PROBLEMAS RESUELTOS DE ANALISIS DE ESTRUCTURAS POR EL METODO DE LOS NUDOS
Problema resuelto Pág. 246 Estática BEDFORD Problema 6.1 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.2 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.4 Estática BEDFORD edic 5 Problema 6.13 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.14 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.1 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.2 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.3 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.4 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.1 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.2 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.3 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.4 Estática Hibbeler edic 10 Problema c-34 estática Hibbeler edic 10 Problema C-35 estática Hibbeler edic 10 Problema 6.8 estática Hibbeler edic 10 Problema resuelto Pag. 145 Estática Meriam Problema 4.1 Estática Meriam edición tres Problema 4.1 Estática Meriam edición cinco Problema 4.3 Estática Meriam edición tres Problema 4.3 Estática Meriam edición cinco Problema 4.4 Estática Meriam edición tres Problema 4.4 Estática Meriam edición cinco Problema 4.5 Estática Meriam edición tres Problema 4.7 Estática Meriam edición tres Erving Quintero Gil Tecnólogo electromecánico - UTS Ing. Electromecánico - UAN Especialista en Ingeniería del gas - UIS Bucaramanga – Colombia 2011
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1
Método de las juntas o nudos (PROBLEMA RESUELTO PAG. 246 ESTATICA BEDFORD) El método de las juntas implica dibujar diagramas de cuerpo libre de las juntas de una armadura, una por una, y usar las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas axiales en las barras. Por lo general, antes debemos dibujar un diagrama de toda la armadura (es decir, tratar la armadura como un solo cuerpo) y calcular las reacciones en sus soportes. Por ejemplo, la armadura WARREN de la figura 6.6(a) tiene barras de 2 metros de longitud y soporta cargas en B y D. En la figura 6.6(b) dibujamos su diagrama de cuerpo libre. De las ecuaciones de equilibrio. 400 N
D
B
C
E
A 2m
2m
Fig. 6. 6(a) Armadura WARREN soportando dos cargas 400 N
800 N
D
B
3m
C
A AX 1m AY
1m 2m
400 N
E 1m
1m 2m
B
EY
TAB
800 N
TBD
TBD
TBC
TDC
D TDE
TAB TBC
A
TAC
TAC
TDE
C
TEC
TEC
E
AY
Fig. 6. 6(b) Diagrama de cuerpo libre de la armadura
2
Σ MA = 0 - 400 (1) - 800 (1 +1+1) + EY (1+1+1+1) = 0
+
∑ FX = 0
AX = 0
- 400 - 800 (3) + EY (4) = 0
∑ FY = 0
- 400 - 2400 + 4 EY = 0
AY + EY – 400 - 800 = 0
- 2800 + 4 EY = 0 4 EY = 2800
EY =
2800 = 700 N 4
EY = 700 N Σ ME = 0 - AY (1+1+1+1) + 400 (1+1+1) + 800 (1) = 0
+
- AY (4) + 400 (3) + 800 = 0 - 4 AY + 1200 + 800 = 0 4 AY = 2000
AY =
2000 = 500 N 4
AY = 500 N NUDO A El siguiente paso es elegir una junta y dibujar su diagrama de cuerpo libre. En la figura 6.7(a) aislamos la junta A cortando las barras AB y AC. Los términos TAB y TAC son las fuerzas axiales en las barras AB y AC respectivamente. Aunque las direcciones de las flechas que representan las fuerzas axiales desconocidas se pueden escoger arbitrariamente, observe que las hemos elegido de manera que una barra estará a tensión, si obtenemos un valor positivo para la fuerza axial. Pensamos que escoger consistentemente las direcciones de esta manera ayudara a evitar errores. 400 N
B
TAB 2
A
TAB
TAB
3 1
AY
TAC AY
TAB
TAC
A
C TAC
TAC
AY
Figura 6.7(a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta A.
3
Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son:
TAB TAC A Y = = 2 1 3
Hallar TAC
Hallar TAB
TAB TAC = 2 1
TAB A Y = 2 3
T TAC = AB 2
AY = 500 N
TAB = 577,35 Newton
TAB 500 = = 288,67 2 3 TAB = 2 (288,67 ) = 577,35 N
TAC =
577,35 = 288,67 N 2
TAC = 288,67 Newton (Tension)
TAB = 577,35 Newton(compresión) NUDO B Luego obtenemos un diagrama de la junta B cortando las barras AB, BC y BD (Fig. 6.8 a). De las ecuaciones de equilibrio para la junta B. 400 N
400 N
TBD
B
B
400 N
TBD
TBD
TAB TAB
800 N
TBD
D 0
60
TBC TAB (Y)
TBC TAB
TAC
TAC
TBC TBC (Y) TAB
TBC (X)
TAB (X)
TBC
A
600
C
AY
Figura 6.8(a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta B.
sen 60 =
TAB(Y ) TAB
TAB (Y) = TAB sen 60
⎛ 3⎞ ⎟ TAB(Y ) = TAB ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
Para abreviar los cálculos
sen 60 =
3 2
cos 60 =
1 2
4
⎛ 3⎞ ⎟ TAB TAB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝
cos 60 =
TAB = 577,35 Newton
⎛ 3⎞ ⎟ (577,35) = 500 N TAB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝
TAB (X) = TAB cos 60
TAB (Y) = 500 N
sen 60 =
TBC(Y ) TBC
cos 60 =
TBC (Y) = TBC sen 60
TBC(X ) TBC
TBC (X) = TBC cos 60
⎛ 3⎞ ⎟ TBC(Y ) = TBC ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ TBC TBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝
TAB(X ) TAB
⎛1⎞ TBC(X ) = TBC ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ TBC ⎝ 2⎠
⎛1⎞ TAB(X ) = TAB ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ TAB(X ) = ⎜ ⎟ TAB ⎝2⎠ TAB = 577,35 Newton
TAB(X ) =
1 (577,35) = 288,67 N 2
TAB (X) = 288,67 N
⎛ 3⎞ ⎟ TBC TBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ∑ FY = 0
100 = TBC (Y)
- 400 + TAB (Y) - TBC (Y) = 0
⎛ 3⎞ ⎟ TBC 100 = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 200 ⎛ 2 ⎞ TBC = ⎜ = 115,47 N ⎟ 100 = 3 ⎝ 3⎠
TAB (Y) = 500 N - 400 + 500 - TBC (Y) = 0 100 - TBC (Y) = 0
TBC = 115,47 N
100 = TBC (Y)
(compresión)
Se halla TBC (X)
∑ FX = 0 - TBD + TAB (X) + TBC (X) = 0
⎛1⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ TBC ⎝ 2⎠
TAB (X) = 288,67 N
TBC = 115,47 N
⎛1⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ (115,47 ) = 57,73 N ⎝2⎠
TBC (X) = 57,73 Newton - TBD + 288,67 + 57,73 = 0
TBC (X) = 57,73 Newton
- TBD + 346,4 = 0 TBD = 346,4 Newton
(compresión)
5
NUDO D Luego obtenemos un diagrama de la junta D cortando las barras BD, DC y DE . De las ecuaciones de equilibrio para la junta D. 800 N 800 N
800 N
D
TBD
TBD
TBD
D
600
TDE
TDC
TDC (Y)
TDE
TDE
C
TEC
E
TEC EY
TDC(Y ) TDC
cos 60 =
TDC (Y) = TDC sen 60
⎛ 3⎞ ⎟ TDC(Y ) = TDC ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ TDC TDC (Y ) = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
sen 60 =
TDE
TDE (Y)
TDC TDE (X)
TDC (X)
TDC
sen 60 =
600
Para abreviar los cálculos
sen 60 =
3 2
cos 60 =
1 2
TDC(X ) TDC
TDC (X) = TDC cos 60
⎛1⎞ TDC(X ) = TDC ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ TDC TDC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
TDE(Y ) TDE
cos 60 =
TDE (Y) = TDE sen 60
TDE(X ) TDE
TDE (X) = TDE cos 60
⎛ 3⎞ ⎟ TDE (Y ) = TDE ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ TDE TDE(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
⎛1⎞ TDE (X ) = TDE ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ TDE (X ) = ⎜ ⎟ TDE ⎝ 2⎠
∑ FX = 0 TBD - TDE (X) + TDC (X) = 0 TBD = 346,4 Newton
(compresión)
6
346,4
- TDE (X) + TDC (X) = 0
TDE (X) - TDC (X) = 346,4 ecuación 1 Pero:
∑ FY = 0
⎛1⎞ TDE (X ) = ⎜ ⎟ TDE ⎝ 2⎠ ⎛1⎞ TDC(X ) = TDC ⎜ ⎟ ⎝2⎠
- 800 + TDE (Y) + TDC (Y) = 0 TDE (Y) + TDC (Y) = 800 ecuación 2 Pero:
Reemplazando en la ecuación 1
⎛1⎞ ⎜ ⎟ TDE ⎝ 2⎠
⎛1⎞ - ⎜ ⎟ TDC = 346,4 ecuación 3 ⎝2⎠
⎛ TDE(Y ) = ⎜⎜ ⎝ ⎛ TDC(Y ) = ⎜⎜ ⎝
3⎞ ⎟ TDE 2 ⎟⎠ 3⎞ ⎟ TDC 2 ⎟⎠
Reemplazando en la ecuación 2
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ TDE + ⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ecuación 4 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
resolver ecuación 3 y ecuación 4
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ TDE - ⎜ ⎟ TDC = 346,4 multiplicar por ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ TDE + ⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ 3⎞ ⎟ TDC = 346,4 - ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ ⎟ TDE + ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 2 ⎟⎠ ⎠ ⎝ 3⎞ ⎟ TDE 2 ⎟⎠
[ 3]
[ 3 ]= 600
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ TDE + ⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDE = 600 + 800 = 1400 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ TDE = 1400 2 ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝
3 TDE = 1400 TDE =
1400 = 808,29 N 3
7
TDE = 808,29 Newton (compresión) Reemplazando en la ecuación 4, se halla TDC
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ TDE + ⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ecuación 4 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ (808,29 ) + ⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ TDC = 800 700 + ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 - 700 = 100 ⎠ ⎝ ⎛ 2 ⎞ 200 TDC = 100 ⎜ = 115,47 N ⎟= 3 ⎝ 3⎠ TDC = 115,47 Newton (Tensión) Problema 6.1 ESTATICA BEDFORD edic 4 Determine the axial forces in the members of the truss and indicate whether they are in tension (T) or compression (C) A
A
A
10 KN
10 KN
2m
2m
C
B
BX
Σ MC = 0 BY (1) – 10 (2) = 0
BY (1) = 10 (2) BY = 20 KN
2m
B
1m
B
BX
C BY
1m
+
10 KN
C BY
CY
∑ FX = 0
∑ FY = 0
10 – BX = 0
CY – BY = 0
BX = 10 KN
CY = BY
1m
CY
Pero: BY = 20 KN
CY = 20 KN
8
NUDO B FBA
BX
B
∑FY = 0
∑FX = 0
FBC
BY
FBC – BX = 0
FBA – BY = 0 FBA = BY
FBC = BX
pero: BY = 20 KN
pero: BX = 10 KN
FBA = 20 KN (tensión)
FBC = 10 KN (tensión) NUDO A A 10 KN FBA FBA
5
2 1
FAC
FAC
FBA 10 FAC = = 2 1 5
10 KN
Hallamos FAC
10 FAC = 1 5
( )
FAC = 10 5 = 22,36 KN FAC = 22,36 KN (compresión)
9
Problema 6.2 ESTATICA BEDFORD edic 4 La armadura mostrada soporta una carga de 10 kN en C. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y determine las reacciones en sus soportes b) Determine las fuerzas axiales en las barras. Indique si se encuentran a tensión (T) o a compresión (C) .
