I.
PROBLEMAS.
GRUPO 1
Ejercicio 1 Se da un campo Bidimensional de un flujo constante, incompresible y estacionario de velocidad por las siguientes componentes en el plano xy: u = 1.1 + 2.x + !."#y v = !.$ % 2.1x % 2.y &alcule el campo de aceleraci'n, para las componentes a x y ay, de la aceleraci'n en el punto (x, y) = (*2, ). a partir de su definici'n en coordenadas cartesianas cartesianas
Solución: ara un campo de velocidades -emos de calcular la aceleraci'n. ntonces los componentes de velocidad son (u, v). /as componente componentes s del campo campo de acelerac aceleraci'n i'n se obtienen obtienen a partir partir de su definici'n definici'n en coordenadas coordenadas cartesianas:
a x =
∂ (1.1 + 2.8 x + 0.65 y ) ∂ ( 1.1 + 2.8 x + 0.65 y ) +( 1.1 + 2.8 x + 0.65 y ) ∂ t ∂x
+ ( 0.98 – 2.1 x – 2.8 y )
∂ (1.1 + 2.8 x + 0.65 y ) ∂ ( 1.1 + 2.8 x + 0.65 y ) +w ∂y ∂z
/os t0rminos son ceros, porue se trata de un flujo constante y el t0rmino es cero porue se trata de un flujo bidimensional. bidimensional.
a x =0 + ( 1.1 + 2.8 x + 0.65 y ) ( 2.8 )+ ( 0.98 – 2.1 x – 2.8 y ) ( 0.65 ) + 0 a x =3.08 + 7.84 x + 1.82 y + 0.637−1.365 x − 1.82 y or lo tanto la componente de aceleraci'n en x es:
a x =3.717 + 6.475 x
a y =
∂ v ∂ v ∂v ∂ v + u + v + w ∂ t ∂x ∂y ∂z
a y =
∂ ( 0.98 – 2.1 x – 2.8 y ) ∂ ( 0.98 – 2.1 x – 2.8 y ) + ( 1.1 + 2.8 x +0.65 y ) ∂ t ∂x
14
+ ( 0.98 – 2.1 x – 2.8 y )
∂ ( 0.98 – 2.1 x – 2.8 y ) ∂ ( 0.98 – 2.1 x – 2.8 y ) +w ∂y ∂z
/os t0rminos son ceros, porue se trata de un flujo constante y el t0rmino es cero porue se trata de un flujo bidimensional. bidimensional.
a y =0 + ( 1.1 + 2.8 x + 0.65 y ) (− 2.1 )+ ( 0.98 – 2.1 x – 2.8 y ) (−2.8 ) + 0 a y =−2.31 −5.88 x −1.365 y −2.744 + 5.88 x + 7.84 y or lo tanto la componente de aceleraci'n en y es:
a y =−5.054 + 6.475 y n el punto (*2,), sus componentes de la aceleraci'n son:
a x =3.717 + 6.475 ( −2 )=−9.23 a y =−5.054 + 6.475 ( 3 )=14.4
Ejercicio 2 &alcule la rapide3 del flujo del volumen maxima maxima de aceite combustible a 4#5& a la cual el flujo seguira siendo laminar en un conducto de 1!!mm de diametro. ara el aceite utilice una gravedad especifica de !.$# y una viscosidad dinamica de 4x1! *2 a.s 6nali3ando: 6nali3ando: 7max=8max . 6
9e2!!!
;ado a ue la velocidad y el numero de 9eynolds son directamente proporcionales si ueremos la velocidad maxima usaremos el numero de 9eynolds maximo para un flujo laminar(9e=2!!!) laminar(9e=2!!!)
ravedad especifica= !,$#
ƿ=>s x ƿ?2@ = !,$#x1!!!Agm !,$#x1!!!Agm = $#Agm ;e la ecuacion del numero de 9eynolds despejamos la velocidad:
14
+ ( 0.98 – 2.1 x – 2.8 y )
∂ ( 0.98 – 2.1 x – 2.8 y ) ∂ ( 0.98 – 2.1 x – 2.8 y ) +w ∂y ∂z
/os t0rminos son ceros, porue se trata de un flujo constante y el t0rmino es cero porue se trata de un flujo bidimensional. bidimensional.
