Problemas de Rozamiento

PROBLEMAS DE ROZAMIENTO

Tema 02: Dinámica del punto

1

Subtema 03: Rozamiento.

02_03_006

Peraltes.

Origen: Resnick, I, 6, 3

Nivel: 0/3

Rozamiento, MRUA

El calor que por rozamiento genera el esquí que se va moviendo es el factor principal que facilita el deslizamiento, gracias a la película de agua que se produce bajo la suela. Al encerar esta, se consigue que dicha película de agua sea mayor, aumentando así el deslizamiento. Una revista de esquí informa que con un nuevo tipo de plástico en la suela y convenientemente encerado, un esquiador en una pendiente suave de 3º y 213 m de longitud ha conseguido reducir el tiempo de bajada desde 61 s a 42 s. (a)Determinad las aceleraciones medias para cada par de esquís, y (b)calculad el coeficiente de rozamiento cinético en cada caso.

Índice

S O L U C I Ó N:

(A) Tratándose de un MRUA, podemos escribir su ecuación con las condiciones dadas:

(B)

En la dirección paralela al plano, escribimos la segunda ley de Newton:

F = ma ===> Psenα – Fr = ma ===> Psenα – µ Pcosα = ma

==> mg senα - µ mg cosα = ma ===> µ = Y sustituyendo los valores de las aceleraciones hallados en (A) se tienen los valores del coeficiente de rozamiento: µ1 = 0,041 , µ2 = 0,028. 1

http://personal.telefonica.terra.es/web/jcvilchesp/resueltos/indice_02.htm



02_03_007

Peraltes.


Nivel: 0/3

Rozamiento, estática, equilibrio

El bloque B de la figura adjunta pesa 712 N. El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la mesa es de 0,25. Encontrad el máximo peso del bloque A para que el sistema esté en equilibrio.

Índice

S O L U C I Ó N: (A) La máxima fuerza de rozamiento entre el bloque B y la superficie horizontal vale Fr = µ N = µ mg = 0,25 * 712 = 178 N Si el punto de unión de las tres cuerdas ha de estar en equilibrio, deberá cumplirse la primera ley de Newton. Igualando pues fuerzas horizontales y verticales pondremos que: Eje X: Fr = Tx = T cos 45 ===> 178 = T cos 45º Eje Y: P = Ty = T sen 45 ===> P = T sen 45º Resolviendo este sistema de ecuaciones tenemos que P = 178 N , T = 251,73 N



02_03_001

Peraltes.

Origen: No consta

Nivel: 1/3

Explosión, rozamiento, MRUA

Desde un trineo parado sobre la nieve se efectúa un disparo en horizontal, con una velocidad inicial de 500 m/s, formando un ángulo de 60º con la dirección de los patines del trineo. El peso del proyectil es de 2 kg, y el del resto del trineo de 500 kg. El coeficiente de rozamiento entre los patines del trineo y la nieve vale 0,4. (a)Calculad el tiempo que el trineo está en movimiento después del disparo y (b)la distancia que recorre hasta pararse.

S O L U C I Ó N:

(A) El trineo sólo puede moverse en la dirección de sus patines, y no perpendicularmente a ella. Por tanto consideraremos sólo el movimiento en el eje OX. En ese eje no hay fuerzas exteriores aplicadas en el momento del disparo, por lo que la cantidad de movimiento ha de ser constante. Inicialmente, dado que está parado, vale cero y podremos poner que 0 = mvx + Mvt ===> 0 = - 2*500*cos60º + 500 v t ===> vt = 1 m/s La fuerza de rozamiento, r ozamiento, única que actúa después del disparo, vale F r = µmg , y producirá una aceleración de frenado dada por a = F/m = µg = 0,4*9,8 = 3,92 m/s2. Dado que es un movimiento del tipo MRUA se tendrá que v = v0 + at ===> 0 = 1 – 3,92 t ===> t = 0,255 s

(B) La distancia recorrida hasta pararse será d = v0t + ½ a t2 = 1*0,255 - ½ 3,92 0,2552 = 0,128 m



02_03_002

Peraltes.


Nivel: 1/3

Rozamiento, MRUA

Una plataforma de ferrocarril va cargada con cajas de embalaje que tienen un coeficiente de rozamiento estático con el piso de valor 0,25. Si el tren se va moviendo a razón de 48,3 km/h, ¿cuál será la mínima distancia en la que podrá detenerse sin que resbalen las cajas?