BY BX
B
FCB
FAB
=0
FAB
=0
3m
Σ MB = 0
+
AX
AX (3) - 10 (4) = 0
AX =
40 = 13,33KN 3
AX = 13,33 KN
A FCA
FCA
AX (3) = 10 (4) 3 AX = 40
FCB
4m
C 10 KN
∑ FY = 0 BY - 10 = 0 BY = 10 KN
Σ MA = 0
+
BX (3) - 10 (4) = 0
BX (3) = 10 (4) 3 BX = 40
BX =
40 = 13,33KN 3
BX = 13,33 KN
10
NUDO C FCB
3 10 KN
FCA
C 10 KN
5 4
FCB
FCA
FCB FCA 10 = = 5 4 3
Hallar FCA
Hallar FCB
FCA 10 = 4 3
FCB 10 = 5 3 (5)10 = 16,66 KN FCB = 3
FCA =
(4)10 = 13,33 KN 3
FCA = 13,33 kN (compresión)
FCB = 16,66 kN (Tensión) NUDO A ∑ FY = 0
AX = 13,33 KN FAB = 0
∑ FX = 0 AX - FCA = 0 AX = FCA Pero: FCA = 13,33 kN AX = FCA =13,33 kN
FAB AX
=0
A FCA
BY = 10 KN BX = 13,33 KN
FCB = 16,66 kN (Tensión) FCA = 13,33 kN (compresión) FAB = 0
11
Problema 6.4 ESTATICA BEDFORD edic 5 The members of the truss are all of lenght L. Determine the axial forces in the members and indicate whether they are in tension (T) or compression (C) F D
B
F FBD
B
D
FBA
C
FBC
FBA
FBC
A
A AX = 0 L
FBD
FCD
C
FCD
FAC
FAC
CY
AY L
NUDO D
F
F F
D
FBD
FBD
B
FBD
FBD
D FDC
600
FCD
FDC (Y)
FDC
Σ MC = 0
+
AX = 0
AY (L) – F (L/2) = 0
C
A
FDC (X)
L AY
CY
FDC
L/2
AY (L) = F (L/2) AY = ½ F Σ MA = 0
+
CY (L) – F ( L + L/2) = 0
CY (L) - F ( 3/2 L) = 0 CY (L) = F ( 3/2 L) CY = F ( 3/2) CY = 3/2 F
sen 60 =
cos 60 =
FDC(X ) FDC
FDC (X) = FDC cos 60
⎛1⎞ FDC(X ) = FDC ⎜ ⎟ ⎝2⎠
Para abreviar los cálculos
sen 60 =
3 2
cos 60 =
1 2
FDC(Y ) FDC 12
FDC (Y) = FDC sen 60
⎛ 3⎞ ⎟ FDC(Y ) = FDC ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ FDC FDC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ∑ FY = 0 - F + FDC (Y) = 0 F = FDC (Y) Pero: FDC (Y) = FDC sen 60 F = FDC sen 60 DESPEJANDO FDC
FDC =
1 (F) = 1,154 F sen 60
FDC = 1,154 F (Compresion)
∑ FX = 0
AX = 0
∑ FX = 0
∑ FY = 0
- FBD + FDC (X) = 0
AY + EY – 400 - 800 = 0
FBD = FDC (X) Pero: FDC (X) = FDC cos 60 FBD = FDC cos 60 Pero: FDC = 1,154 F F
FBD = (1,154 F) cos 60 FBD = 0,577 F (tensión) NUDO B
FBA
FBC
FBC
FBC
FBA
FBA
FBD
FBC
A AX = 0
FBD
D
FBA
FBD
B
FBD
B
C
L AY
CY
13
sen 60 =
FBA(Y ) TAB
FBA (Y) = TBA sen 60
⎛ 3⎞ ⎟ FBA(Y ) = FBA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ FBA FBA(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝
sen 60 =
FBC(Y ) FBC
cos 60 =
FBA(X ) FBA
FBD 0
60
FBA (X) = FBA cos 60
⎛1⎞ FBA(X ) = FBA ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ FBA(X ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 2⎠
FBA (Y)
600
FBC FBA
FBC (Y)
FBC (X)
FBA (X)
FBC (Y) = TBC sen 60
⎛ 3⎞ ⎟ FBC(Y ) = FBC ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FBC FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ∑ FX = 0
cos 60 =
FBC(x ) FBC
FBC (X) = FBC cos 60
⎛1⎞ FBC (X ) = FBC ⎜ ⎟ ⎝2⎠
FBD - FBC (X) - FBA (X) = 0
FBD - FBC(X ) - FBA (X ) = 0 FBC(X ) + FBA (X ) = FBD
Para abreviar los cálculos
sen 60 =
3 2
cos 60 =
1 2
PERO: FBD = 0,577 F
FBC(X ) + FBA (X ) = 0,577 F ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FBC + ⎜ ⎟FBA = 0,577 F (ECUACIÓN 1) ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ ∑ FY = 0 FBC (Y) - FBA (Y) = 0
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ FBC − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟FBA = 0 (ECUACIÓN 2) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ resolver ecuación 1 y ecuación 2
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FBC + ⎜ ⎟ FBA = 0,577 F multiplicar por ⎝ 2⎠ ⎝2⎠
[ 3] 14
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ FBC - ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ FBC + ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 3 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ FBC - ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠
( ) (0,577 F)
⎛ 3⎞ ⎟ FBC = F 2 ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 3 FBC = F
⎛ 1 ⎞ FBC = ⎜ ⎟F ⎝ 3⎠ FBC = 0,577 F (compresión) Reemplazando en la ecuación 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ FBC − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟FBA = 0 (ECUACIÓN 2) 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ (0,577 F ) − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ (0,577 F ) = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA 2 ⎠ ⎝ ⎠
Cancelando terminos semejantes
F
(0,577 F) = FBA
FBD
B
FBA = 0,577 F (tensión)
L
FBD
D
FBA
FBC
FCD
NUDO A FBA
FBA L
A
FBA
L/2
AY
L/2
C
FCD
FAC
FAC AY
FAC AY
FBC
A
L
CY
FAC
15
FBA FAC = L L2 FBA 2 FAC = L L
AY = ½ F CY = 3/2 F
Cancelando términos semejantes FBA = 2 FAC
FDC = 1,154 F (Compresion)
Pero: FBA = 0,577 F
FBD = 0,577 F (tensión)
0,577 F = 2 FAC
FAC =
0,577 F 2
FBC = 0,577 F (compresión)
FAC = 0,288 F (Compresión)
FBA = 0,577 F (tensión)
Problema 6.13 bedford edic 4 La armadura recibe cargas en C y E. Si F = 3 KN, cuales son las fuerzas axiales BC y BE?
AX=0
AY
1m
A FAB FCA
B
FAB
1m
FEB
D FDB
FGD
FDE
FCB
1m FCA
1m
FDB
FCB FEC
C 3 kN
FEB
FGD FDE
G
FEC
E
FGE
FGE
GY
6 kN
Σ MG = 0
+
6 (1) + 3 (1 +1) - AY (1+1+1) = 0
16
6 (1) + 3 (2) - AY (3) = 0 6 + 6 – 3 AY = 0 6 + 6 = 3 AY
∑ FX = 0
AX = 0
12 = 3 AY
AY =
12 = 4 KN 3
AY = 4 KN Σ MA = 0 - 3 (1) - 6 (1 +1) + GY (1+1+1) = 0
+
- 3 - 6 (2) + GY (3) = 0 - 3 - 12 + 3 GY = 0 - 15 + 3 GY = 0 3 GY = 15
GY =
15 = 5 KN 3
AX
AY
1m
A
B
1m
1m
D
GY = 5 KN
FGD
NUDO G 1m
FGD
FGD
G G FGE
GY
E
C
FGE
3 kN
1
FGE
FGE
GY
6 kN
FGD
2
1
GY = 5 KN
Las ecuaciones de equilibrio para la junta G son:
FGD FGE 5 = = 1 1 2 Hallar FGD
Hallar FGE
FGE 5 = 1 1 FGE = 5 KN (Tensión)
FGD =5 2
17
FGD = 2 (5) FGD = 7,071 KN (compresión)
NUDO D D FDB
AX
AY
1m
A
1m
B
1m
D FDB
FDB
FDE
FGD
FDE
FGD 1m
FDB
FGD FDE
1
FGD
2
G 1
FGE
E
C
FDE
3 kN
FGE
GY
6 kN
Las ecuaciones de equilibrio para la junta D son: Hallar FDB
FGD FDE FDB = = 1 1 2
5 = FDB
PERO: FGD = 7,071 KN
FDB = 5 KN (compresion)
F F = DE = DB 1 1 2 5 = FDE = FDB 7,071
Hallar FDE
5 = FDE
AX
AY
1m
A
B
FDE = 5 KN (TENSION)
1m
1m
FDB FEB
D FDB
FGD
FDE FDE
NUDO E
1m
FEB
FEB
FGD FDE
FEC FEC
C E
FGE
3 kN
G
FEC
E
FGE
FGE
GY
6 kN
6 kN
18
sen 45 =
FEB(Y ) FEB
FEB (Y) = FEB sen 45
⎛ 2⎞ ⎟ FEB(Y ) = FEB ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ FEB FEB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
cos 45 =
FEB(X ) FEB
FEB (X) = FEB cos 45
⎛ 2⎞ ⎟ FEB(X ) = FEB ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ FEB FEB(X ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
∑ FY = 0
FEB(X) FEB(Y)
FDE = 5 KN
FEB 450
FEC
FGE = 5 KN 6 kN
FDE - 6 + FEB(Y) = 0 PERO: FDE = 5 kN 5 - 6 + FEB(Y) = 0 - 1 + FEB(Y) = 0 FEB(Y) = 1 KN
FEB =
FEB(Y ) 1 = = 1,414 kN sen45 sen 45
FEB = 1,414 KN (tension) FEB (X) = FEB cos 45 FEB (X) = (1,414) cos 45 FEB (X) = 1 KN ∑ FX = 0 FGE - FEC - FEB (X) = 0 PERO: FGE = 5 kN FEB (X) = 1 KN FGE - FEC - FEB (X) = 0 5 - FEC - 1 = 0 4 - FEC = 0 FEC = 4 KN (tension)
19
NUDO C FCB
AX=0
FCA
AY
1m
A FCA
FEC
1m
B
FEB
FCA
D FDB
FCB FEC
3 kN
FEB
FGD FDE
G
FEC FGE
E
C
FCA(Y ) sen 45 = FCA
FGD
FDE
FCB
1m
C
1m
FDB
3 kN
FGE
GY
6 kN
FCA (Y) = FCA sen 45
⎛ 2⎞ ⎟ FCA (Y ) = FCA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ FCA FCA (Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ∑ FX = 0
cos 45 =
FCA(X ) FCA
FCA(X)
FCA (X) = FCA cos 45
FEC - FAC (X) = 0 FEC = FAC (X) PERO: FEC = 4 kN
⎛ 2⎞ ⎟ FCA (X ) = FCA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ FCA FCA (X ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
FCA(Y)
FCB
FCA 450 FEC = 4 KN 3 kN
FAC (X) = 4 kN FCA (X) = FCA cos 45
∑ FY = 0
FCA =
- FCB - 3 + FCA(Y) = 0
FCA (X ) 4 = = 5,656kN cos 45 0,7071
FCA = 5,656 KN (tension)
⎛ FCA (Y ) = ⎜⎜ ⎝ ⎛ FCA (Y ) = ⎜⎜ ⎝
2⎞ ⎟ FCA 2 ⎟⎠ 2⎞ ⎟ 5,656 = 4 KN 2 ⎟⎠
PERO: FCA (Y) = 4 kN - FCB - 3 + 4 = 0 - FCB + 1 = 0 FCB = 1 KN (compresión)
FCA (Y) = 4 kN
20
NUDO A AX=0
AY
1m
A
AY = 4 KN AX=0
A
1m
D FDB
FGD
FDE
FCB
1m FCA
1m
FDB FEB
FCA FAB
B
FAB
FAB
FEB
FCB
G
FEC
FEC
FCA
FGD FDE
E
C Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son: 3 kN
FCA FAB A Y = = 1 1 2
FGE
FGE
GY
6 kN
FAB 1
FCA
PERO: AY = 4 KN
2
FAB A Y = 1 1
1
AY = 4 KN
FAB = 4 KN (compresión) Problema 6.14 bedford edic 4 If you don't want the members of the truss to be subjected to an axial load (tension or compression) greater than 20 kn, what is the largest acceptable magnitude of the downward force F?