a y =0 + ( 1.1 + 2.8 x + 0.65 y ) (− 2.1 )+ ( 0.98 – 2.1 x – 2.8 y ) (−2.8 ) + 0 a y =−2.31 −5.88 x −1.365 y −2.744 + 5.88 x + 7.84 y or lo tanto la componente de aceleraci'n en y es:
a y =−5.054 + 6.475 y n el punto (*2,), sus componentes de la aceleraci'n son:
a x =3.717 + 6.475 ( −2 )=−9.23 a y =−5.054 + 6.475 ( 3 )=14.4
Ejercicio 2 &alcule la rapide3 del flujo del volumen maxima maxima de aceite combustible a 4#5& a la cual el flujo seguira siendo laminar en un conducto de 1!!mm de diametro. ara el aceite utilice una gravedad especifica de !.$# y una viscosidad dinamica de 4x1! *2 a.s 6nali3ando: 6nali3ando: 7max=8max . 6
9e2!!!
;ado a ue la velocidad y el numero de 9eynolds son directamente proporcionales si ueremos la velocidad maxima usaremos el numero de 9eynolds maximo para un flujo laminar(9e=2!!!) laminar(9e=2!!!) ravedad especifica= !,$#
ƿ=>s x ƿ?2@ = !,$#x1!!!Agm !,$#x1!!!Agm = $#Agm ;e la ecuacion del numero de 9eynolds despejamos la velocidad:
14
9e=
V . D . ƿ µ
8= −2
10
8max= 2000.4 .
(
Kg .
m s
2
)
2
m 3 0,1 m .895 Kg / m
7max= !,$4ms .
.s
π / 4
ℜ .µ D . ƿ
=!,$4ms .(!,1m)2= C,!2x1!*ms
7max=C,!2x1!*ms
Ejercicio 3 ;etermine el tamaDo del tubo de cobre, mas peueDo ue llevara 4/min de los siguientes fluidos en un flujo turbulento. 6nali3ando: 6nali3ando:
l 1 min =6.67 x 10 . 7=4 min 3600
*#
m3 s
Si la seccion del tubo debe de ser minima entonces el numero de 9eynolds sera el minimo para un flujo turbulento 9e=4!!!
V . D . ƿ 9e= µ
V .D 9e= E(1) ˠ
7=8 . 6
8=
Q π 2 . D E(2)
() 4
9eempla3amos 9eempla3amos (2) en (1):
9e=
4. Q . D 2
D . v . π
=
4. Q .
D v . π
;=
4. Q
ℜ.v.π
F ;=
4. Q . ρ
ℜ.μ.π
14
AGUA A 40° −7
v=".#" x 10
m2s −5
;=
4 ( 6,67 ) x 10
3
m /s −7
=!.!24 m=2.4mm
2
π ( 4000 ) . 6,56 x 10 m / s
GASOLI!A"G#$0%&'( ) 2*° =2,Cx1!*4a.s ρ =>s. ρH 2 O = !,#x1!!!Agm="!Agm −5
4.6,67 x 10 m
;=
4. Q . ρ
ℜ.μ.π
s
=
3 3
. 680 Kg / m
(
Kg .
−4
4000.2,87 x 10
. π.
m
m 2 s
2
)
=!.!#!=#!.mm .s
EJERCICIO 4
Determinar la ecuación de las líneas de corriente de un flujo permanente, bidimensional, simétrico respecto al eje y, y, dirigido en sentido contrario al positivo del mismo, que choca choca contra un placa horizontal contenida en el plano x,z cuyo campo de velocidades está definida por las componentes V x = 3 x V y =−3 y V z =0
14
SOLUCION:
!e sabe que la ecuación de línea de corriente está dada de la siguiente manera v x d r= 0 ⃗ ⃗
|
|
⃗ i j k v x d r = V x V y V z ⃗ dx dy dz ⃗
i
$
⃗
⃗
"#
V y dz −V z dy ¿− j (V x dz −V z dx )+ ⃗k ( V x dy −V y dx )= 0 V y dy
=
V z dz
V x
V z
dx
dz
=
V x
V y
dx
dy
=
%gualamos valores& V x
V y
V z
dx
dy
dz
=
=
'emplazamos valores en la ecuación de línea de corriente en el campo de velocidad
|
i j ⃗ v x d r = 3 x −3 y dx dy ⃗
⃗
⃗
⃗ k
0
dz
|
"#
14
i ⃗
$ −3 ydz −0 dy ¿− j( 3 xdz −0 dx )+ k (3 xdy+ 3 ydx )=0 k ( 3 xdy + 3 ydx )=0 3 xdy + 3 ydx =0
3 xdy =−3 ydx
Gntegramos para -allar la ecuaci'n de la lHnea de corriente:
∫ 3dx x =∫ −dy3 y lnx =−lny +
lnx=−lny + ln lnx= ln
y = xy
EJERCICIO 5 Ina tobera estJ diseDada de manera tal ue la velocidad varHa en funci'n de la longitud x, o sea
u=
u0 1.0 −0.5 x / !
