PROBLEMAS RESUELTOS CAPÍTULO III TOPOGRAFÍA JACK MC CORMAC Por: Arq. Rafael Chang
[email protected] PROBLEMA 3.1 Enuncie seis métodos para la medición de distancias, mencionando las ventajas y desventajas de cada uno.
´Método de medición Medición con pasos
Ventajas • • •
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Odómetros y ruedas para medir distancias
Reglón o barra horizontal de estadia
Medición rápida Sin equipos Es de utilidad de cualquier persona Precisión razonable Revisión de cualquier distancia precisa
Mejora el tiempo de la medición con pasos Revisión de cualquier distancia precisa ¨Precisión entre 1/1000 y 1/5000 Muy útil para la medición de distancias a través de ríos, cañones, calles transitadas y áreas de difícil acceso. El ángulo subtendido es independiente de la inclinación de la línea visada. Mediciones taquimétricas entre 1/250 y 1/1000 Método práctico para la determinación de elevaciones sobre el terreno. Levantamientos ordinarios con precisiones entre 1/1000 y 1/5000
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Desventajas • • •
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Baja precisión Baja exactitud El paso disminuye en terreno ascendente El paso aumenta en terreno descendente Es muy cansado en distancias largas Baja precisión Baja exactitud Se utiliza únicamente en superficies lisas No es apropiado para levantamientos de primer orden. Baja precisión
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Estadia
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Cadenas
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Baja precisión No es apropiado para el levantamiento de propiedades.
Son pesadas Difícil de transportar
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Cintas métricas
Medición electrónica de distancias EDM
Levantamientos comunes de terrenos y construcción de edificios. Su uso se limita en la actualidad a medición de pequeñas distancias
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Levantamientos precisos de urbanizaciones, terrenos. Alta precisión 1/300 000 Son útiles en la medición de distancias de difícil acceso. El tiempo de lectura se reduce a unos cuantos minutos Manejo con poco personal operativo (1 topógrafo y 1 cadenero)
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Cuadrilla grande de trabajadores Su uso se limita en la actualidad a medición de pequeñas distancias Se requiere de experiencia
Alto costo pero amortizable a mediano plazo. No poder colocar el espejo o reflector exactamente sobre los puntos No funciona en días con bruma El clima adverso provee grandes cantidades de errores atmosféricos
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Sistema de Posicionamiento Global GPS
Rapidez Alta precisión 1/1 000 000
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Alto costo pero amortizable a mediano plazo. Cielo abierto El clima adverso provee grandes cantidades de errores atmosféricos
PROBLEMA 3.2 Determine dos situaciones en que puedan usarse ventajosamente cada uno de los siguientes métodos o instrumentos para la medición de distancias.
Métodos para la medición de distancias
Situaciones ventajosas en la utilización del método
Medición con pasos
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Medición con Odómetro
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Medición con estadia
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Medición con barra horizontal de estadia Medición con cinta
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Medición con EDM
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Mediciones taquimétricas No se requiere de gran precisión Superficies lisas Mediciones taquimétricas Mediciones taquimétricas No se requiere de alta precisión Mediciones de difícil acceso Mediciones de gran precisión Mediciones de gran precisión Equipo de bajo costo y mantenimiento Mediciones de gran precisión Mediciones en áreas de difícil acceso
PROBLEMA 3.3 Un topógrafo contó el número de pasos que se requieren para cubrir una distancia de 500 ft. Los resultados fueron: 188, 190, 187 y 191 pasos. Después midió con pasos una distancia desconocida, requiriendo 306, 308, 307 y 305 pasos. Determine la longitud promedio del paso y la longitud de la segunda línea.
Respuesta: 188+190+187+191 = 756 pasos 756 pasos / 4 = 189 pasos promedio 500 ft/189 pasos promedio = 2.6455 ft / paso 306 + 308 + 307 + 305 = 1 226 pasos 1 226 pasos / 4 = 306.50 pasos promedio 306.50 pasos promedio x 2.6455 ft / paso = 810.847 ft
PROBLEMA 3.4 Un topógrafo mide cuatro veces con pasos una distancia de 200 ft, obteniéndose 74, 75, 76 y 75.5 pasos. ¿Cuántos pasos se necesitarán para que este topógrafo recorra una distancia de 340 ft?
Respuesta: 74 + 75 + 76 + 75.5 = 300.5 pasos 300.5 pasos / 4 = 75.125 pasos promedio 200 ft / 75.125 pasos promedio = 2.662230 ft / paso 340 ft / 2.662230 ft / paso = 127.7125 pasos
PROBLEMA 3.5 Convierta a pues las siguientes distancias en metros, utilizando la definición más reciente de metro, la cual se basa en la velocidad de la luz.