S O L U C I Ó N: (A) 48,3 km/h = 48300/3600 = 13,42 m/s Como mucho, en el momento de frenar el tren podrá hacerse una fuerza que iguale al rozamiento; Como Fr = µmg se tendrá que a = -F/m = -µg = -0,25*9,8 = -2,45 m/s2. Con esa aceleración, las ecuaciones del MRUA se podrán poner así: d = 13,42 t - ½ 2,45 t2 0 = 13,42 – 2,45 t De la segunda ecuación se obtiene que t = 5,48 s, valor que sustituido en la primera de las ecuaciones nos da una distancia mínima de 36,75 m



02_03_003

Peraltes.

Origen: Resnick I, 6, 5

Nivel: 1/3

Rozamiento, MRUA

Un disco de hockey que pesa 1,5 N es lanzado sobre la pista de hielo, resbala 15,2 m y acaba deteniéndose. (a)Si la velocidad de lanzamiento fue de 6,1 m/s, ¿cuál es la fuerza de rozamiento entre el disco y la pista? (b)¿Qué vale el coeficiente de rozamiento cinético pista-disco?

Índice

S O L U C I Ó N: (A) La fuerza de rozamiento es la única que lo frena, así que las ecuaciones del MRUA que describe se pueden poner de la forma: 15,2 = 6,1 t - ½ at2 0 = 6,1 – at De la segunda ecuación se tiene que at=6,1 y al sustituirlo en la primera de las ecuaciones tendremos 15,2 = 6,1 t -1/2 6,1 t ===> t = 15, 2 / 3,05 = 4,984 s, por lo que la aceleración vale a =6,1/4,984 = 1,224 m/s2, así que la fuerza de rozamiento valdrá, de acuerdo con la segunda ley de Newton, F = ma = (1,5/9,8)*1,224 = 0,187 N

(B) El coeficiente de rozamiento cinético valdrá µ = F /mg r/mg = 0,187/1,5 = 0,



02_03_004

Peraltes.

Origen: Resnick I, 6, 6

Nivel: 1/3

Rozamiento

Un bloque de acero de 44,5 N de peso descansa sobre una mesa horizontal. El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la mesa es 0,5. (a)¿Cuál es la magnitud de la fuerza horizontal capaz de hacer que el bloque empiece a moverse? (b)¿Cuál es la magnitud de una fuerza que actuando hacia arriba con un ángulo de 60º haga que el bloque empiece a moverse? (c)Si la fuerza actúa hacia abajo con un ángulo de 60º, ¿hasta que tamaño máximo puede tener para que no ponga al bloque en movimiento?

Índice

S O L U C I Ó N: (A)

F = Fr = µN = µmg = 0,5*44,5 =

22,25 N

(B) Fr = (P – N)µ = T (P-Fsen60º)µ = Fcos60º (44,5 – F*0,866)*0,5 = F * 0,5 ===> F = 23,85 N

(C)

Fr = (P + N)µ = T (P+Fsen60º)µ = Fcos60º (44,5 + F*0,866)*0,5 = F * 0,5 ===> F = 332,09 N



02_03_008

Peraltes.


Nivel: 1/3

Rozamiento, MRUA, cuerda

Un bloque de 35,6 N y otro de 71,2 N están unidos por una cuerda y resbalan por un plano inclinado 30º con la horizontal. Los coeficientes de rozamiento cinético son de 0,1 y 0,2 respectivamente. (a)Si el bloque más pequeño va por delante, calculad la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda. (b)Explicad qué sucede si se intercambian los bloques.

Índice

S O L U C I Ó N:

(A) a) En el bloque pequeño tenemos los siguientes valores de las fuerzas: N1 = 35,6 cos 30º = 30,83 N F1 = 35,6 sen 30º = 17,8 N Fr1 = 0,1*30,83 = 3,08 N b) En el bloque grande tenemos los siguientes valores de las fuerzas: N2 = 71,2 cos 30º = 61,66 N F2 = 71,2 sen 30º = 35,6 N Fr2 = 0,2*61,66 = 12,33 N c) Aplicando la 2ª Ley de Newton al conjunto: F1 + F2 – Fr1 – Fr2 = (P1 + P2) * a / g ===> 17,8 + 35,6 -3,08 – 12,33 = (71,2 + 35,6) * a / 9,8 ===> a = 3,486 m/s2

d) Aplicando la 2ª Ley de Newton al cuerpo más pequeño, siendo T la tensión de la cuerda: F1 – Fr1 – T = P1 * a / g ===> 17,8 – 3,08 – T = 35,6 * 3,486 / 9,8 ===> T =

