problemas resueltos péndulo simple, de torsión, físico, amortiguado

Péndulo Físico Una manera fácil de medir el momento de inercia de un objeto con respecto a cualquier eje consiste en medir el periodo de oscilación alrededor de ese eje.  A) Considere que una una vara no uniforme de de .! "# puede equilibrarse equilibrarse en un punto punto a $% cm desde un e&tremo. 'i es (pivoteada con respecto a ese e&tremo* oscilará con un periodo de .+ s. ,Cuál es el momento de inercia con respecto a este e&tremo) ,Cuál es el momento momento de inercia inercia con respecto respecto a un un eje perpendicula perpendicularr a la vara que que pase por su centro de masa/atos a) /ada /adas s 01 01+ + s 2 31! 31!.$ .$% % cm 2

mghT  Formula  I = 2 4 π  'ustitución

$% cm

1 kg∙ kg ∙ 9.8

 I =

 m s

2

2

∙ 0.42 m ∙ 2.56 s 2

4 π 

 I =0.27 kg∙m

2

b) 4l Cm está está donde donde la la vara qued queda a en equilib equilibrio* rio* a $% cm desde el e&tremo* por lo que Formula 2

 I CM  CM = I −m h 'ustitución 2

 I CM =0.27 kg∙m −( 1 kg ) ( 0.42 cm )  I CM =0.09 kg∙m

2

2

Calcular el momento de inercia de un cilindro de radio R altura H y masa M respecto al eje z de la figura este objeto se hace girar respecto al nuevo eje

∴ Semide la distancia entre los ejes I ZG

 Donde I ZG =

 M R

= Ineercia de masa

2

2

Ocupamos el teorema deStelner 2

 I Z = I ZG + M D donde M = masa y D =distancia entre elnueo eje y el centro demasa 2  M R + M R 2 ∴ I Z = 2

 I Z =  I Z =

 M R 2 3 M 2

2

+ R

2

2 M R 2

2

Péndulo de 0orsión Un péndulo de torsión consiste de un bloque rectan#ular de madera de 5cm & %cm & 6cm con una masa de !.6 "#* suspendido por medio de un alambre que pasa a través de su centro 2 de tal modo que el lado corto es vertical. 4l periodo de oscilación es de %.$ s. ,Cuál es la constante de torsión K del alambre-

'olución7  Antes que nada* necesitamos conocer el valor del momento de inercia de este objeto en particular 8cubo de madera)* para lo cual se utili9ará la si#uiente ecuación. 2

 I =[ m (

2

a +! 12

)]

/onde7 :1masa del objeto* !.6"#. 2 a 1 la dimensión 3ori9ontal del objeto para este caso 5cm1!.!5m 2 ! 1 la profundidad del objeto en este caso %cm1!.%m Como en el ejercicio nos piden encontrar la constante "1"appa* Utili9amos la si#uiente ecuación que relaciona el momento de inercia con la constante. 2

 " =( 2 π )

I  2

T 

/onde7 T 2  es i#ual al periodo de oscilación al cuadrado* siendo ; el momento de inercia 2 %< al cuadrado una constante. =aciendo la relación entre las dos ecuaciones anteriores tenemos que7

[ ] ( ) 2

m

2

 " =( 2 π )

a +!

2

12 2

T 

>eempla9ando valores tenemos que7 2

 " =( 2 π ) [ 0.3 kg (

0.08 m

2

+ 0.12 m

12

2 2

)/ 2.4 ]

"16.?+$@

−3 10

.m Beton por metroD

E0>A FE>:A /4 >4'EG4>E

'e 3ace #irar un disco uniformen en su borde 8Fi#ura HI%). calcule su periodo en oscilaciones pequeJas 2 la lon#itud del péndulo simple equivalente. SOLUCION: a

inercia rotacional de un disco alrededor de un eje que cru9a por su centro es K :> * donde > es el radio 2 : la masa del disco. 'i empleamos el teorema de ejes paralelos* la inercia rotacional alrededor del pivote en el borde es %