14
u0
;onde la velocidad
es la de entrada y / es la longitud de la tobera. /a
velocidad de entrada es 1! ms y la longitud de !.# m. /a velocidad es uniforme a trav0s de cada secci'n. ncuentre la aceleraci'n media a trav0s de la tobera (x/ = !.#)
SOLUI+! ?ay aceleraci'n, entra a 1! ms, y sale a 2! ms. *Ko -ay aceleraci'n local porue el flujo es estable, de manera ue la aceleraci'n es debida a la aceleraci'n convectiva.
a x =u du = dx
du dx
−u 0
(
1.0 −
0.5 x
!
2
u du =0.5 0 dx !
u
( ) −0.5
)
2
!
=
1
!
0.5 u 0
( 1.0−
0.5 x
!
2
)
1
( 1.0−
0.5 x
!
3
)
Sustituyendo en x/ = !.# m, se obtiene 2
2 u0 10 =1.185 = 237 m / s2 a x =1.185 0.5 !
a x
9esult' positiva, luego entonces esta tiene direcci'n positiva.
sto es ra3onable, ya ue la velocidad aumenta en la direcci'n x positiva.
14
EJERCICIO 6
Se tiene el siguiente campo de velocidades
V =6 x yz i + 8 x y z j + w ⃗k . 2
⃗
⃗
2
⃗
?allar el componente L, sabiendo ue para 3 = !F se tiene L = ! y ue la divergencia de dic-o campo es de 4! xy3.
Solución: ∇ V =40 xyz ⦁
(
)(
∂ ∂ ∂ ⃗ i+ j + k ∂x ∂ y ∂z ⃗
⃗
∂V " ∂ V y ∂ V z ∂x
+
+
∂y
∂z
⦁
V " i + V y j + V z ⃗k )= 40 xyz ⃗
⃗
=40 xyz
∂ V ∂ ( 6 x 2 yz ) + ∂ ( 8 x y 2 z ) + z =40 xyz ∂x ∂y ∂z
( 12 xyz ) + ( 16 xyz ) +
∂V z ∂z
∂V z ∂z
= 40 xyz
=12 xyz
∂ V z =12 xyz ∂ z
V z
z
∫ ∂ V =12 xy∫ z ∂ z z
0
0
2
V z =12 xy
V z =6 xy z
z
2
2
14
V z =#
EJERCICIO 7
In tanue cilindro de agua gira en rotaci'n de un cuerpo s'lido, dando "! revoluciones por minuto. &alcule la vorticidad de las partHculas del agua del tanue.
Solución: stamos para calcular la vorticidad de partHculas de fluido en un tanue girando en rotaci'n alrededor de su cuerpo s'lido verticales al eje. ntonces deducimos ue:
l flujo es constante. l eje 3 estJ en la direcci'n vertical. /a vorticidad $ auH es el doble de la velocidad angular M.
8elocidad angular:
14
% =360 ⃗
;onde
( )(
r&t 1 min min 60 s ⃗ k
)
2 πrad ⃗ k =37.70 ⃗k rad / s
r&t
es el vector unitario en la direcci'n vertical (3)
/a vorticidad es: ⃗ ⃗ rad =75.4 k ⃗ rad $ =2 %=2 ' 37.70 k ⃗
s
s
EJERCICIO 8
Dado el siguiente potencial de velocidad& =5 x 2 t + 5 y 2 t −8 y + 7 t 3−10 z 2 t
∅
a( )omprobar si la función es *aplaceana b( +allar la expresión del campo vectorial de velocidades Solución:
a) Comprobación de la !nción Laplaceana: 2
∇ ∅ =0 2
2
Ec!ación de Laplace
2
∂ ∅ ∂ ∅ ∂ ∅ ∇ ∅ = 2 + 2 + 2 =0 ∂x ∂ y ∂ z 2
∂ ∅ ∂ ( 10 xt ) = =10 t 2 ∂x ∂x 2
∂ ∅ ∂ ( 10 yt −8 ) = =10 t 2 ∂y ∂y 2
∂ ∅ ∂ (−20 zt ) = =−20 t 2 ∂z ∂z 2
2
∇ ∅ =10 t + 10 t ±20 t
14
2
∇ ∅ =0 ∴ s una función armónica b) "e#erminación del Campo $ec#orial de %elocidade&'
