UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA FRANCISCO MORAZÁN Depar tamento de Cienci as M atemáti cas PROBLEMAS DE ANÁLISIS REAL, SECCIÓN B: Primer período 2012
Ejercicios de la sección 3.4 1. Dar un ejemplo de una sucesión no acotada que tenga una subsucesión convergente. X : xn , donde x2n 1 :
1 2n 1
sucesión que no está acotada acotada y tiene y x2n : 2n. X es una sucesión
1 la subsucesión X ' : que es una sucesión convergente. 2k 1
2. Aplicar el método del ejemplo 3.4.3b para demostrar que si
0
1 n c 1, entonces Lím c 1.
1 1
Sea zn : c
n
z 2 z
1
z2n : c
2n
2
1 1 2 n : c : zn z2n 2 zn Lím z2n 2 Lím z n .
z 1 z 0 z 1 (Se descarta z 0 porque para toda n
z n 1).
1 n Lím c 1.
3. Sea
f n
la sucesión de Fibonacci del ejemplo 3.1.2d y sea xn :
f n 1 f n
.
Dado que
Lím xn L existe, determinar el valor de L.
xn :
f n 1
fn 1 fn
:
f n
:
f n 1
fn
1 :
fn
1
f n
1
1 :
xn 1
1. xn :
1
xn 1
f n 1
Lím xn Lím
1
xn 1
L
( 1)
1 1 L 1 L2 1 L L2 L 1 0. L
( 1)2 4(1)( 1) 2(1)
1
5 2
L
1
5 2
porque n
xn 0.
1
4. Demostrar que las siguientes sucesiones son divergentes. 1 n a) 1 1 n
n
X : 1 1
1
n
2k 1
: 2 2k 1 1 1 2k : 1 1 : 0 : k k 2 2
. Lím ( X ') : 2. 2k 1 1 X '' : x2k . . Lím ( X '') 0. k 2 X ' y X '' son dos subsucesiones de X con límites diferentes X es una sucesión divergente. X ' : x2k 1 : 1 1
1
1
n b) sen 4
n . 4 X ' : x8k 6 : sen X : sen
(8k 6)
3 : sen 2 k : 1 . Lím ( X ') : 1. 4 2 (4 k 4) X '' : x4k 4 : sen : sen (k 1) : 0 . Lím ( X '') 0. 4 X ' y X '' son dos subsucesiones de X con límites diferentes X es una sucesión divergente.
5. Sean X xn y Y yn sucesiones dadas, y sea la sucesión “barajada” Z z n definida por z1 : x1, z2 : y1, , z2n 1 : xn , z2n : yn , . Demostrar que Z es convergente si y sólo si tanto X como Y son convergentes y Lím X Lím Y . a) Z es convergente
tanto X como Y son convergentes y Lím X Lím Y . Por demostrar.
Las sucesiones X e Y son subsucesiones de Z . Luego, si Z converge, Por el teorema 3.4.2 cualquier subsucesión de Z converge al mismo valor al que Z converge y, por la unicidad del límite debe cumplirse que Lím X Lím Y . b) Tanto X como Y son convergentes y Lím X Lím Y Z es convergente. Por demostrar.
Z se define por : z 2 n 1 : xn z 2n : y n . Es decir, en X están todos los términos impares de Z , mientras que en Y están todos los términos pares de Z .
1 0 K (1 ) Lím X Lím Y L 0 K ( ) 2 2
tal que n K (1 ) tal que n K ( 2 )
xn L 1 yn L 2
Sea K ( ) máx K (1 ), K ( 2 ) , donde mín 1, 2
Lím X Lím Y
Lím X Lím Y
Lím X Lím Y Lím X Lím Y
0 K ( ) L 0 K ( ) 0 K ( ) L 0 K ( ) 0 K ( ) L 0 K ( ) L Lím Z L .
tal que n K ( ) xn L
tal que n K ( ) yn L
tal que n K ( ), n es impar xn L
tal que n K ( ), n es par yn L tal que n K ( ), n es impar zn L tal que n K ( ), n es par zn L
1 n
6. Sea xn : n para n . a) Demostrar que xn 1 xn si y sólo si
1 1
n
n
n, e inferir que la desigualdad es válida para
n 3. (Véase el ejemplo 3.3.6). Concluir que
xn es
x : Lím xn existe. 1
xn 1 xn (n 1)
n
1
1
n
n
n 1
1 n 1 (n 1) n 1 n
(n 1) n
n 1 n
n
1
n
1 n
n n
n
n 1
1 n n n
1
1 1
1 n n
1
1 n n
1
1 n
n
n
n
1 1
n
n
n.
decreciente a la larga y que
xn 1 xn
1
1 n
n
n.
