E1. Obtenga una expresión para el ascenso capilar h de un fluido de tensión superficial y ángulo de contacto θ entre dos placas
paralelas verticales separadas una distancia W, como se muestra en la figura.
SOLUCIÓN
La fuerza de tensión superficial está dada por la componente vertical que actúa en cada una de las placas paralelas, multiplicadas a lo largo de la longitud de cada placa, en este caso consideraremos que la longitud de cada placa es unitaria, es decir nuestra expresión para la fuerza de tensión superficial quedaría tal como sigue:
Pero como son dos placas paralelas, entonces nos quedaría de la siguiente manera:
Para determinar la altura h, tendremos que hacer una sumatoria de fuerzas en dirección vertical, tomando como positivas aquellas fuerzas que favorezcan el ascenso capilar (tensión superficial), y como negativas las que impidan dicho ascenso (peso del fluido).
Donde gV representan el peso del fluido, siendo el volumen de fluido contenido entre las placas.
la densidad, g la aceleración de la gravedad y V
De la figura podemos determinar que el volumen está dado por el ancho W multiplicado por la altura h, es decir, , sustituimos en la expresión anterior:
De aquí despejamos a h, y obtenemos la expresión requerida para el ascenso capilar.
E2. Un bloque cuyo peso es W se desliza sobre un plano
inclinado lubricado por una película de aceite, como se muestra en la figura. La superficie de contacto del bloque es A y el espesor de la película de aceite h. Suponiendo una distribución de velocidad lineal en el aceite, halle una expresión para la velocidad máxima (aceleración nula) del bloque. SOLUCIÓN
Aplicamos segunda ley de Newton:
Pero cuando la velocidad sea máxima entonces la aceleración será cero (a=0). Reduciéndose esa expresión a una sumatoria de fuerzas en la dirección opuesta y a favor del movimiento del bloque e igualadas a cero:
Donde
es la fuerza debida a la viscosidad que se opone al movimiento, y tiene un valor de:
Siendo μ el coeficiente de viscosidad y A el área de contacto. Sustituyendo este valor en la sumatoria de fuerzas, tenemos que:
Ahora procedemos a integrar esta expresión, con los límites adecuados.
Despejando a
obtenemos la expresión que muestra la velocidad máxima del bloque.
E3. La cinta mostrada en la figura, de ancho b,
se mueve estacionariamente con velocidad V y está en contacto con la superficie de un tanque de aceite de viscosidad μ. Suponiendo un perfil de velocidad lineal en el aceite, obtenga una fórmula sencilla para la potencia P requerida para mover la cinta en función de (h, L, V, b, μ). SOLUCIÓN
La potencia está dada por el producto de la fuerza viscosa
Donde
Con
y la velocidad
está dada por:
, luego sustituyendo estos valores en la expresión inicial:
Integrando esta expresión:
Despejando la potencia P obtenemos la expresión buscada.
:
E4. Una placa plana está separada de dos placas fijas
por dos líquidos cuyas viscosidades son y respectivamente, como se muestra en la figura. Puede observarse que los espacios entre las placas y son distintos. Suponiendo un perfil de velocidad lineal en ambos fluidos, halle la fuerza F requerida para mover la placa con velocidad V. SOLUCIÓN
La fuerza total requerida está dada por la suma de las fuerzas viscosas que actúan en sentido opuesto al movimiento:
Donde
y
quedan expresadas por:
Integrando ambas expresiones desde una distancia (espesor) 0 hasta con una velocidad 0 y en ambos casos.
Despejando
y
y
respectivamente,
, y sustituyendo en la expresión inicial:
Por lo tanto la fuerza total para mover la placa con velocidad v quedaría expresada tal como sigue:
