1.- La Smith Motors Motors,, Inc., vende vende automó automóvil viles es normales normales y vagone vagonetas tas.. La compañía compañía obtiene $300 de utilidad utilidad sobre cada automóvil automóvil que vende y $400 por cada vagoneta. El fabricante no puede proveer, más de 300 automóviles ni más más de 200 200 vago vagone neta tas s por por mes. mes. El tiem tiempo po de prep prepar arac ació ión n para para los los dist distri ribu buid idor ores es es de 2 hora horas s para para cada cada auto automó móvi vill y 3 hora horas s para para cada cada vagoneta. La compañía cuenta con 900 horas de tiempo de taller disponible cada mes para la preparación de automóviles nuevos. Plantee un problema de PL para para determ determina inarr cuanto cuantos s autom automóvi óviles les y cuanta cuantas s vagone vagonetas tas deben deben ordenarse para maximizar las utilidades.
X1 = Cantidad de automóviles normales a vender/mes. X2 = Cantidad de vagonetas a vender/mes. Max Z = 300X1 + 400X2 Sujeto a:
X1
<= 300 “Automóviles a vender/mes” X2 <= 200 “Vagonetas a vender/mes” 2X1 + 3X2 3X2 <= <= 900 “Hora “Horas s de tiempo tiempo de talle tallerr
disponibles/mes” X1, X2 >= 0 2.- La EZ Company fabrica tres productos de última moda, a los cuales el departamento de mercadotecnia ha denominado Mad, Mud y Mod. Estos tres productos se fabrican a partir de tres ingredientes los cuales, por razones de seguridad, se han designado con nombres en código que son Alpha, Baker y Charlie. Las libras de cada ingrediente que se requieren para fabricar una libre de producto final se muestran en la tabla. Producto Mad Mud Mod
Ingrediente Alpha Baker 4 7 3 9 2 2
Charlie 8 7 12
La empr empres esa a cuen cuenta ta resp respect ectiv ivam amen ente te con con 400, 400, 800 800 y 1000 1000 libr libras as de los los ingr ingred edie ient ntes es Alph Alpha, a, Baker Baker y Char Charli lie. e. Bajo Bajo las las cond condic icio ione nes s actu actual ales es del del mercado, las contribuciones a las utilidades para los productos son $18 para Mad, Mad, $10 $10 para para Mud Mud y $12 $12 para para Mod. Mod. Plan Plante tee e un prob proble lema ma de PL para para determinar la cantidad de cada uno de los productos de última moda que deben fabricarse.
X1 = Cantidad de productos Mad a producir X2 = Cantidad de productos Mud a producir X3 = Cantidad de productos Mod a producir Max Z = 18X1 + 10X2 + 12X3 Sujeto Sujeto a: 4X1 + 3X2 + 2X3 <= disponibles”
400 “Libras “Libras de ingrediente ingrediente Alpha
7X1 + 9X2 + 2X3 <= 800 “Libras de ingrediente Baker disponibles” 8X1 + 7X2 + 12X3 <= 1000 “Libras de ingrediente Charlie disponibles” X1, X2, X3 >= 0 3.- La Clear-Tube Company fabrica partes electrónicas para aparatos de televisión y radio. La compañía ha decidido fabricar y vender radios de AM/FM y toca cintas. Ha construido una planta que puede operar 48 horas semanales con gastos fijos de $10,000 por semana. La producción de un radio AM/FM requiere 2 horas de mano de obra y la producción de un toca cintas requiere de 3 horas de mano de obra. Cada radio contribuye con $20 a las utilidades y cada toca cintas con $25. El departamento de mercadotecnia de la Clear-Tube ha determinado que lo máximo que puede venderse por semana son 150 radios y 100 toca cintas. Platee un problema de PL para determinar la mezcla óptima de producción que maximice la contribución a las utilidades.