1

2

3

2

 I =  M R + M R =  M R 2

2

2

 Así pues* le periodo de este péndulo físico* obtenido de la ecuación cuando d 1 r* será

√

T =2 π 

√

I  =2 π   MgR

2

3  M

R =2 π  2  MgR

√

√

T =2 π 

I   Mgd

3  R 2

g

;ndependiente de la masa del disco. 4l péndulo simple con el mismo período tiene una lon#itud

 #=

I  3 =  R  MR 2

es decir* tres cuartas partes del diámetro del disco. Por tanto* el centro de oscilación del disco que se 3ace #irar en P se 3alla en E* una distancia 6L% > por debajo del punto de apo2o. ,'e requiere determinada masa del péndulo simple equivalente'i #iramos el disco en un punto intermedio entre el borde 2 el centro Men E* por ejemploI* descubrimos que 1

2

 I = mr + m 2

√

T =2 π 

√

I   =2 π  mgd

3 4

 M R

 Mg

2

()  R 2

( ) 1 2

2

3

2

1

 R =  M R  y d =  R $  4l periodo 0 es

√

=2 π 

4

2

3  R 2

g

como antes. 4sto ejemplifica la i#ualdad de los periodos del péndulo físico cuando se 3acen #irar alrededor de E 2 de P.

Péndulo Amorti#uado 'upon#a que un astronauta tiene una masa de +!N# incluido del dispositivo de silla al que se amarra. 4l 2 la silla se mueve bajo la influencia de la fuer9a de un resorte con N16.& 102 Lm. o 3a2 otras fuer9as actuantes. 4l despla9amiento má&imo desde el equilibrio del dispositivo de medición de masa corporal es de !*%!!m. 'upon#a que debido a la fricción la amplitud un ciclo más tarde es de !.5?m. ,Cuál es el factor de calidad para este oscilador armónico amorti#uado/atos7 :1+!N#  A1!*%!! m k 1 16.& 102 Lm  AO1!.5? m 2 π% q1  &% 2 π   &% =  % ' 41 &% 1q14n el despla9amiento má&imo* la ener#ía total es toda ener#ía potencial7

(  )

1

 %= k (

2

2

'í A1!.%!!m ) 

 % =

1 2

( 3.1 * 10 ) ( 0.2 ) =6.2 2

2

'í AO 1!.5?m ) 

 % =

1 2

( 3.1 * 10 ) ( 0.185 ) =5.3 &%= % ) − % 2

2

 &% = ( 5.3 + )−( 6.2 ´+ ) =−0.9 +  2 π% '=  &% 2 ,  ( 6.2 + ) = 43.2   Escilaciones '= 0.9 +  4l factor de densidad es7 q1$6.% oscilaciones

Una masa m1N# cuel#a de un resorte con una constante de resistividad N1%!! Lm. a constante de amorti#uamiento es  -  11 N#Ls. 4n el instante t1! comien9a a actuar una fuer9a F1 . 0  'en8 / 0   t) con  . 0 1 % 2 / 0  1! radLs. 4ncuentre la posición de la partícula en función del tiempo para* t 1!s* t 1!! s* t 1!!!s 'olución7  M 1 1 N# N1 %!! Lm  - 1 N#Ls  . 0 1 % / 0  1 ! radLs t1! &1! &8t)1t1*!*!!*!!!  k  10 = m 200 2 3 m 10 = =14.112  Ikg  2  y = m 1 " g 3 s 1 = 0.5 s  y = 2 ( 1 " g ) 4cuación diferencial7 2  . 0 ⅆ  4 ⅆ 4  +  y = 2 ( cos / 0  t + 5 ) ´ dt  2 m ⅆ t 

√ √

−

'olución a la ecuación diferencial7  4 = (Sⅇn ( /0  t − 5 ) 4ntonces  . 0  ( =

m 2

2 2

1

0

( / − / ) + 4 y

 A1!.!!!5%6H 2 2 −1  /0 − /0 5 = tan 2 y / .  5 =−1.47106

(

)

