4,50 por una superficie horizontal cuando en el punto , se topa con una sección áspera. Aquí, el coeficiente de fricción no es constante: inicia en 0.100 en y aumenta linealmente con la distancia despues de , alcanzando un valor de 0.600 en 12,5 más alla de . a) Utilice el teorema del trabajo y la energia para obtener la distancia total recorrida por la caja en la sección áspera medido desde el punto . Problema #54 Una
caja resbala con una rapidez de
b) Determine el coeficiente de rose en el punto donde se detuvo la caja. c) ¿Qué distancia hubiese recorrido la caja si el coeficiente de fricción se hubiese mantenido constante a lo largo de la sección áspera con valor de .
0.100
Solución parte a) Realizamos un dibujo de la situación fisica.
El degragado en el área con fricción indica que cada vez la pista se vuelve más áspera. Nuestra intuición nos dice que en el área lisa la caja mantendrá su velocidad (ignorando el rose del viento y cualquier otra fuerza que pued a detenerla) hasta llegar al punto . De allí en adeltante su velocidad ira disminuyendo hasta cero y eventualmente deten erse a una distancia medida desde
Leemos los datos del problema: #1) nos dice que la caja viaja con una rapidez de
4,50 , asi que esta será la rapidez con la
#2) nos dice que el coeficiente fricción, en esta caso cinético, aumenta distancia después de .
que llegue al punto .
linealmente
con la
Asi, el coeficiente de fricción cinética puede escribirse en general de la forma.
= +
Donde son constante constante a derterminar. Y “x” es la distancia que varia según avance la caja por la sección áspera.
Realizamos un diagrama de cuerpo libre sobre la caja en un instante cualquiera una vez ingreso a la sección aspera.
Escribimos la segunda ley de Newton.
+ + ⃑ = ⃑ Escogemos un sistema de refencia con origen en y dirección̂ positiva en dirección del desplazamiento y dirección̂ positiva en dirección de la fuerza normal. Descomponemos todas nuestras fuerzas. ̂+ −̂+ −̂ = ̂ Escribimos las ecuaciones escalares.
− = 0…..1 − = ……….2 De (1) tenemos que el modulo de la fuerza normal es:
= Y como estamos bajo un regimen cinético siempre se cumple que:
= Lo cual nos lleva a determinar el modulo de la fuerza de rose cinetica como:
= + Asi, el vector fuerza de rose cinético según n uesto sistema de referencia es:
⃑ = + −̂ …..3
Escribimos el teorema del trabajo y la energia.
→ ⃑ = ∫ ⃑ ∙ ⃑ = 12 − 12 La fuerza neta es la suma de todas las fuerzas en nuestro diagrama de cuerpo libre, pero es claro que de todas esas fuerzas solo la fuerza de rose realizará trabajo ya que es la unica que esta paralela al desplamiento. Ahorrandonos escribir toda la fuerza neta, escribiremos solo la que hace trabajo. Asi,
→ = ∫ ⃑ ∙ ⃑ = 12 − 21 …….5
̂
Tomamos un diferencial de desplazamiento en la dirección positivo. Entonces,
⃑ = ̂ …..6 Sustituimos (6) y (3) en (5)
→ = ∫ + −̂∙ ̂ = 12 − 21 Por condiciones del problema, la velocidad de la caja en el punto donde se detiene es cero. Y el punto lo hemos elegido como el origen desde donde se mide la distancia total recorrida.
Asi,
→ = ∫ + −̂∙ ̂ = 12 − 21 → = ∫ + −̂ ∙ ̂ = − 12 Realizamos el producto punto.
→ = ∫ [− + ] = − 12 Los signos menos se cancelan a ambos lados de la igualdad.
→ = ∫ [ + ] = 12 Distributiva y propiedades de linealidad de la integral,
1 ∫ + ∫ = 2 Integramos,
1 + = 1 0 0 2 2 Teorema fundamental del calculo,
1 max + = 1 2 2 Simplificamos el termino , 1 max + = 1 2 2 Restamos a ambos lados de la igualdad, 1 max + − 1 = 0… …. .7 2 2 La expresión (7) tiene la forma de una ecuación de segundo orden en terminos de
Donde
= , = y = − Por resolvente,
− ± − 412 − 12 = 212 Simplificando,
+ − ± = De aquí hay dos posibles respuestas, una necesariamente negativa pues hay dos cantidades que se restan, dicha solución es desechada y nos quedamos con la solución positiva, pues es la que tiene sentido fisico al ser la variable una distancia.
+ − + = …….8
Sólo nos queda hallar las constantes , sustituir todas las cantidades númericas en la ecuación y realizar el algebra corespondiente. Veamos como se calculan dichas constantes, Regresando al problema, nos informan que el coeficiente de fricción no es constante: inicia en en y aumenta linealmente con la distancia despues de , alcanzando un valor de en más alla de
0.100 0.600 12,5 Luego con esta información podemos realizar un gráfico del coeficiente cinetico en función de la posición . Es decir,
Y entonces, es la pendiente y
el punto de corte con el eje “y” de la función
Es decir,
= 0,100 Y la pendiente se calcula como la distancia en “y” entre la distancia en “x”
= (0.60012.−50.100) = 0.04 Es claro ahora que:
= 0.04 + 0.100…….9
Sustituyendo los valores en la expresión (8) hallamos la respuesta a la pregunta a.
+ 0.04∗10 ∗ 4.5 − 0.100 ∗10 + 0. 1 00 ∗ 10 = 0.04 ∗10
= −1 + 0.√ 14 + 8.1 = −1 +0. 4√ 9.1 ≈ 5,04 Solución parte b) Como ya tenemos la distancia a la que se detuvo, es solo evaluar el coeficiente en dicha pocisión.
= 0.045.04+ 0.100 ≈ 0.302 Solución parte c) Cuanto hubiese recorrido si el coeficiente de rose fuese constante.
⃑ = −̂ Por definición
→ = ∫ ⃑ ∙ ⃑ = 12 − 12 → = ∫ −̂ ∙ ̂ = 12 − 12 De igual forma en el punto su velocidad es cero luego, → = ∫ −̂ ∙ ̂ = − 12
Realizamos el producto punto
→ = ∫ − = − 12 Sacamos las constasnte de la integral,
→ = − ∫ = − 12 Simplificamos los signos,
1 → = ∫ = 2 Integramos,
= | = 1 → 0 2 Usamos el teorema fundamental del calculo y simplificamos las masas,
Despejamos
= 12 = 2
Sustituimos las cantidades numericas,
4. 5 0 = 2 ∗0.100 ∗10
= 20.225 = 10,13 Es claro que con un coeficiente de rose constante a lo largo de la sección áspera la particula viajará una mayor distancia.