2,054 N (B)

Para ver más fácilmente lo que harían si se invirtiesen las posiciones, calculemos qué aceleraciones tendrían por separado: Para el bloque pequeño: 17,8 – 3,08 = 35,6 * a / 9,8 ===> a = 4,05 m/s2 Para el bloque grande: 35,6 -12,33 = 71,2 * a / 9,8 ===> a = 3,2 m/s2 El pequeño va más deprisa que el grande, y por eso puede estirar de él. Pero si les damos la vuelta, poniendo el más rápido arriba, se irá acercando al de delante hasta alcanzarlo, siendo irrelevante la presencia de la cuerda.



02_03_011

Peraltes.

Origen: Marcos, 7, 2

Nivel: 1/3


Un cuerpo A de masa 100 gr situado a una altura de 3 m por encima del suelo arrastra en su caída a un cuerpo B de masa 500 gr que se desliza por un plano horizontal. Están unidos por un hilo de masa despreciable, que pasa por una polea de masa y rozamiento despreciables. (a)Calculad la aceleración del sistema, la velocidad de A cuando llega al suelo, la duración del movimiento de A y la tensión del hilo. (b)Al tener en cuenta el rozamiento entre B y la superficie horizontal, se observa que la aceleración del sistema es de g/8 m/s 2. Calculad la fuerza de rozamiento entre B y la superficie horizontal, la velocidad de A cuando llega al suelo, la duración del movimiento de A, la tensión del hilo y el espacio total recorrido por B desde el inicio del movimiento hasta que se para. (considérese la superficie horizontal tan t an larga como sea preciso) S O L U C I Ó N:

(A) Aplicando la segunda ley de Newton a todo el sistema, P = ma ===> 0,1*9,8 = (01+05)*a ===> a = 1,63 m/s 2 Aplicando la segunda ley de Newton sólo al cuerpo que cae, P – T = ma ===> 0,1*9,8 – T = 0,1*1,63 ===> T = 0,817 N Dado que es un MRUA, v 2 – v02 = 2as ===> v2 = 2*1,63*3 ===> v = 3,13 m/s Y también v = v0 – at ===> 3,13 = 1,63*t ===> t = 1,92 s

(B) Considerando el rozamiento, la segunda ley de Newton aplicada a todo el sistema se escribe como P – Fr = ma ===> 0,1*9,8 – Fr = 0,6*9,8/8 ===> Fr = 0,245 N Aplicando la segunda ley de Newton sólo al cuerpo que cae, P – T = ma ===> 0,1*9,8 – T = 0,1*9,8/8 ===> T = 0,858 N Dado que es un MRUA, v 2 – v02 = 2as ===> v2 = 2*9,8/8*3 ===> v = 2,71 m/s Y también v = v0 – at ===> 2,71 = 9,8/8*t ===> t = 2,21 s Cuando A llega al suelo, B queda sometido sólo a la acción de la fuerza de rozamiento, que le produce una aceleración de valor a = F /m = 0,245/0,5 = 0,49 m/s2, r tardando en pararse un tiempo t = 2,71/0,49 = 5,53 s. En ese tiempo habrá recorrido un espacio dado por e = 7,71*5,53 - ½ 0,49 5,53 2 = 7,49 m (más los 3 m que lo había arrastrado A)



02_03_013

Peraltes.

Origen: Burbano, 10, 10

Nivel: 1/3

Rozamiento, MRUA

Una locomotora arrastra un tren de 500 Tm en total. Los rozamientos con las vías, ejes, etc, equivalen a una fuerza de 5 kp por tonelada. (a)Calculad la fuerza de tracción que la locomotora debe hacer para mantenerse con velocidad constante en un terreno horizontal. (b)Si se alcanzan los 72 km/h partiendo del reposo en 100 m, ¿cuál será la fuerza ejercida, supuesta constante? (c)Calculad la fuerza de tracción necesaria para subir una pendiente de 10 milésimas (se eleva 10 metros por cada km) a 72 km/h de velocidad constante.

