Aplicaciones: (Ecuación Lineal.) Lineal.) Docente: Francisco Arias Dominguez
MEZCLA Algunos procesos se componen de partes que se pueden imaginar como un tanque al cual entra y del cual sale una corrient corrientee de un ‡uído portador de una o varias arias sustancias sustancias disueltas. disueltas. El proceso total tiene lugar debido a la interacción, es decir, a los intercambios de ‡uído de las sustancias entre sí y con el exterior.
Trabajaremos con los siguientes supuestos: N Una solución con una concentración de entrada C 1 (masa/volumen) de cierta sustancia Y Y entra al tanque que puede contener Y Y y otras sustancias a una razón de entrada A (vol/ti (vol/tiempo), empo), que se interpreta como un caudal de entrada. N La mezcla es agitada instantáneamente dentro del tanque de forma que en cada punto del tanque la concentración es la misma. A continuación la mezcla sale del tanque a una razón B razón B (vol/tiempo), que se interpreta como un caudal de salida. La pregun pregunta ta que se quiere responder responder es: ¿Cuál ¿Cuál es la cantida cantidad d Q = Q(t) de la sustancia Y Y en el tanque, en cada instante? Formulación: Formulación: Sean Q = Q(t) : cantidad de sustancia Y sustancia Y en en el instante t instante t,, V = V (t (t) : volumen total de la mezcla en el tanque en el instante t, t , C = C (t) : concentración de Y de Y en en el tanque en el instante t instante t.. Ahora, Ahora, consid considere eremo moss un tanqu tanquee de mezcla mezcla que inicia inicialme lment ntee contie contiene ne V 0 galones galones de la sustan sustancia cia Y . Y . Otra Otra soluc solució ión n Y Y está entrando en el tanque a una tasa A gal= min; min; en este ‡ujo de entrada la concentración de la sustancia Y sustancia Y es C es C 1 lb=gal. lb=gal. Cuando la solución se mezcla bien en el tanque, se extrae a una tasa de B de B gal= min. min.
El ‡ujo de salida, es C (t) = Ahora, como
Q(t) : V (t)
dV = A B dt
entonces, dV = (A Bdt)
, V (t) = (A B)t + C
y como V (0) = V 0 , se tiene V (t) = (A B)t + V 0
(1)
Necesitamos una ecuación para saber la cantidad de soluto en cada instante, pero la velocidad a que Q(t) cambia será una tasa neta de dQ = (Velocidad de entrada) (Velocidad de salida) = R entrada Rsalida . dt
(2)
Pero: Rentrada = (tasa de entrada)(concentración) = A C 1 y Rsalida = (tasa de salida)(concentración) = B C (t) = B
Q(t) V : (t)
Luego (2) nos queda dQ Q(t) = A C 1 B dt V (t) o
dQ B + Q(t) = A C 1 dt V (t)
(Ecuación lineal)
donde, V (t) = (A B)t + V 0 : Ejemplo: Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua salada en la cual están disueltos 5 lb de sal. Si el agua salada esta conteniendo 3 lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo. ¿Cuanta sal está presente después de 10 min? ¿Cuanta sal está presente después de un tiempo largo? Formulación Matemática: Sea Q el número de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego dQ es la tasa de cambio dt de esta cantidad de sal en el tiempo, y esta dada por: dQ = R entrada Rsalida . dt Puesto que entran 2 gal/min. conteniendo 3 lb/gal de sal tenemos que la cantidad de sal que entra por minuto es: Rentrada = 2 gal=min: 3 lb:=gal = 6 lb:=min:
Puesto que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay Q libras de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es Q libras por 10 gal. La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto, Q lb 2 Q lb Q lb Rsalida = 2 gal=min: = = : 10 gal 10 min 5 min Puesto que inicialmente hay 5 lb. de sal, tenemos que Q = 5 en t = 0. Así, la formulación matemática completa es: dQ = 6 A5 dt
8< : Q(0) = 5
Solución: Usando el método de separación de variables, tenemos: dQ 30 Q = dt 5
Z
dQ = 30 Q
Z 1
5
30 Q = Ce
dt + C 1
1 5
t
=)
dQ 1 = dt 30 Q 5
=)
ln(30 Q) = 15 t + C 1
donde C = e C
,
1
Q(t) = 30 Ce
1 5
t
Como Q(0) = 5, entonces 5 = Q(0) = 30 C
C = 25:
)
La cual la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t. Q(t) = 30 25e
1 5
t
Al …nal de los 10 min. la cantidad de sal es Q(10) = 30 25e
2
= 26:6 lb:
Después de un tiempo largo, esto es, cuando t ! 1, vemos que Q ! 30 lb., Esto también podría ser visto desde la ecuación diferencial haciendo dQ dt = 0, puesto que también Q es una constante cuando se alcanza el equilibrio.