A continuación se presenta una muestra de la tabla de n
1 1
n
1
1 n
n
.
1
2
3
4
5
6
2
2.25
2.370370370
2.44140625
2.48832
2.521626371
n
Además, en el ejemplo 3.3.6 se demostró que la tabla anterior y también se verifica que
1
1 n
1 1 n
n
n
es creciente, como puede verificarse en
n para n 3.
1 n Luego xn : n es decreciente a la larga. x1 : 1, x2 : 1.414213562, x3 : 1.442249570,
,
son algunos de estos términos, observándose que 1 es una cota inferior. Por tanto, la sucesión 1 n xn : n es decreciente para n 3 y está acotada inferiormente por 1. Por el teorema de la
convergencia monótona xn es convergente y por lo tanto, x : Lím xn existe. b) Usar el hecho de que la subsucesión x2 n también converge a x para concluir que x = 1.
x2 n : (2n)
1
1
1
2n
2n
2n
1 2
: (2)
(n)
1 2
n n : 2 n 1
1
1 2
1 2
1 n n Lím 2 Lím 2 (1) 2 1. 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 n n n n 2n Lím x2 n lím (2n) lím 2 lím 2 lím n (1) lím n x 2 1
1
1 2
Lím x2 n x x x x x 2 x (1 x ) 0 x 0 x 1 x 1. Se descarta x 0 porque x n es una sucesión que está acotada inferiormente por 1 .
7. Establecer la convergencia y encontrar la convergencia de las siguientes sucesiones: n2 1 a) 1 2 n
,
k 2 1 1 k 2
converge a e porque es una subsucesión de
1 Por tanto, lím 1 2 n
1
1
1
n
n
tomando n k 2.
n
tomando n 2 k .
n2
e.
n 1 b) 1 , 2n 2k 1 1 converge a e porque es una subsucesión de 2k
1 1 Por tanto, lím 1 lím 1 2n 2n n
2 n2 1 c) 1 2 n
Lím 1
n 1
2n
1
1
1 lím 1 2n 2
2n
n
1
1 2 e 2.
,
2 n2
2
2
n2 n2 1 1 lím 1 2 lím 1 2 n n
2
e2.
2 n d) 1 . n n
Lím 1
2
n
lím 1 n Lím m
n 2 1 2 n 2
lím 1
1
1
m
m
En donde se hace la sustitución m para que m .
n 2 1 2 n 2
lím 1
n 2 1 2 n 2
2
2 e .
n 2
. Si n , entonces m , también n debe ser par
8. Determinar los límites de las siguientes sucesiones. 1 a) 3 n 2n ,
1 1 3 k n 3 k converge a 1 porquees una subsucesión de n tomando n 3k. 1
Por tanto, lím 3 n 3n 1 b) 1 2n
2n
lím 3 n
3
1 3 3n 2
3
3 2 2 3 n 3 n 2 lím 3 n lím 3 n (1) 1. 1
1
, 3n
1 Lím 1 2n
1 Lím 1 2n
2n
3 2
1 lím 1 2n
2n
3
1 lím 1 2n 2
3
2n 2
3
e 2.
9. Suponer que toda subsucesión de X (xn) tiene una subsucesión que converge a 0. Demostrar que Lím X 0.
Sean xn : k k
el conjunto de todas las subsucesiones de X (x ) . n
Suponer que X no converge a 0. Si X no converge a 0, entonces el teorema 3.4.4 implica que existe 0 0 y una subsucesión X ' : xn de X tal que k
xn 0 xn k
k
0 para toda k .
Pero X ', de acuerdo a la hipótesis, tiene una subsucesión X '': xn
que converge a 0. Por la k
j
definición de límite: Lím X '' 0 0 K ( )
En particular cuando 0.
tal que nk
j
K ( )
xn 0 xn k
j
k
j
.