X1 = Cantidad de radio AM/FM a producir por semana. X2 = Cantidad de toca cintas a producir por semana. Max Z = 20X1 + 25X2 Sujeto a:
X1
<= 150 “Radios AM/FM a vender/semana” X2 <= 100 “Toca cintas a vender/semana” 2X1 + 3X2 <= 48 “Horas disponibles de la
planta/semana” X1, X2 >=
0
4.- La Lord Manufacturing Company fabrica 3 productos para el creciente mercado de las computadoras: diskettes, cassettes de cinta y cartuchos para limpiar unidades de disco. La contribución unitaria a las utilidades para cada producto se muestra en la tabla. Producto Diskette Cassette Paquete de limpieza
Contribución a las utilidades $2 $1 $3.50
Cada uno de esos productos pasa a través de tres centros de manufactura y prueba como parte del proceso de producción. Los tiempos que se requieren en cada uno de los centros para fabricar una unidad de cada uno de los tres productos se muestran en la tabla. Producto Diskette Cassette
Horas por Unidad Centro 1 Centro 2 Centro 3 3 2 1 4 1 3
Paquete de limpieza
2
2
2
En la tabla se muestran el tiempo disponible para la siguiente semana y los costos fijos para cada uno de los centros.
Centro 1: Centro 2: Centro 3:
Tiempo 60 horas 40 horas 80 horas
Gastos Fijos $1000 $2000 $1500
Plantee un problema de PL para programar la producción de manera que maximice la contribución a las utilidades.
X1 = Utilidad por diskette X2 = Utilidad por cassette X3 = Utilidad por paquete de limpieza Max Z = 2X1 + X2 + 3.5X3 Sujeto a: 3X1 + 4X2 +2X5 <= 60 “Horas disponibles en el Centro 1/semana” 2X1 + 1X2 + 2X3 <= 40 “Horas disponibles en el Centro 2/semana” X1 + 3X2 + 2X3 <= 80 “Horas disponibles en el Centro 3/semana” X1, X2, X3 >= 0 5.- La Ware Farms del Valle Schohario, cerca de Albany, N.Y., cultiva brócoli y coliflor en 300 acres de terreno en el valle. Un acre de brócoli produce $500 de contribución a las utilidades y la contribución de un acre de coliflor es de $1000. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse más de 200 acres de brócoli. Durante la temporada de plantación, habrá disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores. Cada acre de brócoli requiere 2.5 horas-hombre y cada acre coliflor requiere 5.5 horashombre. Plantee un problema de PL para determinar cuantos acres de brócoli y cuantos de coliflor deben plantarse para maximizar la contribución a las utilidades.
X1 = No. De acres de Brócoli a plantar X2 = No. De acres de Coliflor a plantar Max Z = 500X1 + 100X2 Sujeto a: X1 <= 200 “Acres de Brócoli a cultivar/temporada” 2.5X1 + 5.5X2 <= 1200 “Horas-hombre de tiempo de plantadores/temporada” X1, X2 >= 0
6.- La Pro.Shaft Company fabrica y vende tres líneas de raquetas de tenis: A, B, y C: A es una raqueta “estándar”, By C son raquetas “profesionales”. El proceso de manufactura de las raquetas hace que se requieran dos operaciones de producción; todas las raquetas pasan a través de ambas operaciones. Cada raqueta requiere 3 horas de tiempo de producción en la operación 1. En la operación 2 la raqueta requiere 2 horas de tiempo de producción; la raqueta B requiere 4 horas y la C, 5. la operación 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de producción y la operación 2 tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana. El grupo de mercadotecnia de la Pro-Shaft ha proyectado que la demanda de la raqueta estándar no Serra de mas de 25 por semana. Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado que la demanda combinada para estas Serra, en total, de diez o mas, pero no mas de 30 por semana. La venta de la raqueta A da como resultado $7 de utilidades, en tanto que las raquetas B y C proporcionan utilidades de $8.00 y $8.50, respectivamente. ¿Cuantas raquetas del tipo A, B y C deben fabricarse por semana, si la compañía busca maximizar sus utilidades? Plantee el problema como un modelo de PL.