´ =−∇∅=0 V )ondición de )ampo potencial, %rrotacional $pues si la función es armónica, entonces el campo es potencial o %rrotacional(
(
´ =− V
)
∂ ∅ ´ ∂ ∅ ´ ∂ ∅ ´ i+ j + k ∂x ∂y ∂z
´ =−( ( 10 xt )´i + ( 10 yt −8 ) ´j + (−20 zt ) ´k ) V ´ =(−10 xt ) ´i−( 10 yt −8 ) ´j +( 20 zt ) ´k V
GRUPO 2 En un c),-o e /lujo #e c)r)ceri) -or l) /unción e corriene ( = xy . El /lujo e# irro)cion)l. SOLUCION Se sabe que según la defnición de una unción de corriente, las componentes de elocidad !u" # !" est$n dadas por% u=
∂ ( ∂y
¿ ∂ [ xy ] ∂y
¿ x v=
−∂ ( ∂x
−∂ ∂x
[ xy ]
14
¿− y Como el &u'o es bidimensional el rotacional del ector elocidad es%
[
x) =k ∇
∂ v ∂u − ∂x ∂y
]
¿ k [ 0− 0 ] ¿0
(ste resultado indica que el &u'o es irrotacional)
L) /unción e corriene e un /lujo en o# i,en#ione# e# )) -or * = 9 + 6 x −4 y + 7 xy . Encunre#e l) /unción e -oenci)l e l) eloci) -)r) e#e /lujo. SOLUCION ∂ ϕ ∂ ( = =−4 + 7 x ∂x ∂ y 7
2
ϕ=− 4 x + x + + ( y ) ,, . ( a ) 2
*e igual orma mediante la aplicación de las ecuaciones se debe cumplir que ∂ ϕ −∂( = ∂y ∂x
(l primer t+rmino de esta igualdad es entonces
[
]
7 ∂ϕ ∂ = −4 x + x 2 + + ( y ) =+ - ( y ) 2 ∂y ∂y
(l segundo t+rmino es igual que%
−∂ ( ∂x
=−6−7 y
∂ ϕ −∂( = ∂y ∂x 7
2
+ ( y ) =−6 y − y + 2
14
Si la unción #- se reempla.a en la ecuación a-, se obtiene que la unción de potencial es% ϕ=− 4 x −6 y +
7
[ x − y ] + 2 2
2
V
= 6x 2 yzi + 8xy 2 z j + W k
Se iene el #i5uiene c),-o e eloci)e#6 7)ll)r el co,-onene 8% #)9ieno ue -)r) ; $ 06 #e iene 8 $ 0 < ue l) ier5enci) e ic=o c),-o e# 40 ><. SOLUCI/N
∇ • V = 40 xyz
r ∂ r ∂ ur ∂ r i ∂ x + j ∂y + k ∂z ÷ • ( i V x +
r
j Vy
+
u r
)
k Vz
∂V x ∂V y ∂V z + + = 4! xyz ∂ x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂V z 6 x 2 yz ) + 8xy 2 z ) + = 40 xyz ( ( ∂ x ∂y ∂z
12 xyz + 16 xyz +
∂V z 40 xyz = ∂z
∂V z = 12xyz ∂z
∂Vz = 12xyz ∂z
∫
Vz
0
z
∂Vz = 12 xy ∫ 0 z∂z
14
z 2 Vz = 12xy 2
Vz
= " xyz2
∴W = " xyz 2
?@u rel)ción e9en ener )% 9% c% -)r) ue el c),-o eloci) c),-o #olenoi)l
V
= ( a2 x + by + c 2 z ) i + $ x + b 2 + r 2 y + z ( j +
8
#e) un
$c 2 − 2r 2 ( z k
SOLUCI/N
∇ • V = #
Condición de campo solenoidal
∂V x ∂V y ∂V z + + = #∂ x ∂y ∂z Donde
Dónde:
V x = $a 2 x + by + c 2 z ( 2 2 V y = $ x + b + r y + z ( V z = $c 2 − 2r 2 ( z
∂V x . =a ∂ x
= a.
∂V y = b. + r . ∂ y
= $b. + r . (
14
∂V z = ∂ z
∴
$c 2
− 2r 2 (
= $c 2 − 2r 2 (
∂V x ∂V y ∂V z 2 2 2 + + = a + $b + r ( + $c2 − 2r 2 ( = 0 ∂ x ∂y ∂z a 2 + b2 + c 2 = r 2
El campo solenoidal tiene la característica de un movimiento esférico.
