Tarea de Macroeconomía I 1. Robinson Crusoe vive solo en una isla. Él se genera utilidad del ocio y del consumo de cocos. Los cocos no se cosechan solos en esta isla, por lo que Crusoe tiene que trabajar para cosecharlos. Él tiene una unidad de tiempo para distribuir entre trabajo y descanso. Crusoe consume todos los cocos que cosecha. Si Crusoe decide asignar l unidades de tiempo al trabajo, él cosechará las siguientes unidades de cocos:
Si consume c unidades de cocos y descansa por r unidades de tiempo, obtendrá la siguiente utilidad:
Obviamente, r + l = 1 y c = y. Crusoe toma sus decisiones de consumo y trabajo/ocio óptimamente, de tal forma que maximice su utilidad. Defina el problema de maximización de utilidad de Crusoe y resuelva para su consumo óptimo, c*, y la oferta de trabajo, l*. 2. Una economía simple tiene 100 hogares idénticos y una firma. Enfóquese primero en los hogares. Cada hogar tiene una unidad de tiempo para asignar entre trabajo y descanso. El salario del trabajo que los hogares ofertan, w, es dado. Cada hogar tiene también una unidad de capital para rentar a la firma al alquiler r, que todos los hogares toman como dado. Adicionalmente, cada hogar es propietario de una participación del 1% de la firma, lo que significa que cada uno de ellos puede reclamar el 1% de los beneficios de la firma. Para resumir, cada hogar tiene 3 fuentes de ingreso, el ingreso del trabajo, el ingreso del alquiler, y el ingreso por los beneficios de la firma. Todos los hogares toman el salario y el alquiler (w y r) y el beneficio de la firma (π) como dados. Cada hogar genera utilidad del ocio y del consumo de manzanas. El precio de las manzanas está normalizado en 1. Cada hogar tiene que utilizar su ingreso para pagar por las manzanas que compran. Si un hogar decide consumir c unidades de manzanas y trabajar l unidades de tiempo, obtendrá la siguiente utilidad: Todos los hogares escogen sus consumos y trabajo/ocio para maximizar su utilidad.
a. Defina el problema de maximización de utilidad de los hogares y resuelva para su consumo óptimo, c*, y para la oferta laboral, l*, como funciones de los parámetros w, r, y π. Ahora, respecto a la firma, esta contrata trabajo y alquila capital a los hogares para producir manzanas. La tecnología de producción de la firma viene dada por:
donde y es la cantidad de manzanas producidas si la firma contrata L unidades de trabajo y K unidades de capital. A es el parámetro que representa la productividad de la firma en transformar los inputs en el producto. La firma opera competitivamente, en el sentido que toma el salario, el alquiler y el precio de las manzanas como dados. El objetivo de la firma es maximizar los beneficios. b. Defina el problema de maximización de la firma y calcule las condiciones de primer orden, como funciones de w, r y los parámetros. Uniendo las dos partes anteriores del problema, se puede resolver para el equilibrio general de esta simple economía. Un equilibrio general en esta economía es una combinación del salario (w*), el alquiler del capital (r*), consumo (c*), oferta laboral (l*), demanda de capital (K*), demanda de trabajo (L*), y los beneficios de la firma (π*), tal que: -
(c*, l*) maximice la utilidad de los hogares dado el salario, el alquiler del capital y los beneficios de la firma. (K*, L*) maximice los beneficios de la firma dado el salario y el alquiler del capital. Los mercados de factores de producción estén en equilibrio y el consumo total de la economía sea igual la producción agregada. c. Resuelva para el equilibrio general. En particular, resuelva para el salario (w*), el alquiler del capital (r*), los beneficios de la firma (π*), la cantidad agregada de trabajo (L*) y capital (K*).
3. Suponga que una función de producción tiene la forma
y= A √ l+B ,
donde y es el producto, l es el factor trabajo, A es una constante positiva, y B es otra constante, que puede ser positiva, negativa o cero. a. ¿Es el producto marginal del trabajo positivo? ¿Es decreciente en el trabajo? b. Describa el efecto renta y el efecto sustitución derivados de un incremento en el coeficiente A.
c. Describa el efecto renta y el efecto sustitución derivados de un incremento en el coeficiente B. 4. Un agente percibe utilidad del consumo y del ocio. Específicamente, las preferencias del agente son: U=ln (c) + ln (o), donde c es el consumo del agente, y o es el número de horas que el agente gasta por día en el ocio. Cuando el agente no está disfrutando su tiempo de ocio, trabaja, ya sea para él o para alguien más. Si el agente trabaja ns horas para él mismo, produce y=4ns0.5 unidades de consumo. Por cada hora que trabaja para alguien más, recibe un pago igual a w, en unidades de consumo. Escriba el problema de optimización del agente.