Respuesta: 1. 210.20 m / 0.3048 m = 689.63 ft 2. 646.46 m / 0.3048 m = 2 120.93 ft 3. 918.73 m / 0.3048 m = 3 014.21 ft PROBLEMA 3.6 En un extremo de una línea se coloca una barra horizontal de estadia de 2 m y en el otro extremo se instala un teodolito. ¿Cuál es la longitud horizontal de la línea si se toman las siguientes lecturas angulares en la barra: 0°23’16”, 0°23’15”, 0°23’17” y 0°23’16”?
Respuesta: 0°23’16” + 0°23’15” + 0°23’17” + 0°23’16” = 1.5511° 1.5511° / 4 = 0°23’16” 0°23’16” / 2 = 0°11’38” 1 / Tan 0°11’38” = 295.504 m
PROBLEMA 3.7 Se utiliza una cinta de acero de resta de 100 ft (lectura cero en el extremo) para medir la distancia entre dos estacas. Si el cadenero de atrás sostienen la cinta en el punto de 67.00 ft y el de adelante en 0.41 ft ¿Cuál es la distancia medida?
Respuesta:
67.00 – 0.41 = 66.59 ft
PROBLEMA 3.8
Una cinta de acero de 100 ft tiene un espesor de 1/40 in y un ancho de 5/16 in. Si el acero pesa 490 lb/pie³. ¿Cuál es el peso de la cinta?
Respuesta: 1/40 in equivale a 0.002083 pie 5/16 in equivale a 0.026042 pie 0.002083 pie x 0.026042 pie x 100 pie = .005425 pie³ 0.005425 pie³ x 490 lb/pie³ = 2.658 lb
PROBLEMA 3.9 Repita el problema 3-8 si la cinta tiene un espesor de 0.030 in y un ancho de 3/8 in
Respuesta: 0.030 in equivale a 0.0025 pie 3/8 in equivale a 0.03125 pie 0.0025 pie x 0.03125 pie x 100 pie = 0.007813 pie³ 0.007813 pie³ x 490 lb/pie³ = 3.828 lb.
PROBLEMA 3.10 Un topógrafo ha determinado que el cateto AB del triángulo rectángulo que se muestra en la figura tiene una longitud de 234.33 ft y que el ángulo interior del vértice A mide 38°17’. Determine las longitudes de los otros lados del triángulo.
Respuesta C = 180°00’ – 38°17’ – 90°00’ C = 51°43’ a / sen A = b / sen B = c / sen C b / sen B = c / sen C b / sen 90°00’ = 234.33 / sen 51°43’ (234.33 x sen 90°00’) / sen 51°43’
b = 298.526 ft
a / sen A = b / sen B = c / sen C a / sen A = c / sen C a / sen 38°17’ = 234.33 / sen 51°43’ (234.33 x sen 38°17’) / sen 51°43’
a = 184.952 ft PROBLEMA 3.11
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 106.32 ft y uno de sus catetos mide 69.66 ft. Encuentre el ángulo opuesto al cateto de 69.66 ft
Respuesta: Sen θ = op / hip Sen θ = 69.66 / 106.32 θ =
40°56’03”
PROBLEMA 3.12 Los tres lados de un triángulo miden 60, 80 y 100 ft. Determine las magnitudes de los ángulos interiores.
Respuesta: a² = b² + c² - 2bc cos A a² - b² - c² = - 2bc cos A (a² - b² - c²) / - 2bc = cos A (80² - 60² - 100²) / (-2)(60)(100) = cos A
A= 53°13’
b² = c² + a² - 2ca cos B b² - c² - a² = - 2ca cos B (b² - c² - a²) / -2ca = cos B (60² - 100² - 60²) / (-2)(100)(80) = cos B
B = 36°87’
c² = a² + b² - 2ab cos C c² - a² - b² = - 2ab cos C (c² - a² - b²) / -2ab = cos C (100² - 80² - 60²) / (-2)(80)(60) = cos C
C = 90°00’
PROBLEMA 3.13 Un dique de tierra inclinado sube 3.4 ft por cada 10 ft de distancia horizontal. ¿Qué ángulo forma el dique con la horizontal?
Respuesta: tan θ = op / ady tan θ = 3.40 / 10.00 θ =
18°46’40.92”
PROBLEMA 3.14 Un topógrafo obtiene que una distancia inclinada mide 1642.5 ft. Adicionalmente, el ángulo entre la horizontal y la línea medida es de 2°56’30”. Determine la distancia horizontal medida y el desnivel que existe entre los dos extremos de la línea.