@ue )lore# e9en ener )% 9 < c% -)r) ue el c),-o ecori)l c),-o -oenci)l6 #i #e #)9e:
F
= 2a2 x − ( 4b − 5c + 11) y + ( 2a + 4b + c) z
+ ax + 2by + ( 2c − C ) z j +
F
#e) un
i
21x + ( +a − b ) y + #cz k
SOLUCI/N Condición del campo potencial
∇ × F = !
∂ r ∂ r ∂ ur ∇ = i + j + k ∂ x ∂y ∂z u r
*ónde%
14
F
= F x i + Fy j + Fz k
i u r
u r
∇ × F =
j
k
∂ ∂ ∂ =! ∂ x ∂y ∂z F x
Fy
F z
*esarrollando el determinante%
∂Fz ∂Fy r ∂Fx ∂Fz r ∂F y ∂F x ∂y − ∂z ÷ i + ∂z − ∂ x÷ j + ∂ x − ∂ y÷
u r k = !
*onde% F x = 2a2 x − ( 4b − 5c + 11) y + ( 2a + 4b + c) z
Fy
= ax + 2 by + ( 2c − 7 ) z
Fz = 21x + ( 3a − b ) y
+ 5cz
∂F z ∂F y ∂y − ∂z ÷ = ( 3a − b ) − ( 2c − 7 ) = 0 → 3a − 2c − b = − 7
( I)
∂F x − ∂F z = 2a + 4b + c − 21 = 0 → 2a + 4b + c = 21 ) ( ) ∂z ∂x ÷ (
(II )
14
∂F y ∂F x ∂ x − ∂y ÷ = a − ( − ) ( 4b − #c + 11) = ! → a + 4b − #c = − 11
( III )
0esoliendo por m+todos num+ricos las ecuaciones I-, II- # III-, resulta% a=2 b=+ c = #
1) Un campo de &u'o est$ dado por la unción corriente
2
( = 3 x y − y
3
) (s el
&u'o irratocional dibú'ese la l2nea de corriente para ( 3 4 Solución% Como con el problema anterior las componentes de elocidad en 5, e 6 est$n dadas por u=
v=
∂ ( ∂ = [ 3 x2 y − y 3 ]= 3 x 2− 3 y 2 ∂ ( ∂ y
−∂ ( −∂ 2 = [ 3 x y − y 2 ]=−6 xy ∂x
∂x
7or lo tanto el rotacional ser$
vxu =
[
∂ v ∂u − ∂x ∂ y
]
3 k [ −6 y −( 6 y ) ] = 0
(cuaciones &u'o es ir rotacional 7ara tra.ar la cuera que representa la l2nea de corriente cuando ( =2 basta con despe'ar la arbible x # dar alor a
y ) 8s2
14
√
[ 3 x y − y ] =¿ 3
3
2 + y
2
3 y
6 1 9 4 :
:);
<
<);
4
4); =
La l2nea de corriente para >34
N? 9 *ibu'ar la red de &u'o para un campo de elocidad dado por u=− grad ( ϕ )=
∂ϕ ϕ =)x,, .. ( a) ∂y
*e igual manera la unción de corriente queda defnida por) u=
−∂ ( =−) ∫ d( 3 ∂y
∫ )dy
( =)y + , , ( / )
DUNCI/N 7O@(NCI8L 5 E4 E< : <
@8AL8 B8LO0(S 7808 *IAU80 L8 0(* *( DLUO 7O@(NCI8 *( CO00I(N@( 6
ϕ
E4U EU : U
E4 E< : <
(
E4U EU : U
14
Si se asume que la unción de corriente es cero cuando #3:, la constante C tambi+n ser$ igual que cero por lo que) ( =)y
7ara establecer # dibu'ar la correspondiente red de &u'o es necesario dar alor tanto a 5 como a # en La ecuación a- # c- respectaimiento) Si ello es reali.a se obtienen los datos que muestra la tabla La red del &u'o resultante >3F >34 >3U >3E >3E >3EFU ϕ =−3 )
ϕ =−2 )
ϕ =)
ϕ
ϕ =−2 )
ϕ =−3 )
GRUP !