Índice

S O L U C I Ó N: Fr = 500*5*9,8 = 24500 N; 72 km/h = 20 m/s

(A) Si v=cte, la suma de todas las fuerzas ha de ser cero, por lo que la locomotora sólo debe vencer el rozamiento: F = Fr = 24500 N

(B) Al ser un MRUA, sus ecuaciones se escribirán así: v = v0 + at ; 20 = at e = e0 + v0t + ½ at 2 ; 100 = ½ at 2 Resolviendo el sistema, se obtiene que t = 10 s y la a = 2m/s2 Por tanto, F = ma = 500000*2 = 1000000 N (más los 24500 necesarios para vencer el rozamiento) (Puede resolverse también por energías: F*d = ½ mv2 + Fr*d ===> F*100 = ½ 500000 20 2 + 24500*100 ===> F = 1024500 N)

(C) Si ha de subir una pendiente, ha de vencer, además del rozamiento, la componente del peso paralela al plano de subida, de valor mgsen θ, por lo que F = Fr + mgsenθ = 24500 + 500000*9,8*(10/1000) = 73500 N (independientemente de la velocidad que lleve, mientras sea constante)



02_03_014

Peraltes.


Nivel: 1/3

Rozamiento, MRU, plano inclinado

Se quiere subir un cuerpo por un plano inclinado 30º sobre la horizontal. El coeficiente dinámico de rozamiento entre la superficie y el cuerpo es 0,3, siendo la masa del cuerpo de 10 kg. (a)Calculad la fuerza paralela al plano necesaria para subirlo con velocidad constante. (b)Calculad la fuerza horizontal necesaria para subirlo con velocidad constante.

Índice

S O L U C I Ó N: (A) Para que ascienda con MRU (v=cte, a=0) debe cumplirse la primera ley de Newton: F – T – Fr = 0 ; F = T + µN ===> F = mg senθ + µmg cosθ

F= 10*9,8*sen30º + 0,3*10*9,8*cos 30º = 74,46 N

(B) Para que suba con MRU (v=cte, a=0) debe cumplirse la primera ley de Newton:

F cosθ - T – Fr = 0 ; F cosθ = T + µN ===> F cosθ = mg senθ + µ(mg cosθ + F senθ) Fcos30º=10*9,8*sen30º+0,3(10 Fcos30º=10*9,8*sen30º+0,3(10*9,8*cos30º+Fse *9,8*cos30º+Fsen n 30º)

F*0,866 = 40 + 25,46 + 0,15 F===> F = 104 N



02_03_015

Peraltes.


Nivel: 1/3


En el extremo superior de un plano inclinado 30º sobre la horizontal hay una polea (sin peso ni rozamiento apreciables) por cuya garganta pasa un hilo. Uno de sus extremos sostiene un peso de 10 kg colgando en vertical, y el otro extremo sostiene un peso de 10 kg que se apoya en el plano inclinado, con un coeficiente de rozamiento mutuo de 0,5. Se desea calcular (a)la aceleración del sistema y (b)la tensión de la cuerda.

Índice

S O L U C I Ó N: (A)

Suponiendo (como parece razonable...) que el cuerpo en vertical es el que desciende, aplicando la segunda ley de Newton a todo el sistema tendremos que: P2 – F – Fr = (m1 + m2)a ===> 10*9,8–10*9,8*sen30º–0,5*10*9,8*cos30ºº = 20a 10*9,8–10*9,8*sen30º–0,5*10*9,8*cos30 98 – 49 – 42,44 = 20 a ===> a = 0,328 m/s2

Como la aceleración ha salido con el signo que le hemos supuesto, damos por buena la hipótesis de que el cuerpo en vertical desciende.

(B) Aplicando la segunda ley de Newton sólo al cuerpo que baja tendremos que P2 – T = m2a ===> 10*9,8 – T = 10*0,328 ===> T = 94,7 N



02_03_005

Peraltes.


Nivel: 2/3

Rozamiento, momento

Un camión transporta un bloque rectangular de 2 m de altura y de base cuadrada de 1 m de lado. (a)Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la caja del camión es de 0,6, calculad la máxima aceleración que puede darse al camión para que el bloque no deslice. (b)Si se ponen unos topes en el suelo de la caja para evitar ese deslizamiento, calculad la máxima aceleración que puede darse al camión sin que el bloque vuelque. (c)A la vista de los resultados, comentad qué sucedería con el bloque a medida que el camión fuese aumentando la aceleración en ausencia de dichos topes.

Índice

S O L U C I Ó N: Resolveremos primero el problema visto por un observador exterior, es decir, sin usar fuerzas de inercia, aplicando la segunda ley de Newton estrictamente.

