Matemáticas discretas. 1. Conteo Rafael Villarroel Flores Centro Centro de Investigació Investigación n en Matemáticas, Matemáticas, Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
4 de julio de 2011
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones Funcione s generadoras
Plan
Minicurso de matemáticas discretas.
Día 1 Técnicas de conteo (permutaciones, combinaciones, principio de inclusión-exclusión, funciones generadoras). Día 2 Gráficas y árboles. Día 3 Cuadrados latinos y jaulas. Día 4 Geometrías finitas, principalmente planos proyectivos.
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones Funcione s generadoras
Plan
Minicurso de matemáticas discretas.
Día 1 Técnicas de conteo (permutaciones, combinaciones, principio de inclusión-exclusión, funciones generadoras). Día 2 Gráficas y árboles. Día 3 Cuadrados latinos y jaulas. Día 4 Geometrías finitas, principalmente planos proyectivos.
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Plan
Día 1. Conteo
Funciones Funcione s generadoras
Introducción
Técnicas elementales
La regla de la suma
Problema ¿Cuántos círculos hay?
El principio de inclusión-exclusión
Funciones Funcione s generadoras
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
La regla de la suma
Teorema (Regla de la suma) Si los conjuntos A, B son tales que A ∩ B = ∅, entonces | A ∪ B| = | A| + |B|.
Introducción
Técnicas elementales
La regla del producto
Problema ¿Cuántos círculos hay?
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
La regla del producto
Teorema (Regla del producto) | A × B| = | A|| B|
Funciones generadoras
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problemas
Problema ¿Cuánto vale la variable k después de correr el siguiente programa (escrito en P yt hon)? k = 0 for i in [0,..,19]: k=k+1 for j in [0,..,29]: k=k+1
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problemas
Problema ¿Cuánto vale la variable k después de correr el siguiente programa? k = 0 for i in [0,..,19]: for j in [0,..,29]: k=k+1
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problemas
Teorema Sea A un conjunto con n elementos. Entonces el conjunto Ar de r -adas ordenadas de elementos de A tiene nr elementos.
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problemas
Problema Una contraseña consta de 8 caracteres. Cada carácter puede ser uno de 26 letras, o bien uno de 10 dígitos. También se pide que la contraseña debe tener al menos un dígito. ¿Cuántas contraseñas válidas son posibles?
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Permutaciones
Teorema Sea A un conjunto con n elementos. El conjunto de r -adas ordenadas de elementos de A con todos los elementos distintos tiene n(n − 1) · · · (n − r + 1) =
elementos.
n! (n − r )!
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Permutaciones
Teorema Sea A un conjunto con n elementos. El conjunto de r -adas ordenadas de elementos de A con todos los elementos distintos tiene n(n − 1) · · · (n − r + 1) =
n! (n − r )!
elementos.
Corolario Un conjunto de n elementos tiene
2n
subconjuntos.
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Combinaciones
Teorema Sea A un conjunto con n elementos. El conjunto de subconjuntos de A con r elementos tiene: n
r
elementos.
=
n! r !(n − r )!
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Combinaciones
Teorema Sea A un conjunto con n elementos. El conjunto de subconjuntos de A con r elementos tiene: n
r
elementos.
Propiedades n r n r
n n−r n−1 r −1
,
= =
+
n−1 r
.
=
n! r !(n − r )!
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Combinaciones
Teorema (Teorema del binomio) Para todo entero no negativo n tenemos la igualdad de polinomios: n
n
(1 + ) =
n
k =0
k
k .
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Combinaciones
Teorema (Teorema del binomio) Para todo entero no negativo n tenemos la igualdad de polinomios: n
n
(1 + ) =
n
k
k =0
k .
Corolario Para todo entero no negativo n se tiene: n
2
n
=
n
k =0
k
.
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Permutaciones con repetición
Problema ¿De cuántas maneras se pueden repartir 52 barajas entre 4 jugadores: Ana, Beto, Carlos y Diana, dándole a cada uno 5 barajas?
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Permutaciones con repetición
Teorema Sean r 1 , r 2 , . . . , rk tales que r 1 + r 2 + · · · r k = n. La cantidad de funciones ƒ : [n] → [k ] tales que | ƒ −1 ()| = r para = 1, . . . , k es: n! . r 1 !r 2 ! · · · r k !
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El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Combinaciones con repetición
Problema ¿Cuánto vale la variable n después de correr el siguiente programa? n = 0 for i in [1,..,14]: for j in [1,..,i]: for k in [1,..,j]: n=n+1
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El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Combinaciones con repetición
Problema ¿Cuánto vale la variable n después de correr el siguiente programa? n = 0 for i in [1,..,14]: for j in [1,..,i]: for k in [1,..,j]: n=n+1
La variable n se incrementa por cada elección de números ,j,k tales que 1 ≤ k ≤ j ≤ ≤ 14 , en otras palabras, queremos contar las maneras de escoger tres números dentro del conjunto {1, 2, . . . , 14 }, donde se permiten las repeticiones.