14
14
14
14
14
14
14
GRUP 4 / *a figura muestra un tanque de agua con una válvula en el fondo !i ésta válvula se abre, 0cuál es la altura máxima alcanzada por el chorro de agua que salga del lado derecho del tanque1 !uponga que h"/##m, *".##m, y 2"3#4 y que el área de sección transversal en 5 es muy grande en comparación con la que hay en 6
SOLUCI/N% <
*8@OS% 0 = 10 m v2 !=2 m
3 y 1
0 1
4 2 3 > 2 4
y 2
1
0 =5
G- 8plicamos la ecuación de Aernoulli en los puntos < # 4% 1
2
1
2
61+ ρ v 1+ ρg y 1= 6 2+ ρ v2 + ρg y 2 2
2
14
61= 62= 60 ( 6 . atm&s+7ria) y 1=0 8 y 2= ! . s9n ( : ) 8 v 1 =0
G- Simplifcando # reempla.ando% 1
ρg0= ρ v 2 + ρg! . s9n ( : ) 2
2
G- *espe'ando v 2
v 2= √ 2 g ( 0 − ! . s9n ( : ) ) v 2= √ 2 x 9.81 ( 10−2 x s9n ( 30 ; )) v 2=13.29 m / s
8nali.ando el punto 4% V+ y =0 V ˳ y v 2
4
F:?
0 1
@raba'ando en el e'e !#" V ˳ y = v 2∗ s9n ( 30 ) V ˳ y =13.29∗s9n ( 30 ) V ˳ y = 6.645 m / s
8plicando la órmula% 2
2
V+ y =V ˳ y −2 g0 1 2
0 = V ˳ y − 2 g0 1
*espe'ando H
14
2
V ˳ y 0= 2g 1
( 6.645 )2 0= 2∗9.81 1
1
0 =2.25 m
. sta fluyendo agua a 7#4 8, hacia abajo n el punto 5 la velocidad es de /# pies9s y la presión es de :#lb9pul. )alcule la presión en el punto 6
!;*<)%=>& D5?;!& v a =10 +t / s 6 3 =60
14
5plicamos la ecuación de 6ernoulli en el punto 5 y 6, tomado con línea de referencia el punto 6 1
1
2
2
6 3 + ρ v 3 + ρ g z 3 = 64 + ρ v 4 + ρ g z 4 2
2
@ara hallar la presión en 6, tenemos que saber la velocidad en este punto, para ello aplicamos la ecuación de continuidad& v 3∗ 2 3 = v 4∗ 2 4 v 4=
( ) 2 3 24
∗v 3
π ∗¿ 4 2
π ∗ 4 4
¿ ¿ v 4 =¿
v 4= 40 +t / s
0eempla.ando datos% 1
1
2
2
6 3 + ρ v 3 + ρ g z 3 = 64 + ρ v 4 + 0 2
2
10 +t / s
¿ ¿
40 +t / s
¿ ¿ 1 62.4 l/m 2 )¿ 60 l/+ /
+t
14
60
l/+
+ 3120 l/m2 + 60278.4 l/m2 = 64 + 49920 l/m2
60
64 =1183.2
F) 7ara el medidor de la fgura, el coefciente entre las $reas 8< # 84 es <:, # la dierencia de alturas entre los dos tubos erticales es 4:cm) Si el l2quido es agua, calcular% a- La rapide. en la parte ancHa b- La rapide. en el estrecHamiento
a" Utili#ando la ecuación de la continuidad$ tenemos: 3 1∗ v 1= 32∗v 2
v 2=
( ) 3 1 3 2
∗v 1
Aplicando la ecuación de Bernoulli, tenemos:
14
1
1
2
2
61+ ρ g 0 1+ ρ v 1 = 6 2+ ρ g 02 + ρ v 2 2
2
01= 02
Como 1
1
2
2
61+ ρ v 1= 62 + ρ v 2 2
2
Reemplazamos (1) en (2):
( )
2
3 1 ∗v 21 61+ ρ v 1= 62 + ρ 2 2 3 2 1
1
2
( )
2
3 1 −1 ) 61− 62= ρ v 1∗( 2 3 2 1
2
61− 62= ρg0
Como
( )
2
3 1 −1) ρg0= ρ v 1∗( 2 3 2 1
2
( ) 3 1 3 2
( 10 ) 2
2
3.92 m / s [¿¿ 2 −1 ]= 99 9.81 m ∗(0.2 m) 2 2
( [¿ ¿ − ]= 2
1
2
v 1=
s
)
¿ 2 g0
¿ v 1= 0.2 m / s
%" &plicando la ecuación '1"
14
v 2=
( ) 3 1 3 2
∗v 1
( )
v 2=10 0.2
m s
v 2= 2 m / s
7 nla figura, el fluido es agua y descarga libremente a la atmosfera @r un flujo masico de /ABg9s determine la presion en el manometro
Solución% 15 " 4
)
m 3 pB4 84
B4 3
1000 xπx 0.05
2
() * +.,4 m-s 15 " 4
B< 3
1000 xπx 0.08
2
B< 3 4)JK ms 87LICN*O L8 (CUCION *( A(0NOULLI (N@0( < 6 4 @(N(MOS) 6 1 <
g<
V 1
2
= 6 2 + g= 2 + V 2 2 2 <
5
7< 3 <::P
10
1000
+ 9.8 x 12 +
7.64 2
2
−
2.98 2
2
2
Q
P1 * )4).! /Pa * P1a%s
7<3 7
7
P1mano *14).!0Pa
GRUP 9@B/N6 1.