(A)

Si vemos el bloque m moviéndose oviéndose hacia la derecha con la misma aceleración que el camión y sabemos que la única conexión entre el bloque y el camión es a través del rozamiento, podemos concluir que la fuerza que le da esa aceleración es la del rozamiento, y así escribimos que, como mucho, Fr = ma ===> µmg = ma ===> a = µg = 0,6*9,8 = 5,88 m/s2 Si el camión acelera más, el rozamiento ya no puede transmitir la fuerza necesaria al bloque y éste, al no acelerar lo mismo que el camión, se queda retrasado y lo vemos “deslizar” hacia atrás. Si la aceleración es menor que esa calculada, el rozamiento puede proporcionar la fuerza f uerza necesaria para que el bloque acelere como el camión, es decir, se mantenga en reposo respecto a él.

(B)

Imaginemos que ahora no hay ningún rozamiento entre el bloque y el camión. Si ponemos un tope en A para evitar que el bloque deslice hacia atrás, cuando lo alcance puede producirse un giro sobre A, ya que de acuerdo con la primera ley de Newton, el bloque, al no estar sujeto por el rozamiento, tiende a seguir en su estado de movimiento, que lo retrasa respecto al camión acelerado y lo vuelca al tropezar en A. El que se produzca vuelco o no dependerá del valor de la aceleración del camión: si es pequeña, el par de fuerzas mg-RAy evitará que el bloque gire sobre A, pero si es mayor que un determinado valor, ese par no logrará evitar ese giro. Para calcular esa aceleración límite, consideremos la situación en que justo esté a punto de producirse el giro. En ese momento, la normal no está aplicada en toda la superficie sino solamente en el punto de contacto, la reacción en A pasa por el CDG (a v=cte, R A sería horizontal), y se pueden escribir la segunda ley de Newton en cada eje de manera que: Eje OX: RAx = ma ; Eje OY: RAy – mg = 0 ; además, en la figura se ve que RA debe formar un ángulo con la horizontal tal que tg φ = RAy /RAx = altura/base = 2/1 =2. Con estas tres ecuaciones obtenemos que Ray=mg ===> mg/ma = 2 ===> a = g/2 = 4,9 m/s2

(C) Retrocedamos al punto (A), en el que hay rozamiento (µ=0,6) pero no están los topes de retención. Al ir acelerando el camión no sucede al principio nada especial, pero al llegar la aceleración al valor de 4,9 m/s m/ s2 el bloque vuelca ya que el rozamiento proporciona la suficiente retención (5,88 > 4,9) como para que se verifique lo calculado en el punto (B). ********** Resolveremos ahora el problema visto por un observador ligado al sistema, es decir, sin poder hacer referencia a lo que hace el camión, por lo que habrá que usar fuerzas de inercia, ficticias, y suponer que ellas originan un equilibrio dinámico (D'Alambert dixit ...) ...)

(A')

El observador ligado al sistema afirma que el bloque está a v=0 respecto a él, y como sabe de la existencia de la fuerza de rozamiento, debe introducir una fuerza ficticia de inercia en el sistema de manera que explique ese equilibrio. Esa fuerza es debida a una aceleración igual a la del camión pero de sentido contrario, por lo que se tendrá que la condición de equilibrio es F r – ma = 0, ecuación que nos dará el mismo resultado numérico que el obtenido en (A)

(B')

La situación ahora es la de la figura, las reacciones R no producen giro en A, y las dos fuerzas que sí lo hacen son ma y mg; tomando momentos respecto de A e imponiendo la condición de que no gire se tendrá que ma(h/2) – md(b/2) = 0 ===> a = g(b/h), el mismo valor obtenido en (B)



02_03_009

Peraltes.


Nivel: 2/3

Rozamiento, MCU, fuerzas de inercia

(a)¿Cuál es el mínimo radio de un círculo en el cual puede ir un ciclista si su velocidad es de 29 km/h y el coeficiente de rozamiento estático entre las ruedas y el suelo es de 0,32? (b)Bajo esas condiciones, ¿cuál es la inclinación que debe adoptar el ciclista para realizar la curva?