EJERCICIOS 1) Un
tanque contiene 100 galones de salmuera; 3 galones de salmuera la cual contiene 2 libras de sal/galón de salmuera entran al tanque cada minuto. La mezcla asumida uniforme sale a una velocidad de 2 gal./min. Si la concentración es de 1; 8 libras de sal/galón de salmuera al cabo de 1 hora, Calcular las libras de sal que habían inicialmente en el tanque. 2) Un
depósito contiene 50 galones de salmuera en las que están disueltas 25 libras de sal. Comenzando en el tiempo t = 0, entra agua al depósito a razón de 2 gal./min. y la mezcla sale al mismo ritmo para entrar a un segundo depósito que contenía inicialmente 50 galones de agua pura. La salmuera sale de este depósit la misma velocidad. Cuándo contendrá el do depósito la r cantidad de sal?
3) Una
sala con un volumen de 32 metros cúbicos está inicialmente llena de aire libre de monóxido de carbono (CO). A partir del tiempo t = 0 entra a la sala aire con humo de cigarrillo a razón de 0; 002 m3 = min con un 4% de CO. El aire se mezcla rápidamente en la sala y sale a la misma razón de 0; 002 m3 = min. a) ¿Cuánto tardará la concentración de CO en la sala en alcanzar el nivel del 0; 0012%, peligrosa para seres humanos? b) Si la situación persistiera, ¿qué pasaría cuando t ! 1? Respuesta: (a) En t = 4; 8 minutos la concentración de CO será del 0; 0012%. (b) Si t ! 1 entonces c(t) ! 4%. 4) Un tanque contiene inicialmente agua pura. Salmuera que contiene 2 libras da sal/gal. entra al tanque a una velocidad de 4 gal./min. Asumiendo la mezcla uniforme, la salmuera sale a una velocidad de 3 gal./min. Si la concentración alcanza el 90% de su valor máximo en 30 minutos, calcular los galones de agua que habían inicialmente en el tanquue. 5) Un tanque contiene 500 galones
de salmuera. Al tanque ‡uye salmuera que contiene 2 libras de sal por galón, a razón de 5 galones por minuto y la mezcla bien homogenizada, sale a razón de 10 galones por minuto. Si la cantidad máxima de sal en el tanque se obtiene a los 20 minutos. Cual era la cantidad de sal inicial en el tanque? tanque tiene inicialmente 100 galones de agua pura. Una salmuera que contiene 12 libra de sal/galón de salmuera ‡uye al interior del tanque a una rapidez de 2 galones /min. y la mezcla bien homogenizada sale del tanque con la misma velocidad. Después de 10 minutos el proceso se detiene y se introduce al tanque agua pura con una rapidez de 2 galones/min, abandonando el tanque a la misma velocidad. Determinar la cantidad de sal en el tanque cuando han pasado un total de 20 minutos. 6) Un
7) Un
tanque contiene 50 litros de agua. Al tanque entra salmuera que contiene k gramos de sal por litro, a razón de 1:5 litros por minuto. La mezcla bien homogenizada, sale del tanque a razón de un litro por minuto. Si la concentración es 20 grano por litro al cabo de 20 minutos. Hallar el valor de k 8) A un tanque que contenía 400 litros