*eterminar el gasto que circula en el sistema mostrado en la fgura) (l di$metro de la tuber2a es de 9") (st$ HecHa de ferro − undido, nueo) La iscosidad del agua es 1,4 x 10 m / s ) Los bordes de la entrada son ligeramente redondeados) (l cHorro descarga libremente a la atmosera) 6
2
!!!!!!!
Solución% 8plicando el teorema de Aernoulli entre : # < # la ecuación de la energ2a entre < # 4 se obtiene) 2
V ( + ! + K 1 + 2 K 2+ 1 ) = 0 −= 2= 2 g D
14
0empla.ando los alores conocidos # siguiendo el m+todo general V =3,6
m Q=0.029 m 3 / s > 29 l / s s
La longitud de tuber2a equialente del mismo di$metro # rugosidad es 4<4,49 m) Luego, 3
0 + =0,0254
212,24 ( 3,6 ) 0,1016 2 g
=35,08 m
Con lo que queda erifcado el problema
9@B/N6 2.
Una tuber2a de agua de <4 pulg tiene un gasto de
14
;atos:
Soluci'n:
14
14
9@B/N6
Calcule la potencia que trasmite el aceite al motor de &uido de la fgura si el &u'o olum+trico es :)4; mFs) en el sistema Ha# una p+rdida de energ2a de <)9m) Si el motor tiene una efciencia de ;T calcule la potencia de salida)
Soluci'n:
14
roblema 4
Una bomba sumergible de po.o proundo en2a 9; galH de agua cuando opera en el sistema de la fgura, si e=iste perdida de energ2a de <:); pie calcular% a- La potencia que trasmite la bomba al agua b- Si la bomba consume < Hp, calcule su efciencia
14
Soluci'n:
vvvvvvvvvvvv a
14
0U7O 1 I
1. Se utili3a un modelo de un autom'vil a una escala de 1:1! para medir el retardo en un diseDo propuesto. ;ebe simular una velocidad del prototipo de $! Om-. P7u0 velocidad se deberJ utili3ar en un tQnel de viento si se igualan los nQmeros de 9eynoldsR n esta condici'n, PcuJl es la relaci'n de las fuer3as de retardoR Soluci'n xiste el mismo fluido en el modelo y prototipo, por lo tanto si se igualan los nQmeros de 9eynolds se obtiene: V m lm V m
=
V < l < V m
=V <
∴ V m
l < lm
14
V m= 90 x 10 V m= 900 km / 0 sta velocidad, desde luego, introduce efectos de compresibilidad, efectos ue no existen en el prototipo. or consiguiente el estudio del modelo propuesto es inapropiado. Si se utili3a esta velocidad en el modelo, la relaci'n de las fuer3as de retardo es:
( ? D ) < ρ < V < l < = ( ? D )m ρm V m l m
∴
2
2
2
2
( ? D ) < =1 ( ? D )m
or tanto, vemos ue la fuer3a de retardo en el modelo es la misma ue en el prototipo si se utili3an los mismos fluidos al utili3ar los nQmeros de 9eynolds.