A
β
12 m
δ
12 m
F
Ө
B
α 4m
β C
D
13 m
3m
tg θ =
5 = 0,4166 12
5m 4m
β
Ө = arc tg (0,4166) Ө = 22,610
3m
21
tg β =
4 = 1,3333 3
β + δ = 900
β = arc tg (1,3333)
δ + Ө + α = 900
0
δ = 90 - β
β = 53,120
0
δ = 90 - 53,12
pero: δ = 36,870 Ө = 22,610
0
δ = 36,870
δ + Ө + α = 900
NUDO A
36,87 + 22,61 + α = 900
FAB(X) δ = 36,870
α = 900 - 36,87 - 22,61 F
FAB(Y) FAB
α
α = 30,520
FAC(Y)
FAC FAC(X)
sen 36,87 =
FAB(Y ) FAB
FAB (Y) = FAB sen 36,87
FAB(Y ) = (0,6 ) FAB
FAC(X ) FAC FAC(X ) sen 30,52 = FAC
sen α =
FAC (X) = FAC sen 30,52
cos 36,87 =
FAB(X ) FAB
FAB (X) = FAB cos 36,87
FAB(X ) = (0,8) FAB
cos 30,52 =
FAC(Y ) FAC
FAC (Y) = FAC cos 30,52
FAC(Y ) = (0,8614 ) FAC
FAC(X ) = (0,507 ) FAC ∑ FX = 0 FAC(X) - FAB (X) = 0 0,507 FAC - 0,8 FAB = 0 ECUACION 1 ∑ FY = 0 FAC (Y) - F - FAB (Y) = 0
22
0,8614 FAC - F - 0,6 FAB = 0 ECUACION 2 NUDO C FCB
FAC(X)
FCB(X)
FAC
FAC(Y) FCD
C
FCB (Y)
FCB
α FAC
β β = 53,120
sen 53,12 =
FCD
FCB(Y ) FCB
cos 53,12 =
FCB (Y) = FCB sen 53,12
FCB(X ) FCB
FAC(X ) = (0,507 ) FAC FAC(Y ) = (0,8614 ) FAC
FCB (X) = FCB cos 53,12
FCB(Y ) = (0,7998 ) FCB
FCB(X ) = (0,6 ) FCB
∑ FX = 0 FCD - FAC(X) - FCB (X) = 0 FCD – 0,507FAC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 ∑ FY = 0 FCB (Y) - FAC (Y) = 0 0,7998 FCB - 0,8614 FAC = 0 ECUACION 4 NUDO D DX
A FCD
12 m
∑ FX = 0 DX - FCD = 0 ECUACION 5 0,507 FAC - 0,8 FAB = 0 ECUACION 1 0,8614 FAC - F - 0,6 FAB = 0 ECUACION 2 FCD – 0,507FAC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 0,7998 FCB - 0,8614 FAC = 0 ECUACION 4 DX - FCD = 0 ECUACION 5 DESPEJAMOS F en la ecuación 2 0,8614 FAC - F - 0,6 FAB = 0 ECUACION 2
F
BY
FAC
B BX
FCB
FDB 4m FDB
DX
FAC
FCB
D FCD FCD
C
3m
0,8614 FAC - 0,6 FAB = F ECUACION 6
23
Resolver la ecuación 1 0,507 FAC - 0,8 FAB = 0 0,507 FAC = 0,8 FAB Despejando
FAC
0,8 FAC = FAB = 1,577 FAB 0,507 FAC = 1,577 FAB Reemplazar FAC en la ecuación 6 0,8614 FAC - 0,6 FAB = F ECUACION 6 0,8614 (1,577 FAB ) - 0,6 FAB = F 1,3592 FAB - 0,6 FAB = F 0,7592 FAB = F Despejando
FAB
1 F = 1,317 F 0,7592 FAB = 1,317 F FAB =
Reemplazar FAB en la ecuación 6 0,8614 FAC - 0,6 FAB = F ECUACION 6 0,8614 FAC - 0,6 (1,317 F) = F 0,8614 FAC - 0,79 F = F 0,8614 FAC = F + 0,79 F 0,8614 FAC = 1,79 F
1,79 F = 2,078 F 0,8614 FAC = 2,078 F FAC =
Reemplazar FAC en la ecuación 4 0,7998 FCB - 0,8614 FAC = 0 ECUACION 4 0,7998 FCB - 0,8614 (2,078 F) = 0 0,7998 FCB - 1,79 F = 0 0,7998 FCB = 1,79 F
FCB =
1,79 F = 2,238 F 0,7998
FCB = 2,238 F
FAB = 1,317 F FAC = 2,078 F FCB = 2,238 F FCD = 2,395 F FDB = 0
Reemplazar FAC y FCB en la ecuación 3
24
FCD – 0,507FAC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 FCD – 0,507 (2,078 F ) - 0,6 (2,238 F) = 0 FCD – 1,053 F
- 1,342 F = 0
FCD = 1,053 F
+ 1,342 F
FCD = 2,395 F LA ESTRUCTURA MAS CRITICA ES FCD 2,395 F = 20
F=
20 = 8,35 KN 2,395
F = 8,35 KN Problema 6.1 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. A
A
4m
1,92 N
1,92 N
B
C
B
BY 3m
A
la reacción en B? Σ FY = 0
1,92 N
BY – 1,92 - CY = 0
1,92 ( 3) - CY (4,5) = 0
5,76 - CY (4,5 ) = 0 CY (4,5 ) = 5,76 5,76 CY = = 1,28 N 4,5 CY = 1,28 N
CY
4,5 m
Σ MB = 0
+
C
4m
C
B BY 3m
CY
BY – 1,92 – 1,28 = 0 BY = 3,2 Newton
4,5 m
25
Nudo B FAB FAB B
FBC
BY
5
B
3
BY
FBC
B
FAB FBC 3,2 = = 5 3 4
Hallar FBC FBC 3,2 = 3 4 (3) 3,2 = 9,6 = 2,4 N FBC = 4 4
Hallar FAB FAB 3,2 = 4 5
FAB =
4
BY = 3,2 N
(5) 3,2 = 16 = 4 N
FBc = 2,4 Newton (compresión)
4 4 FAB = 4 Newton(compresión) FCA (Y)
Nudo C
FCA
C 8,5
α
CY
4
8,5
4
7,5
7,5
C
FCA (X)
x
FCA
FBC
C CY
7,5 cos α = 8,5 FCA (X) = cos α (FCA)
FCA (X ) =
7,5 FCA 8,5
sen α =
∑ FX = 0
4 8,5
FBC – FCA (X) = 0
FCA (Y) = sen α (FCA)
FCA (Y ) =
4 FCA 8,5
FBC -
7,5 FCA = 0 8,5
7,5 FCA 8,5 7,5 2,4 = FCA 8,5 (2,4) 8,5 = 20,4 = 2,72 Newton FCA = 7,5 7,5 FCA = 2,72 Newton (tracción) FBC =
26
Problema 6.2 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. A
0,75 m
0,75 m
AY AX 0,4 m
FAC
FAB tensión
A
FAB
B
B
FCB
1,4 m
0,4 m
tensión
1,4 m 2,8 KN
2,8 KN
compresión FAC C
∑FY= 0
FCB C
CX
AY – 2,8 = 0
Σ MA = 0
+
AY = 2,8 KNewton
CX ( 1,4) - 2,8 (0,75) = 0
CX ( 1,4) = 2,8 (0,75) 1,4 CX = 2,1 2,1 CX = = 1,5 N 1,4 CX = 1,5 KNewton Σ MC = 0
+
- AX ( 1,4) - 2,8 (0,75) = 0
-1,4 AX = 2,1 2,1 AX = = - 1,5 N 1,4 AX = - 1,5 KNewton (significa que la fuerza AX esta direccionada hacia la izquierda)
0,75 m
AY
- AX ( 1,4) = 2,8 (0,75)
AX
A B
1,4 m 2,8 N
Σ MC = 0
+
0,4 m
AX ( 1,4) - 2,8 (0,75) = 0
AX ( 1,4) = 2,8 (0,75) CX
C
1,4 AX = 2,1 2,1 AX = = 1,5 N 1,4
27
AX = 1,5 KNewton Nudo A AY AY A
AX AX
A
A
FAB
0,4
0,85
FAB (Y)
0,75
0,75
FAC
FAB
FAB α
FAB (X)
FAC
0,75 cos α = 0,85 FAB (X) = cos α (FAB) FAB (X ) =
0,85
0,4
AY
A
sen α =
FAB
AX
FAC
0,75 FAB 0,85
0,4 0,85
FAB (Y) = sen α (FAB)
FAB (Y ) =
∑ FX = 0 - AX + FAB (X) = 0 0,75 - AX + FAB = 0 0,85 0,75 AX = FAB 0,85
∑FY= 0
AX
0,85 FAC AX 0,75 0,85 (1,5) FAB = FAB 0,75 FAB = 1,7 KNewton (tracción) FAB =
0,4 FAB 0,85
AY
AY – FAC – FAB (Y) = 0 0,4 A Y - FAC − FAB = 0 0,85 0,4 (1,7 ) = 0 2,8 - FAC − 0,85 2,8 − 0,8 = FAC FAC = 2 KNewton (Tracción)
Nudo C FAC
sen α =
FCB
CX CX
C
FAC
FCB
1 1,25
cos α =
0,75 1,25
FCB (Y) = sen α (FCB)
FCB (X) = sen α (FCB)
⎛ 1 ⎞ FCB (Y ) = ⎜ ⎟ FCB ⎝ 1,25 ⎠
F ⎛ 0,75 ⎞ CB(X ) = ⎜⎜ ⎟⎟ FCB ⎝ 1,25 ⎠
1,25
FCB
0,75
1
FCB (Y)
α
FCB (X)
C
28
∑ FX = 0
0,75 m
AY
CX - FCB (X) = 0
AX
A
0,4 m
CX = FCB (X) B
0,75 FCB 1,25 FAC 1,25 FCB FCB = CX 0,75 C CX CX = 1,5 KNewton 1,25 (1,5) = 2,5 KN FCB = 0,75 FCB = 2,5 KNewton (compresión) CX =
1,4 m
0,75
1m
2,8 N
1
FAC
FCB CX
C
Problema 6.3 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. 945 lb
∑ FX = 0 BX = 0 Σ MB = 0
+
A
CY ( 12 + 3,75) - 945 (12) = 0 9 pies
CY (15,75) - 945 (12) = 0 CY (15,75) = 945 (12)
B
C
15,75 CY = 11340
FBA
Σ MC = 0
+
3,75 pies
A
FCA
945 lb
945 (3,75) - BY ( 12+ 3,75) = 0
945 (3,75) = BY ( 15,75) 3543,75 = 15,75 BY
3543,75 = 225 lb 15,75 BY = 225 lb. BY =
12 pies
945 lb
11340 CY = = 720 lb 15,75 CY = 720 lb
B
BX
FBC
A
FCA
FBA
C
FBC
CY
BY
9 pies
B
BX BY
C
12 pies
CY 3,75 pies
29
NUDO B sen α =
9 15
cos α =
12 15
FBA
FBA (X) = sen α (FBA)
FBA (Y) = sen α (FBA)
F ⎛9⎞ BA(X ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 15 ⎠
F ⎛ 12 ⎞ BA(Y ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 15 ⎠
FBA FBC B Y = = 15 12 9 FBA FBC 225 = = 15 12 9
BY
FBA BX
B
FBC FBC
BX
BY
Hallar FBC FBC 225 = 12 9
Hallar FBA FBA 225 = 15 9 ( 15) 225 FBA = = 375 lb. 9 FBA = 375 lb. (compresión)
FBC =
(12) 225 = 300 lb. 9
FBC = 300 lb. (tracción)
Nudo C FCA
FCA (X)
FBC
3,75 9,75
C FCA
FBC CY
CY
9
FCA (Y)
FCA
FCA FBC
C CY
FCA FBC C Y = = 9,75 3,75 9 FCA FBC = 9,75 3,75
CY = 720 lb
Hallar FCA (9,75)300 = 780 lb FCA = 3,75
FBC = 300 lb. (tracción)
BY = 225 lb. FBA = 375 lb. (compresión)
FCA = 780 lb. (compresión)
FCA = 780 lb. (compresión)
30
Problema 6.4 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. 10,8 Kips
10,8 Kips 35 pies
22,5 pies
A
C
B 12 pies
D ∑ FX = 0 AX = 0 Σ MA = 0 D (22,5) - 10,8 (22,5) -10,8 (22,5 + 35) = 0
+
D (22,5) - 10,8 (22,5) -10,8 (57,5) = 0
10,8 Kips
B
A FAB
22,5 D - 243 - 621 = 0
FAB
FAD
FBC
FBC
C
FBD
AY
22,5 D = 864
864 = 38,4 Kips 22,5 D = 38,4 Kips D=
D D
Σ MC = 0
10,8 Kips
AY (22,5 + 35) + 10,8 (35) – D (35) = 0
+
10,8 Kips
AY (57,5) + 10,8 (35) – (38,4) (35) = 0
C
B
AX
12 pies
AY
57,5 AY + 378 – 1344 = 0
35 pies
22,5 pies
A
10,8 Kips
D
57,5 AY = 966 966 AY = = 16,8 Kips 57,5
D
AY = 16,8 Kips
Nudo A A
A FAB
FAB AY
FAD
AY
12
25,5 22,5
FAB
FAD
FAD AY
FAD(Y)
12
25,5 22,5
FAD
FAD(X)
31
FAD FAB A Y = = 25,5 22,5 12
Hallar FAD FAD 16,8 = 25,5 12 ( 25,5)16,8 FAD = = 35,7 Kips 12
AY = 16,8 Kips FAD FAB 16,8 = = 25,5 22,5 12 Hallar FAB FAB 16,8 = 22,5 12 (22,5)16,8 = 31,5 Kips FAB = 12
FAD = 35,7 Kips (compresión)
FAB = 35,7 Kips (tensión) Nudo B FAB
10,8 Kips
FAB
10,8 Kips
FBC
B
B
FBD
10,8 Kips
FAB
FBC FBD
FBC FBD
∑ FX = 0
∑ FY = 0
FBC – FAB = 0
FBD – 10,8 = 0
FAB = 35,7 Kips
FBD = 10,8 Kips (compresión)
FBC = FAB FBC = 35,7 Kips (tensión)
Nudo C 10,8 Kips
10,8 Kips
FBC
C
FCD
37 35
FCD
FBC
12
10,8 Kips
FBC
C
FCD
FCD FBC 10,8 = = 37 35 12
32
AX = 0 D = 38,4 Kips AY = 16,8 Kips Hallar FCD FCD 10,8 = 37 12 ( 37 )10,8 FCD = = 33,3 Kips 12 FCD = 33,3 Kips (compresión)
FAB = 35,7 Kips (tensión) FAD = 35,7 Kips (compresión) FBC = 35,7 Kips (tensión) FBD = 10,8 Kips (compresión) FCD = 33,3 Kips (compresión)
Problema 6.1 Estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P1 = 800 lb. y P2 = 400 lb. AY
6 pies
8 pies
A
TCA
AX
TCA
TBC
TBA
tensión
tensión
TBA P2 = 400 lb
CY 8 pies
TBC
B
P1 = 800 lb
Σ MA = 0
+
C
- 400 (8) - 800 (6) + CY (6 + 8) = 0
- 400 (8) - 800 (6) + CY (14) = 0 - 3200 - 4800 + CY (14) = 0
∑ FX = 0
- 8000 + CY (14) = 0
AX – 400 = 0
CY (14) = 8000
AX = 400 lb.