K ( 0 )
xn
k
tal que nk
j
0 para toda k
xn
k
j
K 0
0.
xn
k
j
0. Estas dos proposiciones se contradicen
porque los términos de la subsucesión X '' también están en la subsucesión X '. La contradicción se originó de suponer que X no converge a 0. Por tanto, X converge a 0 y Lím X 0. 10. Sea xn una sucesión acotada, y para toda n
sean sn : sup xk : k n y S : inf sn .
Demostrar que existe una subsucesión de xn que converge a
sn : sup xk : k n : sup xn, xn 1, xn 2,
S .
sn 1 : sup xk : k n 1 : sup xn 1, xn 2, xn 3,
sn sn 1
Por lo tanto, la sucesión sn es una sucesión decreciente. Además, como xn está acotada,
sn que
se construye con elementos de xn , también está acotada. Por lo tanto, según el
teorema de convergencia monótona, sn es convergente. Esto más, sn es una subsucesión de
xn , porque el índice n es creciente y cada sn se toma de xn . Ahora bien, por el mismo teorema de la convergencia monótona, lím sn inf sn S. Por lo tanto, sn es la sucesión buscada que converge a 11. Suponer que xn 0 para toda n converge.
S .
y que lím ( 1)n xn existe. Demostrar que xn
Si lím ( 1)n xn x, entonces por el teorema 3.2.9 lím xn lím ( 1)n xn lím x x . Por lo tanto,
xn converge a
x .
Como xn 0 para toda n
,
por el teorema 3.2.4.
lím xn x 0.
12. Demostrar que si xn no está acotada, entonces existe una subsucesión 1 xn k
lím
0.
xnk tal
que
La sucesión xn
se construye de la siguiente manera:
k
Se elige n1 1 de modo que xn
1
1, después se elige n2 n1 de modo que xn
y, en general, se elige nk nk 1 de modo que xn k Como puede verse La sucesión xn xn
supera a al número natural
k
2,
2
k .
así construida es no acotada porque cada nuevo término
k y
como los números naturales no son acotados, entonces
k
1 también esta sucesión no está acotada. Además, lím xn k
13. Si xn : ( 1)n 1 , encontrar la subsucesión de n
0.
xn
que se construyó en la segunda
demostración del teorema de Bolazano-Weierstrass 3.4.8, cuando se toma I 1 : [ 1, 1].
x2k 1 : 1, 3 , 5 , 1
1
14. Sea xn una sucesión acotada y sea s : xn : n
. Demostrar
que si s xn : n
,
entonces hay una subsucesión de xn que converge a s. Se elige n1 1 de modo que xn s 1, después se elige n2 n1 de modo que 1
xn
2
s 12 , y, en general, se elige nk nk 1 de modo que xn s 1k . Lím xn s. k k
15. Sea I n una sucesión anidada de intervalos acotados cerrados. Para toda n , sea que xn I n. Usar el teorema de Bolzano-Weierstrass para dar una demostración de la propiedad de los intervalos anidados 2.5.2. xn In an xn bn xn an , bn
Por el teorema de Bolzano-Weierstrass existe una subsucesión xn
k
que converge a un punto
que llamaremos . Ahora bien, xn I n an, bn lím xn k
k
In an, bn
y, como los intervalos son anidados, es decir, I1 I 2 I3
I n
, entonces se
cumple que I n an, bn para toda n . 16. Dar un ejemplo que muestre que el teorema 3.4.9 no se cumple si se omite la hipótesis de que X es una sucesión no acotada.
X : xn 0,
3 2
, 3,
2 3
,
5 4
4
, 5,
5
,
7 6
, 7,
6 7
,
9 8
, 9,
8 9
,
11 10
, 11,
10 11
,
13 12
, 13,
. En
esta sucesión se
cumple que:
2
4
6 8 10
3
5
7
x3k 2 : 0, , , , ,
9 11
,
x3k 1 : 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 3
x3k : 3,
1
5
7
9 11 13
5, 7, 9, 11, 13,
: 22k k 12 : 1
2k 1
: 2k 2k 1 : 1
2k
1
1
: 2 k 1
1
Lím x3k 2 lím 1 1, lím x3k 1 lím1 1 y x3k diverge. Por tanto, 2k 1 2k
todas las subsucesiones convergentes de X que se puedan formar, tomarán términos de las dos primeras subsucesiones y convergerán a 1, pero X diverge.