14
2. n el ejercicio anterior, si se -ubieran igualado los nQmeros de 9eynolds, la velocidad en el modelo estudiado -abrHa resultado en el r0gimen de flujo 9s d9ir @ > 0,3 & V compresible (¿¿ m > 360 km / 0 ) . ara conducir un estudio aceptable del
¿
modelo, Pse utili3a una velocidad de $! Om- en un modelo con una longitud caracterHstica de 1! cmR Suponga ue el coeficiente de retardo
(
D =
? D 1 2 ρ V 3 2
cuando
)
A d&nd9 39s 9l B r9a
ℜ> 105 . ;e ser asH P7u0 fuer3a de retardo en el prototipo
corresponde a una fuer3a de retardo de 1,2K medida en el modeloR Soluci'n l estudio del modelo propuesto en un tQnel de viento -a de ser reali3ado con km −5 2 V m= 90 y C m=0,1 m. v =1,6 x 10 m / s A el nQmero de 9eynolds es &on 0
ℜm =
ℜm =
V m lm vm 90 x 1000 x 0,1 3600 1,6 x 10
−5
ℜm =1,56 x 105 5
ste nQmero de 9eynolds es mayor ue
10
, asH ue se supone ue existe
similitud entre modelo y prototipo. /a velocidad de $! Om- es suficientemente alta. /a fuer3a de retardo en el prototipo ue viaja a $! Om- correspondiente a 1,2 K en el modelo se encuentra como sigue:
( ? D ) < ρ < V < l < = ( ? D )m ρm V m l m (
2
2
2
2
) =( ? D )m x
∴ ? D <
2
2
2
2
ρ < V < l ρm V m l
< m
14
( ? D ) <=1,2 x 10
2
( ? D ) <=120 @bserve ue en este ejemplo se supuso ue el coeficiente de retardo es 5
10 . Si el coeficiente de retardo continua
independiente de 9e con 9e 5
10
variando por encima de 9e =
(esto es evidente con datos experimentales),
el anJlisis anterior tendrHa ue ser modificado en conformidad).
. In cuerpo sumergido debe moverse -ori3ontalmente a trav0s de aceite
( E =52
l/ 3
+t
A μ= 0,0006
l/.s 2
+t
)
a una velocidad de 4# fps. ara estudiar las
caracterHsticas de este movimiento, se reali3an pruebas con un modelo ampliado del cuerpo en agua a "! 5<. /a relaci'n del modelo F es :1. ;etermine a u0 velocidad debe moverse por el agua este modelo aumentado para conseguir la semejan3a dinJmica. Soluci'n l cuerpo estJ sumergido, por tanto no influye la acci'n de las olas. l criterio de 9eynolds debe satisfacerse, por lo ue: DV = DV , , , , . ( C ) v < v m
( ) ( )
;atos: D m •
•
D <
=
8 1
V 6 =45 +t / s −5
•
2
v m = 1,217 x 10 +t / s 2
•
μ 0,0006 l/.s / +t =0,000372 +t 2 / s v 6= = 3 E 52 l/ / +t 2
32,2 s / +t
9eempla3ando los datos en la ecuaci'n G
14
D < ( 45 ) 0,000372
=
8 D < V m −5
1,217 x 10
V m= 0,1843 +t / s
4. ;edu3ca una expresi'n para el caudal TU ue fluye por el vertedero ue se muestra en la figura adjunta, por pie del vertedero, perpendicular al plano del dibujo. Suponga ue la capa de agua es relativamente gruesa, por lo ue los efectos de la gravedad son muc-os mJs importantes ue el efecto de la viscosidad de forma ue este Qltimo se puede despreciar.
Soluci'n
14
&on estas -ip'tesis las variables ue afectan a TU serHan la altura ?, la aceleraci'n de la gravedad g, y posiblemente la altura del vertedero . or tanto: G =+ ( H A g A 6 ) + 1 ( G A H A g A 6 )= 0 n este caso -ay n = 4 variables y m = 2 dimensiones. Se pueden -allar fJcilmente dos variables ue no se puedan formar en un grupo adimensionalF por tanto O = m = 2, y -ay n % O = 2 grupos pi ( π 1 A π 2 )=0 Itili3ando y ? como las variables primarias a1
/1
a2
/2
π 1= G H g
π 2= G H 6
( ) 3
Vrabajando con
π 1
F
a1
! / ! ! I = ! 2 I! I 0
0
1
0 = 2 a 1 + /1 + 1
/:
0 =−a1−2
V:
a1=−2 8 /1= 3
or tanto: 9eempla3ando: −2
3
π 1=G H g 3
H g π 1= 2 G
( ) 3
Vrabajando con
/:
π 2
F
a2
! / ! I = ! ! I! 0
0
2
0 =2 a 2+ /2 + 1
14
0 =−a2
V:
a2= 0 8 /2=−1
or tanto 9eempla3ando: −1
0
π 2=G H 6 6 π 2= H
π 1
√
3
2
G =
, S I; S&9GBG9 &@N@:
= ( π 2−1 )
H g G
( π 1 A π 2 )=0
( )
= H 6
( )
H 3 /2 √ g H 6
or tanto, el anJlisis dimensiona indica ue el caudal por unidad de longitud de 3/ 2 vertedero es proporcional a √ g y a H . l caudal es afectado tambi0n por la relaci'n
H / 6 .
14