CY =
8000 = 571,42 lb 14
CY = 571,42 lb
33
Σ MC = 0 - AY (6 + 8) - 400 (8) + 800 (8) = 0
+
- AY (14) - 400 (8) + 800 (8) = 0 - 14 AY - 3200 = 0 14 AY = 3200
AY =
3200 = 228,57 lb 14
AY = 228,57 lb NUDO B TBC
TBA (X)
TBC
TBA
TBA
P2 = 400 lb
TBA (Y)
β
B P2 = 400 lb
8
10 T 6 BA α
TBC
8 2
β
P2 = 400 lb
8
8
TBC (Y)
TBC (X)
P1 = 800 lb P1 = 800 lb
sen α =
8 4 = 10 5
sen β =
cos α =
6 3 = 10 5
cos β =
sen α =
8 8 2
8 8 2
=
2 2
=
2 2
TBA(Y ) ⇒ TBA(Y )= senα (TBA ) TBA
⎛4⎞ TBA(Y )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝5⎠ cos α =
TBA(X ) ⇒ TBA(X )= cosα (TBA ) TBA
⎛3⎞ TBA(X )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝5⎠
P1 = 800 lb
sen β =
TBC(Y ) ⇒ TBC(Y )= senβ (TBC ) TBC
⎛ 2⎞ ⎟ (TBC ) TBC(Y )= ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ TBC(X ) ⇒ TBC(X )= cosβ (TBC ) cos β = TBC ⎛ 2⎞ ⎟ (TBC ) TBC(X )= ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
34
∑ FX = 0 - 400 + TBC (X) - TBA (X) = 0 TBC (X) - TBA (X) = 400
2 (TBC ) - 3 TBA = 400 (Ecuación 1) 2 5 ∑ FY = 0 - 800 + TBC (Y) + TBA (Y) = 0 TBC (Y) + TBA (Y) = 800
2 (TBC ) + 4 TBA = 800 (Ecuación 2) 2 5 resolver ecuación 1 y ecuación 2 Reemplazando en la ecuación 1
2 (TBC ) - 3 TBA = 400 ( -1) 2 5 2 (TBC ) + 4 TBA = 800 2 5 -
2 (TBC ) - 3 TBA = 400 (Ecuación 1) 2 5 2 (TBC ) - 3 (285,71) = 400 2 5
2 (TBC ) + 3 TBA = - 400 2 5 2 (TBC ) + 4 TBA = 800 2 5
2 (TBC ) - 171,42 = 400 2 2 (TBC ) = 571,42 2
7 TBA = 400 5 (400)5 TBA = 7
⎛ 2 ⎞ TBC = ⎜ ⎟571,42 ⎝ 2⎠ TBC = 808,12 lb. (Tensión)
TBA = 285,71 lb. (Tensión) NUDO C TCA
C
TBC
8 2 TBC
CY
β
8
8
CY
TCA
35
Las ecuaciones de equilibrio para el nudo C son:
TCA TBC C Y = = 8 8 8 2 Hallar TCA
TCA TBC = 8 8 2 Pero: TBC = 808,12 lb.
TCA 808,12 = 8 8 2 808,12 = 571,42 lb 2
TCA =
TCA = 571,42 lb (Compresión) Problema 6.2 Estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P1 = 500 lb. y P2 = 100 lb. AY
6 pies
8 pies
A
TCA
AX
TCA
TBC
TBA
tensión
tensión
TBA P2 = 100 lb
Σ MA = 0
+
- 100 (8) - 500 (6) + CY (6 + 8) = 0
- 100 (8) - 500 (6) + CY (14) = 0 - 800 - 3000 + CY (14) = 0
C
CY 8 pies
TBC
B
P1 = 500 lb
∑ FX = 0 AX – 400 = 0 AX = 400 lb.
- 3800 + CY (14) = 0 CY (14) = 3800
36
CY =
3800 = 271,42 lb 14
CY = 271,42 lb Σ MC = 0 - AY (6 + 8) - 100 (8) + 500 (8) = 0
+
- AY (14) - 100 (8) + 500 (8) = 0 - AY (14) - 800 + 4000 = 0 - 14 AY + 3200 = 0 14 AY = 3200
AY =
3200 = 228,57 lb 14
AY = 228,57 lb NUDO B TBC
TBA (X)
TBC
TBA
TBA
P2 = 100 lb
TBA (Y)
β
B P2 = 100 lb
8
10 T 6 BA α
P2 = 400 100 lb
TBC
8 2
8
8
β
TBC (Y)
TBC (X)
P1 = 500 lb P1 = 500 lb
sen α = cos α =
8 4 = 10 5 6 3 = 10 5
TBA(Y ) ⇒ TBA(Y )= senα (TBA ) sen α = TBA
P1 = 800 500 lb
sen β =
cos β =
8 8 2 8 8 2
=
2 2
=
2 2
⎛4⎞ TBA(Y )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝5⎠ cos α =
TBA(X ) ⇒ TBA(X )= cosα (TBA ) TBA
37
⎛ 3⎞ TBA(X )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝5⎠ ∑ FX = 0
sen β =
- 100 + TBC (X) - TBA (X) = 0 TBC (X) - TBA (X) = 100
2 (TBC ) - 3 TBA = 100 (Ecuación 1) 2 5 ∑ FY = 0 - 500 + TBC (Y) + TBA (Y) = 0 TBC (Y) + TBA (Y) = 500
TBC(Y ) ⇒ TBC(Y )= senβ (TBC ) TBC
⎛ 2⎞ ⎟ (TBC ) TBC(Y )= ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ cos β =
TBC(X ) ⇒ TBC(X )= cosβ (TBC ) TBC
⎛ 2⎞ ⎟ (TBC ) TBC(X )= ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
2 (TBC ) + 4 TBA = 500 (Ecuación 2) 5 2 resolver ecuación 1 y ecuación 2
2 (TBC ) - 3 TBA = 100 ( -1) 5 2 2 (TBC ) + 4 TBA = 500 5 2 -
2 (TBC ) + 3 TBA = - 100 2 5 2 (TBC ) + 4 TBA = 500 2 5
7 TBA = 400 5 (400)5 TBA = 7 TBA = 285,71 lb. (Tensión)
Reemplazando en la ecuación 1
2 (TBC ) - 3 TBA = 100 (Ecuación 1) 5 2 2 (TBC ) - 3 (285,71) = 100 5 2 2 (TBC ) - 171,42 = 100 2 2 (TBC ) = 271,42 2 ⎛ 2 ⎞ TBC = ⎜ ⎟271,42 ⎝ 2⎠ TBC = 383,84 lb. (Tensión)
38
NUDO C TBC
C
TCA
CY
TBC
8 2
β
8
8
CY
TCA
Las ecuaciones de equilibrio para el nudo C son:
TCA TBC C Y = = 8 8 8 2 Hallar TCA
TBA = 285,71 lb. (Tensión)
TCA TBC = 8 8 2
TBC = 383,84 lb. (Tensión)
Pero: TBC = 383,84 lb.
TCA = 271,42 lb (Compresión)
TCA 383,84 = 8 8 2 TCA =
383,84 = 271,42 lb 2
TCA = 271,42 lb (Compresión) Problema 6.3 Estática Hibbeler edic 10 La armadura, usada para soportar un balcón, esta sometida a la carga mostrada. Aproxime cada nudo como un pasador y determine la fuerza en cada miembro. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P1 = 600 lb P2 = 400 lb. P2 = 400 lb
P1 = 600 lb
A
B FBC
FAB FAD
FBC
C CY CX
FAB FDC
FBD
4 pies FBD FAD
FDC
D FED 4 pies
E FED
EX EY = 0
4 pies
Σ MC = 0
+
P1 (4 + 4) + P2 (4) – EX (4) = 0
39
600 (4 + 4) + 400 (4) – EX (4) = 0
4800 + 1600 – 4 EX = 0
B FBC
FAB
A
6400 – 4 EX = 0
FBC
C CY CX
FAB
FAD
4 EX = 6400
EX =
P2 = 400 lb
P1 = 600 lb
600 (8) + 400 (4) – 4 EX = 0
FDC
FBD
4 pies FBD
6400 = 1600 lb 4
EX = 1600 lb
E
FDC
FAD
D FED 4 pies
FED
EX EY = 0
4 pies
NUDO A Las ecuaciones de equilibrio para el nudo A son:
P1 = 600 lb
FAB FAD 600 = = 4 4 4 2
FAB 4
FAB
A
4 2
FAD
Hallar FAB
FAB = 600 lb
FAB = 600 lb (Tension) NUDO E E FED
Hallar FAD
FAD = 600 2 FAD =
( 2 ) 600 = 848,52 lb
FAD = 848,52 lb (compresión)
P2 = 400 lb
P1 = 600 lb EX
EY = 0
A
B FBC
FAB FAD
Σ FX = 0 FED - EX = 0
FBC
C CY CX
FAB FDC
FBD
4 pies FBD
FED = EX
FAD
PERO: EX = 1600 lb FED = 1600 lb (compresión)
P1 = 600 lb
FAD
Cancelar términos semejantes
F FAB = AD = 600 2
4
FDC
D FED 4 pies
E FED
EX EY = 0
4 pies
Σ FY = 0
40
EY = 0 NUDO B
P2 = 400 lb
P1 = 600 lb
P2 = 400 lb FAB
A
B FBC P2 = 400 lb
FAB
FAD
FBD
FBD
FBC
B FBC
FAB
FBC
C CY CX
FAB FDC
FBD
4 pies FBD
Σ FX = 0 FBC - FAB = 0
E
FDC
FAD
D FED
FBC = FAB 4 pies
FED
EX EY = 0
4 pies
PERO: FAB = 600 lb (Tensión) FBC = 600 lb (Tensión) Σ FY = 0 FBD - 400 = 0 FBD = 400 lb (compresión) Σ FY = 0 CY - 600 - 400 = 0
Σ FX = 0 CX - EX = 0
CY - 1000 = 0
CX = EX
CY = 1000 lb.
PERO: EX = 1600 lb CX = 1600 lb
A
B FBC
FAB FAD
NUDO C FBC
P2 = 400 lb
P1 = 600 lb
C CY CX
FAB FDC
FBD
FBC
C
FBC
4 pies
CY
FDC CX
FDC (Y)
FBD
CY FAD
FDC
FDC
D FED
CX 4 pies
E FED
EX EY = 0
4 pies
Σ FY = 0 CY – FDC(Y) = 0
41
CY = FDC(Y)
PERO: CY = 1000 lb. FDC(Y) = 1000 lb
4
1 sen α = = = 0,7071 4 2 2 sen α =
FDC(Y ) FDC
FDC =
FDC(Y ) senα
FDC =
1000 = 1414,22 lb 0,7071
FDC = 1414,22 lb (tensión)
FDC
4 2
4
4
FDC (Y)
FDC (X)
FBD = 400 lb (compresión) FBC = 600 lb (Tensión)
EX = 1600 lb EY = 0 CX = 1600 lb CY = 1000 lb.