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Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Combinaciones con repetición
Problem En una paletería hay paletas de limón, naranja, tamarindo y grosella. ¿De cuántas maneras pueden pedir 10 personas una paleta cada uno? (Supongamos que la paletería tiene al menos 10 paletas de cada sabor)
Introducción
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El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Combinaciones con repetición
Teorema La cantidad de maneras distintas que se pueden escoger n objetos con repetición de k clases distintas es:
n + k − 1 n
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El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Combinaciones con repetición
Teorema La cantidad de maneras distintas que se pueden escoger n objetos con repetición de k clases distintas es:
n + k − 1 n
Otra manera de interpretar el teorema es que la cantidad de soluciones enteras no negativas a: 1 + 2 + · · · + k = n
es
n+k −1 n
.
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problema
Problema En un instituto trabajan 67 personas. De ellas, 47 saben inglés, 35 saben alemán y 23 ambos idiomas. ¿Cuántas personas no saben inglés ni alemán?
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Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problema
Tenemos que 47 − 23 = 24 sólo saben inglés y 35 − 23 = 12 sólo saben alemán, por lo que 24 + 23 + 12 = 59 saben algún idioma y entonces 67 − 59 = 8 no saben ningún idioma. Observemos: 8 = 67
− (24 + 23 + 12 )
= 67 − 23 − 24 − 12 = 67 − 23 − (47 − 23 ) − (35 − 23 ) = 67 − 47 − 35 + 23
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Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problema
Denotamos con c1 a la propiedad de saber inglés y con c2 la propiedad de saber alemán.
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Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problema
Denotamos con c1 a la propiedad de saber inglés y con c2 la propiedad de saber alemán. Denotemos con c1 la propiedad de no saber inglés y con c1 c2 la propiedad de saber tanto inglés como alemán.
Introducción
Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problema
Denotamos con c1 a la propiedad de saber inglés y con c2 la propiedad de saber alemán. Denotemos con c1 la propiedad de no saber inglés y con c1 c2 la propiedad de saber tanto inglés como alemán. Dada una propiedad p, denotemos con N( p) la cantidad de elementos que satisfacen la propiedad p.
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Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problema
Denotamos con c1 a la propiedad de saber inglés y con c2 la propiedad de saber alemán. Denotemos con c1 la propiedad de no saber inglés y con c1 c2 la propiedad de saber tanto inglés como alemán. Dada una propiedad p, denotemos con N( p) la cantidad de elementos que satisfacen la propiedad p. Entonces, la cantidad que queremos contar es N(c1 c2 ).
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El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problema
Denotamos con c1 a la propiedad de saber inglés y con c2 la propiedad de saber alemán. Denotemos con c1 la propiedad de no saber inglés y con c1 c2 la propiedad de saber tanto inglés como alemán. Dada una propiedad p, denotemos con N( p) la cantidad de elementos que satisfacen la propiedad p. Entonces, la cantidad que queremos contar es N(c1 c2 ). Tenemos que:
N(c1 c2 ) = 67 − N(c1 ) + N(c2 ) + N(c1 c2 ).
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El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problema
Problema Supongamos que en el instituto del problema anterior, además hay 20 personas que hablan francés, 12 inglés y alemán, 11 alemán y francés y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas no saben ninguno de los tres idiomas?
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El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problema
Sea ahora c3 la propiedad de saber alemán. Escribamos S0 = 67 , S1 = N (c1 ) + N(c2 ) + N(c3 ) = 47 + 35 + 20 , S2 = N (c1 c2 ) + N(c2 c3 ) + N(c1 c3 ), S3 = N(c1 c2 c3 ). Entonces N(c1 c2 c3 ) = S0 − S1 + S2 − S3 .
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Funciones generadoras
Problema
Problema Después de un examen en una clase de 30 alumnos, un profesor reparte los exámenes a sus alumnos para ser calificados. ¿En cuántas de las 30! maneras de efectuar el reparto sucede que ningún estudiante recibe su propio examen? ¿Qué evento es más probable: que algún alumno reciba su examen o lo contrario?
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Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problema
En este caso, definimos c (para desde 1 hasta 30), como la propiedad de que el estudiante reciba su propio examen y queremos encontrar N(c1 c2 · · · c30 ). Para = {1 , 2 , . . . , k }, denotemos N(c1 c2 · · · ck ) como N(c ). Entonces Sk =
⊆[30 ] | | =k
30
N(c ) =
k
30!
(30 − k )! =
k !
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Técnicas elementales
El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problema
En este caso, definimos c (para desde 1 hasta 30), como la propiedad de que el estudiante reciba su propio examen y queremos encontrar N(c1 c2 · · · c30 ). Para = {1 , 2 , . . . , k }, denotemos N(c1 c2 · · · ck ) como N(c ). Entonces Sk =
⊆[30 ] | | =k
30
N(c ) =
k
30!
(30 − k )! =
k !
La cantidad, llamémosle D30 que queremos calcular es: 30!
D30 = 30!−S1 +S2 −S3 +· · · −S29 +S30 = 30!−
1!
30!
+
2!
30!
− · · ·+
30!
.