Respuesta:
sen θ = op / hip hip Sen θ = op 1642.50 x sen 2°56’30” = op
op = 84.292 ft
cos θ = ady / hip hip cos θ = ady 1642.50 x cos 2°56’30” = ady
ady= 1640.336 ft
PROBLEMA 3.15 Los ángulos existentes en los vértices de un campo triangular son de 32° 58° y 90° y la hipotenusa mide 262.20 ft. ¿Cuál es la longitud en pies que debe tener una barda perimetral para este campo?
Respuesta: sen θ = op / hip hip Sen θ = op 262.20 x sen 32° = op
op = 138.945 ft
cos θ = ady / hip hip cos θ = ady 262.20 x cos 32° = ady
ady= 222.358 ft
138.945 + 222.358 + 262.20 = 623.25 ft
PROBLEMA 3.16 Se desea determinar la altura de la torre de una iglesia. Suponiendo que el piso es horizontal, se mide una distancia de 500 ft desde la base de la torre y se determina que hay un ángulo vertical de 36°30’ desde ese punto en el suelo hasta la altura de la torre ¿Cuál es la altura de la torre?
Respuesta: tan θ = op / ady ady x tan θ = op op = 500 ft x tan 36°30’
op = 369.981 ft
PROBLEMA 3.17 Repita el problema 3.16 si se instala un instrumento a 600 ft de una torre, con un telescopio centrado a 5 ft por encima del suelo. Se dirige la visual horizontalmente hasta un punto ubicado a 5 ft de la base de la torre y luego se mide el ángulo hasta la parte suprior de la misma, cuyo valor es de 24°34’. ¿Qué altura tiene la torre?
Respuesta: tan θ = op / ady ady x tan θ = op op = 600 ft x tan 24°34’ op = 274.279 ft
Altura de la torre 274.279 + 5.000 = 279.279 ft
PROBLEMA 3.18 Se pretende pavimentar una sección de una carretera que tiene una pendiente de 3% (3 ft verticales por cada 100 ft horizontales). Si el camino tiene 24 000 ft de ancho y su longitud horizontal total es de 900 ft. Calcule el área por pavimentar del camino.
Respuesta: 3 ft / 100 ft = h / 900 ft ( 900 ft x 3 ft ) / 100 ft = h h = 27 ft c² = a² + b² c² = 27 ft² + 900 ft² c = 900.405 ft
A = Area a pavimentar A = 24 ft x 900.405 ft A = 21 609.718 ft²
PROBLEMA 3.19 Repita el problema 3.18 si en lugar de que el camino tenga una pendiente de 3% forma un ángulo de 3° con la horizontal.
Respuesta: tan θ = op / ady op = ady x tan θ op = 900 ft x tan 3°00’ op = 47.167 ft c² = a² + b² c² = 47.167 ft² + 900 ft² c = 901.235 ft
A = Area a pavimentar A = 24 ft x 901.235 ft A = 21 629.643 ft² PROBLEMA 3.20 Se necesita medir la altura de la aguja de la torre de una iglesia, según se muestra en la ilustración. Se ha encontrado una distancia horizontal y se han determinado dos ángulos verticales, según se muestra. ¿Qué altura tiene la aguja de la torre? Observe que en este caso no es necesario medir la altura del instrumento sobre el terreno.
Respuesta: tan θ = op / ady op = ady x tan θ op = 420 ft x tan 18°46’ op = 142.707 ft tan θ = op / ady op = ady x tan θ op = 420 ft x tan 5°12’ op = 38.223 ft
A = Altura de la torre A = 142.707 ft + 38.223 ft A = 180.930 ft OBSERVACIÓN: Nótese que el autor, no proporciona el ancho de la torre, por lo tanto, la respuesta de este problema no es correcta. PROBLEMA 3.21 Repita el problema 3.20 si la distancia horizontal es de 452.00 ft, el ángulo superior es de 4°50’10” y el inferior es de 16°42’30”.
Respuesta: tan θ = op / ady op = ady x tan θ op = 452 ft x tan 16°42’30” op = 135.678 ft tan θ = op / ady op = ady x tan θ op = 420 ft x tan 4°50’10” op = 38.242 ft
A = Altura de la torre A = 135.678 ft + 38.242 ft A = 173.920 ft OBSERVACIÓN: Nótese que el autor, no proporciona el ancho de la torre, por lo tanto, la respuesta de este problema no es correcta.
PROBLEMA 3.22 Repita el problema 3.20 considerando que la altura del instrumento es de 5.00 ft por encima del terreno y que la distancia inclinada desde el centro del instrumento hasta
la base de la iglesia es de 446.10 ft. Suponga que el ángulo vertical medido desde el telescopio del instrumento hasta la parte suprior de la aguja sigue siendo de 5°12’. El ángulo inferior no se midió.