FAB = 600 lb (Tensión) FED = 1600 lb (compresión) FAD = 848,52 lb (compresión) FDC = 1414,22 lb (tensión)
42
Problema 6.4 Estática Hibbeler edic 10 La armadura, usada para soportar un balcón, esta sometida a la carga mostrada. Aproxime cada nudo como un pasador y determine la fuerza en cada miembro. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P1 = 800 lb P2 = 0 lb. FUERZA CERO
P1 = 800 lb
B FBC
FAB
A
FAD
C CY
FBC
CX
FAB FDC
FBD = 0
4 pies
FBD = 0
FAD
E
FDC
D FED 4 pies
FED
EX EY = 0
4 pies
Σ MC = 0 P1 (4 + 4) – EX (4) = 0
+
800 (4 + 4) – EX (4) = 0 800 (8) – 4 EX = 0 6400 – 4 EX = 0 4 EX = 6400
EX =
6400 = 1600 lb 4
P1 = 800 lb
EX = 1600 lb
A
NUDO A
FAD
FAB P1 = 800 lb
A
4 FAB
4 2
B FBC
FAB
CX FBD = 0
FDC
FBD = 0
P1 = 800 lb
FAD
FAD
FAD
Las ecuaciones de equilibrio para el nudo A son:
C CY
FAB
4 pies 4
FBC
FDC
D FED 4 pies
E FED
EX EY = 0
4 pies
FAB FAD 800 = = 4 4 4 2 Cancelar términos semejantes
43
F FAB = AD = 800 2
Hallar FAD
FAD = 800 2 FAD = 2 800 = 1131,37 lb
Hallar FAB
( )
FAB = 800 lb
FAB = 800 lb (Tensión)
FAD = 1131,37 lb (compresión)
NUDO E Σ FX = 0 FED - EX = 0 FED = EX
P1 = 800 lb
E FED
A
EX
C CY
FBC
CX
FAB
FAD
EY = 0
PERO: EX = 1600 lb
B FBC
FAB
FBD = 0
4 pies
FDC
FBD = 0
FED = 1600 lb (compresión) Σ FY = 0 EY = 0
E
FDC
FAD
D FED 4 pies
FED
EX EY = 0
4 pies
NUDO B FUERZA CERO Si tres miembros forman un nudo de armadura en el cual dos de los miembros son colineales, el tercer miembro es un miembro de fuerza cero siempre que ninguna fuerza exterior o reacción de soporte este aplicada al nudo. Σ FX = 0 FBC - FAB = 0
B FBC FAB
FBC = FAB
Pero: FAB = 800 lb (Tensión)
FBD
FUERZA CERO
P1 = 800 lb
A
B FBC
FAB FAD
C CY CX
FAB FBD = 0
4 pies
FDC
FBD = 0
FBC = 800 lb (Tensión) FAD
Σ FY = 0 FBD = 0
FBC
FDC
D FED 4 pies
E FED
EX EY = 0
4 pies
44
Σ FY = 0
Σ FX = 0
CY - 800 = 0
CX - EX = 0
CX = EX
CY = 800 lb.
PERO: EX = 1600 lb
FDC
CX = 1600 lb NUDO C
FDC
Σ FY = 0 CY – FDC(Y) = 0
CX FDC
PERO: CY = 800 lb.
4
=
A
B FBC
FAB
1 = 0,7071 2
FDC
FBD = 0 FDC
4 pies
800 = 1131,38 lb 0,7071
E FED
EX EY = 0
4 pies
FBD = 0 lb
FDC = 1131,38 lb (tensión)
CX = 1600 lb
FBD = 0
D FED
FDC =
C CY CX
FAD
FDC(Y ) senα
FBC
FAB
4 pies
4 2 FDC(Y ) sen α = FDC
EX = 1600 lb
FDC (X)
CY
P1 = 800 lb
FAD
FDC =
FDC (Y)
4
CX
FDC(Y) = 800 lb
sen α =
FDC (Y)
4
C CY
FBC
CY = FDC(Y)
4 2
FBC
EY = 0
FBC = 800 lb (Tensión) FAB = 800 lb (Tensión) FED = 1600 lb (compresión) FAD = 1131,37 lb (compresión) FDC = 1131,38 lb (tensión)
CY = 800 lb.
45
Problema c-34 estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. BY FUERZA CERO
FCB
B
BX
FAB
FCB
3 pies
C FDC
FCA FCA
FDC
D
FAB
FDA A AX
FDA 2 pies
2 pies 300 lb
FDC
NUDO D
FDC 5
FDC 300 FDA = = 5 3 4 FDC F = 100 = DA 5 4
D
FDA
300 lb
3 4
FDA
300 lb
Hallar FDA
FDA = 100 4
Hallar FCD
FDA = (4) 100 = 400 lb (compresión)
FDC = (5) 100 = 500 lb (Tensión)
FDC = 100 5
FUERZA CERO Si tres miembros forman un nudo de armadura en el cual dos de los miembros son colineales, el tercer miembro es un miembro de fuerza cero siempre que ninguna fuerza exterior o reacción de soporte este aplicada al nudo. FUERZA CERO
FCA = 0
FCB
FDC = FCB Pero: FDC = 500 lb
C FDC
FCA = 0
FCB = 500 lb (Tensión)
46
NUDO A FCA = 0
BY
FAB = 0
FCA = 0
FDA A AX
∑ FX = 0
FAB = 0
FCB
BX
FCB
AX
FDA
B
3 pies
C FDC
FCA = 0
FDA - AX = 0
FAB = 0
∑ FY = 0
FCB = 500 lb (Tensión)
FAB = 0
FDA = (4) 100 = 400 lb
FDC
D
FDA A AX
FDA 2 pies
2 pies 300 lb
(compresión)
FDC = (5) 100 = 500 lb (Tensión) Problema C-35 estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en los miembros AE y DC. Establezca si los miembros están en tensión o en E compresión. D F FAB
=0
FAE
FCD
3 pies FAF = 0
A AX = 0 AY
FAE
FCB = 0
FAB
FAB
B FCB = 0
4 pies
4 pies
FCD
C CY
800 lb
∑ FY = 0 AY – 800 + CY = 0 Pero: CY = 400 lb AY – 800 + 400 = 0 AY – 400 = 0 Σ MA = 0
+
AY = 400 lb
- 800 (4 ) + CY (4 + 4) = 0
47
- 3200 + CY (8) = 0 CY (8) = 3200
CY =
3200 = 400 lb 8
CY = 400 lb FCB = 0
∑ FX = 0 AX = 0
FCD
C CY
E
NUDO C ∑ FY = 0
D
F FAB
CY – FCD = 0 Pero: CY = 400 lb
=0
FAE
FCD
3 pies FAF = 0
CY = FCD
FAE
A
FCD = 400 lb (compresión) A = 0 X ∑ FX = 0
FAB
CY
800 lb
FAE
NUDO A FAF = 0
AX = 0
C
FCB = 0 4 pies
FCB = 0
A
B
FAB 4 pies
AY
FCD
FCB = 0
5
AY
3
4
FAE
FAB FAB
FAB
=0
FAE
FCD
3 pies FAF = 0
Pero: AY = 400 lb A
FAE 400 FAB = = 5 3 4
D
F
AY
FAE A Y FAB = = 5 3 4
E
AX = 0 AY
FAE
FCB = 0
FAB
FAB
B FCB = 0
4 pies
4 pies
FCD
C CY
800 lb
48
Hallar FAE
FAE 400 = 5 3
F AE =
Hallar FCD
FAB 400 = 4 3
400(5) 3
FAB = 533,33 lb (Tensión)
FAE = 666,66 lb (compresión) Problema 6.8 estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están a tensión o en compresión. Considere P1 = 2 KN y P2 = 1,5 kN. AY
A AX
FBA FBA
Y = 3,464
B FCB
FBE FDB
FBE EX
Σ ME = 0
+
- 2 (3) – 1,5 (3 + 3) + AX (3,464) = 0
FDB
E CY
FDE
FDE
YF1DB= 1,732 D
3m
FCD
FCB 300
C
FCD 3m
2 KN
- 6 – 1,5 (6) + 3,464 AX = 0
1,5 KN
- 6 – 9 + 3,464 AX = 0 - 15 + 3,464 AX = 0 3,464 AX = 15
AX =
15 = 4,33 kN 3,464
AX = 500 N
tg 30 =
Y 6
Y = 6 tg 30 = 6 (0,5773) = 3,464 m
Y tg 30 = 1 3 Y1 = 3 tg 30 = 3 (0,5773) = 1,732 m
49
NUDO C AY
FCB 300
A
C
AX
FCD 1,5 KN
B FCB
FCB FDB
1,5 KN
3,464
Y1 = 1,732
EX
3m
FCD
FCB
FDB
E FDE
CY
D
FDE
300
FCD
C
FCD
2 KN
1,5 KN
Las ecuaciones de equilibrio para la junta C son:
FCB F 1,5 = = CD 3 3,464 1,732
Hallar FCD
F 1,5 = CD 3 1,732
Hallar FCB
FCB 1,5 = 3,464 1,732 FCB =
FCD =
1,5 (3,464 ) = 3 kN 1,732
FCD = 2,598 kN (compresión)
AY
A AX
FCB = 3 kN (tensión) NUDO D
1,5 (3) = 2,598 kN 1,732
FDB
B
FDE
FCB
FDB FDE
2 KN
D
FCD
2 KN
∑ FY = 0 ∑ FX = 0 FDE - FCD = 0
FDB
FCD
FDB - 2 = 0
EX
CY
FCB
FDB
E FDE
FDE
D 2 KN
0
30
FCD
C
FCD 1,5 KN
FDB = 2 kN (tensión)
FDE = FCD
50
Pero: FCD = 2,598 kN (compresión) FDE = 2,598 kN (compresión) NUDO B AY FBA
A
B
FBA
AX FCB
FBE
FBA
B
FDB
FCB
FBE FDB FBE
FBA(X) EX
E
FBA
FBA(Y)
CY
300 300
FBE(Y)
⎛1⎞ FBA(Y ) = FBA ⎜ ⎟ ⎝2⎠
FBE(Y ) sen 30 = FBE
30
FCB
FCB(Y)
FCB(X)
FCD
FCD 1,5 KN
3 2
sen 60 =
1 2
FDB
cos 30 =
FBA(X ) FBA
FBA (X) = FBA cos 30
⎛ 3⎞ ⎟ FBA(X ) = FBA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
FBE(X ) FBE
cos 30 =
⎛1⎞ FBE(Y ) = FBE ⎜ ⎟ ⎝2⎠
FBE (X) = FBE cos 30
FCB(Y ) FCB
D
C
Para abreviar los cálculos
sen 30 =
FBE (Y) = FBE sen 30
sen 30 =
FDE
30
2 KN
FBE(X)
FBA (Y) = FBA sen 30
FDE
0
0
FBE
FBA(Y ) sen 30 = FBA
FCB
FDB
cos 30 =
FCB(X ) FCB
FCB (X) = FCB cos 30
⎛ 3⎞ ⎟ FCB(X ) = FCB ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
⎛ 3⎞ ⎟ FBE(X ) = FBE ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
FCB (Y) = FCB sen 30
⎛1⎞ FCB(Y ) = FCB ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 51
∑ FY = 0 FBA (Y) + FBE (Y) - FCB (Y) - FDB = 0
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FBA + ⎜ ⎟ FBE - ⎜ ⎟ FCB - FDB = 0 ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ Pero: FDB = 2 kN (tensión) FCB = 3 kN (tensión)
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟FBA + ⎜ ⎟ FBE ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FBA + ⎜ ⎟ FBE ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟FBA + ⎜ ⎟FBE ⎝2⎠ ⎝2⎠
⎛1⎞ - ⎜ ⎟ (3) - 2 = 0 ⎝2⎠ ⎛1⎞ = ⎜ ⎟ (3) + 2 ⎝2⎠ = 1,5 + 2 = 3,5
0,5 FBA + 0,5 FBE = 3,5 dividiendo por 0,5 (para simplificar) FBA + FBE = 7 (Ecuación 1) ∑ FX = 0 - FBA (X) + FBE (X) + FCB (X) = 0
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟FBE + ⎜ ⎟ FBA + ⎜ - ⎜⎜ ⎜ 2 ⎟ FCB = 0 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ - FBA + FBE + FCB = 0 Pero: FCB = 3 kN (tensión) - FBA + FBE + 3 = 0 - FBA + FBE = - 3 (- 1) FBA - FBE = 3
(Ecuación 2)
Resolver la ecuación 1 y 2 FBA + FBE = 7 (Ecuación 1) FBA - FBE = 3
(Ecuación 2)
52
2 FBA = 10
FBA =
10 = 5 kN 2
FBA = 5 kN (tensión) AX = 500 N
Reemplazando en la ecuación 1
FCB = 3 kN (tensión)
FCD = 2,598 kN (compresión)
FBA + FBE = 7 (Ecuación 1)
FDE = 2,598 kN (compresión)
Pero: FBA = 5 kN (tensión)
FDB = 2 kN (tensión)
5 + FBE = 7
FBA = 5 kN (tensión)
FBE = 7 - 5
FBE = 2 kN (compresión)
FBE = 2 kN (compresión)
PROBLEMA RESUELTO ESTATICA MERIAM Edic 3. Calcular, por el método de los nudos, la fuerza en los miembros del entramado en voladizo B
5m
FBD
FBD 5m
FAB
FBC
FAB
A
5m
FCD
FBC
FAC
FAC
C
5m 30 kN
D
FCE
E
5m 20 kN
B
TX
D
5m 600
600
T
TY
300
5m
600
EX
A C 5m 30 kN
E 5m
EY
20 kN
53
Σ ME = 0 - T (5) + 30 (5 + 5) + 20 (5) = 0
+
- 5 T + 30 (10) + 20 (5) = 0 - 5 T + 300 + 100 = 0 - 5 T + 400 = 0 5 T = 400
T=
400 = 80 N 5
T = 80 N
T cos 30 = X T
T sen 30 = Y T
TX = T cos 30
TY = T sen 30
Pero: T = 80 N
Pero: T = 80 N
TX = 80 (0,866)
TY = 80 (0,5)
TX = 69,28 N
TY = 40 N
∑FY = 0
∑FX = 0
TY + EY - 30 - 20 = 0
TX - EX = 0
TY + EY - 50 = 0
Pero: TX = 69,28 N
Pero: TY = 40 N
TX = EX
40 + EY - 50 = 0
EX = 69,28 N
EY - 10 = 0 EY = 10 KN
