 + X63 + X64 + X65 ≥ 440 X15 + X25 + X35 + X45 + X55 + X65 ≥ 0.50(X13 + X14 + X15 + X23 + X24 + X25 + X33 + X34 + X35 + X43 + X44 + X45 + X53 + X54 + X55 + X63 + X64 + X65) Todas las variables ≥ 0
VALOR OPTIMO = $677,100 8-9 La gerencia de Sundown Renta-a-Car (véase el problema 8-8) ha decidido que tal vez el costo durante los seis meses no es el adecuado para minimizar, ya que la agencia puede quedar con obligaciones de renta durante meses adicionales después de los seis meses. Por ejemplo, si Sundown recibe algunos autos al principio del sexto mes, la agencia estaría obligada por dos meses más en un contrato de tres meses. Utilice PL para determinar cuántos autos debería rentar cada mes en cada tipo de contrato, para minimizar el costo de renta en la vida completa de estos contratos. Minimizar costo 1260(X13 + X23 + X33 + X43 + X53 + X63) + 1600(X14 + X24 + X34 + X44 + X54 + X64) + 1850(X15 + X25 + X35 + X45 + X55 + X65)
X15= 30 X25=205 X34=65 X43=170 Total costo=$752,950 8-10 (Problema de transporte de estudiantes de secundaria) El superintendente de educación de Arden County, Maryland, es responsable de asignar estudiantes a tres escuelas secundarias en su condado. Reconoce la necesidad de transportar a cierto número de estudiantes, ya que varios sectores del condado están más allá de una distancia que pueda recorrerse caminando. El superintendente hace una partición del condado en cinco sectores geográficos con la finalidad de intentar establecer un plan que minimice el número total de millasestudiante viajadas en el autobús. También reconoce que si ocurre que un estudiante vive en cierto sector y es asignado a la escuela en ese sector, no hay necesidad de transportar a ese estudiante, ya que puede caminar a la escuela. Las tres escuelas están localizadas en los sectores B, C y E. La siguiente tabla refleja el número de estudiantes en edad de secundaria que viven en cada sector y la distancia en millas de cada sector a cada escuela:
8-11 (Problema de estrategia de marketing y fijación de precios) La tienda I. Kruger Paint and Wallpaper es un distribuidor minorista grande de la marca Supertrex de tapiz de vinil. Kruger mejorará su imagen en toda la ciudad de Miami, si el siguiente año logra vender más que otras tiendas del lugar en cuanto al número total de rollos de Supertrex. Es posible estimar la función de demanda como sigue: Número de rollos de Supertrex vendidos = 20 X dólares gastados en publicidad + 6.8 X dólares gastados en exhibidores para las tiendas + 12 X dólares invertidos en inventario de tapiz disponible – 65,000 X porcentaje de margen de ganancia sobre el costo de venta al mayoreo de un rollo. La tienda tiene un presupuesto total de $17,000 para publicidad, exhibidores en tienda e inventario disponible de Supertrex para el siguiente año. Decide que debe gastar por lo menos $3,000 en publicidad; además, por lo menos 5% de la cantidad invertida en inventario disponible debería dedicarse a exhibidores. El margen de ganancia de Supertrex en otras tiendas locales está entre 20% y 45%.
Kruger decide que será mejor que su margen de ganancia también esté en este rango. a) b) c) d)
Formule como un problema de programación lineal. Resuelva el problema. ¿Cuál es la dificultad con la respuesta? ¿Qué restricción agregaría?
8-12 (Problema de selección de alimentos en la universidad) Kathy Roniger, la dietista de una universidad pequeña, es responsable de formular un plan de alimentos nutritivos para los estudiantes. Para una comida en la tarde, piensa que deberían cumplirse los siguientes cinco requerimientos de contenido: 1. entre 900 y 1,500 calorías; 2. al menos 4 miligramos de hierro; 3. no más de 50 gramos de grasa; 4. al menos 26 gramos de proteína, y 5. no más de 50 gramos de carbohidratos. En un día dado, el inventario de alimentos de Roniger incluye siete artículos que se pueden preparar y servir de manera que la cena cumpla tales requerimientos. El costo por libra de cada alimento y la contribución de cada uno a los cinco requerimientos nutricionales están dados en la siguiente tabla. ¿Qué combinación y qué cantidades de alimentos proporcionará la nutrición que Roniger requiere por el menor costo total de la comida?
¿Qué combinación y qué cantidades de alimentos proporcionará la nutrición que Roniger requiere por el menor costo total de la comida? a) Formule como un problema de PL. b) ¿Cuál es el costo por comida? c) ¿Es esta una dieta bien balanceada?
8-13 (Problema de producción de alta tecnología) Quitmeyer Electronics Inc. fabrica los siguientes seis dispositivos periféricos para microcomputadoras: módems internos, módem externos, tarjeta de gráficos, lectores de CD, discos duros y tarjetas de expansión de memoria. Cada uno de estos productos técnicos requiere tiempo, en minutos, sobre tres tipos de equipo electrónico de pruebas, como se indica en la tabla correspondiente.