de agua pura se bombea una solución de agua-sal que contiene 0:05 kg de sal por litro, a una razón de 8 litros por minuto. La mezcla homogeneizada sale con la misma rapidez. El proceso se interrumpe al cabo de 50 minutos y a continuación se bombea agua pura a la misma razón de 8 litros por minuto (la mezcla sigue saliendo a la misma velocidad). Determine: a) La cantidad de sal en el tanque al cabo de los primeros 50 minutos. b) La cantidad de sal al cabo de 100 minutos. c) Esboce la grá…ca de la solución. Respuesta: La cantidad de sal en el tanque al cabo de 50 minutos es 20(1 e 1 ) y la cantidad de sal al cabo de 100 minutos es 20e 1 (1 e 1 ). 9) Considérese un tramo del Río Cauca desde un punto antes de Cali (digamos el Paso de la Balsa) hasta un punto después de Cali (digamos la Laguna de Sonso) como un tanque con un volumen de 60 millones de metros cúbicos en el cual hay una concentración de contaminantes (detergentes y tóxicos de uso doméstico, desechos industriales, etc.) del 0; 00001%. Supóngase que a partir de t = 0 hay una entrada de 1200 m 3 =seg con una concentración de contaminantes del 0; 001% y que hay una salida de igual cantidad de agua bien mezclada. ¿Cuál será la concentración de contaminantes después del tiempo t? ¿Cuánto tardará la concentración en elevarse al 0; 0001%? Si las condiciones persistieran, ¿qué pasaría cuando t ! 1? Respuesta: La concentración es c(t) = 10 7 (100 99e 0;00002t ). En t = 4765; 51 la concentración será del 0; 0001%. Si t ! 1 entonces c(t) ! 0; 001%. 3 10) Una fábrica está situada cerca de un río con caudal constante de 1000 m =seg que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 1000 millones de m 3 . Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 10 de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4
a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 1 m 3 =seg. Suponga que el lago tiene una salida de 1000 m3 =seg de agua bien mezclada. Esboce la grá…ca de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de: un día, un mes (30 días), un año (365 días). Respuesta: Suponiendo una contaminación constante (que promedie los dos bombeos diarios de contaminación) tenemos: La concentración en un día es 0; 0014%, en un mes 0; 012% y en un año 0; 146%. 11) Una solución de salmuera de sal ‡uye a razón constante 6L/min. hacia el interior de un depósito que inicialmente contiene 50L de solución de salmuera en la cual se disolvieron 5kg de sal. La solución contenida en el depósito se mantiene bien agitada y ‡uye hacia el exterior con la misma rapidez. Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el depósito es de 0; 5kg=L, determinar la cantidad presente en el depósito al cabo de t minutos. ¿Cuándo alcanzará la concentración de sal en el depósito el valor de 0; 3kg=L?. Respuesta: Q(t) = 25 20e 3t=25 , t = 25ln2 . 3 12) Una solución de salmuera de sal ‡uye a razón constante 4L/min. hacia el interior de un depósito que inicialmente contiene 100L de agua. La solución contenida en el depósito se mantiene bien agitada y ‡uye hacia el exterior a razón de 3L= min. Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el depósito es de 0; 2kg=L, determinar la cantidad presente en el depósito al cabo de t minutos. ¿En qué momento la concentración dep sal contenida en el depósito será de 0; 1kg=L?. Respuesta: 2 10 Q(t) = 0; 2(100 + t) (100+t) , t = 100( 2 1). 