54
A continuación, dibujamos los diagramas de sólido libre que muestren las fuerzas actuantes en cada nudo. La exactitud de los sentidos asignados a las fuerzas se comprueba al considerar cada nudo en el orden asignado. No debe haber dudas acerca de la exactitud del sentido asignado a las fuerzas actuantes en el nudo A. El equilibrio exige NUDO A FAB
FAB 30 FAC = = 5 4,33 2,5
FAB
A
Hallar FAB
5
FAC
30 kN
Se halla FAC
4,33
30 FAC = 4,33 2,5 (30) 2,5 = 17,32 KN FAC = 4,33
2,5
FAB 30 = 4,33 5 FAB =
FAC
30 kN
(30) 5 = 34,64 KN
FAC = 17,32 kN (compresion)
4,33 FAB = 34,64 kN (tensión)
FBD
NUDO B B FBC
FBD FBC (Y) FAB
FAB (Y)
FBC
FAB 600 FBC (X)
sen 60 =
FBC(Y ) FBC
FBC(Y) = FBC sen 60
⎛ 3⎞ ⎟ FBC(Y ) = FBC ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FBC FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ sen 60 =
FAB(Y ) FAB
FAB(Y) = FAB sen 60
600 FAB (X)
Para abreviar los cálculos
sen 60 =
cos 60 =
3 1 cos 60 = 2 2
FAB(X ) FAB
FAB(X) = FAB cos 60
⎛1⎞ FAB(x ) = FAB ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ FAB(x ) = ⎜ ⎟ FAB ⎝ 2⎠
cos 60 =
FBC(X ) FBC
FBC(X) = FBC cos 60
⎛1⎞ FBC(x ) = FBC ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ FBC(x ) = ⎜ ⎟ FBC ⎝2⎠
55
⎛ 3⎞ ⎟ FAB(Y ) = FAB ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FAB FAB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ∑FY = 0 FBC(Y) - FAB(Y) = 0 FBC(Y) = FAB(Y)
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ FBC = ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ FAB ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ FBC = FAB
PERO: FAB = 34,64 kN FBC = 34,64 kN (compresión)
⎛1⎞ FAB(x ) = ⎜ ⎟ FAB ⎝2⎠ PERO: FAB = 34,64 kN ⎛1⎞ FAB(x ) = ⎜ ⎟ (34,64) = 17,32 KN ⎝2⎠ FAB(x) = 17,32 KN ∑FX = 0 - FAB(x) - FBC(x) + FBD = 0
⎛ 3⎞ ⎟ FBC FBC(x ) = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ PERO: FBC = 34,64 kN ⎛1⎞ FBC(x ) = ⎜ ⎟ (34,64) = 17,32 KN ⎝2⎠ FBC(x) = 17,32 KN
PERO: FAB(x) = 17,32 KN FBC(x) = 17,32 KN - FAB(x) - FBC(x) + FBD = 0 -17,32 – 17,32 + FBD = 0 - 34,64 + FBD = 0
FBD = 34,64 KN (tensión)
56
NUDO C B
FCD
FBC
5m
C
FCE 5m
FAB
FBC
FAB
20 kN
T
FED
5m
FBD
FBD FAC
D
FCD
FCD
FBC
FED EX
A
FAC
FAC
C
5m
PERO: FAC = 17,32 kN (compresion) FBC = 34,64 kN (compresión) FBC(x) = 17,32 KN
FCE
FCE 5m
EY
20 kN
30 kN
FCD (X)
FBC (X)
⎛ 3⎞ ⎟ FBC FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ (34,64) = 30 KN FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ FBC(Y) = 30 KN
FCD(X ) cos 60 = FCD FCD(X) = FCD cos 60
⎛1⎞ FCD(x ) = ⎜ ⎟ FCD ⎝2⎠ ∑FX = 0 FCD(x) + FBC(x) + FAC – FCE = 0
E
FBC
FCD
FBC (Y)
FCD(Y)
600
600
FAC
sen 60 =
FCE
FCD(Y ) FCD
FCD(Y) = FCD sen 60
20 kN
⎛ 3⎞ ⎟ FCD(Y ) = FCD ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FCD FCD(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
PERO: FAC = 17,32 kN (compresión) FBC(x) = 17,32 KN FCD(x) + 17,32 + 17,32 – FCE = 0
57
FCD(x) + 34,64 – FCE = 0
⎛1⎞ ⎜ ⎟ FCD - FCE = - 34,64 (Ecuación 1) ⎝2⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FCD FCD(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ FCD = ⎜⎜ ⎟⎟ FCD(Y ) ⎝ 3⎠ PERO: FCD(Y) = 50 KN ⎛ 2 ⎞ FCD = ⎜⎜ ⎟⎟ 50 = 57,73 KN ⎝ 3⎠ FCD = 57,73 kN (Tensión)
∑FY = 0 - FBC(Y) + FCD(Y) – 20 = 0
PERO: FBC(Y) = 30 KN - 30 + FCD(Y) – 20 = 0 - 50 + FCD(Y) = 0 FCD(Y) = 50 KN
Reemplazar en la ecuación 1
⎛1⎞ ⎜ ⎟ FCD - FCE = - 34,64 (Ecuación 1) ⎝2⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ 57,73 - FCE = - 34,64 ⎝2⎠ 28,86 – FCE = - 34,64 – FCE = - 34,64 - 28,86 – FCE = - 63,5 (-1) FCE = 63,5 KN (compresión) NUDO E B
FED
E 5m
FAB
D
T
FED
5m
FBD
FBD
EX
FCE
5m
FBC
FCD
EY
FAB
FCD
FBC
FED
∑FY = 0 EY - FED (Y) = 0
EX
A
C
5m
FED (Y) = EY
PERO:
FAC
FAC
30 kN
FCE
FCE 5m
E EY
20 kN
EY = 10 KN
58
FED (Y) = 10 KN FED (X)
FED(Y ) sen 60 = FED
FED
FED (Y) = FED sen 60
FED (Y)
FED(Y ) 10 = = 11,54 kN sen 60 0,866
FED =
600
T = 80 N
EX
FCE
FED = 11,54 KN (compresión) EX = 69,28 N
EY
EY = 10 KN
FAB = 34,64 kN (tensión)
FAC = 17,32 kN (compresión)
FBC = 34,64 kN (compresión)
FBD = 34,64 KN (tensión)
FCD = 57,73 kN (Tensión)
FCE = 63,5 KN (compresión)
FED = 11,54 KN (compresión)
Problema 4.1 Estática Meriam edición tres Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada B
B
600N
600N 1,25 m
1,25 m
A A
AX
C
AY
B 3m
CY
FBC
CY (3) – 600 (1,25) = 0
3 CY – 750 = 0 3 CY = 750
CY =
3m
600N
FBA
Σ MA = 0
+
C
FBA
A
AX
FCA
AY
FBC FCA
C CY
750 = 250 N 3
CY = 250 N
59
Σ MC = 0 AY (3) – 600 (1,25) = 0
+
Σ FX = 0
3 AY – 750 = 0
600 – AX = 0
3 AY = 750
AY =
600 = AX
750 = 250 N 3
AX = 600 Newton
AY = 250 N B
Nudo B B
600N
FBA
FBC
B
600N
FBC FBC 1,25
FBA
FBA
3,25 3
FBC
FBA
A
AX
FCA
C
FCA
CY
AY 600N
FBC FBA 600 = = 3 3,25 1,25 FBC FBA = = 200 3,25 1,25
Hallar FBC
Hallar FAB
FBC = 200 3,25
FBA = 200 1,25
FBC = 200 (3,25)
FAB = 200 (1,25)
FBC = 650 Newton (compresión)
FAB = 250 Newton (tracción) Nudo C FBC
B C
FCA
FBC
CY = 250 N
CY
1,25
FBC
3,25 3
FBC C Y FCA = = 3 3,25 1,25
600N
FBA
FCA
C
FBA
A
AX
FCA
AY
FBC FCA
C CY
FBC = 650 Newton (compresión)
60
650 C Y FCA = = 3 3,25 1,25
CY = 250 N AX = 600 Newton
Hallar FCA
AY = 250 N
650 FCA = 3 3,25 (650) 3 FCA = 3,25
FAB = 250 Newton (tracción) FBC = 650 Newton (compresión) FCA = 600 Newton (tracción)
FCA = 600 Newton (tracción)
Problema 4.1 Estática Meriam edición cinco; Problema 4.2 Estática Meriam edición tres Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura simple equilátera AY AX A
1,732 m
2m
2m
B
C
CX (2) - 735,75 ( 1,732) = 0
W=mxg ⎛ m ⎞⎟ w = 75 kg ⎜ 9,81 = 735,75 Newton ⎜ 2⎟ seg ⎝ ⎠ W = 735,75 Newton
CX (2) = 1274,31
CX =
735,75 N
CX
Σ MA = 0
+
2m
1274,31 = 637,15 N 2
CX = 637,15 Newton ∑FX = 0
∑FY = 0
CX - AX = 0
AY – 735,75 = 0
CX = AX
AY = 735,75 Newton
AX = 637,15 Newton
61
Nudo B FBA
B
D
1
300
367,87 N
FBC 735,75 N
FBA 367,87 = 2 1
2
FBA
1,732
FBA = 2 X 367,87
735,75 N 1,732 1
367,87 N
2
FBA = 735,75 Newton
FBC
FBC 367,87 = 2 1
Nudo C
FBC FCA C X = = 1 1,732 2
FBC = 2 X 367,87 FBC = 735,75 Newton
FBC = 735,75 Newton (compresión)
735,75 FCA = 2 1 735,75 FCA = 2
CX
FBC
FCA
300
CX
FCA FBC
1,732
C
1
FCA = 367,87 Newton (tensión)
2
Problema 4.3 Estática Meriam edición tres Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada. Explicar por que no hace falta saber las longitudes de los miembros.
A
300
2,4 kN
2,4 kN
B
B
600
A
C
300
600
C
AX AY
CY
62
Nudo B 2,4 kN
2,4 kN
FBA
B
300 2,4 kN
FBA
FBC
FBA (Y)
600
FBA
FBC
FBC (Y)
FBA (X)
FBA(Y ) sen 30 = FBA
FBC
FBA(Y) = FBA sen 30
⎛1⎞ FBA(Y ) = FBA ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ FBA(Y ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝2⎠
sen 60 =
FBC (X)
Para abreviar los cálculos
sen 30 =
1 2
sen 60 =
FBC(Y ) FBC
FBC(Y) = FBC sen 60
⎛ 3⎞ ⎟ FBC(Y ) = FBC ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FBC FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ∑ FX = 0
3 2
cos 60 =
1 2
cos 30 =
cos 30 = cos 60 =
FBC(X ) FBC
FBC(X) = FBC cos 60
⎛1⎞ FBc(x ) = FBC ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛1⎞ FBc(x ) = ⎜ ⎟ FBC ⎝ 2⎠
3 2
FBA(X ) FBA
FBA(X) = FBA cos 30
⎛ 3⎞ ⎟ FBA(x ) = FBA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FBA FBA(x ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
FBA(X) - FBC(X) = 0
⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA - ⎜⎝ 2 ⎟⎠ FBC = 0 (ECUACIÓN 1) ⎝ ⎠
∑ FY = 0 FBA(Y) + FBC(Y) - 2,4 = 0
Resolver las ecuaciones
( )
⎛ 3⎞ 1 ⎜ ⎟ FBA - ⎛⎜ ⎞⎟ FBC = 0 3 ⎜ 2 ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎟ FBC = 2,4 ⎜ ⎟ FBA + ⎜⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎟ FBC = 2,4 (ECUACIÓN 2) ⎜ ⎟ FBA + ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ ⎝ ⎠
63
⎛ 3⎞ ⎟ FBC = 0 - ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎟ FBC = 2,4 ⎜ ⎟ FBA + ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ ⎝ ⎠
⎛3⎞ ⎜ ⎟ FBA ⎝2⎠
⎛3⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FBA + ⎜ ⎟ FBA = 2,4 ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ 2 FBA = 2,4
FBA =
2,4 = 1,2 kN 2
FBA = 1,2 kN (compresión)
⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA - ⎜⎝ 2 ⎟⎠ FBC = 0 (ECUACIÓN 1) ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 1 ⎜ ⎟ FBA = ⎛⎜ ⎞⎟ FBC ⎜ 2 ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ 3 FBA = FBC FBA = 1,2 kN
3 (1,2 ) = FBC FBC = 2,078 kN (compresión) FBC
Nudo C
cos 60 =
FCA(X ) FCA
FCA (X) = (cos 60) FCA ∑ FX = 0
FBC 0
60
C
600
FCA CY
FCA
FCA (X) CY
600
FCA
FCA (Y)
FCA (X) - FBC = 0 (cos 60) FCA - FBC = 0
64
(cos 60) FCA = FBC
FBC 2,078 = = 1,039 kN cos 60 0,5
FCA =
FBA = 1,039 kN (tracción) Problema 4.3 Estática Meriam edición cinco Determine the force in each member of the truss. Note the presence of any zero-force members.
