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Física II Prof. Juan Mendoza Nolorbe Problemas Resueltos de MAS 1. Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 40.0 cm con una rapidez de 80.0 cm/s. Halla (a) la frecuencia, (b) el período del movimiento. movimiento. (c) (c) escribe una ecuación para la componente x de la posición de la partícula en función del tiempo t, suponiendo que la partícula está en el eje X en el instante t= 0s. Solución:. La proyección de la partícula sobre el eje x, realiza un movimiento armónico simple cuya ecuación que describe su posición es:
x = A.sen (w.t + ) Los datos: Radio = Amplitud = A = 40cm. Rapidez = v = 80cm/s w = v/R = 2rad/s. Para t = 0, x 0 = 0 = arcosen ( x 0/A) = 0 rad. { todos los múltiplos de
son también
solución}.
(a) (b) (c)
La frecuencia f: f = w/ 2 f = (2rad/s)/2 (2rad/s)/2 = 0,32Hz El periodo T: T = 1/f T = 3,14s La ecuación de la posición: x = 40 40sen (2.t)[cm]
2. Un cuerpo de 2,0 kg está unido a un resorte horizontal de constante de fuerza k= 5,0 kN/m. Se alarga 10.0 cm el resorte y se deja libre. Halla (a) la frecuencia; frecuencia; (b) el período; (c) ¿Cuál es la rapidez máxima? (d) ¿Cuál es la aceleración máxima? (e) ¿Cuándo alcanza el cuerpo por primera vez su posición de equilibrio?, ¿cuál es su aceleración en ese instante? Solución:
La frecuencia angular de un sistema masa-resorte esta dado por la ecuación: w=
k m
…(1)
Los datos: masa = m = 2,0kg. Constante Constante elástica = k = 5,0kN/m. Amplitud = A = 10,0cm Prof. Juan MendozaNolorbe
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Para t = 0, x 0 = 0 = arcosen ( x 0/A) = /2 rad (a) (b) (c)
(d)
(e)
Reemplazando datos en la ecuación (1): w = 50 rad/s f = w/ 2 f = (50rad/s)/2 = 7,96Hz El periodo T: T = 1/f T = 0,13s La ecuación de la velocidad esta dado por: v = A.w. cos(w.t + ) de donde, la rapidez máxima se deduce : vmax= A.w. vmax= 10cm. 50rad/s = 500cm/s La ecuación de la aceleración esta dado por: a =-A.w 2. sen (w.t + ) de donde, la aceleración máxima se deduce : amax= A.w2. amax= 10cm. (50rad/s)2 = 25000cm/s2 De los datos la ecuación de movimiento es : x = 10 sen(50t + /2) Aquí hallaremos t, para x=0 (posición de equilibrio): 0 = 10 sen(50t + /2) 0 = sen(50t + /2) n = 50t + /2 { Para n=0,1,2,3…} n
t=
2 50
para n = 0 {la primera vez que pasa por el punto de equilibrio} t = 0,0314s = 31,4ms En la posición de equilibrio x=0, a = 0 {a = -w2x} 3. Un cuerpo de 3.0 kg unido a un resorte horizontal oscila con una amplitud A = 10.0 cm y una frecuencia f = 2.0 Hz. ¿Cuál es la constante de elasticidad del resorte?. Solución: Los datos: m = 3,0kg, A = 10,0cm, f = 2,0Hz w = 2f = 12,57rad/s
reemplazando los datos en la ecuación (1) del problema 2. 12,57rad / s
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k 3,0kg
k = 473,7N/m
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4. Un cuerpo unido a un resorte horizontal oscila con un período de 0.4 s. Si el cuerpo se suspende verticalmente del resorte, ¿en cuanto se alarga el resorte respecto a su longitud natural cuando el cuerpo está en equilibrio?. Considere g = 2 Solución: Podemos usar la ley de Hook para saber el alargamiento “x” de un resorte,
cuando una masa m cuelga en equilibrio: x
mg , combinando con la ecuación, T = 2 k
m k
tenemos: x
T 2.g = 0,04m 4. 2
5. Un objeto oscila con frecuencia angular w = 8 rad/s. En t = 0, el objeto se encuentra en x 0 = 4 cm con una velocidad inicial v 0 = 25 cm/s. Determinar la amplitud , la constante de fase para este movimiento y escribir x en función de t. Solución:
a) La posición y la velocidad inicial están relacionadas con la amplitud y constante de fase por las ecuaciones: x0= A cos v0= A w sen Dividimos estas dos ecuaciones obteniendo v0/x0 = w tan despejamos la constante de fase = arctg (v0/x0) = arctg (0,78) = 0,66 rad b) La amplitud viene dada por A = x0/cos = 5,06 cm c) La ecuación del movimiento es : x = 5,06 cos ( 8 t + 0,66 ) [cm] Prof. Juan MendozaNolorbe