Respuesta: c² = a² + b² a² = c² - b² a² = 446.10 ft² - 420.00 ft²
a = 150.350 ft
sen θ = op / hip sen θ = 150.350 ft / 420.00 ft θ =
19°41’46.3” ft
A = Altura de la torre A = 150.350 ft + 38.223 ft
A = 188.573 ft
OBSERVACIÓN: Nótese que el autor, no proporciona el ancho de la torre, por lo tanto, la respuesta de este problema no es correcta. PROBLEMA 3.23 Un topógrafo midió cuatro veces con pasos una distancia de 150 metros, obteniendo los resultados siguientes: 186, 188, 184 y 187. Después midió una distancia desconocida en la que requirió 208, 206, 205 y 207 pasos. Calcule la longitud promedio del paso del topógrafo y de la segunda línea.
Respuesta: 186 + 188 + 184 + 187 = 745 pasos 745 pasos / 4 = 186.25 pasos promedio 150.00 metros / 186.25 pasos = 0.805 m 208 + 206 + 205 + 207 = 826 pasos 826 pasos / 4 = 206.50 pasos promedio 206.50 pasos x 0.805 m = 166.233 m
PROBLEMA 3.24 Se va a trazar un edificio de 24 m x 48 m con una cinta de acero que tiene un error de longitud de +0.004 m. ¿Qué distancias deben medirse en el terreno?
Respuesta: Nota: El autor no menciona la longitud de la cinta, pero se supondrá que es de 20 m. La cinta es MAS LARGA, por lo tanto, la corrección deberá restarse de la medición total deseada. 24.00 / 20 = 1.020 mediciones 1.20 mediciones x 0.004 m = 0.0048 m 24.00 m – 0.0048 m = 23.995 m 48.00 / 20 = 2.400 mediciones 2.400 mediciones x 0.004 m = 0.0096 m 48.00 m – 0.0096 m = 47.990 m
Las dimensiones correctas que deben medirse son 23.995 m x 47.990 m PROBLEMA 3.25 Dos puntos de una línea inclinada están separados por una distancia aproximada de 100 m y tienen una diferencia de elevación de 12 m ¿Qué distancia inclinada se debe medir para obtener una distancia horizontal de 100 m?
Respuesta: c² = a² + b² c² = 12.000 m² + 100.000 m²
c = 100.717 m
PROBLEMA 3.26 Los lados de un triángulo miden 33.49 m, 46.56 m y 27.81 m. Determine la magnitud de los ángulos interiores.
Respuesta: a² = b² + c² - 2bc cos A a² - b² - c² = - 2bc cos A (a² - b² - c²) / - 2bc = cos A (27.81² - 33.49² - 46.56²) / (-2)(33.49)(46.56) = cos A
A= 36°13’02”
b² = c² + a² - 2ca cos B b² - c² - a² = - 2ca cos B (b² - c² - a²) / -2ca = cos B (33.49² - 46.56² - 27.81²) / (-2)(46.56)(27.81) = cos B
B = 45°21’34”
c² = a² + b² - 2ab cos C c² - a² - b² = - 2ab cos C (c² - a² - b²) / -2ab = cos C (46.56² - 27.81² - 33.49²) / (-2)(27.81)(33.49) = cos C
C = 98°25’24”
PROBLEMA 3.27
El ángulo de elevación de una torre inaccesible situada en un plano horizontal es de 53°19’. Desde un punto que está a 68.5 m de la torre, el ángulo de elevación es de 22°41’. Encuentre la altura de la torre.
Respuesta: a / sen A = b / sen B = c / sen C a / sen A = b / sen B a / sen 22°41’ = 68.50 / sen 30°38’ (68.50 x sen 22°41’) / sen 30°38’
a = 51.843 m
sen θ = op / hip op = 51.843 x sen 53°19’
op = 41.575 m
OBSERVACIONES: •
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EL AUTOR MENCIONA QUE EXISTE INACCESIBILIDAD DESDE EL PRIMER PUNTO DE OBSERVACIÓN Y LA BASE DE LA TORRE. LA DISTANCIA HORIZONTAL QUE SE REGISTRÓ EN LA SEGUNDA LECTURA, SEGURAMENTE ES LA DISTANCIA QUE EXISTE ENTRE LOS DOS PUNTOS DE OBSERVACIÓN Y NO A LA BASE DE LA TORRE.
PROBLEMA 3.28
Un topógrafo observa que su posición A está exactamente en línea recta con dos objetos inaccesibles B y C. Mide una línea AD = 200 m, la cual forma con la primera un ángulo BAD = 64°36’, y desde D observa que ADB = 28°20’ y BDC = 52°48’. Determine la distancia BC.
Respuesta:
LA DISTANCIA BC ES DE 255.922 M