5 kN
AY Ax
FAB
A
Σ MA = 0
+
3m
FAB
FBC
DX (1) - 5 (3) = 0
1m
DX - 15 = 0
FCA
FBC
FBC
FCA
FCD
DX = 15 KN
Dx
B
FCD
D
FBC C
2m
Σ FX = 0 DX – AX = 0
5 kN
AY
DX = AX Ax
b=3m
A FBC Ө
1m
δ = 26,560
B β
c= 5
FBC
a=2 2 D
Dx
2m
C
PERO: DX = 15 KN AX = 15 KN Σ FY = 0 AY – 5 = 0
65
ley de cosenos
AY = 5 KN
a2 = b2 + c2 – 2 b c sen δ
2 tg θ = 1
a 2 = (3)2 +
Ө = arc tg (2) Ө = 63,430
( 5 )2 - 2 (3) ( 5 )sen 26,56
a2 = 9 + 5- 6
Ө + δ = 900
( 5 )(0,4471)
0
δ = 90 - Ө
a 2 = 14 - 2,68
δ = 900 – 63,43 δ = 26,560
( 5)
a 2 = 14 - 6 a 2 = 8
a= 8 =2 2
FAB
NUDO B
FBC(X)
5 kN
FBC FAB
B
5 kN
β = 450
FBC(Y)
FBC
FBC
ley de cosenos c2 = a2 + b2 – 2 a b sen β
( 5 )2 = (2 2 )2 + (3)2 - 2 (2 2 )(3) sen β 5 = 8 + 9 - 12 ( 2 ) sen β
β = arc tg 0,7071 β = 450 cos β = cos 45 = 0,7071 sen β = sen 45 = 0,7071
5 = 8 + 9 - 16,97 sen β
5 = 17 - 16,97 sen β
16,97 sen β = 17 - 5 = 12 12 sen β = = 0,7071 16,97
FBC(X) = FBC cos 45 Pero:
FBC = 7,071 KN FBC(X) = FBC cos 45
66
FBC(X) = FBC cos 45
FBC(X ) cos 45 = FBC FBC(X) = FBC cos 45
Pero:
FBC = 7,071 KN FBC(X) = FBC cos 45
Σ FY = 0 FBC(Y) – 5 = 0
FBC(X) = (7,071) (0,7071)
FBC(Y) = 5 kN
FBC(X) = 5 kN
FBC(Y ) 5 = = 7,071 kN sen 45 0,7071 FBC = 7,071 KN
Σ FX = 0 FBC(X) – FAB = 0
FBC =
FAB = FBC(X) FAB = 5 kN
NUDO C 5 kN
FCA FCD
AY
FBC C
Ax
3m
FAB
A FBC
1m
FCA(X ) cos 26,56 = FCA FCA(X) = FCA cos 26,56
FAB β = 450
FCA
FBC
FBC
FCA
FCD Dx
B
FCD
D
FBC C
2m
FCA(X) = 0,8944 FCA
FBC(X) Σ FY = 0 FCA(Y) – FBC(Y) = 0 FCA(Y) = FBC(Y)
FBC(Y)
FBC β = 450
FCD 0
Pero: FBC (Y) = 5 kN
δ = 26,56
FCA
FCA(Y) = 5 kN
sen 26,56 = FCA =
FCA(Y ) FCA
FCA(Y)
FCA(X)
FCA(Y ) 5 = = 11,18 kN sen 26,56 0,4471 67
FCA = 11,18 kN (tensión) Σ FX = 0 - FBC(X) + FCD – FCA(X) = 0
Reemplazando la ecuación 1 FCD – 0,8944 FCA = 5 (Ecuación 1)
Pero: FBC(X) = 5 kN
Pero: FCA = 11,18 kN
- 5 + FCD – FCA(X) = 0
FCD – 0,8944 (11,18) = 5
FCD – FCA(X) = 5
FCD – 10 = 5
FCA(X) = 0,8944 FCA
FCD = 5 + 10 = 15 kN
FCD – 0,8944 FCA = 5 (Ecuación 1)
FCD = 15 Kn (compresión)
5 kN
AY
NUDO D Ax
FAB
A
Σ FX = 0 DX - FCD = 0 DX = FCD
3m
FBC 1m
Σ Fy = 0
FBC
FBC
FCA
FCD Dx
B
β = 450
FCA
Pero:
FCD = 15 Kn
FAB
FCD
D
FBC C
2m
FBC = 0
68
Problema 4.4 Estática Meriam edición tres; Problema 4.6 Estática Meriam edición cinco; Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada E
3m
FED
FAE
D FED
2 kN
FBD
FEB
FCD FCD
FEB
Σ MC = 0
FAE
- AY (6) + 2 (3) = 0
+
A
6 AY = 2 (3) AY = 1 kN
FAB
AY
FAB
FBC
C FBC
6m
CX CY
Σ FX = 0
Σ MA = 0
CX – 2 = 0
2 (3) - CY (6) = 0
+
FBD
B
CX = 2 kN
2 (3) = CY (6) CY = 1 kN Nudo A FAE
4,24 FAE
A
3
CY
3
FAB
AY
FAB
C Y FAB FAE = = 4,24 3 3
Se halla FAB
CY = 1 kN
1 FAB = 3 3
1 FAB FAE = = 4,24 3 3
FAB = 1 kN (tension)
Se halla FAE
1 FAE = 3 4,24
FAE =
4,24 = 1,41kN 3
FAE = 1,413 Kn (compresión)
69
Nudo E E
4,24 FED
FAE
3
FEB
3
FAE
FED
FEB
FEB FED FAE = = 4,24 3 3 FAE = 1,413 kN
FEB FED 1,413 = = 3 3 4,24
Se halla FEB
Se halla FED
FEB = 0,3332 3
FED = 0,3332 3
FEB = 3 (0,3332) = 1 kN (tensión)
FED = 3 (0,3332) = 1 kN (compresión)
FEB FED = = 0,3332 3 3 Nudo B FEB
FBC
FBD 4,24
B FAB
FBD FBC
α 3
3 FBD (Y)
FEB = 1 kn
α
FBD α FAB = 1 kN
FBD (X)
3 tg α = = 1 3
α = arc tg (1) α = 450
∑FY = 0 FEB - FBD(Y) = 0
FBD(Y ) sen α = FBD FBD(Y ) sen 45 = FBD
1 = FBD(Y)
FBD (sen 45) = FBD(Y)
1 = FBD (sen 45)
FBD(X ) cos α = FBD FBD(X ) cos 45 = FBD
FBD =
FEB = FBD(Y) FEB = 3 (0,3332) = 1 kN
1 1 = = 1,414 kN sen 45 0,7071
FBD = 1,414 kN
70
FBD (X) = FBD (cos 45)
∑FX = 0
FBD = 1,414 kN
FBC - FBD (X) – FAB = 0
FBD (X) = 1,414 (cos 45)
FBC = FBD (X) + FAB
Pero: FAB = 1 kN Pero: FBD (X) = 1 kN
FBC = 1 + 1 FBD (X) = 1,414 (0,7071)
FBC = 2 kN
FBD (X) = 1 kN Nudo C FCD CX FCD
C
FCD - CY = 0
CX - FBC = 0
CX
FBC CY
∑FY = 0
∑FX = 0
CY FBC
FCD = CY
CX = FBC
CY = 1 kN
FBC = 2 kN (tracción)
FCD = CY = 1 kN (tracción)
CX = FBC = 2 kN Problema 4.4 Estática Meriam edición cinco Calculate the forces in members BE and BD of the loaded truss.
8 pulg.
8 pulg.
B
FBC
FBC
Cx
FEB
FEB FAB
A Σ MC = 0
+
FAE
FAE
2
C
FBD
FAB
E
FED
2
CY
8 pulg.
FBD FED
D
Dx
DY 1000 lb
1000 (8 + 8) - DX (8) = 0
1000 (16) - 8 DX = 0 16000 - 8 DX = 0
71
8 DX = 16000
DX =
16000 = 2000 lb. 8
∑ FX = 0 CX - DX = 0
DX = 2000 lb. C
C
2
2
CY
CX = DX CY
PERO: DX = 2000 lb.
2
2
CX = 2000 lb.
Cx
Cx
Las ecuaciones de equilibrio para la fuerza C son:
CY CX = 2 2 Cancelando términos semejantes CY = CX PERO: CX = 2000 lb. CY = 2000 lb. 8 pulg.
NUDO A
8 pulg.
B
2
CY 2
C Cx
FAB
FAB FAB
A
FAE
8 2
8
8 pulg. 1000 lb FAB
8 1000 lb
A
FAE
FAE
E
FAE
Las ecuaciones de equilibrio son:
FAB 1000 FAE = = 8 8 8 2 Cancelando términos semejantes
FAB = 1000 = FAE 2
D
Dx
DY 1000 lb
Hallar FAE
1000 = FAE FAE = 1000 lb. (Compresión)
72
Hallar FAB
FAB = 1000 2
FAB = 1000
( 2)
FAB = 1414,21libras (tensión) 8 pulg.
NUDO E
8 pulg.
B
FBC
2
CY
FBC
2
C
FEB
Cx
FBD
FAB FEB FED FAE
8 pulg.
FEB
FBD
FAB
E
Σ FY = 0 FEB = 0
A
FAE
FAE
FED
FED
E
Dx
D DY
1000 lb
∑ FX = 0 FAE - FED = 0 FAE = FED
FBD(X)
PERO: FAE = 1000 lb. FBD(Y)
FED = 1000 lb. (Compresión) NUDO B
B
8
FAB(X)
8 2
8 2 FBD
8
FAB 8
8
FAB(Y) FBC
FBC FBC
FAB
FBD FBD FEB
=0
Las ecuaciones de equilibrio para la junta B son:
FAB FAB(Y ) FAB(X ) = = 8 8 8 2
FAB
Hallar FAB(X)
FAB = FAB(X ) 2 1414,2 2
= FAB(X )
FAB(X) = 1000 lb.
Cancelando términos semejantes
FAB = FAB(Y ) = FAB(X ) 2 73
PERO: FAB = 1414,21libras Hallar FAB(Y)
FAB = FAB(Y ) 2 1414,2 2
= FAB(Y )
FAB(Y) = 1000 lb. Σ FY = 0 FBD (Y) – FAB (Y) = 0
∑ FX = 0 FBC - FBD(X) - FAB(X) = 0 PERO: FAB(X) = 1000 lb. FBC - FBD(X) = FAB(X) FBC - FBD(X) = 1000 ECUACION 1
FBD (Y) = FAB (Y)
Pero: FAB (Y) = 1000 lb. FBD (Y) = 1000 lb. Las ecuaciones de equilibrio para la junta B son:
FBD FBD(Y ) FBD(X ) = = 8 8 8 2 Cancelando términos semejantes
FBD = FBD(Y ) = FBD(X ) 2 Pero: FBD (Y) = 1000 lb. FBD(Y ) = FBD(X ) FBD (X) = 1000 lb.
FBD = FBD(Y ) 2 Pero: FBD (Y) = 1000 lb.