13) Un gran depósito esta lleno con 500L de agua pura. Una salmuera que contiene 2 gramos de sal por litro se bombea al interior a razón de 5L= min.; la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con la misma rapidez. Hallar el número de gramos de sal que hay en el depósito en un instante cualquiera. Resolver este mismo problema suponiendo que la solución se extrae con una rapidez de 10L= min., y calcular cuánto tiempo pasará para que se vacíe el depósito. Respuesta: Q(t) = 1000 1000e t=100 , en el otro caso Q(t) = 10(100 t) 0; 1(100 t)2 , t = 100 min. 14) Una alberca cuyo volumen es de 10:000L contiene agua con el 0; 01% de cloro. Empezando en t = 0, desde la ciudad se bombea agua que contiene 0; 001% de cloro, hacia el interior de la alberca a razón de 5L= min., y el agua de la alberca ‡uye hacia el exterior a la misma velocidad. ¿Cuál es el porcentaje de cloro en la alberca al cabo de 1 hora? ¿Cuándo tendrá el agua de la alberca 0; 002% de cloro? Respuesta: Q(t) = 0; 1 + 0; 9e t=2000 , Q(60) = 0; 9731 ) 0; 0097%, t = 2000 ln 9 = 4394; 45min.= 73; 24 horas. 3 15) El aire del interior de un pequeño cuarto con dimensiones 12 8 8 m , contiene 3% de monóxido de carbono (CO). En t = 0, se sopla aire fresco que no contiene CO, hacia el interior del cuarto a razon de 100 m3 = min. Si el aire del cuarto sale al exterior a través de una abertura a la misma velocidad, ¿cuánto tendrá el aire del interior del cuarto 0; 01% de CO?. Respuesta: Q(t) = 2 3; 04e 25t=192 , t = 43; 805 min : 3 16) La corriente sanguínea lleva un medicamento hacia el interior de un órgano a razón de 3 cm =seg:, y sale de él a la misma velocidad. El órgano tiene un volumen líquido de 125 cm3 . Si la concentración del medicamento en la sangre que entra en el órgano es de 0; 2 gr./cm3 , ¿cuál es la concentración del medicamento en el órgano en el instante t si inicialmente no había vestigio alguno del medicamento? ¿Cuándo la concentración del medicamento en el órgano será de 0; 1 gr./cm3 ? Respuesta: Q(t) = 25 25e 3t=125 , t = 28; 8811 segundos. 3 17) Un teatro de dimensiones 10 30 50 m , contiene al salir el público 0; 1% por volumen de 3 CO2 . Se sopla aire fresco a razón de 500 m = min y el sistema de aire acondicionado lo extrae a la misma velocidad. Si el aire atmosférico tiene un contenido de CO2 del 0; 04% por volumen y el límite saludable es de 0; 05% por volumen. ¿ En que tiempo podrá entrar el público?. 18) Queremos inyectar un medicamento en un órgano humano. Supongamos que el volumen de circulación sanguínea del órgano es 150 cm3 y que se inyectan 1 cm3 = min : de agua destilada con 0; 3 mgr=cm3 de concentración de medicamento. La sangre entra al órgano a la misma razón que sale. Si en el instante inicial no hay presencia del medicamento. ¿En qué momento la concentración del medicamento en el órgano será de 0; 05 mgr=cm3 ?. Respuesta: Q(t) = 45 45e t=150 , t = 150 ln(37; 5=45) minutos.
7
4
3
19) Una
solución de ácido nítrico ‡uye a razón constante de 6 Lts/min. hacia el interior de un gran tanque que inicialmente contiene 200 litros de una solución del mismo ácido al 0; 5%. La solución contenida en el tanque se mantiene uniformemente distribuida y sale del tanque a razón de 8 Lts/min. Si la solución que entra al tanque es del 20% de ácido nítrico, determinar la cantidad de este ácido presente en el tanque al cabo de t minutos. ¿En qué momento el % de ácido contenido en el tanque será t 4 de 10%? Respuesta: Q(t) = 0; 4(100 t) 39(1 100 ) , t = 19; 9573min..