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6. Un objeto de 2 kg se sujeta a un muelle de constante de fuerza k = 196 N/m. El objeto se mantiene a una distancia de 5 cm de la posición de equilibrio y se deja en libertad en t = 0. Determinar la frecuencia, el periodo y la ecuación del movimiento de este MAS. ¿Cuál es la velocidad y aceleración máximas del objeto y en que momento se alcanzan? Solución: a) La frecuencia angular es igual a
w = (k/m)1/2 = 9,9 rad/s b) La frecuencia y el periodo son iguales a f = 1,58 Hz y T = 0,633 s c) La amplitud y la constante de fase A = 5 cm y = 0 d) La ecuación de movimiento x = 5 cos ( 9,9 t ) 7. Un objeto de 3 kg conectado a un muelle oscila con una amplitud de 4 cm y un periodo de 2 s. ¿Cuál es la energía total del objeto? ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto? ¿En que posición la velocidad es igual a la mitad de su valor máximo, y en cuál la energía potencial es igual a la cinética? Solución:
a) Sabemos que la energía total de un MAS viene dada por la ecuación E
½ kA 2
La constante de fuerza se relaciona con el periodo y la masa según K = m w 2 m 42/T 2
29,6 N/m
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y la energía total es igual a: E = 2,37 x 10 -2 J b) La velocidad máxima se alcanza cuando toda la energía es cinética, en x = 0, y vale vmax = ( 2E/m ) ½ = 0,126 m/s c) Para una velocidad v = ½ v max y aplicando la conservación de la energía tenemos: E = ½ kA 2 = ½ m ( ½ v max)2 + ½ kx2 Despejando la posición x en la que tenemos una velocidad mitad de la del Máximo x = 3,46 cm d) En la posición x en la que la energía cinética es igual a la potencial se cumplen las ecuaciones: ½ mv2 + ½ kx2 = ½ kA 2 ½ mv2 = ½ kx2 Despejando de estas dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos X = (A2/2)½ = 2,83 cm v = (kA 2 /2m)0,5
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8. Un cuerpo de 2,5 kg cuelga de un resorte vertical de constante k = 0.60 kN/m. Oscila con una amplitud de 3.0 cm. Cuando el cuerpo posee su desplazamiento máximo hacia abajo, encuentra: (a) la energía total del sistema; (b) la energía potencial gravitatoria; y, (c) la energía potencial del resorte. (d) ¿Cuál es la energía cinética máxima del cuerpo? Considera que la posición de referencia es cuando el cuerpo está en equilibrio. Solución:
a) La energía total del sistema puede calcularse usando cualquiera de las siguientes relaciones: Etotal
1 2 kA 2
1 2 mv 2 max
1 2 kx 2
1 2 mv 2
por los datos que nos dan se puede usar la primera relación: Etotal
1 2 kA 2
Etotal = 0,270 J b) La energía potencial gravitatoria: mgh EPG = (2,5kg)(9,8m/s2)(-0,03m) = - 0,735 J {respecto a la posición de equilibrio} c) La energía potencial del resorte: E
1 2 kx 2
x = xeq + A = {la suma total de alargamientos}, xeq
mg = 0,04m de donde x = 0,04m + 0,03m =0,07m k
ahora calculamos la energía potencial elástica: E PE = 1,47J d) La energía cinética máxima es igual que la energía total del oscilador: Etotal = 0,270 J
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9. Un bloque se desliza sobre una superficie horizontal lisa. Está sujeto a un resorte y oscila con un período de 0.80 s. Un segundo bloque descansa en su parte superior. El coeficiente de fricción estático entre los bloques es de 0.25. (a) Si la amplitud de oscilación es de 1.0 cm, m ¿deslizará el bloque situado arriba? (b) ¿Cuál es la mayor amplitud de oscilación para la cual M 2 2 bloque de arriba no se desliza?. g = m/s Resp. (a) No; (b) 3.97 cm. Solución: En la figura para que el bloque “m” deslice sobre “M” es necesario que “M”
ejerza por lo menos una fuerza igual al rozamiento estático máximo entre los dos bloques, del diagrama de cuerpo libre de “m”: RN fsmáx
fsmáx = sRN fsmáx = s(mg)
…(1)
mg
La máxima aceleración que puede tener el sistema sin que el bloque deslice es : FNETA = fsmáx m.amáx = s(mg) amáx = (0,25)( 2 m/s2) amáx = 0,25 2 m/s2 Por otro lado la aceleración de un oscilador en términos de la amplitud y del periodo de oscilación esta dado por: 4 2 .A amáx = A.w = T 2 2
Para que el bloque no deslice la aceleración del oscilador debe ser menor o igual que el que puede soportar el bloque. 4 2.A 0,25 2 2 T
Para T = 0,8s y A = 1 cm tenemos:
1 16
1 4
por lo tanto el bloque no desliza
La máxima amplitud de oscilación es : T 2 4 2.A 2 A = 4 cm = 0,25 A = 0 , 25 4 T 2
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