( 2 ) FBD(Y ) FBD = ( 2 )1000
FBD =
Hallar FBC FBC - FBD(X) = 1000 ECUACION 1 PERO: FBD (X) = 1000 lb. FBC - 1000 = 1000 FBC = 1000 + 1000 FBC = 2000 lb. (tracción) DX = 2000 lb. FAB = 1414,21libras (tensión) FAE = 1000 lb. (Compresión) FED = 1000 lb. (Compresión) FEB = 0 FBC = 2000 lb. (tracción)
FBD = 1414,2 libras (compresión)
74
Problema 4.5 Estática Meriam edición tres; Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada. Influye la carga de 6 kN en los resultados. 3 4
A
10 kN
B
4m
BX = 6 kN
6 kN
C
4m
3 5 Ө 10 kN
4 BY =8 kN Ө
4m
D
4m
E
BX = 6 kN
AY
10 kN
A
BY =8 kN
B
4m
AX
FAB FAE 4m F AE
+
C
FCB
FCD
CY
FBE
E
BX = 6 KN FED
Hallar BY
D
4m
BY =2 4
- 8 (4) + CY (8) - 6 (8) = 0
ΣFX = 0
- 4 + CY - 6 = 0
BX - AX = 0 = 6 KN
CY = 10 KN
BX = 3 (2) = 6 KN
FCD
- BY (4) + CY (4 + 4) - 6 (4 + 4) = 0
CY - 10 = 0
Hallar BX
BX =2 3
FCB
FBD
FED
Σ MA = 0
6 kN 4m
FAB FBE
B X 10 B Y = = 5 4 3
BY = 4 (2) = 6 KN PERO: BX
BY = 8 KN
BX = AX AX = 6 KN
75
Σ MC = 0
+
- AY (4 + 4) + BY (4) = 0
PERO: BY = 8 KN
- AY (8) + 8 (4) = 0 - AY + 4 = 0 AY = 4 kN
AY
NUDO A
sen θ =
FAE(Y ) FAE
sen θ =
2 3 3 = 4 2
FAE(Y) = sen Ө FAE
Ө
AX
AY
2 4
2m
A
FAE(X)
FAB FAE
A
2 3 FAE(Y)
AX
FAB
1 FAE(X ) = FAE 2
B
FAB FBE
4m F AE
FAE
FAE
E
3 FAE(Y ) = FAE 2 FAE(X ) cos θ = FAE 2 1 cos θ = = 4 2 FAE(X) = cos Ө FAE
2m
ΣFX = 0 FAE(X) – AX + FAB = 0 PERO: AX = 6 KN
FAE(Y) = sen Ө FAE
FAE(Y ) =
3 FAE 2
2
FAE(Y )
ΣFY = 0 AY – FAE (Y) = 0
FAE(X) + FAB = AX
FAE =
FAE(X) + FAB = 6
PERO: AY = 4 kN
1 FAE + FAB = 6 (ECUACION 1) 2
PERO: FAE (Y) = 4 Kn
FAE (Y) = AY
FAE =
3
2 3
(4) = 4,618
kN
FAE = 4,618 KN (tensión)
FAE (Y) = 4 kN
1 FAE + FAB = 6 (ECUACION 1) 2 PERO: FAE = 4,618 KN
76
1 FAE 2 1 FAB = 6 - (4,618) = 6 - 2,309 = 3,691 kN 2 FAB = 3,691 KN (tensión) FAB = 6 -
BX = 6 kN
NUDO C AY 6 kN
A
FCB FCD
B
4m
AX
C
BY =8 kN
10 kN
FAB FAE
FAB
FCB FBD
FBE
4m F AE
FCD
FED 4m
E
FCB CY
FBD
FBE FED
PERO: CY = 10 kN
C
4m
CY
ΣFY = 0 CY – 6 - FCD (Y) = 0
6 kN
FCD
D
10 – 6 - FCD (Y) = 0
FCD(Y ) FCD FCD (Y) = FCD sen 60 FCD(Y ) 4 FCD = = = 4,618 kN sen 60 0,866 sen 60 =
4 - FCD (Y) = 0 FCD (Y) = 4 KN
6 kN
FCB
ΣFX = 0
FCB - FCD(X) = 0
600
FCD (Y)
FCB = FCD(X) FCB = 2,309 kN (compresión)
FCD FCD (X)
FCD = 4,618 KN (tensión) CY = 10 KN
cos 60 =
FCD(x ) FCD
FCD (X) = FCD cos 60 PERO: FCD = 4,618 KN (tensión) FCD (X) = 4,618 (0,5) = 2,309 kN
77
NUDO B ΣFX = 0
6 - FAB - FCB + FBE(X) – FBD(X) = 0 PERO: FAB = 3,691 KN FCB = 2,309 kN
BX = 6 kN
B
6 - 3,691 - 2,309 + FBE(X) – FBD(X) = 0
BY = 8 kN
FAB
FBE(X) – FBD(X) = 0
FBE cos 60 - FBD cos 60 = 0
BX = 6 kN
BY =8 kN
10 kN
FAB
FCB
600
600
FBD
FBE
FCB
FBE (Y)
FBE
FBD FBD (Y)
0,5 FBE – 0,5 FBD = 0 (ECUACION 1) FBE (X)
FBE(Y ) sen 60 = FBE FBE(Y) = FBE sen 60
ΣFY = 0 FBE (Y) + FBD (Y) - 8 = 0 FBE (Y) + FBD (Y) = 8
FBE sen 60 + FBD sen 60 = 8
FBD(Y ) FBD FBD(Y) = FBD sen 60 sen 60 =
FBE(x ) FBE FBE(X) = FBE cos 60 cos 60 =
0,866 FBE + 0,866 FBD = 8 (ECUACION 2)
FBD (X)
FBD(x ) FBD FBD(X) = FBD cos 60 cos 60 =
Resolver las ecuaciones 1 y 2
0,5 FBE – 0,5 FBD = 0 (0,866) 0,866 FBE + 0,866 FBD = 8 (0,5)
BX = 6 kN
0,433 FBE – 0,433 FBD = 0 0,433 FBE + 0,433 FBD = 4 0,866 FBE = 4 4 FBE = 4,618 KN 0,866 FBE = 4,618 kN (compresion) NUDO E
AY
10 kN
A AX
E
FAB FAE
FAB
C
4m
FBD
FCB FCD
CY
FBD
FBE FED
E
6 kN
FCB
FBE
4m F AE
FED
B
4m
FBE
FAE
BY =8 kN
FED 4m
FCD
D
78
FED
FAE
FAE (Y)
600
FAE (X)
FAE(Y ) FAE FAE(Y) = FAE sen 60
FBE(Y ) FBE FBE(Y) = FBE sen 60
FAE(x ) FAE FAE(X) = FAE cos 60
FBE(x ) FBE FBE(X) = FBE cos 60
sen 60 =
FBE
FBE (Y)
600
FBE (X)
ΣFX = 0
cos 60 =
sen 60 =
cos 60 =
FED - FAE (X) – FBE (X) = 0 FED - FAE cos 60 – FBE cos 60 = 0 PERO: FBE = 4,618 kN FAE = 4,618 KN FED = FAE cos 60 + FBE cos 60 FED = 4,618 (0,5) + 4,618 (0,5) FED = 2,309 + 2,309 = 4,618 KN (Tension) FED = 4,618 KN (Tension)
CY = 10 KN AY = 4 kN AX = 6 KN FAE = 4,618 KN (tensión) FAB = 3,691 KN (tensión) FCD = 4,618 KN (tensión)
FCB = 2,309 kN (compresion) FBE = 4,618 kN (compresion) FED = 4,618 KN (Tension)
Problema 4.7 Estática Meriam edición tres; Problema 4.12 Estática Meriam edición cinco Calcular las fuerzas en los miembros CG y CF de la armadura representada
Σ ME = 0
+
4 (2 + 2 + 2) + 2 (2 + 2) – DX (3) = 0
4 (6) + 2 (4) – DX (3) = 0
Σ FX = 0 DX – EX = 0 EX = DX EX =10,666 KN
24 + 8 – 3 DX = 0
79
32 – 3 DX = 0 3 DX = 32
DX =
32 = 10,666 KN 3
NUDO A FAB
A
A
FAB
FAG
2 KN 2m
2m
DX = 10,666 KN
FAG
B FBC FBC C FCD FBG
FAG
6 6,7
FAB
FAB
3
FAG
4 KN
4 KN
4 KN
FGF
Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son:
FAB FAG 4 = = 6 6,7 3
FGC
FGF
FCD D Dx
FCF FCF
FGC G
DY
2m
3m
F
Hallar FAB
CY
FAB FAG 4 = = 6 6,7 3 FAG 4 = 6,7 3 (6,7 ) 4 = 8,94 KN FAG = 3
FAB 4 = 3 6 ( 4) 6 FAB = = 8 KN 3 FAB = 8 KN (tensión)
Ex
E
Hallar FAG
FAG = 8,94 KN (compresion)
NUDO B 2 KN
FAB
B
2 KN 2m
2m
FBC A
FAB
FAB
B FBC FBC C
FBG
DY D Dx
FBG
FAG 4 KN
2m
FAG
3m
G F
∑ FX = 0 FBC - FAB = 0 FBC = FAB PERO: FAB = 8 KN (tensión)
∑ FY = 0
E
FBG - 2 = 0
CY
Ex
FBG = 2 KN (compresión)
FBC = 8 KN (tensión)
80
NUDO G 2 KN 2m
2m
FBG FGC A
FAG
FAB
FAB
B FBC FBC C
4 KN
FGF
FAG
FGF
3 tg θ = = 0,5 6
Ө = 26,56
FAG(X)
0
FAG(Y)
FGF(Y ) sen 26,56 = FGF FGF(Y) = FGF sen 26,56
sen 26,56 =
FGC(Y ) FGC
FGC
FAG
F E
FGC(Y)
Ex
CY
0
26.560
26.56 26.560
FGF FBG
FGF(Y)
FGF(X)
FGC(Y) = FGC sen 26,56
sen 26,56 =
FGF
3m
FGC(X)
Ө = arc tg (0,5)
D
FGC
FGC G
DY Dx
FBG
FAG G
2m
FAG(Y ) FAG
FAG(Y) = FAG sen 26,56 ∑ FX = 0
FGF(X ) FGF = FGF cos 26,56
cos 26,56 = FGF (X)
FGC(X ) FGC = FGC cos 26,56
cos 26,56 = FGC (X)
FGC (X) + FAG (X) - FGF (X) = 0 PERO: FGC (X) = FGC cos 26,56 FGF (X) = FGF cos 26,56
FAG(X ) FAG = FAG cos 26,56
cos 26,56 = FAG (X)
FAG (X) = FAG cos 26,56 FAG = 8,94 KN (compresion) FAG (X) = FAG cos 26,56 FAG (X) = (8,94) cos 26,56 FGC (X) + FAG (X) - FGF (X) = 0 FGC cos 26,56 + (8,94) cos 26,56 - FGF cos 26,56 = 0
81
FGC + 8,94 - FGF = 0 FGC - FGF = - 8,94 (Ecuación 1) Resolver las ecuaciones
∑ FY = 0
FGC - FGF = - 8,94 (-0,4471) 0,4471 FGC + 0,4471 FGF = 6
FGC (Y) + FGF (Y) - FAG (Y) - FBG = 0
-0,4471 FGC + 0,4471 FGF = 4 0,4471 FGC + 0,4471 FGF = 6
PERO: FGC(Y) = FGC sen 26,56 FGF(Y) = FGF sen 26,56 FBG = 2 KN (compresión)
0,4471 FGF + 0,4471 FGF = 4 + 6
FAG(Y) = FAG sen 26,56 FAG = 8,94 KN (compresion) FAG (Y) = (8,94) sen 26,56 FAG (Y) = (8,94) (0,4471) FAG (Y) = 4 KN
0,8942 FGF = 10
FGF =
10 = 11,18 KN 0,8942
FGF = 11,18 KN (compresion)
FGC (Y) + FGF (Y) FGC (Y) + FGF (Y) FGC (Y) + FGF (Y) FGC (Y) + FGF (Y)
Reemplazar la ecuación 1 FGC - FGF = - 8,94 (Ecuación 1)
0,4471 FGC + 0,4471 FGF = 6 (Ecuación 2)
Pero: FGF = 11,18 KN FGC – 11,18 = - 8,94 FGC = 11,18 - 8,94 FGC(Y)
26.560
FGC FGC(X)
NUDO C FBC
FCD
FBC
FGC = 2,24 KN (tensión)
C
FCD
FCF PERO: FBC = 8 KN FGC = 2,24 KN
FGC(X ) FGC = FGC cos 26,56 = (2,24) cos 26,56
FCF 2 KN 2m
2m
A
FGC
- FAG (Y) - FBG = 0 -4 -2=0 -6=0 =6
FAB
FAB
B FBC FBC C FCD FBG
FAG 4 KN
2m
FAG
FGC
G
FGF
FGF
FCD D Dx
FCF FCF
FGC
DY
3m
F
cos 26,56 =
E
FGC (X) FGC (X)
CY
Ex
82
FGC (X) = (2,24) 0,8944 FGC (X) = 2 KN ∑ FX = 0 FCD - FBC - FGC (X) = 0 PERO: FBC = 8 KN FGC (X) = 2 KN FCD - FBC - FGC (X) = 0 FCD - 8 - 2 = 0 FCD - 10 = 0 FCD = 10 kN (tensión)
sen 26,56 = FGC (Y) FGC (Y) FGC (Y) FGC (Y)
FGC(Y ) FGC
= FGC sen 26,56 = (2,24) sen 26,56 = (2,24) 0,4471 = 1 KN
∑ FY = 0 FCF - FGC (Y) = 0 FCF = FGC (Y) PERO: FGC (Y) = 1 KN FCF = 1 KN (compresión)
83