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El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problema
En este caso, definimos c (para desde 1 hasta 30), como la propiedad de que el estudiante reciba su propio examen y queremos encontrar N(c1 c2 · · · c30 ). Para = {1 , 2 , . . . , k }, denotemos N(c1 c2 · · · ck ) como N(c ). Entonces Sk =
30
N(c ) =
⊆[30 ] | | =k
k
30!
(30 − k )! =
k !
La cantidad, llamémosle D30 que queremos calcular es: 30!
D30 = 30!−S1 +S2 −S3 +· · · −S29 +S30 = 30!−
1!
30!
+
2!
30!
− · · ·+
30!
De aquí se deduce que la probabilidad de que ningún alumno reciba su propio examen es: D30 30!
1
=1−
1!
1
+
2!
1
−
3!
1
+···−
29!
1
+
30!
.
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El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Problema
En este caso, definimos c (para desde 1 hasta 30), como la propiedad de que el estudiante reciba su propio examen y queremos encontrar N(c1 c2 · · · c30 ). Para = {1 , 2 , . . . , k }, denotemos N(c1 c2 · · · ck ) como N(c ). Entonces Sk =
30
N(c ) =
⊆[30 ] | | =k
k
30!
(30 − k )! =
k !
La cantidad, llamémosle D30 que queremos calcular es: 30!
D30 = 30!−S1 +S2 −S3 +· · · −S29 +S30 = 30!−
1!
30!
+
2!
30!
− · · ·+
30!
De aquí se deduce que la probabilidad de que ningún alumno reciba su propio examen es: D30 30!
1
=1−
1!
1
+
2!
1
−
3!
1
+···−
29!
1
+
30!
≈ e−1
.
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El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Definición
Dada una sucesión de números reales 0 , 1 , 2 , . . . ,
decimos que ∞
ƒ ( ) = 0 + 1 + 2 2 + · · · =
=0
es la función generadora de la sucesión.
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Funciones generadoras
Ejemplos
1
n
n =0
n
n
n
, tenemos que ƒ ( )
Como ƒ ( ) = (1 + ) = genera la sucesión: n
0
,
1
,
2
,...,
n n
, 0, 0, . . .
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El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Ejemplos
1
n =0
n
n
n
, tenemos que ƒ ( )
Como ƒ ( ) = (1 + ) = genera la sucesión: n
0
2
n
,
1
,
2
,...,
n n
, 0, 0, . . .
1 Como ƒ ( ) = 1− 1 + + 2 + 3 + · · · , tenemos que ƒ ( ) = genera la sucesión 1, 1, 1, 1, . . .
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Funciones generadoras
Ejemplos
Recordemos ahora que: n
r
=
n! r ! (n − r )!
=
n(n − 1)( n − 2) · · · (n − r + 1) r !
y notemos que el lado derecho tiene sentido para todo número real n.
.
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Funciones generadoras
Ejemplos
Recordemos ahora que: n
r
=
n! r ! (n − r )!
=
n(n − 1)( n − 2) · · · (n − r + 1) r !
.
y notemos que el lado derecho tiene sentido para todo número real n. En particular, si n es un entero positivo, tenemos: −n
r
= = =
(−n)(−n − 1)(−n − 2) · · · (−n − r + 1)
r ! (−1)r n(n + 1) · · · (n + r − 1) r ! (−1)r (n + r − 1)! (n − 1)!r !
= (−1)
r
n + r − 1 r
.
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Funciones generadoras
Ejemplos
Ahora, consideremos la expansión de Maclaurin de (1 + )−n alrededor del 0. Tenemos que: (1 + )
−n
(−n)(−n − 1) 2 (−n)(−n − 1)(−n − 2) = 1 + (−n) + + 2!
∞
=
(−1)
r =0 ∞
=
r =0
r
−n
r
n + r − 1 r
3!
r
r ,
lo cual generaliza el teorema del binomio y muestra que la función ƒ ( ) = (1 + )−n genera la sucesión −n
−n
−n
0
,
1
,
2
,...
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El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Ejemplos
Problema ¿Cuántas soluciones enteras tiene la siguiente ecuación? 1 + 2 + · · · + k = n
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El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Ejemplos
La solución se obtiene como el coeficiente de n en (1 + + 2 + · · · )k . Tal coeficiente puede calcularse notando que 2
k
(1 + + + · · · ) =
1
1 −
k
= (1 − )−k .
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Técnicas elementales
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Funciones generadoras
Ejemplos
La solución se obtiene como el coeficiente de n en (1 + + 2 + · · · )k . Tal coeficiente puede calcularse notando que k
2
(1 + + + · · · ) =
Como (1 − ) de n es
−k
=
(−1)
n
∞ r =0
−k r
−k
n
1
k
1 −
= (1 − )−k .
(− )r , tenemos que el coeficiente
n
= (−1) (−1)
n
k + n − 1 n
,
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El principio de inclusión-exclusión
Funciones generadoras
Ejemplos
Problema ¿De cuántas maneras se pueden repartir 16 manzanas entre cuatro niños, de manera que cada uno tenga al menos una manzana y no más de siete?