X1 = No. De raquetas A a producir. X2 = No. De raquetas B a producir. X3 = No. De raquetas C a producir. Max Z = 7X1 + 8X2 + 8.5X3 Sujeto a: 3X1 + 3X2 + 3X3 <= 50 “Horas de producción disponible/semana en la operación 1” 2X1 + 4X2 + 5X3 <= 80 “Horas de producción disponible/semana en la operación 2” X1 <= 25 “Raquetas A a vender/semana” X2 + X3 >= 10 “Raquetas B y C a vender/semana” X2 + X3 <= 30 “Raquetas B y C a vender/semana” X1, X2, X3 >= 0 7.- La Higgins Company fabrica piezas de metal de alta precisión que se utilizan en los motores de automóviles de carreras. La pieza se fabrica en un proceso de forjado y refinación y son necesarias cantidades mínimas de diversos metales. Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de hierro colado. Existen 4 tipos de mineral disponible para el proceso de forjado y refinación. El mineral de tipo 1 contiene 4 onzas de plomo, 2 de cobre y 2 acero colado por libra. Una libre de mineral tipo 2 contiene 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de acero colado. Una libra del mineral tipo 3 contiene 1 onza de plomo, 4 de cobre y 4 de acero colado. Por ultimo, el mineral tipo 4 contiene ½ onza de plomo, 1 de cobre y 4 de acero colado por libra. El costo por libra para los cuatro minerales de $20, $30, $60 y $50, respectivamente. A la Higgins le gustaría mezclar los minerales de manera que satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas. Defina las variables de decisión y plantee el apropiado modelo de PL.
X1 = Cantidad las mezcla. X2 = Cantidad las mezcla. X3 = Cantidad las mezcla. X4 = Cantidad las mezcla.
de onzas de mineral tipo 1 necesarias para satisfacer de onzas de mineral tipo 2 necesarias para satisfacer de onzas de mineral tipo 3 necesarias para satisfacer de onzas de mineral tipo 4 necesarias para satisfacer
Max Z = 20X1 + 30X2 + 60X3 + 50X4 Sujeto a: 4X1 + 2X2 + X3 + ½ X4 <= 40 “Cantidad minima de oz. De plomo requeridas/pz” 2X1 + 6X2+ 4X3 + X4 <= 48 “Cantidad minima de oz. De cobre requeridas/pz” 2X1 + 6X2+ 4X3 + 8X4 <= 60 “Cantidad minima de oz. De acero colado requeridas/pz” 4X1, 2X2, X3, X4 >= 0
8.- Le Georgia Outdoors Company fabrica tres tipos de combinaciones energéticas que se venden a mayoristas los cuales a su vez los venden a expendios al menudeo. Los tres tipos son normal, especial y extra y se venden en $1.50, $2.20 y $3.50, respectivamente. Cada mezcla requiere los mismos ingredientes: maní, pasas y algarrobo. Los costos de estos ingredientes son: Mani: $0.90 por libra Pasas: $1.60 por libra Algarrobo: $1.50 por libra Los requerimientos de las mezclas son: Normal: cuando menos 5% de cada ingrediente. Especial: cuando menos 20% de cada ingrediente y no mas de 50% de cualquiera de ellos. Extra: cuando menos 25% de pasas y no mas de 25% de maní. Las instalaciones de producción hacen que haya disponibles por semana como máximo 1000 libras de maní, 2000 de pasas y 3000 de algarrobo. Existe un costo fijo de %2000 para la fabricación de las mezclas. Existe también la condición de que la mezcla normal debe limitarse al 20% de la producción total. Plantee un problema de PL para maximizar las utilidades.
Normal Especial Extra
A 90% 50% 25%
B 5% 25% 25%
C 5% 25% 50%
A $0,81 $0,45 $0,225
B $0,08 $0,4 $0,4
C $0,075 $0,375 $0,75
CP $ 0.965 $1.225 $1.375
UTILIDAD $0.535 $0.975 $2.125
X1 = No. De libras de combinación energética Normal a producir. X2 = No. De libras de combinación energética Especial a producir. X3 = No. De libras de combinación energética Extra a producir. Max Z = 0.535X1 + 0.975X2 + 2.125X3 Sujeto a: 0.90X1 + 0.50X2 + 0.25X3 <= 1000 “Libras de Mani disponibles/semana” 0.05X1 + 0.25X2 + 0.25X3 <= 2000 “Libras de pasas disponibles/semana” 0.05X1 + 0.25X2 + 0.50X3 <= 3000 “Libras de algarrobo disponibles/semana” X1/ (X1+X2+X3) <= 20 X1, X2, X3 >= 0
9.- Los supervisores de la producción de una refinería deben programar dos procesos de mezclado. Cuando se realiza el proceso 1 durante una hora se consumen 100 barriles de petróleo nacional y 300 barriles de petróleo importado. De manera similar, cuando se efectúa el proceso 2 durante una hora, se consumen 100 barriles de petróleo nacional y 200 barriles de petróleo importado. Con respecto a la producción, el proceso 1 genera 4000 galones de gasolina y 1750 galones de petróleo para uso domestico por hora de operación. El proceso 2 genera 3500 galones de gasolina y 2250 galones de petróleo para uso domestico, por hora. Para la siguiente corrida de producción, existen disponibles 1200 barriles de petróleo nacional y 1800 barriles de petróleo importado. Los contratos de ventas exigen que se fabriquen 28000 galones de gasolina y 12000 galones de petróleo para consumo domestico. Las contribuciones a las utilidades por hora de operación son $1000 y $1100 para los procesos 1 y 2, respectivamente. a) Plantee un modelo de programación lineal para determinar el programa de producción que maximice la contribución total. Asegúrese de indicar las unidades de medición para sus variables de decisión y las unidades en las que se mide cada restricción.