2

+/

2 1

Péndulo Amorti#uado For9ado Un oscilador armónico amorti#uado* cu2a frecuencia an#ular natural es Q! 1 ? radLs 2 cu2o parámetro de amorti#uamiento es R 1  s S* se encuentra inicialmente en reposo en la posición de equilibrio. 4n el instante t 1 ! recibe un impulso que lo pone en movimiento con una velocidad inicial v! 1 +! cmLs. 8a) 4&presar la elon#ación del oscilador en función del tiempo. 'olución 8a) 4&presar la elon#ación del oscilador en función del tiempo Para determinar &8t) necesito evaluar A !* Q 2 T. a fase inicial se puede obtener imponiendo que & 8!) 1 !7 @ 8!) 1 A! e SRt sen 8Qt  T) 1 ! V sin8T) 1 ! V T 1 ! a frecuencia an#ular del movimiento se puede calcular directamente con los datos del problema7

1 =√ 10 − 6 =12 2

2

rad s

W para determinar A ! podemos 3acer uso del valor de v en t 1 !7

 ( t )=

d4  = 1 ( 0 e− 6t cos (1t )− 6 ( 0 e− 6t sin (1t ) dt 

v 8!) 1 Q A! Por lo tanto* sustitu2endo los datos del problema7

 ( 0=

 (0 )  (0 ) = 2 2 = 0.05 m 1 √ 10− 6

Finalmente nos queda7 &8t) 1 !*!? e St sen 8% t) 8en m 2 s)

Una masa de m 1 !*? "#* unida a un muelle de constante elástica N 1 %?! Lm* oscila con una amplitud inicial A ! 1 + cm. Para este sistema se pide7 8a) =allar el periodo 2 la ener#ía del oscilador en el instante inicial. 8b) /eterminar el valor del parámetro de amorti#uamiento del oscilador sabiendo que la ener#ía se disipa a ra9ón de un *! X en cada ciclo 'olución 8a) =allar el periodo 2 la ener#ía del oscilador en el instante inicial. 4l periodo del movimiento se obtiene a partir de la e&presión7

T =

2 π 

1

 =

2 π 

√ 1 − 6 2

2

0

Q! lo podemos calcular* pero desconocemos el parámetro de amorti#uamiento R. /e todas formas* dado que la ener#ía se pierde sólo a ra9ón de un  X en cada ciclo* podemos 3acer la suposición de que el movimiento es mu2 débilmente amorti#uado 2* por  lo tanto7

 6 ≪ 10 8 T 9

π  m =2 π   = 0.281 s 10 k 

 2

a ener#ía del oscilador débilmente amorti#uado se puede calcular por 4 1 K NA %* 2 en el instante inicial es7 1

2

 %0= k ( 0=0.45 +  2

8b) /eterminar el valor del parámetro de amorti#uamiento del oscilador sabiendo que la ener#ía se disipa a ra9ón de un *! X en cada ciclo. a ener#ía se pierde a ra9ón de un  X en cada ciclo.  Por tanto* transcurrido un periodo 0 la ener#ía del oscilador será el  X de 4! 84 V !* 4!). Utili9ando este dato7 −2 6T   %  % 0 e  4 1 !*  %0  V  1 !*V 1 e−2 6T   % 0  % 0 0omando lo#aritmos 2 despejando R7  ln8!*) 1 S%R0 V R 1

−1

2 T 

 ln8!*) 1 !*!H55

−1

s

 Con el valor de R calculado podemos a3ora verificar que* efectivamente* la apro&imación reali9ada en el apartado 8a)* de movimiento mu2 débilmente amorti#uado* es correcta 2 8 62 ≪ /0 V Q Y / 0 ) 2 2 − 4 −2 muc3o menor que / 0 1 ?!! s−2  6  1 6*H Z 10 s