Índice

S O L U C I Ó N: (A) 29 km/h = 29000 / 3600 = 8,056 m/s m/ s La fuerza centrípeta necesaria para realizar el MCU a esa velocidad la proporciona el rozamiento Fr = man. Por tanto, dado que la máxima fuerza de rozamiento es Fr = µN = µ mg y que la aceleración normal vale a n = v2 /R, tendremos que µ mg = m v2 /R , de donde despejamos el valor del mínimo radio para las condiciones pedidas:

Si el radio es mayor que ese valor, el cociente mv /R disminuye, y la Fr puede proporcionar la aceleración necesaria para el giro. Al revés, si el radio baja de ese valor mínimo, el cociente m v2 /R aumenta, y la Fr ya no puede proporcinar la aceleración normal suficiente, por lo que el ciclista no puede cerrar el círculo. 2

(B)

Las condiciones a tener en cuenta son la velocidad la curva.

v del ciclista y el radio R de

De acuerdo con la segunda Ley de Newton, y teniendo en cuanta las fuerzas que actúan sobre el ciclista (peso P, reacción del suelo N y rozamiento Fr), podemos escribir que:

Eje vertical: N – P = 0 ===> N = mg Eje horizontal: Fr = man ===> Fr = mv2 /R La resultante de N y Fr debe estar sobre el eje de la bicicleta, por lo que se podrá escribir que

De acuerdo con los valores

dados, Evidentemente, no es una casualidad que hayamos obtenido para la tangente del ángulo un valor que coincide con el coeficiente de rozamiento. Teniendo en cuenta el valor para el radio mínimo obtenido en (A) podemos poner que, para una cierta velocidad y para el radio más pequeño soportado por el rozamiento,

Puede hacerse otra descripción de la situación, adoptando como sistema de referencia el que se mueve con el ciclista (sistema no inercial) De acuerdo con D'Alembert, para justificar el aparente equilibrio (el ciclista se ve “en reposo” en su sistema) basta con postular la existencia de una fuerza fictícia, de sentido contrario a la aceleración normal y de valor man, llamada comúnmente “fuerza de inercia” y que en este caso sería un “fuerza centrífuga”. El diagrama de fuerzas (tres reales y una fictícia) sería el de la figura, y las ecuaciones a utilizar serían

Eje vertical: N – P = 0 Eje horizontal: Fr – Fi = 0

que evidentemente conducen al mismo resultado que antes. En este caso de “equilibrio dinámico” o de D'Alembert aún cabe otra interpretación, usando el concepto de momento: el momento del par de fuerzas P/N contrarrestra al momento del par de fuerzas F /F r/Fi. En efecto, si se toman momentos sobre el punto de contacto de la bicicleta con el suelo, N y Fr no producen momento, y las otras dos lo hacen en sentidos contrarios, de manera que P*X = Fi*Y , siendo X e Y las proyecciones de la bicicleta sobre ambos ejes. Así pues,

, como se obtuvo anteriormente.



02_03_012

Peraltes.

Origen: Marcos, 7, 3

Nivel: 2/3

Rozamiento, peralte, MCU

Un ciclista, cuya masa junto con la de la bicicleta es de 80 kg, corre por una carretera horizontal de anchura 8 m, y llega a una curva de radio medio 20 m. (a)¿Con qué velocidad máxima puede tomar el viraje sin patinar, si la fuerza de rozamiento máxima entre el neumático y el suelo es de 196 N? ¿Cuánto tendrá que inclinarse para poder dar la curva a esa velocidad? (b)Se quiere peraltar la curva de manera que un ciclista, por el centro de la carretera, no patine aunque el suelo esté muy resbaladizo mientras no supere los 20 km/h. ¿Qué ángulo debe usarse para el peralte? (c)Si además del peralte anterior se considera la misma fuerza de rozamiento de la primera parte, ¿entre qué límites de la velocidad se puede tomar la curva sin peligro de patinar? ¿En qué parte de la carretera son posibles esas velocidades?

Índice

S O L U C I Ó N: (20 km/h= 5,56 m/s)

(A) La fuerza que proporciona la aceleración normal necesaria para realizar el MCU en la curva es la de rozamiento. De acuerdo con la segunda ley de Newton, Fr = man = mv2 /R , así que, como mucho, v2 = Fr*R/m ; el mayor R posible es el de fuera de la curva, de valor 20+(8/2) = 24 m, y para es valor resulta v2 = 196*24/80 ===> vmax = 7,668 m/s Para hacer esa curva de 24 m de radio a esa velocidad de 7,668 m/s, el ciclista debe inclinarse hacia dentro de la curva de manera que se verifique que:

(ver problema 02_003_009) Ese valor de la tg θ es, de acuerdo con lo visto en el problema citado, igual al coeficiente de rozamiento y, efectivamente, efectivamente,

µ

= F /N = 196/(80*9,8) = 0,25. r

(B) El peralte de la curva tiene como objetivo sustituir a la fuerza de rozamiento como generador de la aceleración normal. Dado que no hay fuerza de rozamiento, el ciclista debe ponerse perpendicular a la carretera, de manera que la reacción N de la misma se dirija según el eje de la bicicleta. En esas condiciones, puede escribirse la segunda ley de Newton

para cada uno de los ejes: Eje vertical: P – N cosθ = 0 Eje horizontal: N senθ = man = mv2 /R

Despejando N en la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda se obtiene que , misma expresión que en el apartado anterior. Se observa así claramente que el peralte está sustituyendo exactamente a la inclinación inclinación del ciclista cuando la carretera era horizontal. Poniendo los valores del problema,

(C) Para tener en cuenta el efecto del peralte y del rozamiento simultáneamente plantearemos la situación de acuerdo con D'Alembert, suponiendo la existencia de una fuerza ficticia de inercia, la “fuerza centrífuga”, y usaremos unos ejes ligados al plano del peralte; el peso se descompone en sus dos componentes, así como la Fc, y se observa que N v correspondientes componentes de P y F c. La Fr, junto con la componente del P paralela al plano, ha iene dada por la suma de las de contrarrestar la correspondiente componente de F c. Podrá escribirse por tanto que:

Fr + P senθ = Fc cosθ (eje paralelo al plano) N = P cosθ + Fc senθ (eje perpendicular al plano) La fuerza de rozamiento vale F r = µ N = µ (P cosθ + Fc senθ) La fuerza centrífuga vale Fc = mv2 /R De la primera ecuación:

µ

(mg cosθ + mv2 /R senθ) + mg senθ = mv2 /R cosθ

Eliminando m y multiplicando por R: R

µ

g cosθ + µ v2 senθ + R g senθ = v2 cosθ

Aislando v2: R µ g cosθ + R g senθ = v2 cosθ - µ v2 senθ = v2 (cosθ - µ senθ) Y en definitiva v2 = Rg( µ cosθ + senθ) / (cosθ - µ senθ) ===>

v2= R*9,8(0,25*cos9º + sen9º) / (cos9º – 0,25 sen9º) = R*4,167 ===> v = 2,04*R½

En el borde interior: vmax = 2,04*(20-4)½ = 8,16 m/s = 29,38 km/h En el centro: vmax = 2,04*(20)½ = 9,12 m/s = 32,84 km/h En el borde exterior: vmax = 2,04*(20+4)½ = 9,99 m/s = 35,99 km/h

A menos de 29,38 km/h puede tomar el viraje por donde quiera. A más velocidad se ha de ir colocando más hacia fuera, no pudiendo en ningún caso sobrepasar la velocidad de 35,99 km/h, tomándola justo en el borde exterior de ese viraje peraltado. Puede estudiarse fácilmente la influencia del rozamiento poniendo µ=0 en la

fórmula de v2: v2 = Rg(senθ) / (cosθ) = Rg tgθ, que ya vimos en el apartado (B). De acuerdo con ella, vmax = (Rg tgθ) ½, y en los tres puntos estudiados de la curva vale En el borde interior: v max = (16*9,8*tg9º) En el centro: vmax = (20*9,8*tg9º)

½

½

= 4,98 m/s = 17,94 km/h

= 5,57 m/s = 20 km/h k m/h (como ya sabíamos)

En el borde exterior: vmax = (24*9,8*tg9º)

½

= 6,10 m/s = 21,97 km/h

Pueden compararse mejor los resultados obtenidos si se disponen en forma de tabla:

Horizontal

v

θ

µ

0

0,25 (µgR)½

9º

0

9º

0,25 [Rg( µ cosθ +

R = 16 m

R = 20 m R = 24 m

6,26 m/s

7,00 m/s

7,67 m/s

4,98 m/s

5,57 m/s

6,10 m/s

8,16 m /s

9,12 m/s

9,99 m/s

con rozamiento Peraltada

(Rg tgθ)½

sin rozamiento Peraltada con rozamiento

senθ) / (cosθ - µ senθ)]½

Obsérvese que la última fórmula de la velocidad engloba a las dos anteriores, simples casos particulares de ella.

Problemas de Rozamiento

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