X1 = Cantidad de horas para el proceso 1
X2 = Cantidad de horas para el proceso 2 Max Z = 1000X1 + 1100X2 Sujeto a: 100X1 + 100X2 <= 1200 “Barriles de petróleo nacional disponibles” 300X1 + 200X2 <= 1800 “Barriles de petróleo importado disponibles” 4000X1 + 3500x2 >= 28000 “Galones de gasolina a fabricar” 1750X1 + 2250X2 >= 12000 “Galones de Petróleo para uso domestico a producir” X1, X2 >= 0 b) El U.S. Department of Energy puede emitir un dictamen que limite la producción total de gasolina a no mas de la mitad del petróleo que se fabrique para uso domestico. ¿Qué restricción debe añadirse al modelo para plantear esta condición?
4000X1 + 3500X2 <= (1750X1 + 2250X2) / 2 (4000X1 + 3500X2) / (1750X1 + 2250X2) >= 2 X1 = Cantidad de horas para el proceso 1 X2 = Cantidad de horas para el proceso 2 Max Z = 1000X1 + 1100X2 Sujeto a: 100X1 + 100X2 <= 1200 “Barriles de petróleo nacional disponibles” 300X1 + 200X2 <= 1800 “Barriles de petróleo importado disponibles” 4000X1 + 3500x2 >= 28000 “Galones de gasolina a fabricar” 1750X1 + 2250X2 >= 12000 “Galones de Petróleo para uso domestico a producir” (4000X1 + 3500X2) / (1750X1 + 2250X2) >= 2 X1, X2 >= 0 10.- La Carpinteria Shipping Company opera un avión que combina pasajeros y carga entre el aeropuerto de Newark, Estados Unidos y Bonn, en Alemania Occidental. Debido a los elevados costos de operación, el avión no sale hasta que todas sus bodegas hayan sido cargadas. El avión tiene tres bodegas: inferior, media y superior. Debido a limitaciones en el espacio de las bodegas, el avión no puede llevar más de 100 toneladas de carga en cada viaje. No deben llevarse más de 40 toneladas de carga en la bodega inferior. Con fines de equilibrio la bodega intermedia debe llevar un tercio de la carga de
la bodega inferior y la bodega superior debe llevar dos quintas partes de la carga en las bodegas inferior. Sin embargo, no deben llevarse más de 60 toneladas de carga en las bodegas media y superior combinadas. Las utilidades por el transporte son de $8 por tonelada de carga en la bodega inferior, $10 por tonelada de carga en la bodega intermedia y $12 por tonelada de carga en la bodega superior, después de deducir todos los gastos necesarios. Plantee un problema de PL para determinar la forma de cargar el avión que proporcione las mayores utilidades.
X1 = Toneladas de carga en la bodega inferior X2 = Toneladas de carga en la bodega media X3 = Toneladas de carga en la bodega superior Max Z = 8X1 + 10X2 + 12X3 Sujeto a: X1 + X2 + X3 <= 100 “Toneladas de carga por viaje permitidas” X1 <= 40 “Toneladas de carga en bodega inferior permitidas/ viaje” X2 <= (1/3) X1 “ Un tercio de las toneladas de carga en bodega inferior permitidas/ viaje”
X3 <= (2/5) X1 “Dos quintos de las toneladas de carga en bodega inferior permitidas/ viaje”
X2 + X3 <= 60 “Toneladas permitidas para las bodega media y superior combinadas” X1, X2, X3 >= 0
